\documentclass[12pt]{book}

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\begin{document}
\setcounter{chapter}{5}

\chapitre{5}{Similitudes planes}{TS spé}

\section{Les transformations du plan}

\subsection{Définition}

\defi{}{Une transformation du plan est une application du plan bijective,
c'est \`a dire telle que chaque point du plan a une image et un
antécédent uniques.}

\defi{}{La transformation du plan la plus simple est l'identité, notée {\bf Id},
qui transforme chaque point en lui-m\^eme.}

\subsection{Opérations sur les transformations du plan}

\defi{}{Deux transformations du plan $f$ et $g$ sont égales si, pour tout point $M$ du plan, $f(M)=g(M)$.}

\defi{}{La {\em réciproque} d'une transformation du plan $f$ est la transformation qui
 \`a chaque point $N$ du plan, associe l'unique point $M$ tel que $f(M)=N$.
 Cette application est bien définie si $f$ est une transformation.
 On la note $f^{-1}$. Les deux égalités suivantes sont équivalentes :
$$f(M)=N\mbox{ et }f^{-1}(N)=M.$$}


\defi{}{Les \emph{composées} de deux transformations du plan $f$ et $g$, notées $f\circ g$ et $g\circ f$, sont
les transformations qui à tout point $M$ du plan associent
respectivement le point $f(g(M))$ ou le point $g(f(M))$, c'est
\`a dire $$f\circ g(M)=f(g(M))\mbox{ et }g\circ f(M)=g(f(M)).$$}

\rem{On peut aussi définir la composée de trois fonctions $f$, $g$,
$h$, qui \`a tout point $M$ du plan associe le point $f\circ g\circ
h(M)=f(g(h(M)))$.}


\prop{}{Si $f$ est une transformation du plan, alors $f\circ\id=\id\circ f=f$, et $f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=\id$.}

\dem{Sans difficulté.}

\rem{La composition des transformations, comme celle des fonctions,
n'est pas une opération commutative, c'est \`a dire que $f\circ g$
et $g\circ f$ ne sont en général pas égales. Il est important de
tenir compte de cette réserve en manipulant les composées, comme
l'illustre la démonstration de la proposition suivante.}

\prop{}{Réciproquement, si $f$ et $g$ sont deux transformations du
plan telles que $f\circ g=\id$ ou bien $g\circ f=\id$ alors
$g=f^{-1}$ et $f=g^{-1}$.}

\dem{Si $f\circ g=\id$, alors $f^{-1}\circ f\circ g=f^{-1}$ et
donc $g=f^{-1}$. De m\^eme, $f\circ g\circ g^{-1}=g^{-1}$, donc
$f=g^{-1}$.}

\prop{}{Si $f$, $g$, $h$ sont trois transformations du plan telles
que $f=g\circ h$, alors $g=f\circ h^{-1}$ et $h=g^{-1}\circ f$.}


\section{Le groupe des similitudes}

\defi{}{Une \emph{similitude plane} est une transformation du plan qui
conserve les rapports de distances.}

\prop{}{Soit $s$ une similitude plane. Quels que soient les points distincts $M$ et $N$
et leurs images respectives $M'$ et $N'$ par $s$, le rapport
$\frac{M'N'}{MN}$ est un réel positif non nul constant. On
l'appelle rapport de la similitude $s$.}

\dem{Par définition d'une similitude, quels que soient $M$, $N$,
$P$, $Q$ quatre points distincts et leurs images $M'$, $N'$, $P'$,
$Q'$ par $s$,
$$\frac{M'N'}{P'Q'}=\frac{MN}{PQ}.$$ Par un simple produit en
croix, on en déduit $$\frac{M'N'}{MN}=\frac{P'Q'}{PQ}$$ ce qui
prouve la proposition.}

\rem{La famille des similitudes contient presque toutes les
transformations rencontrées depuis le collège, notamment celles
qui conservent les distances, appelées \textbf{isométries}. Elle contient
aussi les transformations du plan découvertes en première.}

\exe{Les translations, les rotations et les symétries axiales (réflexions) sont
des isométries et donc des similitudes.\\
Les homothéties, découvertes en première conservent les rapports
de distances, ce sont aussi des similitudes.}

