\documentclass[12pt]{book}\usepackage[Aymar]{ammaths}\usetikz\begin{document}\nocolor
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{}
\fancyhead[LE]{\footnotesize Chapitre 12}
\fancyhead[CE]{}
\fancyhead[RE]{\footnotesize Loi normale}
\fancyhead[LO]{\footnotesize Cours de mathématiques}
\fancyhead[CO]{}
\fancyhead[RO]{\footnotesize STS}
\fancyfoot[LE]{\footnotesize \url{http://lyceeenligne.free.fr}}
\newcounter{chap}\setcounter{chap}{12}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\thispagestyle{empty}
{\Large\textsf{Section technicien supérieur}\par
\textsf{Cours de mathématiques}\par}

\bigskip

\textsf{\huge Chapitre 12}

{\HUGE\bf\textsf{Loi normale}}

\vfill

\begin{center}
 \includegraphics[width=16cm]{loinormale.eps}
\end{center}
 \emph{La loi normale est une des principales distributions de probabilité. Elle a été introduite par le mathématicien Abraham de Moivre en 1733 et utilisée par lui afin d'approcher des probabilités associées à des variables aléatoires binomiales possédant un paramètre $n$ très grand. Cette loi a été mise en évidence par Gauss au XIX siècle et permet de modéliser de nombreuses études biométriques. Sa densité de probabilité dessine une courbe dite courbe en cloche ou courbe de Gauss.}
\vfill


\begin{flushright}
\sf\small Aymar de Saint-Seine\\Année scolaire 2011--2012
\end{flushright}
\setcounter{page}{0}\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%fin front pagestyle
\setboolean{reponse}{false}





\section{Un exemple de variable aléatoire continue}

\subsection{Notion de continuité}

Nous avons étudié pour l'instant uniquement des variables
aléatoires pouvant prendre des valeurs isolées, surtout des
nombres entiers. Cependant, on est souvent amené dans les domaines
industriels et économiques à étudier des variables aléatoires
pouvant prendre, au moins théoriquement, n'importe quelle valeur
dans $\R$ ou dans un intervalle de $\R$. On peut citer comme
exemples :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] les dimensions d'un objet ;
\item[$\bullet$] la durée de vie d'un matériel ;
\item[$\bullet$] une distance parcourue ;
\item[$\bullet$] une quantité de matière ou une masse.
\end{itemize}

Dans ce cas, les évènements que l'on étudie sont définis par des inéquations et non des équations.

\vspace{10pt}

\exes{
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $(X\geq 20,54)$ signifie $X\in[20,54;+\infty[$.
\item[$\bullet$] $(-5,7< X\leq 15,9)$ signifie $X\in]-5,7;15,9]$.
\item[$\bullet$] $(X<0)$ signifie $X\in]-\infty;0[$.
\end{itemize}
}


Les évènements du type $(X=170,48)$ ou $(X=-5)$ ne sont pas intéressants car
on peut estimer que leurs probabilités sont nulles. Par exemple, en interprétant
la première égalité avec la taille d'un individu, on peut considérer que la probabilité qu'une personne ne mesure exactement
170,48 cm.

\subsection{Fonction de répartition}

La fonction de répartition de la variable aléatoire étudiée sera alors essentielle. Traditionnellement notée $F$, elle est justement définie par
$$F(a)=P(X\leq a)$$
pour $a$ dans l'intervalle de définition de $X$.
\bigskip

\exes{\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $P(X\leq 0)=F(0)$ ;
\item[$\bullet$] $P(-5,7< X\leq 15,9)=F(15,9)-F(-5,7)$ ;
\item[$\bullet$] $P(X\geq 20,54)=1-F(20,54)$.
\end{itemize}}

On peut noter que les bornes n'ont aucune importance, la probabilité d'un évènement ponctuel étant nulle.

\subsection{Densité de probabilité}

La fonction de répartition est souvent donnée par une intégrale.
\'Etudions par exemple la variable aléatoire $X$ dont la fonction de répartition est
$$\left\{
\begin{array}{ll}
\forall x<0 & F(x)=0\, ;\\
\forall x\geq0 & F(x)=\displaystyle\int_0^x 0,002e^{-0,002t}dt.\\
\end{array}\right.
$$
La fonction intervenant dans cette intégrale, notée $f$, est
appelée
\emph{densité de probabilité} de la variable $X$. La fonction de
répartition $F$ est en fait une primitive de $f$.

\bigskip

%exoapp{2}

\theo{}{Si $a$ et $b$ sont deux réels de l'ensemble de définition de $X$, alors
$$P(a\leq X\leq b)=F(b)-F(a)=\int_a^b f(t)dt.$$}

\rem{La probabilité de l'univers, c'est à dire de $\R$ ou de l'intervalle de $\R$ étudié est forcément égale à 1. Ainsi, pour une variable aléatoire définie sur $\R$, sa densité de probabilité doit vérifier
$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)dt=1.$$
On peut vérifier cette propriété en étudiant séparément
$\int_{0}^{x} f(t)dt$ et $\int_{x}^{0} f(t)dt$ puis leurs limites
respectives quand $x$ tend vers $+\infty$ et $-\infty$.}

\theo{}{L'espérance mathématique d'une variable aléatoire $X$ définie par une densité de probabilité est donnée par la formule
$$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} tf(t)dt.$$}


\section{Lois normales}

\subsection{Généralités}

\defi{}{On dit qu'une variable aléatoire $X$ suit la loi normale ${\cal N}(m;\sigma)$ de paramètres $m$ et $\sigma$ lorsque
sa densité de probabilité est la fonction $f$ définie par

$$f(t)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\displaystyle{\frac{t-m}{\sigma}}\right)^2}.$$
}

%exoapp{3}

\theo{}{On admet que si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale ${\cal N}(m;\sigma)$ alors
$$E(X)=m\textrm{ et }\sigma(X)=\sigma.$$
Ainsi les paramètres d'une loi normale sont en fait son espérance mathématique et son écart-type.
}

\subsection{Loi normale centrée réduite ${\cal N}(0;1)$}
\defi{Loi normale centrée réduite}
{La loi normale la plus simple est celle de moyenne $m=0$ et d'écart-type $\sigma=1$. On l'appelle \textbf{loi
normale centrée réduite.}\\
Sa fonction de répartition est souvent noté $\Pi$.}

Les valeurs de la fonction de répartition, souvent notée $\Pi$, d'une variable aléatoire suivant cette loi sont données dans le formulaire. En voici un extrait pour comprendre la méthode de lecture :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$t$ & 0,05 & 0,06 & 0,07 \\
\hline
1,1 & 0,8749 & 0,8770 & 0,8790 \\
1,2 & 0,8944 & 0,8962 & 0,8980 \\
1,3 & 0,9115 & 0,9131 & 0,9147 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Le nombre situé à l'intersection de la colonne 0,06 et de la ligne 1,3 est la valeur de la fonction
de répartition de $X$ pour $t=1,3+0,06=1,36$. Ainsi $$\Pi(1,36)=P(X\leq 1,36)=0,9131.$$

\theo{}{Le formulaire ne donne les valeurs de $\Pi(t)$ que pour $t$ positif. \\
Comme la densité de probabilité de la loi normale centrée réduite est une fonction paire, on a :
\begin{eqnarray*}
    \Pi(-t) & = & P(X<-t) \\
            & = & P(X>t) \\
            & = & 1-P(X<t) \\
            & = & 1-\Pi(t).
\end{eqnarray*}
}

\theo{}
{On déduit de la proposition précédente que
\begin{eqnarray*}
    P(-t<X<t) & = & P(X<t)-P(X<-t) \\
              & = & \Pi(t)-\Pi(-t) \\
              & = & \Pi(t)-(1-\Pi(t)) \\
              & = & 2\Pi(t)-1
\end{eqnarray*}}


%exoapp{4 et 5}

\subsection{Utilisation de la loi normale centrée réduite}

La loi normale centrée réduite est essentielle car toutes les autres lois normales peuvent
s'y ramener. C'est ce qu'affirme le théorème suivant.

