\documentclass[12pt]{book}\usepackage[Aymar]{ammaths}%\usetikz
\usetikzlibrary{matrix,arrows,decorations.pathmorphing}\begin{document}%\nocolor
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{}
\fancyhead[LE]{\footnotesize Chapitre 13}
\fancyhead[CE]{}
\fancyhead[RE]{\footnotesize Matrices}
\fancyhead[LO]{\footnotesize Cours de math�matiques}
\fancyhead[CO]{}
\fancyhead[RO]{\footnotesize STS}
\fancyfoot[LE]{\footnotesize \url{http://lyceeenligne.free.fr}}
\newcounter{chap}\setcounter{chap}{13}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\thispagestyle{empty}
{\Large\textsf{Section technicien sup�rieur}\par
\textsf{Cours de math�matiques}\par}

\bigskip

\textsf{\huge Chapitre 13}

{\HUGE\bf\textsf{Matrices}}

\vfill

\begin{center}
\includegraphics[width=13cm]{matrices.eps}
\end{center}
 %\emph{}
\vfill


\begin{flushright}
\sf\small Aymar de Saint-Seine\\Ann�e scolaire 2011--2012
\end{flushright}
\setcounter{page}{0}\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%fin front 

\section{G�n�ralit�s}
\subsection{D�finition}

\exe{Voici des tarifs postaux, en euros, valable en 2009:
$$\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|} \hline
Poids/Recommand�	& Sans    &	 R1        &	    R2     &	   R3     \\ \hline
Jusqu'� 20g  	&	0,56 \euro &	3,36 \euro &	3,96 \euro &	4,86 \euro \\ \hline
Jusqu'� 50g  	&	0,90 \euro &	3,70 \euro &	4,30 \euro &	5,20 \euro \\ \hline
Jusqu'� 100g 	&	1,35 \euro &	4,15 \euro &	4,75 \euro &	5,65 \euro \\ \hline
Jusqu'� 250g 	&	2,22 \euro &	5,02 \euro &	5,62 \euro &	6,52 \euro \\ \hline
Jusqu'� 500g 	&	3,02 \euro &	5,82 \euro &	6,42 \euro &	7,52 \euro \\ \hline
Jusqu'� 1kg  	&	3,92 \euro &	6,72 \euro &	7,32 \euro &	8,22 \euro \\ \hline
Jusqu'� 2kg  	&	5,16 \euro &	7,96 \euro &	8,56 \euro &	9,46 \euro \\ \hline
Jusqu'� 3kg  	&	6,04 \euro &	8,84 \euro &	9,33 \euro &	10,23 \euro \\ \hline
\end{tabular}$$

Les informations peuvent �tre pr�sent�es de fa�on plus synth�tique � l'aide du tableau suivant :
$$\begin{pmatrix}
0,56  &	3,36  &	3,96  &	4,86  \\ 
0,90  &	3,70  &	4,30  &	5,20  \\ 
1,35  &	4,15  &	4,75  &	5,65  \\ 
2,22  &	5,02  &	5,62  &	6,52  \\ 
3,02  &	5,82  &	6,42  &	7,52  \\ 
3,92  &	6,72  &	7,32  &	8,22  \\ 
5,16  &	7,96  &	8,56  &	9,46  \\ 
6,04  &	8,84  &	9,33  &	10,23
\end{pmatrix}$$ 


C'est une matrice � 8 lignes et 4 colonnes.}

\defi{Matrice}{
Une \textbf{matrice} est un tableau de nombres.\\ 
Les nombres sont appel�s les \textbf{coefficients}, les \textbf{termes} ou les \textbf{�l�ments} de la matrice.\\
Si on a $n$ lignes et $p$ colonnes, on dit qu'on a une matrice de \textbf{dimension} $n\times~p$.\\
Si $M$ est une matrice $n\times~p$, le terme situ� � la $i^{\rm i \grave{e} me}$ ligne et  la $j^{\rm i \grave{e} me}$ colonne est not� $m_{i,j}$ (avec $1 \le i \le n$ et $1 \le j \le p$).}

\exe{La matrice $A= \left(\begin{array}{ccc}
	1 & 2 & 3\\
	4 & 5 & 6 \\
	7 & 8 & 9 \\
	10 & 11 & 12 \\
	\end{array}\right)$
est de dimension $4\times3$.\\
Le terme $a_{11}$ est $1$, le terme $a_{23}$ est $6$, le terme $a_{42}$ est $11$.}


 

\subsection{�galit� de deux matrices}
\theo{\'Egalit� de deux matrices}{Deux matrices M et M' sont �gales si et seulement si elles sont de m�me dimension et que chaque �l�ment de l'une est �gal � l'�l�ment correspondant de l'autre, c'est  dire si, pour tout $i$ et tout $j$, on a $M_{i,j}=M'_{i,j}$.}

\exe{On consid�re les trois matrices suivantes : 
$$A= \left(\begin{array}{ccc}
	1 & 2 & 3\\
	4 & 5 & 6 \\
	7 & 8 & 9 \\
	10 & 11 & 12 \\
	\end{array}\right)
\quad ; \quad 
B= \left(\begin{array}{ccc}
	1 & 2 & 3\\
	4 & 5 & 6 \\
	7 & 8 & 9 \\
	\end{array}\right)
\quad ; \quad
C= \left(\begin{array}{ccc}
	x & 2 & 3\\
	4 & 5 & 6 \\
	7 & y & 9 \\
	10 & 11 & 12 \\
	\end{array}\right)
$$
Les matrices $A$ et $B$ ne peuvent pas �tre �gales puisqu'elles n'ont pas la m�me dimension.
Les matrices $A$ et $C$ seront �gales si et seulement si $x=1$ et $y=8$.}




