\documentclass[12pt]{book}\usepackage{aymar}\usepackage{tabularx}

\begin{document}

\exercice{4}{Applications}{TS spé}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exoc{{\sl Asie, juin 2009}
\begin{enumerate}
\item On se propose, dans cette question, de déterminer tous les entiers relatifs $N$ tels que \[\left\{\begin{array}{l c l r}
N&\equiv&5&(13)\\
N&\equiv &1&(17)
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que 239 est solution de ce système.
		\item Soit $N$ un entier relatif solution de ce système.
		
		Démontrer que $N$ peut s'écrire sous la forme $N = 1 + 17x = 5 + 13y$ où $x$ et $y$ sont deux entiers relatifs vérifiant la relation $17x - 13y = 4$.
		\item Résoudre l'équation $17x - 13y = 4$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
		\item En déduire qu'il existe un entier relatif  $k$ tel que $N = 18 + 221k$.
		\item Démontrer l'équivalence entre $N \equiv 18 \quad (221)$ et $\left\{\begin{array}{l c l r}
N&\equiv&5&(13)\\
N&\equiv &1&(17)
\end{array}\right.$.

	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infruxtueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
	\begin{enumerate}
		\item Existe-t-il un entier naturel $k$ tel que $10^k \equiv 1 \quad (17)$ ?
		\item Existe-t-il un entier naturel $l$ tel que $10^l \equiv 18 \quad (221)$ ?
	\end{enumerate}

\end{enumerate}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exoc{{\sl Antilles-Guyane, juin 2008}

\probpart{}

On considère l'équation (E) : $11x - 26y = 1$, où $x$ et $y$ désignent deux nombres entiers
relatifs.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que le couple $(-7;-3)$ est solution de (E).
\item Résoudre alors l'équation (E).
\item En déduire le couple d'entiers relatifs $(u;v)$ solution de (E) tel que $0\leqslant u\leqslant 25$.
\end{enumerate}

\probpart{}

On assimile chaque lettre de l'alphabet à un nombre entier comme l'indique le tableau
ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A & B & C & D & E & F & G & H & I & J & K & L & M \\
\hline
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\
\hline
N & O & P & Q & R & S & T & U & V & W & X & Y & Z \\
\hline
13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On ``code'' tout nombre entier $x$ compris entre $0$ et $25$ de la façon suivante :

\begin{itemize}
\item on calcule $11x+8$ ;
\item on calcule le reste de la division euclidienne de $11x+8$ par $26$, que l'on appelle $y$.
\end{itemize}

$x$ est alors ``codé'' par $y$.

Ainsi, par exemple, la lettre L est assimilée au nombre $11$ ; $11\times 11+8 = 129$ or $129\equiv 25 [26]$ ; $25$ est le reste de la division euclidienne de $129$ par $26$. Au nombre $25$ correspond la lettre Z.

La lettre L est donc codée par la lettre Z.

\begin{enumerate}
\item Coder la lettre W.
\item Le but de cette question est de déterminer la fonction de décodage.
        \begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tous nombres entiers relatifs $x$ et $j$, on a :
                           $$11x\equiv j [26]\text{ équivaut à }x\equiv 19j [26].$$
	\item En déduire un procédé de décodage.
	\item Décoder la lettre Q.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}



\exoc{{\sl Nouvelle-Calédonie, mars 2007}\\
Pour coder un message, on procède de la manière suivante :
à chacune des 26 lettres de l'alphabet, on commence par associer un entier $n$ de l'ensemble \\
$\Omega = \{0~;~ 1~;~2~;~\ldots~;~24~;~ 25\}$ selon le tableau
ci-dessous :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering
\arraybackslash}X|}}\hline A   &B  &C  &D  &E  &F  &G  &H  &   I&J
&K  &L  &M\\ \hline 0   &1  &2  &3  &4  &5  &6  &7  &8  &9  &10 &11
&12\\ \hline\hline N   &O  &P  &Q  &R  &S  &T  &U  &V  &W  &X  &Y
&Z\\ \hline 13  &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