\bigskip


\theo{}
{Si une variable aléatoire $X$ suit la loi normale ${\cal N}(m;\sigma)$ de moyenne $m$ et
d'écart-type $\sigma$ alors la variable aléatoire $$Y=\frac{X-m}{\sigma}$$ suit
la loi normale centrée réduite ${\cal N}(0;1)$.}

C'est pour cette raison que le formulaire ne donne que les valeurs
de la loi normale centrée réduite.

\exosol
{Une variable $X$ suit la loi normale de paramètres
$m=12$ et $\sigma=3$. Calculer $P(X<16)$ et
$P(9<X<15)$.}
{On pose $Y=\frac{X-m}{\sigma}=\frac{X-12}{3}$. Selon le théorème, $Y$ suit la loi normale centrée réduite.\\
L'événement $X<16$ est alors équivalent à $Y<\cfrac{16-12}{3}=\cfrac{4}{3}$ donc $P(X<3)=P(Y<1,33)=\Pi(1,33)=0,908\ 2$.

L'événement $9<X<15$ est alors équivalent à $-1<Y<1$, donc
\begin{eqnarray*}
P(9<X<15) & = & P(-1<Y<1)\\
          & = & \Pi(1)-\Pi(-1) \\
          & = & \Pi(1)-(1-\Pi(1)) \\
          & = & 2\Pi(1)-1\\
	  & = & 0,682\ 6.
\end{eqnarray*}
}


%exoapp{6}

\subsection{Approximation d'une loi binomiale par une loi normale}

%exoapp{7}

\theo{}{Si $n$ est ``grand'' et $p$  est assez éloigné de 0 et 1 alors la loi binomiale ${\cal B}(n;p)$ peut
être approchée par la loi normale ${\cal N}(m;\sigma)$, où $m=np$ et $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$.}

L'intérêt de cette approximation est d'éviter d'effectuer des calculs et de pouvoir utiliser
la table de la loi normale centrée réduite. Dans cette proposition, les conditions de validité
de l'approximation ne sont pas à retenir, seuls les paramètres de la loi normale utilisée le sont.

%end{multicols}

\section{Exercices}
\subsection{Variables aléatoires continues}
\exoc{
Le but de cet exercice est d'étudier la fonction $f$ définie sur
$\R$ par
$$f:t\mapsto \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{t^2}{2}}$$
qui sera essentielle lors de tout ce chapitre de probabilités.\par
\begin{enumerate}
\item \'Etudier la parité de $f$ et interpréter graphiquement le résultat.
\item Calculer $f(0)$.
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. En déduire la limite en $-\infty$ d'après la question 1.
\item \'Etudier les variations de $f$ sur $[0;+\infty[$. En déduire les variations de $f$ sur$]-\infty;0]$
d'après la question 1.
\item Tracer la représentation graphique de $f$ sur $[-5;5]$ à l'échelle 10 cm pour une unité en ordonnée et
1 cm pour une unité en abscisse.
\item Calculer une valeur aprochée de $\dis\int_0^4 f(t)dt$. En déduire une valeur approchée de $\dis\int_{-4}^4 f(t)dt.$
\item Quelle semble être l'aire totale comprise entre l'axe des abscisses et la courbe ?
\end{enumerate}
}


\exoc{Soit $X$ la variable aléatoire dont la fonction de
répartition est
$$\left\{
\begin{array}{ll}
\forall x<0 & F(x)=0\  ;\\
\forall x\geq0 & F(x)=\displaystyle\int_0^x 0,002\e^{-0,002t}dt.\\
\end{array}\right.
$$
On note $f:t\mapsto 0,002\e^{-0,002t}$ la densite de probabilité de
$X$.
\begin{enumerate}
\item Construire la représentation graphique de la fonction $f$
sur l'intervalle $[0;1500[$, à l'échelle 5 cm pour 0,001 en ordonnée et 1 cm pour 100 en abscisse.
\item Calculer et représenter graphiquement les probabilités
	\begin{itemize}
	\item[$\bullet$] $P(X\leq 400)$ ;
	\item[$\bullet$] $P(X>1000)$ ;
	\item[$\bullet$] $P(450<X\leq 1200)$.
	\end{itemize}
\end{enumerate}
}


\subsection{loi normale}
\exoc{Représenter graphiquement les densités de probabilités des lois normales ${\cal N}(0;1)$ et
${\cal N}(1;2)$.}

\exoc{Déterminer grâce à la table de la fonction intégrale de la loi centrée réduite les probabilités
suivantes. On les exprimera auparavant à l'aide de la fonction $\Pi$.
\vspace{-10pt}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $P(X\leq 1,27)$ ;
\item $P(X\geq 0,84)$ ;
\item $P(X\leq -1,58)$ ;
\item $P(0,25\leq X\leq 1,25)$ ;
\item $P(-0,93\leq X\leq 0,93)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\exoc{Exprimer $P(t_1\leq X\leq t_2)$, $P(X\leq -t)$ et $P(-t\leq X\leq t)$ à l'aide de la
fonction $\Pi$.}
\pagebreak
\exoc{Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale ${\cal N}(20;5)$. Calculer, en utilisant la table du formulaire :
\vspace{-10pt}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $P(X\leq 28)$ ;
\item $P(X\geq  28)$ ;
\item $P(X\geq  20)$ ;
\item $P(X\geq  12)$ ;
\item $P(12\leq  X\leq  28)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\exoc{Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale ${\cal N}(20;5)$. Déterminer, en utilisant la table du formulaire, le nombre réel $a$ dans les cas suivants :
\vspace{-10pt}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $P(X\leq a) = 0,99$ ;
\item $P(X\geq a) = 0,05$ ;
\item $P(X\geq a) = 0,9$ ;
\item $P(20-a \leq X \leq 20+a)=0,95$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


\exoc{Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale ${\cal N}(m;0,1)$. Déterminer le nombre réel $m$ dans les cas suivants :
\vspace{-10pt}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $P(X\geq 2,2) = 0,05$ ;
\item $P(X\geq 2,2) = 0,9$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\exoc{La variable aléatoire $X$ suit la loi normale ${\cal N}(2;\sigma)$. Déterminer le nombre réel $\sigma$ dans les cas suivants :
\vspace{-10pt}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $P(X \leq 2,2) = 0,9$ ;
\item $P(1,8 \leq X \leq 2,2) = 0,9$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\exoc{On admet que la variable aléatoire X qui associe à toute ampoule électrique
d'un type donné sa durée de vie, mesurée en heures, suit une loi
normale de paramètres $m$ et $\sigma$. Déterminer ces paramètres
sachant que :\par $P(X\geq 1100)=0,9332$ et $P(X \leq 1600) =
0,8413$.}