\section{Op�rations sur les matrices}

\exe{Soit $A$ la matrice donnant les tarifs postaux. Supposons que ces tarifs subissent une augmentation.\\
Soit $B$ la matrice donnant les augmentations envisag�s pour chacun des tarifs :
$$B=\begin{pmatrix}
0,02  &	0,04  &	0,09  &	0,18  \\ 
0,03  &	0,05  &	0,10  &	0,20  \\ 
0,05  &	0,15  &	0,75  &	0,65  \\ 
0,22  &	0,02  &	0,62  &	0,52  \\ 
0,32  &	0,82  &	0,42  &	0,52  \\ 
0,42  &	0,72  &	0,32  &	0,22  \\ 
0,50  &	0,96  &	0,56  &	0,46  \\ 
0,50  &	0,84  &	0,33  &	0,23
\end{pmatrix}$$
soit $C$ La matrice donnant les nouveaux tarifs. Comme le nouveau tarif est obtenu en faisant l'addtion de l'ancien tarif et de son augmentation, chaque coefficient de la matrice $C$ est la somme du coefficient de la matrice $A$ et du coefficient de la matrice $B$ correspondant. On note $C=A+B$.}


\subsection{Addition}
\defi{Addition de matrices}{Pour \textbf{additionner} deux matrices de m�me dimension, il suffit d'ajouter chaque terme de la premi�re matrice au terme situ� � la m�me position sur la deuxi�me matrice.\\[10pt]
Autrement dit, la somme de la matrice $A=(a_{ij})$ ($n$ lignes, $p$ colonnes) et de la matrice $B=(b_{ij})$ ($n$ lignes, $p$ colonnes) est  la matrice $C=A+B$ ($n$ lignes, $p$ colonnes) telle que pour tout $i \in [1,n]$, pour tout $j \in [1,q]$, $c_{i,j} = a_{i,j} + b_{i,j}$.
}

\exe{
$$\begin{pmatrix} 1&2&3\cr   4&5&6\cr    7&8&8\cr \end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}-4&5&6\cr   3&0&-2\cr    6&7&9\cr \end {pmatrix}=
\begin{pmatrix}-3&7&9 \cr   7&5&4\cr    13&15&17 \cr \end {pmatrix}$$}




\rem{On ne peut pas additionner des matrices qui n'ont pas les m�mes dimensions (c'est � dire des matrices telles que le nombre de ligne ou le nombre de colonne ne soit pas le m�me).}

\theoad{}{$A$,  $B$ et $C$ �tant des matrices de m�mes dimensions, $k$ et $k'$ deux nombres. On d�montre et nous admettrons que :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $A+B=B+A$ (commutativit�) ;
\item[$\bullet$] $(A+B)+C=(A+B)+C$ (associativit�) ;
\item[$\bullet$] $A+0=A$ (o� $0$ est la matrice dont tous les coefficients sont nuls).
\end{itemize}
}


\subsection{Produit d'un nombre r�el par une matrice}

\exe{Supposons, toujours dans le cas des tarifs postaux, que les tarifs soient augment�s uniform�ment de $10\%$. Chaque coefficient de la matrice $A$ est donc multipli� par $1,1$. La matrice $D$ des nouveaux tarifs est not�e $D=1,1A$.}


\defi{Multiplication d'un r�el et d'une matrice}{Si $k$ est un nombre r�el, et $M$ une matrice, la matrice $k \times M$ est obtenue en multipliant chaque terme de $M$ par $k$.}

\exe{$10 \begin{pmatrix}1&2&3\cr   4&5&6\cr    7&8&9\cr\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&20&30\cr   40&50&60\cr    70&80&90\cr\end{pmatrix}$}


\theo{}{$A$ �tant une matrice, $k$ et $k'$ �tant des nombres, on a :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $1A=A$ ;
\item[$\bullet$] $-A=(-1)A$  ;
\item[$\bullet$] $k(A+B)=kA+kB$ (distributivit� pour les matrices) ;
\item[$\bullet$] $(k+k')A=kA+k'A$ (distributivit� pour les r�els) ;
\item[$\bullet$] $k(k'A)=(kk')A$ (associativit�).
\end{itemize}
}




% \subsection{Produit d'une matrice par une matrice colonne}
% On ne peut multiplier deux matrices qui si le nombre de colonnes de la premi�re matrice est �gal au nombre de lignes de la deuxi�me matrice.\\
% Pour avoir le terme situ� �  la ligne $i$, il faut faire multiplier chaque terme de la ligne $i$ de la premi�re matrice par ceux de la matrice colonne  et faire la somme de tous ces produits\\
% Exemple :
% $\begin{pmatrix}1&2&3\cr   4&5&6\cr    7&8&8\cr\end{pmatrix}\times~ \begin{pmatrix}-4\cr   3\cr    6\cr\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20 \cr   35\cr    44\cr\end{pmatrix}$\\
% Propri�t�s:\\
% $A$ est une matrice, $V$ et $V'$ sont des matrices colonnes (on parle de vecteurs colonnes)\\
% \begin{itemize}
% \item[$\bullet$] $A\times~(V+V')=A\times~V+A\times~V'$
% \item[$\bullet$] $A\times~(kV)=k(A\times~V)$
%  \end{itemize}