\exe{Les projections sur une droite parallèlement à une autre ne
conservent par les rapports de longueurs, puisque des segments de
longueurs différentes peuvent avoir des segments images de même
longueurs. Ce ne sont donc pas similitudes. Cependant, on peut
noter que ce ne sont pas des transformations du plan, puisqu'elles
ne sont pas bijectives : un point situé sur la droite de
projection a une infinité d'antécédents et un point hors de cette
droite n'en a aucun.}


\prop{}{L'identité est, de manière évidente, une similitude de rapport 1.}

\dem{Soient $M$, $N$, deux points distincts du plan.\\
Le rapport est $k=\cfrac{\textrm{\textbf{Id}}(M)\textrm{\textbf{Id}}(N)}{MN}=\cfrac{MN}{MN}=1$.}



\prop{}{La transformation réciproque d'une similitude de rapport $k$ est une similitude
de rapport $\frac{1}{k}$.}



\dem{Soient $s$ une similitude, $s^{-1}$ sa réciproque, $M$, $N$, deux points distincts du plan et
$M'$ et $N'$ leurs images par $s$.\\
$s$ est de rapport $k$ donc $k=\cfrac{M'N'}{MN}$.\\
De plus,
$$\cfrac{s^{-1}(M')s^{-1}(N')}{M'N'}=\cfrac{MN}{M'N'}=\cfrac{1}{k}$$
Les rapports sont bien conservés. $s^{-1}$ est effectivement une similitude de rapport $\cfrac{1}{k}$.}

\prop{}{La composée de deux similitudes de rapports $k$ et $k'$ est une similitude de rapport $kk'$.}

\dem{C'est une conséquence directe de la définition des similitudes.}

\prop{}{Les similitudes conservent les rapports de longueurs.
Elles conservent donc les angles géométriques. ($\cos(\vect{u};\vect{v})=\cfrac{\vect{u}.\vect{v}}{||\vect{u}||||\vect{v}||}$).
}


\defi{}{Une similitude qui conserve les angles orientés est appellée
\emph{similitude directe}. Le chapitre 6 est consacré à leur
étude. Une similitude qui ne conserve pas l'orientation des angles
est appelée \emph{similitude indirecte}.}


\txt{On a vu en classe de seconde qu'une façon de définir des triangles isométriques est basée sur
l'existence une isométrie du plan transformant un triangle en
l'autre. La découverte des similitudes offre une définition
analogue pour les triangles ou plus généralement les figures
semblables.}

\defi{}{Deux figures du plan sont dites \emph{semblables} si il existe une similitude
transformant l'une en l'autre.}

\rem{Cette nouvelle définition est cohérente avec celle vue en seconde,
puisqu'une similitude multiplie toutes les longueurs par un
même nombre : son rapport.}

\section{Écriture complexe}

\txt{Dans cette partie, on munit le plan complexe d'un repère
orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$. Nous allons ainsi pouvoir
étudier les fonctions complexes associées aux similitudes.}

\rap{Soit un point $M$ d'affixe $z$ et $M'$ un point d'affixe $z'$.\\
Soit $t$ une translation de vecteur $\vec{u}$ d'affixe $b$. 
\begin{eqnarray*}
M'=t(M)&\Leftrightarrow&\vect{MM'}=\vect{u}\\
   &\Leftrightarrow& z'-z  =  b \\
  &\Leftrightarrow& z'  =  z+b.
\end{eqnarray*}
L'écriture complexe d'une translation est de la forme $z'=z+b$.\\ \bigskip

Soit $h$ une homothétie de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ et de
rapport $k$.
\begin{eqnarray*}
M'=h(M)&\Leftrightarrow&\vect{\Omega M'}=k\vect{\Omega M}\\
   &\Leftrightarrow& z'-\omega = k(z-\omega) \\
  &\Leftrightarrow&  z' = kz - k\omega+\omega \\
   &\Leftrightarrow& z'  = \alpha z+\beta 
\end{eqnarray*}
L'écriture complexe d'une translation est de la forme $z'=kz+b$ 
où $\alpha=k\in\R$ et $\beta=-k\omega+\omega\in\C$.\\ \bigskip