\exoc{Une entreprise de transport a un parc total de 150 camions. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque camion choisi au hasard dans le parc, associe la distance en kilomètres qu'il a parcourue dans une journée. Une étude statistique permet d'admettre que cette variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne 120 et d'écart-type 14.
Déterminer à $10^{-4}$ près la probabilité qu'un camion parcoure
une distance comprise entre 110 et 130 kilomètres.}


\exoc{Un atelier produit des joints qui assurent l'étanchéité du palier d'arbre d'entrée d'un réducteur de vitesse.\par
La variable aléatoire $X$ qui associe à tout joint pris au hasard sa durée de vie exprimée en heures suit la loi normale de moyenne 970 et d'écart-type 200.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité qu'un joint pris au hasard dans la production de l'atelier ait une durée de vie comprise entre 720 et 1000 heures.
\item Déterminer la probabilité qu'un joint pris au hasard dans la production de l'atelier ait une durée de vie inférieure à 620 heures. Calculer le nombre présumé de tels joints, jugés défectueux, dans un ensemble de 500 joints.
\end{enumerate}
}

\exoc{A chaque personne vivant en France on associe le temps qu'elle passe devant la télévision en une semaine, exprimé en heures. Une étude a montré que la moyenne de la variable aléatoire $X$ ainsi définie est $m=$\ 20,3 et que son écart-type est $\sigma=$\ 9,7. On admet que la variable aléatoire $X$, définie sur $[0;+\infty[$ suit sur cet intervalle une loi normale.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'une personne choisie au hasard regarde moins de 1 heure de télévision par semaine ?
\item Quelle est la probabilité qu'une personne choisie au hasard regarde moins de 20,3 heures de télévision par semaine ?
\item Quelle est la probabilité qu'une personne choisie au hasard regarde entre 10 heures et 30 heures de télévision par semaine ?
\item On considère qu'une personne est ``accro'' à la télévision si elle regarde plus de 35 heures par semaine. Quelle est la part de la population  atteinte de cette dépendance ?
\item En considérant qu'il y a 60 000 000 habitants en France, calculer le nombre de personnes regardant la télévision
	\begin{itemize}
	\item[$\bullet$] moins de 1 heure par semaine ;
	\item[$\bullet$] moins de 20,3 heures par semaine ;
	\item[$\bullet$] entre 10 et 30 heures par semaines ;
	\item[$\bullet$] plus de 35 heures.
	\end{itemize}
\end{enumerate}
}




\exoc{Un fabricant de matériel Hi-Fi produit des lecteurs de CD. A chaque lecteur CD choisi au hasard parmi la production on associe sa durée de vie en semaines. Une étude statistique a permis d'admettre que la variable aléatoire $X$ ainsi définie suit une loi normale de moyenne 150 et d'écart-type 70.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité  que l'appareil fonctionne pendant plus de 5 ans ?
Ce matériel étant garanti 1 an, quelle la probabilité qu'il tombe en panne au cours de cette période ?
\end{enumerate}
}






\exoc{Une machine fabrique des pièces. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui à chaque pièce prise au hasard associe sa longueur $x$. On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $m=54$ et d'écart-type $\sigma=$\ 0,2. Une pièce est considérée comme défectueuse si $x$ est inférieure à $53,6$ ou supérieure à $54,3$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité $p$ qu'une pièce soit défectueuse.
\item Pour vérifier que la machine ne s'est pas déréglée, on détermine des cotes d'alerte $m-h$ et $m + h$ définies par $P( m- h \leq X \leq m + h) = 0,95$ . Déterminer une valeur approchée de $h$.
\end{enumerate}
}


\exoc{On ajoute du $SO_2$ dans un vin pour le protéger d'une part des attaques des levures et des bactéries, d'autre part de l'oxydation.\par
Après embouteillage, on prélève des échantillons de 50 bouteilles sur la chaine d'embouteillage et on dose dans chaque bouteille la concentration en $SO_2$ libre qui sera exprimée en $mg.L^{-1}$.\par
La production étant très importante, on assimile ce prélèvement à un prélèvement non exhaustif. Voici les résultats du dosage de $SO_2$ dans un échatillon.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Concentration & Nb de bouteilles \\
\hline
$[20;20,2[$ & 3 \\
\hline
$[20,2;20,4[$ & 9 \\
\hline
$[20,4;20,6[$ & 20 \\
\hline
$[20,6;20,8[$ & 13 \\
\hline
$[20,8;21[$ & 5 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner des valeurs approchées à $10^{-3}$ près de la moyenne $m$ et de l'écart-type $\sigma$ de cet échantillon.
\item A chaque production obtenue après avoir ajouté du $SO_2$ on associe la concentration en $SO_2$ libre. On définit  ainsi une variable aléatoire $X$. On admet que $X$ suit le loi normale de moyenne $20,5\ mg.L^{-1}$ et d'écart-type $0,2\ mg.L^{-1}$.\par
On estime que le vin est impropre à la consommation si la concentration en $SO_2$ libre est supérieure ou égale à $20,9\ mg.L^{-1}$.\par
Quel est, à $1\%$ près, sous ces hypothèses, le pourcentage de bouteilles impropres à la consommation ?
\end{enumerate}
}







\exoc{A chaque trajet en train d'un voyageur, on associe la différence entre l'heure d'arrivée
prévue et l'heure effective, définissant ainsi une variable
aléatoire $X$. On admet que $X$ suit une loi normale de moyenne
$m=5$ et d'écart-type $\sigma=1,2$.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le train soit à l'heure ou en avance ?
\item Le voyageur peut bénéficier d'un remboursement partiel si le retard à
l'arrivée est supérieur à 30 minutes. Quelle est la probabilité que cet évènement se produise ?
\item Au cours d'une année, le voyageur a effectué 150 trajets. Calculer le nombre théorique de retards supérieurs à 30 minutes et de trains arrivant à l'heure ou en avance.
\end{enumerate}
}

% 
% \exoc{Dans une notice concernant un ciment, on considère comme élevée la probabilité que la résistance à la compression à 28 jours du ciment soit comprise entre 50 MPa (mégapascal) et 60 MPa. On se propose de déterminer cette probabilité.\par
% \begin{enumerate}
% \item On note $X$ la variable aléatoire qui, à un sac de ciment choisi au hasard dans la fabrication d'une usine, associe sa résistance à la compression à 28 jours.\par
% Un croquis sur la notice permet d'admettre que $X$ suit la loi normale de moyenne $m=55$ MPa et d'écart-type $\sigma=3$ MPa.\par
% Déterminer la probabilité $P(50\leq X\leq 60)$ à $10^{-4}$ près, en utilisant éventuellement une interpolation affine.
% \item La résistance minimale à la compression à 28 jours, garantie pour chaque sac par cette usine, est de 45 MPa. Quelle est la probabilité d'avoir un sac pour lequel la résistance à la compression est inférieure à ce seuil ? Déterminer cette probabilité à $10^{-4}$ près, en utilisant éventuellement une interpolation affine.
% \end{enumerate}
% }