\subsection{Produit de deux matrices}
\exe{Dans une entreprise de vente de pi�ces d�tach�es, deux services parall�le s'occupent du courrier. Notons $S_1$ le service ``traitement des commandes'' et $S_2$ le service ``�change-r�clamation''.\\
Pour une semaine donn�e, le volume du courrier trait� est donn� par le tableau suivant : 
$$\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
Service/jusqu'�	& 20g  & 50g   & 100g & 250g & 500g & 1kg & 2kg &3 kg \\ \hline
$S_1$  	        & 50   & 35   & 15    & 10 & 0 & 0& 0& 0 \\ \hline
$S_2$  	        & 7   & 3   & 4    & 10 & 0 & 0& 0& 1 \\ \hline
\end{tabular}$$
On souhaite calculer le co�t d'envoi par service et suivant le type d'affranchissement du courrier. On dispose les calculs de la fa�on suivante :\\
\begin{align*}
	&\begin{pmatrix}
\textrm{sans}&\textrm{R1}&\textrm{R2}&\textrm{R3}\\
0,56  &	3,36  &	3,96  &	4,86  \\ 
0,90  &	3,70  &	4,30  &	5,20  \\ 
1,35  &	4,15  &	4,75  &	5,65  \\ 
2,22  &	5,02  &	5,62  &	6,52  \\ 
3,02  &	5,82  &	6,42  &	7,52  \\ 
3,92  &	6,72  &	7,32  &	8,22  \\ 
5,16  &	7,96  &	8,56  &	9,46  \\ 
6,04  &	8,84  &	9,33  &	10,23
\end{pmatrix}
        \\
\begin{pmatrix}
S1 & 50   & 35   & 15    & 10 & 0 & 0& 0& 0 \\ 
S2 & 7&  3   & 4    & 10 & 0 & 0& 0& 1 \\
\end{pmatrix}&  \begin{pmatrix}
		\quad . \quad & \qquad . \quad & \quad a_{13} \quad & \qquad . \quad \null\\
		\quad . \quad & \qquad . \quad & \qquad . \quad & \qquad . \quad \null\\
		\end{pmatrix}
		\psline{<->}(-4.8,4.2)(-9.6,0.8)%\psgrid(-10,-2)(10,10)
		\psline{<->}(-4.8,3.8)(-8.9,0.8)
		\psline{<->}(-4.8,3.3)(-8.2,0.8)
		\psline{<->}(-4.8,2.8)(-7.4,0.8)
\end{align*}
Le nombre $a_{13}$ repr�sente de l'ensemble des colis affranchis au type $R2$ pour le service $S1$.\\

On obtient : 
$$\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|} \hline
Services	& sans  & R1   & R2 & R3  \\ \hline
$S_1$  	        & 101.95   & .   & .    & . \\ \hline
$S_2$  	        & .   & .   & .    & .  \\ \hline
\end{tabular}$$
}


\defi{Multiplication de matrices}{On ne peut multiplier deux matrices qui si le nombre de colonnes de la premi�re matrice est �gal au nombre de lignes de la deuxi�me matrice.\\
Pour avoir le terme situ� �  la ligne $i$ et  la colonne $j$, il faut  multiplier chaque terme de la ligne $i$ de la premi�re matrice par ceux de la colonne $j$ de la deuxi�me matrice et faire la somme de tous ces produits.\\
Autrement dit, le produit de $A$ ($n$ lignes, $p$ colonnes) par $B$ ($p$ lignes, $q$ colonnes) est  la matrice $C=AB$ ($n$, lignes $q$ colonnes) telle que $i \in [1,n]$, pour tout $j \in [1,q]$, $c_{i,j} = \sum\limits_{k=1}^{p}a_{i,k}b_{k,j}$
}


\exe{
$\begin{pmatrix}1&2&3\cr   4&5&6\cr    7&8&9\cr\end{pmatrix}\times~ \begin{pmatrix}-4&5&6\cr   3&0&-2\cr    6&7&9\cr\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}20&26&29 \cr   35&62&68\cr    50&98&107\cr\end{pmatrix}$.\\
$c_{11}$ vient de $1\times(-4)+2\times3+3\times6$.\\
$c_{32}$ vient de $7\times5+8\times0+8\times7$.}