$a$ et $b$ étant deux entiers naturels donnés, on associe à tout
entier $n$ de $\Omega$ le reste de la division euclidienne de $(an +
b)$ par 26 ;
ce reste est alors associé à la lettre correspondante.\\
\emph{Exemple} : pour coder la lettre P avec $a = 2$ et $b = 3$, on
procède de la manière suivante :
    \begin{itemize}
    \item Étape 1 : on lui associe l'entier $n = 15$.
    \item Étape 2 : le reste de la division de $2 \times 15 + 3 = 33$ par 26 est $7$.
    \item Étape 3 : on associe $7$ à H. Donc P est codé par la lettre H.
    \end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Que dire alors du codage obtenu lorsque l'on prend $a=0$ ?
\item Montrer que les lettres A et C sont codées par la même lettre lorsque l'on choisit $a = 13$.
\item \emph{Dans toute la suite de l'exercice}, on prend $a = 5$ et $b = 2$.
    \begin{enumerate}
    \item On considère deux lettres de l'alphabet associées respectivement aux entiers $n$ et $p$.
    Montrer, que si $5n + 2$ et $5p + 2$ ont le même reste dans la division par 26 alors $n - p$
    est un multiple de $26$. En déduire que $n = p$.
    \item Coder le mot AMI.
    \end{enumerate}
\item On se propose de décoder la lettre E.
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que décoder la lettre E revient à déterminer l'élément $n$ de $\Omega$ tel que
    $5n-26y=2$, où $y$ est un entier.
    \item On considère l'équation $5x - 26y = 2$, avec $x$ et $y$ entiers relatifs.
        \begin{enumerate}
        \item Donner une solution particulière de l'équation $5x - 26y = 2$.
        \item Résoudre alors l'équation $5x - 26y = 2$.
        \item En déduire qu'il existe un unique couple $(x~;~y)$ solution de l'équation précédente,
        avec $0 \leqslant x \leqslant  25$.
        \end{enumerate}
        \item Décoder alors la lettre E.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}}




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\exoc{{\sl France métropolitaine, juin 2006}

\probpart{}

\begin{enumerate}
\item Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss.
\item Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.
\end{enumerate}

\probpart{}

Il s'agit de résoudre dans $\Z$ le système
\[(S) \quad \left\{ \begin{array}{l c l r}
n& \equiv & 13 \quad &[19]\\
n & \equiv & 6 \quad &[12]\\
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item  Démontrer qu'il existe un couple $(u;v)$ d'entiers relatifs tel que : $19u+12v=1$.\\
(On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d'un tel couple).\\
Vérifier que, pour un tel couple, le nombre $N=13\times 12v+6\times
19u$ est une solution de ($S$).
\item \begin{enumerate}
    \item  Soit $n_{0}$ une solution de ($S$), vérifier que le système ($S$) équivaut à
    \[\left\{ \begin{array}{l c l r}
    n& \equiv &n_{0}\quad  &[19]\\
    n & \equiv & n_{0}\quad &[12]\\
    \end{array}\right.\]
    \item Démontrer que le système  $\left\{ \begin{array}{l c lr}
    n& \equiv &n_{0}\quad  &[19]\\
    n & \equiv & n_{0}\quad &[12]\\
    \end{array}\right.$ équivaut à \\$n \equiv  n_{0}\quad  [12 \times 19]$.
    \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
    \item Trouver un couple $(u;v)$ solution de l'équation $19u+12v=1$ et calculer la valeur de $N$ correspondante.
    \item Déterminer l'ensemble des solutions de ($S$) (on pourra utiliser la question 2. b.).
    \end{enumerate}
\item Un entier naturel $n$ est tel que lorsqu'on le divise par $12$, le reste est $6$ et
lorsqu'on le divise par $19$ le reste est $13$.\\ On divise $n$ par
$228=12\times 19$. Quel est le reste $r$ de cette division ?
\end{enumerate}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exoc{{\sl Centres étrangers, juin 2006}\\
Le but de l'exercice est d'étudier certaines propriétés de divisibilité
de l'entier $4^n -1$, lorsque $n$ est un entier naturel.\\
On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de
Fermat :  <<~si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier naturel
premier avec $p$, alors $a^{p-1}-1 \equiv 0 \mod p$~>>.

\probpart{-- Quelques exemples}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $4^n$ est congru à $1$ modulo $3$.
\item Prouver à l'aide du petit théorème de Fermat, que $4^{28}-1$ est divisible par $29$.
\item Pour $1 \leqslant n \leqslant 4$, déterminer le reste de la division de $4^n$ par $17$.
En déduire que, pour tout entier $k$, le nombre $4^{4k}-1$ est
divisible par $17$.
\item Pour quels entiers naturels $n$ le nombre $4^n-1$ est-il divisible par $5$ ?
\item A l'aide des questions précédentes déterminer quatre diviseurs premiers de $4^{28}-1$.
\end{enumerate}