\exoc{Une machine fabrique des pièces de forme circulaire en série. A chaque pièce tirée au hasard, on associe son diamètre $x$ exprimé en millimètres. On définit ainsi une variable aléatoire $X$. On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $m=32$ et d'écart-type $\sigma=1$ (en mm).\par
\begin{enumerate}
\item Pour être utilisable, une pièce doit satisfaire à la norme suivante : $31\leq x\leq 33$. Quelle est la probabilité $p$ qu'une pièce soit utilisable ?
\item Le coût moyen de fabrication d'une pièce est noté $f$. Dans un lot de 100 pièces fabriquées
dont le coût de fabrication est donc $100f$, $100p$ d'entre elles
sont utilisables ; il en résulte que le prix moyen $M$ de
fabrication est $$M=\frac{100f}{100p}=\frac{f}{p}.$$
	\begin{enumerate}
	\item {Calculer le prix moyen de fabrication avec la machine précédente si $f=10,8$ euros.}
	\item {Pour diminuer le pourcentage de pièces défectueuses, ou pourrait
	utiliser une machine plus moderne : l'écart-type serait de 0,5mm
	et $X$ suivrait alors une loi normale ${\cal N}(32;0,5)$, mais le
	coût de fabrication $f_2$ serait alors de 12 euros pour cette
	nouvelle machine.
	Calculer, pour cette nouvelle machine, la probabilité $p_2$ qu'une pièce soit utilisable.}
	\item {Déterminer le prix moyen  de fabrication $M_2$ pour cette nouvelle machine. En déduire la machine que l'on aurait intérêt à utiliser.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\subsection{Approximation d'une loi binomiale par une loi normale}


\exoc{On jette dix fois de suite une pièce de monnaie équilibrée.
On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque partie associe le nombre d'apparitions du
côté ``face'' obtenu.
\begin{enumerate}
\item Justifier que la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ est une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Calculer la probabilité de l'événement $E$ : ``Le nombre d'apparitions du
côté ``face'' est compris entre 3 et 6 inclus''.
\item On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire discrète $X$ par une loi normale de paramètres $m$ et $\sigma$.\par
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer les valeurs appropriées de $m$ et $\sigma$.
	\item En utilisant l'approximation, calculer de nouveau la probabilité $P(E)$.
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Tracer le diagramme en bâtons de la fonction qui à $t$ associe $P(X=t)$ en utilisant une échelle convenable.
	\item Sur le graphique précédent, représenter la densité de probabilité de la loi normale
	${\cal N}(m;\sigma)$. Que constate-t-on ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\exoc{Une usine fabrique en grande quantité un certain type de pièces. La probabilité qu'une pièce prélévée au hasard dans la production d'une journée soit défectueuse est $p=0,07$. On prélève au hasard $250$ pièces dans la production d'une journée. La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $250$ pièces. On note $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de $250$ pièces, associe le nombre de pièces défectueuses.
\begin{enumerate}
 \item Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
 \item On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire discrète $X$ par la loi normale de paramètres $m=17,5$ et $\sigma=4,03$. On note $Y$ la variable aléatoire suivant la loi normale ${\cal N}(17,5;4,03)$.
	\begin{enumerate}
	\item Justifier les valeurs de $m$ et $\sigma$.
	\item Calculer la probabilité qu'il y ait au plus $20$ pièces défectueuses.
	\item Calculer la probabilité que le nombre pièces défectueuses soit compris au sens large entre $15$ et $20$ (c'est à dire $P(14,5\leq Y \leq 20,5)$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\subsection{Annales}
\exoc{\emph{France 2011 - Groupement A}\\
\probpart{}
Une source émet un signal binaire composé de a et de 1. Lors du transport, le signal peut être déformé. Un $0$ peut être transformé en $1$ avec une probabilité $0,1$ et, de même, un $1$ peut être transformé en $0$ avec une probabilité $0,1$.
 
Pour toute la suite, dans une série de chiffres, on lit de gauche à droite, le premier chiffre envoyé étant donc celui écrit le plus à gauche. 

On envoie le signal 00.
 
On admet que les erreurs de transmission sont des évènements aléatoires indépendants les uns des autres.
 
On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $E_{1}$ : \og les deux chiffres sont modifiés \fg 
\item[$\bullet~~$] $E_{2}$ : \og le premier chiffre est modifié mais pas le deuxième \fg 
\item[$\bullet~~$] $E_{3}$ : \og aucun chiffre n'est modifié \fg 
\item[$\bullet~~$] $E_{4}$ : \og au moins un des chiffres est modifié \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\emph{Pour chaque affirmation, une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur sa copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie.\\ 
Une bonne réponse rapporte $0,5$ point, une réponse incorrecte ou l'absence de réponse n'enlève pas de point.}
 
\begin{enumerate}
\item La probabilité de l'évènement $E_{1}$ est égale à :
      \vspace{-10pt}
      \begin{multicols}{4}
       \begin{itemize}
        \item 0,01
        \item 0,99
        \item 0,09
        \item 0,81
       \end{itemize}
      \end{multicols}\vspace{-10pt}
\item  Si l'évènement $E_{2}$ est réalisé, le signal reçu est :
      \vspace{-10pt}
      \begin{multicols}{4}
       \begin{itemize}
        \item 00
        \item 01
        \item 10
        \item 11
       \end{itemize}
      \end{multicols}\vspace{-10pt}
\item  La probabilité de l'évènement $E_{2}$ est égale à : 
       \vspace{-10pt}
      \begin{multicols}{4}
       \begin{itemize}
        \item 0,19
        \item 0,81
        \item 0,09
        \item 0,90
       \end{itemize}
      \end{multicols}\vspace{-10pt}
\item  La probabilité de l'évènement $E_{3}$ est égale à :
      \vspace{-10pt}
      \begin{multicols}{4}
       \begin{itemize}
        \item 0,01
        \item 0,99
        \item 0,09
        \item 0,81
       \end{itemize}
      \end{multicols}\vspace{-10pt}
\item  La probabilité de l'évènement $E_{4}$ est égale à :
      \vspace{-10pt}
      \begin{multicols}{4}
       \begin{itemize}
        \item 0,19
        \item 0,20
        \item 0,11
        \item 0,91
       \end{itemize}
      \end{multicols}\vspace{-10pt}
\end{enumerate}

\probpart{}
 
\begin{enumerate}
\item On considère l'expérience aléatoire consistant à émettre une chaîne constituée de 10 fois le chiffre 1 et à observer la chaîne reçue. On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque chaîne ainsi reçue, associe le nombre d'erreurs de transmission, c'est-à-dire le nombre de $0$ obtenus.
 
On rappelle que la probabilité qu'un chiffre soit mal transmis est $0,1$. 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
		 
Préciser les paramètres de cette loi. 
		\item Calculer à $0,001$ près la probabilité qu'il y ait exactement une erreur de transmission.
		\item Montrer que la probabilité qu'il y ait au plus une erreur de transmission est égale à $0,74$ à $0,01$ près.
	\end{enumerate} 
\item Estimant que la qualité des transmissions n'est pas assez bonne, les techniciens procèdent à quelques réglages afin de réduire les \og bruits \fg{} à l'origine des erreurs. La probabilité qu'un chiffre soit mal transmis devrait ainsi être fortement diminuée.
 