\rem{Disposition des calculs : On multiplie les lignes de $A$ par les colonnes de $B$ suivant le sch�ma ci-dessous :}
% l' unite
\newcommand{\myunit}{0.25 cm}
\tikzset{
    node style sp/.style={draw,circle,minimum size=\myunit},
    node style ge/.style={circle,minimum size=\myunit},
    arrow style mul/.style={draw,sloped,midway,fill=white},
    arrow style plus/.style={midway,sloped,fill=white},
}
% \begin{tikzpicture}[>=latex]
% % les matrices
% \matrix (A) [matrix of math nodes,%
%              nodes = {node style ge},%
%              left delimiter  = (,%
%              right delimiter = )] at (0,0)
% {%
%   a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1p}  \\
%   \node[node style sp] {a_{21}};%
%          & \node[node style sp] {a_{22}};%
%                   & \ldots%
%                            & \node[node style sp] {a_{2p}}; \\
%   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots  \\
%   a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{np}  \\
% };
% \node [draw,below=10pt] at (A.south) 
%     { $A$ : \textcolor{red}{$n$ rows} $p$ columns};
% 
% \matrix (B) [matrix of math nodes,%
%              nodes = {node style ge},%
%              left delimiter  = (,%
%              right delimiter =)] at (6*\myunit,6*\myunit)
% {%
%   b_{11} & \node[node style sp] {b_{12}};%
%                   & \ldots & b_{1q}  \\
%   b_{21} & \node[node style sp] {b_{22}};%
%                   & \ldots & b_{2q}  \\
%   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots  \\
%   b_{p1} & \node[node style sp] {b_{p2}};%
%                   & \ldots & b_{pq}  \\
% };
% \node [draw,above=10pt] at (B.north) 
%     { $B$ : $p$ rows \textcolor{red}{$q$ columns}};
% % matrice r�?©sultat
% \matrix (C) [matrix of math nodes,%
%              nodes = {node style ge},%
%              left delimiter  = (,%
%              right delimiter = )] at (6*\myunit,0)
% {%
%   c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1q} \\
%   c_{21} & \node[node style sp,red] {c_{22}};%
%                   & \ldots & c_{2q} \\
%   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
%   c_{n1} & c_{n2} & \ldots & c_{nq} \\
% };
% % les fleches
% \draw[blue] (A-2-1.north) -- (C-2-2.north);
% \draw[blue] (A-2-1.south) -- (C-2-2.south);
% \draw[blue] (B-1-2.west)  -- (C-2-2.west);
% \draw[blue] (B-1-2.east)  -- (C-2-2.east);
% \draw[<->,red](A-2-1) to[in=180,out=90]
% 	node[arrow style mul] (x) {$a_{21}\times b_{12}$} (B-1-2);
% \draw[<->,red](A-2-2) to[in=180,out=90]
% 	node[arrow style mul] (y) {$a_{22}\times b_{22}$} (B-2-2);
% \draw[<->,red](A-2-4) to[in=180,out=90]
% 	node[arrow style mul] (z) {$a_{2p}\times b_{p2}$} (B-4-2);
% \draw[red,->] (x) to node[arrow style plus] {$+$} (y)%
%                   to node[arrow style plus] {$+\raisebox{.5ex}{\ldots}+$} (z)%
%                   to (C-2-2.north west);
% \node [draw,below=10pt] at (C.south) 
%     {$ C=A\times B$ : \textcolor{red}{$n$ rows}  \textcolor{red}{$q$ columns}};
% \end{tikzpicture}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
% unit
% defintion of matrices
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter = )] at (0,0)
{%
  a_{11} &\ldots & a_{1k} & \ldots & a_{1p}  \\
    \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\
  \node[node style sp] {a_{i1}};& \ldots%
         & \node[node style sp] {a_{ik}};%
                  & \ldots%
                           & \node[node style sp] {a_{ip}}; \\
  \vdots & \vdots& \vdots & \ddots & \vdots  \\
  a_{n1}& \ldots & a_{nk} & \ldots & a_{np}  \\
};
\node [draw,below] at (A.south) { $A$ : \textcolor{red}{$n$ rows} $p$ columns};
\matrix (B) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter =)] at (24*\myunit,24*\myunit)
{%
  b_{11} &  \ldots& \node[node style sp] {b_{1j}};%
                  & \ldots & b_{1q}  \\
  \vdots& \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\
  b_{k1} &  \ldots& \node[node style sp] {b_{kj}};%
                  & \ldots & b_{kq}  \\
  \vdots& \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  b_{p1} &  \ldots& \node[node style sp] {b_{pj}};%
                  & \ldots & b_{pq}  \\
};
\node [draw,above] at (B.north) { $B$ : $p$ rows \textcolor{red}{$q$ columns}};
% matrice resultat
\matrix (C) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter = )] at (24*\myunit,0)
{%
  c_{11} & \ldots& c_{1j} & \ldots & c_{1q} \\
  \vdots& \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\
    c_{i1}& \ldots & \node[node style sp,red] {c_{ij}};%
                  & \ldots & c_{iq} \\
  \vdots& \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  c_{n1}& \ldots & c_{nk} & \ldots & c_{nq} \\
};
\node [draw,below] at (C.south) 
    {$ C=A\times B$ : \textcolor{red}{$n$ rows}  \textcolor{red}{$q$ columns}};
% arrows
\draw[blue] (A-3-1.north) -- (C-3-3.north);
\draw[blue] (A-3-1.south) -- (C-3-3.south);
\draw[blue] (B-1-3.west)  -- (C-3-3.west);
\draw[blue] (B-1-3.east)  -- (C-3-3.east);
\draw[<->,red](A-3-1) to[in=180,out=90] 
    node[arrow style mul] (x) {$a_{i1}\times b_{1j}$} (B-1-3);
\draw[<->,red](A-3-3) to[in=180,out=90] 
    node[arrow style mul] (y) {$a_{ik}\times b_{kj}$}(B-3-3);
\draw[<->,red](A-3-5) to[in=180,out=90] 
    node[arrow style mul] (z) {$a_{ip}\times b_{pj}$}(B-5-3);
\draw[red,->] (x) to node[arrow style plus] {$+\raisebox{.5ex}{\ldots}+$} (y)%
                  to node[arrow style plus] {$+\raisebox{.5ex}{\ldots}+$} (z);
                  %
                  % to (C-3-3.north west);
\draw[->,red,decorate,decoration=zigzag] (z) -- (C-3-3.north west);
\end{tikzpicture}
\end{center}

% \begin{align*}
%   &\begin{pmatrix}
%       . & \ \  \ b_{12} & . & . & .\\
%       . & \ \  \ b_{22} & . & . & .\\
%       . & \ \  \ b_{32} & . & . & .\\
%       \end{pmatrix}
%   \\
%   \begin{pmatrix}
%       . & . & . \\
%       . & . & . \\
%       a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
%       . & . & . \\
%   \end{pmatrix}&  \begin{pmatrix}
%       . & . & . & . & .\\
%       . & . & . & . & .\\
%       . & \Leftarrow c_{32}^{\Uparrow} & . & . & .\\
%       . & . & . & . & .\\
%   \end{pmatrix}
% \end{align*} 




\theo{}{
$A$, $B$ et $C$ sont trois matrices telles que les op�rations suivantes existent :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $A\times~(B\times~C)=(A\times~B)\times~C$ (associativit�) ;
\item[$\bullet$] $A\times~(B+C)=A\times~B+A\times~C$ (distributivit� � gauche) ;
\item[$\bullet$] $(A+B)\times~C=A\times~C+B\times~C$ (distributivit� � droite) ;
 \end{itemize}
Attention ! en g�n�ral $A\times~B \not= B\times~A$ (il n'a pas commutativit�).}



\defi{Matrice inverse}{Soit M une matrice carr�e de dimension $n\times~n$. On appelle \textbf{matrice inverse} la matrice B telle que $A\times~B=B\times~A=I_n$ o� $I_n$ est la matrice identique de dimension $n\times~n$.\\
Cette matrice est not�e $A^{-1}$.}