Soit $r$ une rotation de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ et
d'angle $\theta$. 
\begin{eqnarray*}
M'=h(M)&\Leftrightarrow & \frac{\Omega M'}{\Omega M}=1 \textrm{ et }  (\vect{\Omega M},\vect{\Omega M'})=\theta\\
&\Leftrightarrow & \abs{\frac{z'-\omega}{z-\omega}}=1  \textrm{ et } \arg\left(\frac{z'-\omega}{z-\omega}\right)=\theta \\
&\Leftrightarrow &\frac{z'-\omega}{z-\omega}  =  e^{i\theta} \\
&\Leftrightarrow &z'-\omega  =  e^{i\theta}(z-\omega)
\end{eqnarray*}
L'écriture complexe d'une rotation est de la forme $z'=az+b$ où $\alpha'=e^{i\theta}\in\C$ est un complexe de module 1 et
$\beta'=-e^{i\theta}\omega+\omega\in\C$.}


\rem{On observe que toutes ces transformations ont des écritures
complexes de la forme $z'=az+b$, avec différentes contraintes sur
les nombres complexes $a$ et $b$.
\begin{itemize}
\itemb Si $a=1$, la transformation associée est une translation de
vecteur d'affixe $b$.
\itemb Si $a\in\R-\{1\}$, la transformation associée est une homothétie de
rapport $a$.
\itemb Si $a\not\in\R$ et $|a|=1$, la transformation associée est
une rotation d'angle $\arg(a)$.
\end{itemize}
Nous allons nous intéresser dans cette partie aux transformations
que l'on obtient en omettant ces contraintes, c'est à dire en
imposant simplement $a\in\C^*$ et $b\in\C$. (Le cas $a=0$ ne donne
pas une transformation du plan, car l'image de chaque point est
alors le point d'affixe $b$.)}


\pagebreak
\theo{}{Toute transformation du plan dont l'écriture complexe est de
la forme
$$z'=az+b\textrm{ ou }z'=a\bar{z}+b$$
où $a$ et $b$ sont des nombres complexes, $a$ étant non nul, est une
similitude plane de rapport $|a|$. La première forme est celle d'une
similitude directe, la seconde d'une similitude indirecte.}


\dem{Soient $s$ une transformation du plan d'écriture complexe de la
forme $z'=az+b$, $M$ et $N$ deux points d'affixes respectives $x$ et
$y$, $M'$ et $N'$ d'affixes $x'$ et $y'$ les images de $M$ et $N$
par $s$. Alors
\begin{eqnarray*}
\cfrac{s(M)s(N)}{MN}& = &\cfrac{M'N'}{MN}\\
& = & \cfrac{|y'-x'|}{|y-x|}\\
& = & \cfrac{|(ay+b)-(ax+b)|}{|y-x|} \\
& = & \left|\cfrac{a(y-x)}{y-x}\right| \\
& = & |a|.
\end{eqnarray*}
Ainsi, la transformation $s$ conserve les rapports de distances, ce qui
prouve que c'est bien une similitude. Son rapport est bien $|a|$. La
démonstration est la même si $s$ est de la forme $z'=a\bar{z}+b$,
puisque $|\bar{y}-\bar{x}|=|\overline{y-x}|=|y-x|$.\\
Soient de plus $V$ et $W$ deux points d'affixes respectives $v$ et
$w$, $V'$ et $W'$ d'affixes $v'$ et $w'$ les images par $s$ de ces
deux points. Si $s$ a une écriture complexe de la forme $z'=az+b$,
alors
$$\angl{M'N'}{V'W'}=\arg\left(\frac{w'-v'}{y'-x'}\right)
=\arg\left(\frac{aw+b-av-b}{ay+b-ax-b}\right)
=\arg\left(\frac{w-v}{y-x}\right)=\angl{MN}{VW}.$$ Toute similitude
de cette forme conserve donc les angles orientés, il s'agit donc de
la forme générale des similitudes directes. Si $s$ a une écriture
complexe de la forme $z'=a\bar{z}+b$, alors
$$\angl{M'N'}{V'W'}=\arg\left(\frac{w'-v'}{y'-x'}\right)
=\arg\left(\frac{a\bar{w}+b-a\bar{v}-b}{a\bar{y}+b-a\bar{x}-b}\right)
=\arg\left(\bar{\frac{w-v}{y-x}}\right)=-\angl{MN}{VW}.$$ Toute
similitude de cette forme inverse donc l'orientation des angles, il
s'agit donc de la forme générale des similitudes indirectes.
La formule $\arg{\frac{a-b}{c-d}}=(\vect{DC};\vect{BA})$ permet
d'étudier sans difficulté la conservation des angles dans chaque
cas.}