Effectivement, à l'issue des réglages, on constate que la proportion de chiffres mal transmis est égale à $0,002$. 
	\begin{enumerate}
		\item On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de chiffres mal transmis dans une chaîne de 1000~chiffres.
		 
On considère que la variable aléatoire $Y$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$.

Justifier que $\lambda = 2$. 
		\item  Calculer à $0,001$ près la probabilité qu'il y ait au moins une erreur de transmission parmi les 1000~chiffres envoyés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\probpart{}
 
La transmission des chiffres binaires est assurée par un signal électrique carré. Les impulsions supérieures à 2 volts représentent le chiffre $1$, les autres le chiffre $0$. Ne pouvant affiner davantage leurs réglages, les techniciens admettent que les erreurs de transmission restantes sont dues à un \og bruit aléatoire \fg. Celui-ci est modélisé par un signal de tension aléatoire $U$, exprimée en volts. On admet que $U$ suit une loi normale de moyenne $0$ et d'écart type $\sigma$. 

\begin{enumerate}
\item Pour envoyer les chiffres 1, on envoie des impulsions de 4~volts. Ces dernières sont modifiées par le bruit aléatoire. La tension reçue est ainsi égale à $4 + U$.
 
\textbf{Dans cette question, on suppose que}\, \boldmath $\sigma = 0,7$.\unboldmath 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité que cette tension représente le chiffre 1 est égale à la probabilité que $U$ soit supérieure à $- 2$. 
		\item Calculer cette probabilité à $0,001$~près.
	\end{enumerate} 
\item Quelle condition doit-on imposer à l'écart type $\sigma$ pour que la proportion d'erreurs de transmission d'un chiffre $1$ soit inférieure à 0,1\,\%, c'est-à-dire pour que : 

\[p(U < - 2) < 0,001 ?\] 

\emph{Dans cette question toute trace de recherche même incomplète ou non aboutie sera prise en compte.} 
\end{enumerate}
}



\rep{}{\setcounter{probpart}{0}
\probpart{}
Les bonnes réponses sont :
\begin{enumerate}
      \item  La probabilité de l'événement $E_1$ est égale $0,01$.
      \item Si l'événement $E_2$ est réalisé, le signal reçu est $10$.
      \item La probabilité de l'événement $E_2$ est égale à $0,09$.
      \item La probabilité de l'événement $E_3$ est égale à $0,81$.
      \item La probabilité de l'événement $E_4$ est égale à $0,19$.
\end{enumerate}
\probpart{}
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
	\item $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,1$.
	\item On demande $p(X=1)$, donc
	      \begin{align*}
	      p(X=1)&=C_{10}^{1} 0,1^1 \times 0,9^9\\
	      &=10  \times 0,1^1 \times  0,9^9\\
	      &=0,9^9\\
	      &\approx 0,387
	      \end{align*}
	\item On demande $p(X\leq 1)$.
	      \begin{eqnarray*}
	      p(X \leq 1)&=& p(X=0)+p(X=1)\\
	      &=&C_{10}^{0} 0,1^0 \times 0,9^{10}+p(X=1)\\
	      &=&0,9^{10}+p(X=1)\\
	      &\approx& 0,736\\
	      &\approx& 0,74\text{ à } 0,01 \text{ près}
	      \end{eqnarray*}
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item La variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n=1000$
	    et $p=0,002$. Par conséquent, par approximation de cette loi binomiale par
	    une loi de Poisson, l'espérance est conservée. \\
	    Pour une loi binomiale, l'espérance est égale à $np$, qui est égale au paramètre
	    $\lambda$ de la loi de Poisson. \\
	    On a alors ici :  $\lambda=0,002 \times 1000=2$.
      \item On demande $p(Y\geq 1)$.
	    \begin{align*}
	    p(Y\geq 1)&=1-p(Y=0)\\
	    &\approx 1-0,135\\
	    &\approx 0,865\text{ à } 0,001 \text{ près}
	    \end{align*}
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\probpart{}
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
	\item Pour avoir un chiffre $1$, il faut que $4+U\geq 2$, donc $U\geq -2$.
	\item Comme $U$ suit la loi normale $\mathscr{N}(0 ; 0,7$ alors $T=\frac{U}{0,7}$
	      suit $\mathscr{N}(0;1)$.
	      \begin{align*}
	      p(U\geq -2)&=p\pa{T\geq - \frac{2}{0,7}}\\
	      &=p(T\geq -2,857)\\
	      &=p(T\leq 2,857)\\
	      &\approx 0,998
	      \end{align*}
       \end{enumerate}
\item Comme $U$ suit la loi normale $\mathscr{N}(0;\sigma)$ alors
      $T=\frac{U}{\sigma}$ suit $\mathscr{N}(0;1)$.
      On a 
      \begin{align*}
      p(U<-2)&=p\pa{T< -\frac{2}{\sigma}}\\
      &=p\pa{T>\frac{2}{\sigma}}\\
      &=1-p\pa{T< \frac{2}{\sigma}}\\
      \end{align*}
      Il faut alors résoudre l'inéquation
      \begin{align*}
	p(U<-2)&<0,001\\
      1-p\pa{T< \frac{2}{\sigma}} &< 0,001\\
      0,999&<p\pa{T< \frac{2}{\sigma}}
      \end{align*}
      donc, d'après la table de la loi normale,
      \begin{align*}
      \frac{2}{\sigma}&\geq 3,1\\
      \sigma &\leq 0,645
      \end{align*}
      \end{enumerate}
}


\exoc{\emph{France 2009}\\
\emph{Cet exercice se compose de trois parties qui peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre. }\\
\emph{On s'intéresse aux requêtes reçues par le serveur web d'une grande entreprise, provenant de clients dispersés sur le réseau Internet.}\\
\emph{La réception de trop nombreuses requêtes est susceptible d'engendrer des problèmes de surcharge du serveur.}

\probpart{}
Dans cette partie, on s'intéresse au nombre de requêtes reçues par le serveur, au cours de certaines durées jugées critiques.\\ 
On désigne par $\tau$ un nombre réel strictement positif. On appelle $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de requêtes reçues par le serveur dans un intervalle de temps de durée $\tau$ (exprimée en secondes). La variable aléatoire $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda = 500 \tau$. 
\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on s'intéresse au cas où $\tau = 0,01$.
      \begin{enumerate}
	\item Déterminer la probabilité que le serveur reçoive au plus une requête au cours d'une durée $\tau$ de 0,01~s.
	\item En expliquant votre démarche, déterminer le plus petit entier naturel $n_{0}$ tel que $p\left(X > n_{0}\right) < 0,05$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on s'intéresse au cas où  $\tau = 0,2$.
      On rappelle que la loi de Poisson de paramètre $\lambda = 100$ peut être approchée par la loi normale de moyenne $\mu = 100$ et d'écart type $\sigma = 10$. En utilisant cette approximation, calculer :
      \begin{enumerate}
      \item  la probabilité $P(X > 120)$ ; 
      \item  une valeur approchée du nombre réel positif $a$ tel que $P(100 - a \leqslant  X \leqslant  100 + a) = 0,99$. 
      \end{enumerate}
\end{enumerate}