\exe{On consid�re $A=\begin{pmatrix} 
5  & -1 \cr 
-9 & 2 \cr 
\end{pmatrix}$
et $B=
\begin{pmatrix} 
2  &1  \cr 
9 & 5 \cr 
\end{pmatrix}$.\\
comme $\begin{pmatrix} 
5  & -1 \cr 
-9 & 2 \cr 
\end{pmatrix}\times
\begin{pmatrix} 
2  &1  \cr 
9 & 5 \cr 
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 
1  & 0 \cr 
0 & 1 \cr 
\end{pmatrix}$
et 
$\begin{pmatrix} 
2  &1  \cr 
9 & 5 \cr 
\end{pmatrix}\times
\begin{pmatrix} 
5  & -1 \cr 
-9 & 2 \cr 
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 
1  & 0 \cr 
0 & 1 \cr 
\end{pmatrix}$,
les deux matrices $A$ et $B$ sont donc inverses l'une de l'autre.}


\pagebreak
\section{Applications}
\subsection{Gestion de donn�es}


\subsection{R�solution d'un syst�me}
% On consid�re le syst�me 
% $$\left\{\begin{array}{rcl}
% 3x+2y-5z&=&5\\
% 3x+2y-5z&=&5\\
% 3x+2y-5z&=&5
% \end{array}\right.$$
%  Ce syt�me peut se mettre sous la forme matricielle  $A\times~X=B$, o� $A$ est la matrice $n\times~n$, $X$ est la matrice colonne $n\times~1$ contenant les inconnues et B est la matrice colonne $n\times~1$
  
Un syst�me lin�aire de $n$ �quations � $n$ inconnues est un syst�me qui peut se mettre sous la forme $A\times~X=B$, o� $A$ est une matrice $n\times~n$, $X$ est une matrice colonne $n\times~1$ contenant les inconnues et B est une matrice colonne $n\times~1$.
 
\exe{\\
Le syst�me $\left \lbrace \begin{array}{l} 
5x-y=7  \\ 
-9x+2y=8 \\ 
\end{array} \right.$ peut me mettre sous la forme :
$\begin{pmatrix} 
5  & -1 \cr 
-9 & 2 \cr 
\end{pmatrix}\times~\begin{pmatrix} x  \cr y \cr \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7  \cr 8 \cr \end{pmatrix}$}

Pour r�soudre le syst�me $A\times~X=B$, si A est inversible, on peut multiplier les deux membres � gauche par $A^{-1}$ (attention au sens, la multiplication des matrices n'�tant pas commutative).\\
$A^{-1}\times~A\times~X=A^{-1}\times~B$, et donc ($A^{-1}\times~A$ tant la matrice identit�), on a $$X=A^{-1}\times~B$$

\exe{Dans l'exemple ci-dessus, on aurait \\
$X=\begin{pmatrix} x  \cr  y\cr \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 
5  & -1 \cr 
-9 & 2 \cr 
\end{pmatrix}^{-1}
\times~
\begin{pmatrix} 7  \cr 8 \cr \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 
2  & 1 \cr 
9 & 5 \cr 
\end{pmatrix}\times~\begin{pmatrix} 7  \cr 8 \cr \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 22  \cr 103 \cr \end{pmatrix}$
}













\section{Exercices}
%\exercice{15}{Matrices}{STS}
%\begin{minipage}{15cm}\tableofcontents\end{minipage}\newpage


% \subsection{Introduction aux matrices}






















%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{\'Ecriture d'une matrice}
\exoc{Soit la matrice $A= \left(\begin{array}{ccc}
	2 & 3 & -1\\
	4 & 0 & -2 \\
	-1 & 5 & 7
	\end{array}\right)$
\begin{enumerate}
 \item D�terminer $a_{12}$; $a_{23}$ ; $a_{32}$ ; $a_{33}$.
 \item D�terminer $i$ et $j$ tels que $a_{ij}=0$ ; $a_{ij}=5$ , $a_{ij}=-1$. 
\end{enumerate}
}

\exoc{\'Ecrire les matrices de dimensions $3\times3$ dans les cas suivants :\\
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item $\left\{\begin{array}{l}
	a_{ij}=i+j \textrm{ si } i\neq j ;\\
	a_{ij}=0 \textrm{ si } i= j.\\
	\end{array}\right.$\\[10pt]
\item $\left\{\begin{array}{l}
	a_{ij}=0 \textrm{ si } i\neq j ;\\
	a_{ij}=(-1)^{i+j} \textrm{ si } i= j.\\
	\end{array}\right.$
\item $\left\{\begin{array}{l}
	a_{ij}=0 \textrm{ si } i < j ;\\
	a_{ij}=i.j \textrm{ si } i \geq j.\\
	\end{array}\right.$\\[10pt]
\item $\left\{\begin{array}{l}
	a_{ij}=0 \textrm{ si } i+j \textrm { pair} ;\\
	a_{ij}=i^{j} \textrm{ sinon }.\\
	\end{array}\right.$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


\exoc{Il existe des matrices qui ont une forme particuli�re. On appelle : 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Matrice \textbf{ligne} : matrice qui n'a qu'une ligne.
\item[$\bullet$] Matrice \textbf{colonne} : matrice qui n'a qu'une colonne.
\item[$\bullet$] Matrice \textbf{carr�e} : matrice qui a autant de lignes que de colonnes ($n\times~n$).
\item[$\bullet$] Matrice \textbf{diagonale} : matrice carr�e telle que $M_{i,j}=0$ si $i \neq j$, c'est  dire qui ne contient des termes non nuls que sur la diagonale qui va du coin  haut et gauche au coin  bas et droite. (Il peut y avoir des termes nuls sur cette diagonale).
\item[$\bullet$] Matrice \textbf{unit�} : matrice carr�e telle que $M_{i,j}=0$ si $i \not= j$ et $M_{i,j}=1$ si $i=j$.
\item[$\bullet$] Matrice \textbf{nulle} : matrice dont tous les �l�ments sont nuls.
%\item[$\bullet$] Transpos�e d'une matrice M: C'est la matrice $^tA$ dont les lignes sont les colonnes de A. Si M est une matrice $n\times~p$, $^tM$ est une matrice $p\times~n$ et $^tM_{i,j}=M_{j,i}$
\end{itemize}
Donner un exemple de chacune des matrices particuli�res d�finies ci-dessus.}