\txt{La proposition précédente n'est qu'une implication. Il nous reste à prouver
sa réciproque, c'est à dire que toute similitude plane admet une
écriture plane d'une des deux formes proposées.}

\theo{}{Toute similitude plane admet un écriture complexe de la forme
$z'=az+b$ si elle est directe et $z'=a\bar{z}+b$ si elle est
indirecte.}

\dem{Soient $s$ une similitude plane de rapport $k$, $M$ et $N$ deux
points distincts du plan, $M'$ et $N'$ leurs images respectives
par $s$. On note respectivement $z$, $c$, $z'$ et $c'$ les affixes
des huit points ainsi définis. On sait alors que
$$\frac{N'M'}{NM}=k.$$
La forme complexe de cette égalité est
$$\frac{|z'-c'|}{|z-c|}=k.$$
On en déduit alors que
$$|z'-c'|=k|z-c|=|k(z-c)|.$$
Les nombres complexes $z'-c'$ et $k(z-c)$ différent donc seulement
par leur argument, à la conjugaison près. Il faut donc distinguer
deux cas. Soit $z'-c'=k(z-c)e^{i\theta}$, ce qui donne la forme
$z'=az+b$ d'une similitude directe, soit
$z'-c'=\overline{k(z-c)}e^{i\theta}$, ce qui donne la forme
$z'=a\bar{z}+b$ d'une similitude indirecte.}

\section{Points fixes des similitudes planes}

\txt{Les translations sont des similitudes directes qui n'ont aucun
point fixe. La proposition suivante affirme que ce sont les
seules.}

\prop{}{Toute similitude directe qui ne soit pas une translation admet un unique
point fixe.}

\dem{Posons $z'=az+b$ l'écriture complexe d'un similitude directe $s$ dans le plan
muni d'un repère orthonormé direct. Si $s$ n'est pas une
translation, alors $a\neq 1$. L'affixe d'un point fixe par $s$
doit vérifier l'équation $z=az+b$. Il est clair que cette équation
admet une unique solution dans $\C$, égale à
$$\omega=\frac{b}{1-a}.$$}

\theo{}{Toute similitude ayant deux points fixes distincts est soit une symétrie axiale, soit l'identité.}

\dem{Si c'est une similitude directe, alors elle ne peut être
qu'une translation, car sinon elle n'aurait qu'un point fixe,
d'après la proposition précédente. Mais une translation ne peut
avoir deux points fixes que si elle est de vecteur nul. C'est donc
l'identité.\\
Si c'est une similitude indirecte, notons $A$ et $B$ ses deux
points fixes et $z'=a\bar{z}+b$ son écriture complexe. On peut
alors choisir un repère du plan d'origine $A$ et dont l'axe des
abscisses soit la droite $(AB)$. Les affixes de $A$ et $B$ sont
alors $z_A=0$ et $z_B\in\R$. Puisque $A$ est un point fixe,
$z_A=a\bar{z_A}+b$, ce qui donne $b=0$. Puisque $B$ est un point
fixe et que $z_B$ est un réel, on a aussi $z_B=a\bar{z_B}=az_B$,
ce qui prouve que $a=1$. L'écriture complexe de notre similitude
est donc $z'=\bar{z}$, ce qui signifie que c'est la symétrie d'axe
$(AB)$.}

\prop{}{Toute similitude ayant trois points fixes non alignés est
l'identité.}

\dem{La similitude a trois points fixes non alignés donc elle en a au moins deux. 
C'est donc soit une symétrie, soit l'identité. Comme elle a des points fixes non alignés, ce ne 
peut pas être une symétrie. C'est donc l'identité.}

\end{document}