\probpart{}  
Dans cette partie, on considère : 
\begin{itemize}
\item  d'une part, que la probabilité pour le serveur de connaître des dysfonctionnements importants au cours d'une journée donnée est $p = 0,01$ ; 
\item  d'autre part, que des dysfonctionnements importants survenant au cours de journées distinctes constituent des \'ev\`enements aléatoires indépendants. 
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item On appelle $Y$ la variable aléatoire correspondant au nombre de jours où le serveur connaît des dysfonctionnements importants au cours d'un mois de 30 jours.
    \begin{enumerate}
    \item On admet que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale.\\
    Préciser les paramètres de cette loi.
    \item Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que le serveur connaisse au plus 2 jours de dysfonctionnements importants pendant un mois. 
    \end{enumerate}
\item On appelle $Z$ la variable aléatoire correspondant au nombre de jours où le serveur connaît des dysfonctionnements importants au cours d'une année de 365~jours.
    \begin{enumerate}
    \item  Donner, sans justification, la loi de probabilité de la variable aléatoire $Z$. 
    \item Donner l'espérance mathématique et l'écart type de la variable aléatoire $Z$. 
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\probpart{}
Dans cette partie. on s'intéresse à la durée séparant deux requêtes successives reçues par le serveur.\\
On appelle $T$ la variable aléatoire qui prend pour valeurs les durées (exprimées en secondes) séparant l'arrivée de deux requêtes successives sur le serveur. 
\begin{enumerate}
\item  On désigne par $t$ un nombre réel positif. La probabilité que $T$ prenne une valeur inférieure ou égale à $t$ est donnée par : $p(T \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t 500 \text{e}^{-500x}\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
	\item  Calculer $P(T \leqslant t)$ en fonction de $t$. 
	\item En déduire la valeur de $t$ pour laquelle $P(T \leqslant t) = 0,95$. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée au millième de seconde.
	\end{enumerate}	 
\item 	\begin{enumerate}
	\item  Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, l'intégrale
	\[I(t) = \displaystyle\int_{0}^t 500x \text{e}^{-500x}\:\text{d}x.\]
	\item Déterminer la limite $m$ de $I(t)$ quand $t$ tend vers $+ \infty$.\\
	 Le nombre $m$ est l'espérance mathématique de la variable aléatoire $T$. Il représente la durée moyenne séparant la réception de deux requêtes successives.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	 
\emph{Commentaire :} \\
\emph{Ce modèle, très simple, intéresse les concepteurs de systèmes d'information ou de télécommunication car il fournit des évaluations de certaines performances d'un système, en particulier au sens du \og~scénario du pire des cas \fg.} 
}



\rep{}{\setcounter{probpart}{0}
\probpart{}
\begin{enumerate}
 \item Comme $\tau=0,01$ alors $\lambda=5$.
	\begin{enumerate}
	\item On demande $p(X\leq 1)=p(X=0)+p(X=1)\approx 0,041$
	\item On demande $p(X>n_0)=p\left(\overline{X\leq n_0}\right)=1-\sum_{k=0}^{n_0}p(X=k)$ d'où $\sum_{k=0}^{n_0}p(X=k)\geq 0,95$.
	Par conséquent, afin de déterminer le plus petit entier $n_0$ à l'aide la table de la loi de Poisson, il faut ajouter successivement les valeurs de façon à dépasser $0,95$. On obtient $p(X\leq 9)\approx 0,968$ alors $n_0=9$.
	\end{enumerate}
\item La variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu=100$ et d'écart type $\sigma=10$ alors la variable aléatoire 		$T=\frac{X-100}{10}$ suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$.
      \begin{enumerate}
      \item On a donc :
      \begin{align*}
      p(X>120)&=p\left(T>\frac{120-100}{10}\right)\\
      &=p(T>2)\\
      %&=p(\overline{T\leq 2})\\
      &=1-p(T\leq 2)\\
      &=1-\Pi(2)\\
      &\approx 0,023
      \end{align*}
      \item On a
      \begin{align*}
      p(100-a\leq X\leq 100+a)&=p\left(\frac{100-a-100}{10}\leq
      T\leq\frac{100+a-100}{10}\right)\\
      &=p(-0.1a\leq T\leq 0,1 a)\\
      &=\Pi(0,1a)-\Pi(-0,1a)\\
      &=\Pi(0,1a)-[1-\Pi(0,1a)]\\
      &=2\Pi(0,1a)-1
      \end{align*}
      Il faut alors résoudre
      \begin{align*}
      2\Pi(0,1a)-1&=0,99\\
      \Pi(0,1a)&=0,995\\
      0,1a&\approx 2,575\\
      a&\approx 25,75
      \end{align*}
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\probpart{}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,01$.
	\item On demande
	\begin{align*}
	p(Y\leq 2)&=p(Y=0)+p(Y=1)+p(Y=2)\\
	&=\mathrm{C}_{30}^0\,0,01^0\times 0,99^{10}+\mathrm{C}_{30}^1\,0,01^1\times
	0,99^9+\mathrm{C}_{10}^2\,0,01^2\times 0,99^8\\
	&\approx 0,997
	\end{align*}
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item $Z$ suit la loi binomiale de paramètres $n=365$ et $p=0,01$.
      \item On a l'espérance mathématique $E(Z)=np=3,65$ et
      l'écart-type $\sigma(Z)=\sqrt{np(1-p)}\approx 1,9$
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\probpart{}
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
	\item On a
	$$P(T\leq t)=\int_0^t 500\e^{-500t}\dt=\left[-\e^{-500t}\right]_0^t=1-\e^{-500t}$$
	\item Il faut résoudre
	\begin{align*}
	p(T\leq t)&=0,95\\
	1-\e^{-500t}&=0,95\\
	\e^{-500t}&=0,05\\
	t&=-\frac{\ln 0,05}{500}\\
	t&\approx 0,006
	\end{align*}
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item On pose 
	$\begin{cases}
	u(x)&=x\\
	v'(x)&=500\e^{-500x}
	\end{cases}$
	alors
	$\begin{cases}
	u'(x)&=1\\
	v(x)&=-\e^{-500x}
	\end{cases}$
	d'où, par intégration par parties,
	\begin{align*}
	I(t)&=\int_0^t500x\e^{-500x}\dt x\\
	&=\left[-x\e^{-500x}\right]_0^t-\int_0^t (-\e^{-500x})\dt x\\
	&=-t\e^{-500t}+\int_0^t \e^{-500x}\dt x\\
	&=-t\e^{-500 t}+\left[-\frac{\e^{-500x}}{500}\right]_0^t\\
	&=\frac{1}{500}-\frac{1}{500}\e^{-500 t}-t\e^{-500 t}
	\end{align*}
	\item Comme exponentielle l'emporte sur toute fonction polynôme, on a \[\lim_{t\to +\infty}I(t)=\frac{1}{500}.\]
	%On a
% 	$\begin{cases}
% 	\lim_{t\to +\infty}(-500 t)&=-\infty\\
% 	\lim_{X\to -\infty}\e^X&=0
% 	\end{cases}$ alors, par composée, \[\lim_{t\to +\infty}\e^{-500 t}=0.\]
% 	Il faut écrire 
% 	\[t\e^{-500 t}=\frac{1}{500}\frac{500t}{\e^{500 t}}\]
% 	et
% 	\[\begin{cases}
% 	  \lim_{t\to +\infty}(500 t)&=+\infty\\
% 	\lim_{X\to +\infty}\frac{\e^X}{X}&=0
% 	\end{cases}\]
% 
% 	alors par composée, \[\lim_{t\to +\infty}\frac{\e^{500 t}}{500 t}=+\infty\]
% 	d'où par l'inverse, \[\lim_{t\to +\infty}t\e^{-500 t}=0\]
% 	Par somme, on obtient
% 	\[\lim_{t\to +\infty}I(t)=\frac{1}{500}.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\pagebreak
\exoc{\emph{France 2006}\\
\textbf{Les diff\'erentes parties de cet exercice sont ind\'ependantes.}
\probpart{}
Une entreprise produit, en grande
quantit\'e, des appareils. Chaque appareil fabriqu\'e peut
pr\'esenter deux d\'efauts que l'on appellera défaut $a$ et défaut
$b$.\\ On pr\'el\`eve un appareil au hasard dans la production
d'une journ\'ee.\\ On note $A$ l'\'ev\'enement : \og l'appareil
pr\'esente le d\'efaut $a$ \fg ~et $B$ l'\'ev\'enement : \og
l'appareil pr\'esente le d\'efaut $b$ \fg.\\ Les probabilités des
\'ev\'enements $A$ et $B$ sont $P(A)=0,03$ et $P(B)=0,02$ ; on
suppose que ces deux \'ev\'enements sont ind\'ependants.
\begin{enumerate}
    \item  Calculer la probabilit\'e de l'\'ev\'enement $E_1$ : \og l'appareil pr\'esente le d\'efaut $a$ et le d\'efaut $b$ \fg.
    \item Calculer la probabilit\'e de l'\'ev\'enement $E_2$ : \og l'appareil est d\'efectueux, c'est-à-dire qu'il pr\'sente au moins un des deux d\'efauts \fg.
    \item Calculer la probabilit\'e de l'\'ev\'enement $E_3$ : \og l'appareil ne pr\'esente aucun d\'efaut \fg.
    \item Sachant que l'appareil est d\'efectueux, quelle est la probabilit\'e qu'il pr\'esente les deux d\'efauts ?\\
    \textit{Le résultat sera arrondi au milli\`eme.}
\end{enumerate}
\vspace{0.5ex} \textbf{Dans les parties B et C, les r\'esultats
seront \`a arrondir au centi\`eme.}