\exoc{Le sch�ma ci-dessous repr�sente les lignes de bus reliant directement les quartiers $1,2,3,4$ et $5$ d'une ville.
	\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,dotstyle=*,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt}
	$$\begin{pspicture*}(-1.1,-1.4)(7.7,2.78)
	\psline(0,0)(3,0)
	\psline(3,0)(4,-1)
	\psline(4,-1)(7,1)
	\psline(7,1)(4,2)
	\psline(4,2)(3,0)
	\rput[bl](0.08,0.12){$4$}\psdots(0,0)
	\rput[bl](2.74,0.26){$1$}\psdots(3,0)
	\rput[bl](4,-0.88){$5$}\psdots(4,-1)
	\rput[bl](7.08,1.12){$3$}\psdots(7,1)
	\rput[bl](4.08,2.12){$2$}\psdots(4,2)
	\end{pspicture*}$$
On sch�matise la situation par une matrice $M$ d�finie de la fa�on suivante :
\begin{itemize}
 \item $m_{ij}=1$ s'il existe une ligne directe sans arr�t reliant $i$ et $j$ ;
 \item $m_{ij}=0$ dans le cas contraire.
\end{itemize}
\'Ecrire cette matrice.
}










%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Op�rations sur les matrices}
\exoc{Soient les matrices $A$ et $B$ : 
$$A = \left(\begin{array}{cc}
	2 & 1\\
	3 & -2
	\end{array}\right)
\quad ; \quad
B = \left(\begin{array}{cc}
	1 & 3\\
	-1 & 2
	\end{array}\right)
$$
Calculer $A+B$, $A-B$, $2A+2B$, $3A-2B$.}


\exoc{Soient les matrices $A$, $B$ et $C$ : 
$$A = \left(\begin{array}{cc}
	2 & -1\\
	0 & 1
	\end{array}\right)
\quad ; \quad
B = \left(\begin{array}{cc}
	0 & -3\\
	1 & -1
	\end{array}\right)
\quad ; \quad
C = \left(\begin{array}{cc}
	4 & 1\\
	2 & 0
	\end{array}\right)
$$
Calculer $AB$, $AC$, $B+C$, $AB +AC$, $A(B+C)$. Que remarque-t-on ?}


\exoc{On consid�re les matrices  : 
$$A = \left(\begin{array}{cc}
	0 & 1\\
	2 & 3
	\end{array}\right)
\quad ; \quad
B = \left(\begin{array}{cc}
	4 & 5\\
	2 & 3
	\end{array}\right)$$
\begin{enumerate}
 \item Calculer les matrices $AB$ et $BA$.
 \item A-t-on $AB=BA$ ?
\end{enumerate}
}


\exoc{On donne les matrices :
$$A = \left(\begin{array}{ccc}
	-4 & 1 & 0,1\\
	11 & -3 & -0,2\\
	-6 & 2 & 0,1
	\end{array}\right)
\quad ; \quad
A' = \left(\begin{array}{ccc}
	1 & 1 & 1\\
	1 & 2 & 3 \\
	40 & 20 & 10
	\end{array}\right)$$
Calculer les matrices $AA'$ et $A'A$. Que remarque-t-on ?}

\exoc{On donne les matrices :
$$A = \left(\begin{array}{ccc}
	4 & 2 & 0\\
	2 & 1 & 0\\
	-2& -1 & 1
	\end{array}\right)
\quad ; \quad
B = \left(\begin{array}{ccc}
	-1 & 2 & 4\\
	2 & -4 & -8 \\
	0 & 0 & 0
	\end{array}\right)$$
Calculer la matrices $AB$. Que remarque-t-on ?
}

\exoc{$A$ est une matrice � $5$ lignes et $7$ colonnes, $B$ est une matrice � $7$ lignes et $5$ colonnes et $C$ est une matrice carr�e d'ordre $5$.\\
Les calculs suivants sont-ils possibles ?
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
 \item $3A-2B$ ; 
 \item $A\times A$ ;
 \item $B\times A$ ;
 \item $A\times B$ ;
 \item $C^2$ ;
 \item $2A\times3B-3C$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}



\exoc{On donne les matrices :
$$A = \left(\begin{array}{ccc}
	1 & 0 & -2 \\
	2 & 3 & 1 \\
	\end{array}\right)
\quad ; \quad
B = \left(\begin{array}{ccc}
	1 & 0 & 1 \\
	2 & 1 & 3 \\
	3 & -1 & -2
	\end{array}\right)
\quad ; \quad
C = \left(\begin{array}{cccc}
	3 & 0 & -2 & 0\\
	-2 & 1 & 1 & 1\\
	1 & -1 & 0 & 3 
	\end{array}\right)
$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $A\times B$, puis $(A\times B)\times C)$.
\item Cacluler $B\times C$ puis $A\times(B\times C)$.
\item Pouvait-on pr�voir ce r�sultat ?
\end{enumerate}
}


\exoc{Calculer le produit $M_1\times M_2$ pour chacun des cas suivants : 
$$M_1 = \begin{pmatrix} 9&9&-7\cr   2&0&4\cr    -5&2&-8\cr -1&5&-1 \cr -7&0&-3 \cr\end{pmatrix} \quad ; \quad
M_2 = \begin{pmatrix} -1&0\cr 1&9 \cr 8&0 \end{pmatrix}$$

$$M_1 = \begin{pmatrix} -6&10\cr   1&0\cr \end{pmatrix} \quad ; \quad
M_2 = \begin{pmatrix} -8&-1&1&8&-6\cr -10&0&10&-8&5  \end{pmatrix}$$