\probpart{}
Les appareils sont conditionn\'es par lots de
$100$ pour l'exp\'edition aux distributeurs de pi\`eces
d\'etach\'ees. On pr\'el\`eve au hasard un \'echantillon de $100$
appareils dans la production d'une journ\'ee. La production est
suffisamment importante pour que l'on assimile ce pr\'el\`evement
\`a un tirage avec remise de $100$ appareils.\\ Pour cette partie,
on consid\`ere que, \`a chaque pr\'el\`evement, la probabilit\'e
que l'appareil soit d\'efectueux est $0,05$.\\ On consid\`ere la
variable al\'eatoire $X_1$ qui, \`a tout pr\'el\`evement de $100$
appareils, associe le nombre d'appareils d\'efectueux.
\begin{enumerate}
    \item
\begin{enumerate}
    \item Justifier que la variable al\'eatoire $X_1$ suit une loi binomiale dont on pr\'ecisera les param\`etres.
    \item Donner l'esp\'erance math\'ematique de la variable al\'eatoire $X_1$.
\end{enumerate}
\item On suppose que l'on peut approcher la loi de $X_1$ par une loi de Poisson de param\`etre $\lambda$.
\begin{enumerate}
    \item On choisit $\lambda=5$ ; justifier ce choix.
    \item En utilisant cette loi de Poisson, calculer la probabilit\'e qu'il y ait au plus deux appareils d\'efectueux dans un lot.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%\pagebreak
\probpart{}
Les appareils sont aussi conditionn\'es par lots de $800$ pour l'exp\'edition aux usines de montage. On pr\'el\`eve au hasard un lot de $800$ appareils. On consid\`ere la variable al\'eatoire $X_2$ qui, \`a tout pr\'el\`evement de $800$ appareils, associe le nombre d'appareils d\'efectueux. On d\'ecide d'approcher la loi de la variable al\'eatoire $X_2$ par la loi normale de moyenne $40$ et d'\'ecart-type $6,2.$
\begin{enumerate}
    \item D\'eterminer la probabilit\'e qu'il y ait au plus 50 appareils d\'efectueux dans le lot.
    \item Déterminer le r\'eel $x$ tel que $P(X_2>x)=0,01$.\\
    En déduire, sans justification, le plus petit entier $k$ tel que la probabilit\'e que le lot comporte plus de $k$ appareils d\'efectueux soit inf\'erieure \`a $0,01$.
\end{enumerate}}