}


%Exos avec sol pour faire produit de matrices.
% Pour chacun des exercices donn\'es ci-dessous, d\'eterminez la matrice $M$ d\'efinie par $M=M_1\cdot M_2$.\begin{exercice}
% $$M_1=\left(
% \begin{array}{ccccc}
%  -10 & \frac{4}{3} & -\frac{5}{3} & -1 & 4 \\
%  0 & -3 & \frac{7}{2} & 1 & -\frac{5}{2} \\
%  -\frac{8}{3} & -3 & 3 & 0 & \frac{2}{3} \\
%  \frac{5}{2} & \frac{10}{3} & -10 & -5 & \frac{3}{2}
% \end{array}
% \right)$$ $$M_2=\left(
% \begin{array}{ccccc}
%  0 & -5 & \frac{5}{3} & 3 & -\frac{4}{3} \\
%  -5 & -\frac{10}{3} & 0 & 6 & \frac{5}{2} \\
%  0 & -1 & -\frac{10}{3} & 0 & -\frac{5}{3} \\
%  4 & -2 & \frac{3}{2} & 2 & -3 \\
%  \frac{9}{2} & \frac{1}{2} & -5 & 5 & 9
% \end{array}
% \right)$$\end{exercice}
% \begin{exercice}
% $$M_1=\left(
% \begin{array}{cc}
%  -6 & \frac{10}{3} \\
%  1 & 0
% \end{array}
% \right)$$ $$M_2=\left(
% \begin{array}{ccccc}
%  -\frac{8}{3} & -\frac{1}{3} & 1 & \frac{8}{3} & -6 \\
%  -10 & 0 & -10 & -\frac{8}{3} & 5
% \end{array}
% \right)$$\end{exercice}
% \begin{exercice}
% $$M_1=\left(
% \begin{array}{cccc}
%  \frac{10}{3} & -2 & \frac{3}{2} & 0 \\
%  -7 & -2 & 0 & -\frac{4}{3} \\
%  -3 & 0 & 3 & 9 \\
%  -9 & 1 & -\frac{1}{3} & -\frac{3}{2}
% \end{array}
% \right)$$ $$M_2=\left(
% \begin{array}{ccc}
%  3 & \frac{10}{3} & -3 \\
%  2 & -6 & -6 \\
%  -2 & 3 & -7 \\
%  -5 & \frac{3}{2} & 3
% \end{array}
% \right)$$\end{exercice}
% \begin{exercice}
% $$M_1=\left(
% \begin{array}{ccc}
%  \frac{9}{2} & 9 & -\frac{7}{2} \\
%  \frac{2}{3} & 0 & 4 \\
%  -5 & 2 & -\frac{8}{3} \\
%  -1 & -5 & -1 \\
%  -7 & 0 & -\frac{3}{2}
% \end{array}
% \right)$$ $$M_2=\left(
% \begin{array}{cc}
%  -1 & 0 \\
%  \frac{1}{3} & \frac{9}{2} \\
%  8 & 0
% \end{array}
% \right)$$\end{exercice}
% \begin{exercice}
% $$M_1=\left(
% \begin{array}{ccc}
%  0 & 0 & \frac{8}{3} \\
%  2 & -\frac{1}{3} & -\frac{8}{3} \\
%  -2 & -4 & -\frac{7}{3}
% \end{array}
% \right)$$ $$M_2=\left(
% \begin{array}{ccccc}
%  0 & -10 & -\frac{7}{3} & -2 & -\frac{1}{2} \\
%  -3 & 0 & \frac{8}{3} & \frac{5}{3} & -2 \\
%  \frac{1}{2} & 8 & 8 & \frac{3}{2} & 2
% \end{array}
% \right)$$\end{exercice}
% \newpage
% \subsection{Solutions}
% \begin{solution}
% $$M=\left(
% \begin{array}{ccccc}
%  \frac{22}{3} & \frac{461}{9} & -\frac{587}{18} & -4 & \frac{526}{9} \\
%  \frac{31}{4} & \frac{13}{4} & \frac{7}{3} & -\frac{57}{2} & -\frac{233}{6} \\
%  18 & \frac{62}{3} & -\frac{160}{9} & -\frac{68}{3} & -\frac{53}{18} \\
%  -\frac{359}{12} & -\frac{103}{36} & \frac{45}{2} & 25 & \frac{301}{6}
% \end{array}
% \right)$$\end{solution}
% \begin{solution}
% $$M=\left(
% \begin{array}{ccccc}
%  -\frac{52}{3} & 2 & -\frac{118}{3} & -\frac{224}{9} & \frac{158}{3} \\
%  -\frac{8}{3} & -\frac{1}{3} & 1 & \frac{8}{3} & -6
% \end{array}
% \right)$$\end{solution}
% \begin{solution}
% $$M=\left(
% \begin{array}{ccc}
%  3 & \frac{497}{18} & -\frac{17}{2} \\
%  -\frac{55}{3} & -\frac{40}{3} & 29 \\
%  -60 & \frac{25}{2} & 15 \\
%  -\frac{101}{6} & -\frac{157}{4} & \frac{113}{6}
% \end{array}
% \right)$$\end{solution}
% \begin{solution}
% $$M=\left(
% \begin{array}{cc}
%  -\frac{59}{2} & \frac{81}{2} \\
%  \frac{94}{3} & 0 \\
%  -\frac{47}{3} & 9 \\
%  -\frac{26}{3} & -\frac{45}{2} \\
%  -5 & 0
% \end{array}
% \right)$$\end{solution}
% \begin{solution}
% $$M=\left(
% \begin{array}{ccccc}
%  \frac{4}{3} & \frac{64}{3} & \frac{64}{3} & 4 & \frac{16}{3} \\
%  -\frac{1}{3} & -\frac{124}{3} & -\frac{242}{9} & -\frac{77}{9} & -\frac{17}{3} \\
%  \frac{65}{6} & \frac{4}{3} & -\frac{74}{3} & -\frac{37}{6} & \frac{13}{3}
% \end{array}
% \right)$$\end{solution}