\rep{}
{\setcounter{probpart}{0}
\probpart{}
\begin{enumerate}
    \item L'\'ev\'enement $E_1$ se note $(A\cap B)$ alors :
    $$\begin{array}{rl}
    p(E_1)&=p(A \cap B)\\
          &=p(A) \times p(B) \quad \text{les \'ev\'enements } A ~\text{et} ~B ~\text{sont ind\'ependants}\\
          &=0,03 \times 0,02\\
          &=0,0006
         \end{array}$$
    \item L'\'ev\'enement $E_2$ se note $(A\cup B)$ alors :
    $$\begin{array}{rl}
    p(E_2)&=p(A \cup B)\\
          &=p(A) + p(B) -p(A \cap B)\\
          &=0,03+0,02-0,0006\\
          &=0,0494.
         \end{array}$$
    \item L'\'ev\'enement $E_3$ est l'\'ev\'enement contraire de $E_2$ alors :
        $$\begin{array}{rl}
    p(E_3)&=p(\overline{E_2})\\
          &=1-p(E_2)\\
          &=1-0,0494\\
          &=0,9506.
         \end{array}$$
    \item On cherche à calculer $p(E_1/E_2)$ alors :
        $$\begin{array}{rl}
    p(E_1/E_2)&=\dfrac{p(E_1\cap E_2)}{p(E_2)}\\
          &=\dfrac{p(E_1)}{p(E_2)}\\
          &=\dfrac{0,0006}{0,0494}\\
          &\approx0,012.
         \end{array}$$
\end{enumerate}
\probpart{}
 \begin{enumerate}
    \item
\begin{enumerate}
    \item Extraire un lot de 100 appareils revient à répéter 100 fois le prélèvement d'un appareil. Cet appareil est d\'efectueux avec une probabilit\'e $p=0,05$ ou non d\'efectueux avec une probabilit\'e $q=1-p=0,95$.\\
    L'assimilation du tirage à un tirage avec remise assure l'indépendance de ces épreuves.\\
En conclusion, la variable $X_1$ suit une loi binomiale de param\`etres $n = 100$ et $p = 0, 05$.
\item L'esp\'erance est $E(X_1)=np\Leftrightarrow E(X_1)=100\times 0,05 \Leftrightarrow E(X_1)=5$.
\end{enumerate}
\item On suppose que l'on peut approcher la loi de $X_1$ par une loi de Poisson de param\`etre $\lambda$.
\begin{enumerate}
    \item On conserve l'esp\'erance math\'ematique. Par cons\'equent, le param\`etre de la loi de Poisson est $\lambda=np=5.$
    \item On note $X_p$ la variable aléatoire qui, \`a tout pr\'el\`evement de $100$ appareils, associe le nombre d'appareils d\'efectueux suivant la loi de Poisson de param\`etre $5$. On cherche alors $p(X_p \leq 2).$
        $$\begin{array}{rl}
    p(X_p\leq2)&=p(X_p=0)+p(X_p=1)+p(X_p=2)\\
          &\approx0,007+0,034+0,084\\
          &\approx 0,13.
         \end{array}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\probpart{}
\begin{enumerate}
    \item On cherche la probabilit\'e qu'il y ait au plus 50 appareils d\'efectueux dans le lot, c'est-à-dire $p(X_2\leq 50).$\\
    $X_2$ suit la loi normale de moyenne $40$ et d'\'ecart-type $6,2$, alors la variable aléatoire $T=\dfrac{X_2-40}{6,2}$ suit la loi normale centr\'ee r\'eduite.
        $$\begin{array}{rl}
    p(X_2\leq50)&=p\left(T\leq \dfrac{50-40}{6.2}\right)\\
          &=p(T\leq 1,61) \\
          &=\Pi (1,61)\\
          &\approx 0,95.
         \end{array}$$
    \item On cherche le r\'eel $x$ tel que $P(X_2>x)=0,01$.\\
    $p(X_2>x)=p\left(T>\dfrac{x-40}{6,2}\right)$ alors il faut résoudre $p\left(T>\dfrac{x-40}{6,2}\right)=0,01$.\\
    Or $p\left(T>\dfrac{x-40}{6,2}\right)=1-p\left(T\leq \dfrac{x-40}{6,2}\right)$ d'où $p\left(T\leq \dfrac{x-40}{6,2}\right) =0,99.$\\
     Or $\Pi( 2,33)=0,99 \Leftrightarrow \dfrac{x-40}{6,2}=2,33 \Leftrightarrow x=40+2,33\times 6,2 \Leftrightarrow x=54,45.$\\
     Le plus petit entier $k$ tel que la probabilit\'e que le lot comporte plus de $k$ appareils d\'efectueux soit inf\'erieure \`a $0,01$ est $k=55.$
\end{enumerate}}


\exoc{\emph{France 2004 - IRIS}\\
{\it Les questions $1$, $2$ et $3$ peuvent \^{e}tre trait\'{e}es
  ind\'{e}pendamment l'une de l'autre.} \\
  Une entreprise fabrique des pi\`{e}ces. Ces pi\`{e}ces sont consid\'{e}r\'{e}es
  comme conformes si leur longueur est comprise entre $79,8$ mm et
  $80,2$ mm.
\begin{enumerate}
  \item %1
   On note $L$ la variable al\'{e}atoire qui, \`{a} chaque pi\`{e}ce
   fabriqu\'{e}e, associe sa longueur en mm.\\
   On admet que la variable  $L$ suit une loi normale de
   moyenne $80$ et d'\'{e}cart type $0,0948$.\\
   On pr\'{e}l\`{e}ve une pi\`{e}ce au hasard dans la production.\\
   D\'{e}terminer, en utilisant la table de la loi normale centr\'{e}e
   r\'{e}duite, la probabilit\'{e} que cette pi\`{e}ce soit conforme.
  \item %2
   On admet que si on pr\'{e}l\`{e}ve, au hasard, une pi\`{e}ce dans la
   production, la probabilit\'{e} que cette pi\`{e}ce ne soit pas
   conforme, est $p=0,035$.
\begin{enumerate}
  \item %a
   On note $X$, la variable al\'{e}atoire repr\'{e}sentant le nombre de
   pi\`{e}ces d\'{e}fectueuses dans un lot de $100$ pi\`{e}ces. Les pi\`{e}ces
   sont pr\'{e}lev\'{e}es au hasard et le tirage est assimil\'{e} \`{a} un tirage
   avec remise.\\
   Justifier que $X$ suit une loi binomiale de param\`{e}tre $n=100$
   et $p=0,035$.
  \item %b
   Le tableau ci-dessous, donne la probabilit\'{e} des \'{e}v\'{e}nements
   "$X=k$" pour $k$ variant de $0$ \`{a} $9$, \`{a} l'exception de
   l'\'{e}v\'{e}nement "$X=2$".
{\footnotesize $$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
   k    &   0    &   1    & 2 &   3    &   4    &   5    &   6    &   7    &   8    &   9    \\
\hline
 P(X=k) & 0,0284 & 0,1029 & ~~ & 0,2188 & 0,1924 & 0,1340 & 0,0770 & 0,0375 & 0,0158 & 0,0059 \\
\hline
\end{array}
$$}
   On consid\`{e}re les \'{e}v\'{e}nements :
\begin{itemize}
  \item [] $A$ : "le nombre de pi\`{e}ces d\'{e}fectueuses du lot est \'{e}gal \`{a}
  $2$";
  \item [] $B$ : "le nombre de pi\`{e}ces d\'{e}fectueuses du lot est au moins \'{e}gal \`{a}
  $2$".
\end{itemize}
 Calculer $P(A)$ au dix milli\`{e}me pr\`{e}s, puis $P(B)$ au milli\`{e}me
 pr\`{e}s.
  \item %c
   Un lot de $100$ pi\`{e}ces est envoy\'{e} \`{a} un client, le lot est
   accept\'{e} s'il contient au plus $4$ pi\`{e}ces d\'{e}fectueuses.\\
   En utilisant le tableau ci-dessus, d\'{e}terminer au millième près, la 
   probabilité que le client refuse ce lot.
  \item %d
   En utilisant le tableau ci-dessus, d\'{e}terminer la plus petite
   valeur enti\`{e}re $n$ telle que : $$P(X>n)<0,03$$
\end{enumerate}
  \item %3
   L'entreprise souhaite am\'{e}liorer la qualit\'{e} de la production.
   Pour cela on projette de changer le processus de fabrication
   des pi\`{e}ces.\\
   On d\'{e}finit alors une nouvelle variable $L_1$ qui \`{a} chaque pi\`{e}ce
   \`{a} construire  selon le nouveau processus associera sa longueur
   en mm.\\
   La variable al\'{e}atoire $L_1$ suit une loi normale de moyenne
   $m=80$ et d'\'{e}cart type $\sigma'$.\\
   D\'{e}terminer $\sigma'$ pour que, en prenant une pi\`{e}ce au hasard
   dans la future production, la probabilit\'{e} d'obtenir une pi\`{e}ce
   conforme soit \'{e}gale \`{a} $0,99$.
\end{enumerate}
}

\rep{}{en attente de reponse mail}



\newpage
\thispagestyle{empty}

\begin{minipage}{16cm}
\begin{center}
\tableofcontents
\thispagestyle{empty}
\end{center}
\end{minipage}
\end{document}