\subsection{Annales}
\exoc{\emph{Polyn�sie 2006, Informatique de gestion.}\\
Une entreprise assure la production de deux types de calculatrices C$_{1}$ et C$_{2}$ en quantit�s (hebdomadaires) respectives $x$ et $y$.\\

\medskip

\noindent Le co�t des �l�ments install�s et le nombre d'heures de travail sont donn�s pour chaque calculatrice dans le tableau suivant :\\

\medskip

\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&	C$_{1}$& 	C$_{2}$\\ \hline
Co�t des �l�ments (en \euro)&	6&	8\\ \hline
Nombre d'heures de travail &	1&	1,5\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\noindent Un programme de production hebdomadaire peut se repr�senter par la matrice $X = \begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$.\\
Cette production occasionne un co�t $c$ et un nombre $t$ d'heures de travail. Ces deux �l�ments sont donn�s dans la matrice $Y =  \begin{pmatrix}
c\\
t
\end{pmatrix}$. Enfin on appelle $A$ la matrice issue du tableau : $A = \begin{pmatrix}
6&8\\
1&1,5\\
\end{pmatrix}$.\\

\medskip

\noindent \textbf{Partie A}\\
\begin{enumerate}
\item �crire une �galit� matricielle reliant $A,~ X$ et $Y$ qui traduit la production de l'entreprise.
\item 	Durant une semaine, l'entreprise a produit 200~calculatrices C$_{1}$ et 800~calculatrices C$_{2}$. Par un calcul matriciel, d�terminer le co�t total et le nombre d'heures de travail pour la production de cette semaine.
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{Partie B}\\
On note $B$ la matrice : $B = \begin{pmatrix}
1,5&-8\\
-1&6\\
\end{pmatrix}$

\begin{enumerate}
\item Effectuer le produit $B \times A$.
\item 	Montrer en transformant l'�galit� $Y = A \times X$ que $B \times  Y = X$.
\item 	Durant une autre semaine, l'entreprise fait face � un co�t total de \nombre{8400}~\euro{} et \nombre{1450}~heures de travail.\\
D�terminer par le calcul matriciel le nombre de calculatrices de chaque type fabriqu�es au cours de cette semaine.
\end{enumerate}
}


\exoc{\emph{France 2002, Informatique de gestion.}\\
On consid\`{e}re les matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 1 \\
    1 & 1 & 1 \\
    0 & 0 & 1 \\
  \end{array}\right)$   et $I=\left(\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 1 \\
  \end{array}\right)$
\begin{enumerate}
  \item %1
 D\'{e}terminer la matrice $B = A-I$   puis calculer les matrices
 $B^2$ et $B^3$.
  \item %2
  En d\'{e}duire la matrice $B^n$ pour tout entier $n$, $n\geq 3$.
  \item %3
 La formule du bin\^{o}me, appliqu\'{e}e au d\'{e}veloppement de $(B + I)^n$
 permet d'\'{e}crire pour tout entier $n$, $n\geq 3$:
        $$A^n = (I+B)^n =
        I+ C_n^1.B+ C_n^2.B^2+ C_n^3.B^3+ ...+C_n^k.B^k+
                                        + ...+C_n^{n-1}.B_{n-1}+B^n$$
 o\`{u}  :
 $$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$
 \begin{enumerate}
  \item %a
  V\'{e}rifier que, pour $n \geq 3$ :  $A^n = I+ C_n^1.B +C_n^2.B^2$
  \item %b
  Montrer, \`{a} l'aide des r\'{e}sultats du 1) :
  $$A^n =\left(\begin{array}{ccc}
    1 & 0 & n \\
    n & 1 & \frac{n(n+1)}{2} \\
    0 & 0 & 1 \\
  \end{array}\right)
  \textnormal{ pour tout entier } n, n\geq 3$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\exoc{\emph{Nouvelle cal�donie 2008, Informatique de gestion.}\\
On consid�re les matrices : 

\[I = \begin{pmatrix}
1& 0&0\\ 
0&1&0\\ 
0&0&1\\
\end{pmatrix},~A =  \begin{pmatrix}
0& 1&0\\ 
0&0&1\\ 
0&0&0\\
\end{pmatrix}~\text{et}~O = \begin{pmatrix}
0& 0&0\\ 
0&0&0\\ 
0&0&0\\
\end{pmatrix}\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer $A^2$ et $A^3$ ; en d�duire pour tout entier $n > 3$, la valeur de $A^n$.

 (On rappelle que pour tout entier naturel $ k \geqslant 1,~ A^k =  A^{k - 1} \times  A$). 
 
\item  � tout nombre r�el $x$, on associe la matrice not�e $M(x)$ o�

 $M(x) = I +xA + \dfrac{x^2}{2}A^2 \quad (R1).$
	\begin{enumerate}
		\item D�terminer $M(0)$ et $B = M(4)$. 
		\item  $x$ et $y$ �tant deux nombres r�els quelconques, calculer en utilisant la relation $(R1)$, le produit 
$M(x) \times M(y)$. 
		\item Montrer l'�galit� : $M(x) \times M(y) = M(x+ y). \quad (R2)$. 
	\end{enumerate}
\item  V�rifier que $M(x) = \begin{pmatrix}
1&x&\frac{x^2}{2}\\
 0 &1&x\\
0& 0&1\\
\end{pmatrix}$. 

\item En utilisant les r�sultats de la question 2.,  d�terminer le nombre r�el $x'$ tel que $M(x) \times M\left(x'\right) = I$. 

En d�duire une matrice $B'$ telle que $B \times B' = I$. 
\end{enumerate} }

 


\newpage
\thispagestyle{empty}

\begin{minipage}{16cm}
\begin{center}
\tableofcontents
\thispagestyle{empty}
\end{center}
\end{minipage}
\end{document}