\probpart{-- Divisibilité par un nombre premier}

Soit $p$ un nombre premier différent de 2.
\begin{enumerate}
\item Démontrer qu'il existe un entier $n \geqslant 1$ tel que $4^n \equiv 1 \mod p$.
\item Soit $n \geqslant 1$ un entier naturel tel que $4^n \equiv1  \mod p$. On note $b$
le plus petit entier strictement positif tel  que $4^b\equiv 1\mod
p$ et $r$ le reste de la division euclidienne de $n$ par $b$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $4^r \equiv 1 \mod  p$. En déduire que $r=0$.
\item Prouver l'équivalence : $4^n-1$ est divisible par $p$ si et seulement si $n$ est multiple de $b$.
\item En déduire que $b$ divise $p-1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exoc{{\sl Liban, juin 2005}
\begin{enumerate}\item On considère l'équation (E)  :
\[109x -  226y =  1\]
où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer le pgcd de 109 et 226. Que peut-on en conclure pour l'équation~(E) ?
\item  Montrer que l'ensemble de solutions de (E) est l'ensemble des couples de la forme
$(141 + 226k,~ 68 + 109k)$, où $k$ appartient à $\Z$.\\ En déduire
qu'il existe un unique entier naturel non nul $d$ inférieur ou égal
à 226 et un unique entier naturel non nul $e$ tels que $109d =  1 +
226e$. (On précisera les valeurs   des entiers $d$ et $e$.)
\end{enumerate}
\item Démontrer que 227 est un nombre premier.
\item On note A l'ensemble des 227 entiers naturels $a$ tels que $a \leqslant
226$.\\
On considère les deux fonctions $f$ et $g$ de A dans A définies de
la manière suivante :\begin{itemize}
\itemb à tout entier  de A, $f$
associe le reste de la division euclidienne de $a^{109}$ par 227.
\itemb à tout entier  de A, $g$  associe le reste de la division
euclidienne de $a^{141}$ par 227.
\end{itemize}
    \begin{enumerate}\item Vérifier que $g[ f(0) ] =  0$.\\
    On rappelle le résultat suivant appelé petit théorème de
    Fermat :\\
    \textsl{Si  $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible
    par $p$ alors $a^{p - 1} \equiv  1 \quad \text{modulo}~ p$.}
    \item  Montrer que, quel que soit l'entier non nul $a$ de A, $a^{226} \equiv  1\quad  [\text{modulo}~ 227]$.
    \item En utilisant \textbf{1. b.}, en déduire que, quel que soit l'entier non nul $a$ de A, $g[f(a)] = a$.
    Que peut-on dire de $f[g(a)]$ ?
    \end{enumerate}
\end{enumerate}}






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\exoc{{\sl La Réunion, juin 2004}

On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de
Fermat : <<~soit $p$ un nombre premier et $a$ un entier naturel
premier avec $p$ ; alors $a^{p-1} - 1$ est divisible par $p$~>>.

\begin{enumerate}
\item Soit $p$ un nombre premier impair.
    \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe un entier naturel $k$, non nul, tel que $2^k
    \equiv 1 ~ [p]$.
    \item Soit $k$ un entier naturel non nul tel que $2^k \equiv 1 ~
    [p]$ et soit $n$ un entier naturel. Montrer que, si $k$ divise $n$,
    alors $2^n \equiv 1 ~ [p]$.
    \item Soit $b$ tel que $2^b \equiv  1 ~ [p],~ b$ étant le plus
    petit entier non nul vérifiant  cette propriété.\\ Montrer, en
    utilisant la division euclidienne de $n$ par $b$, que si $2^n \equiv
    1 ~ [p]$, alors $b$ divise $n$.
    \end{enumerate}
\item Soit $q$ un nombre premier impair et le nombre $A = 2^q- 1$.\\
On prend pour $p$ un facteur premier de $A$.
    \begin{enumerate} \item  Justifier que : $2^q  \equiv 1 ~ [p]$.
    \item Montrer que $p$ est impair.
    \item Soit $b$ tel que $2^b \equiv 1 ~  [p],~ b$ étant le plus
    petit entier non nul vérifiant cette propriété.\\ Montrer, en
    utilisant \textbf{1.} que $b$ divise $q$. En déduire que $b = q$.
    \item Montrer que $q$ divise $p - 1$, puis montrer que $p \equiv 1
    ~ [2q]$.
    \end{enumerate}
\item Soit $A_{1} =  2^{17} - 1$. Voici la liste des nombres
premiers inférieurs à 400 et qui sont de la forme $34m + 1$, avec
$m$ entier non nul : 103, 137, 239, 307. En déduire que $A_{1}$ est
premier.
\end{enumerate}
}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exoc{{\sl France métropolitaine, septembre 2003}

On rappelle que 2003 est un nombre premier.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
    \item Déterminer deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que
    $123u+2003v=1$.
    \item En déduire un entier relatif $k_0$ tel que $123k_0\equiv 1[2003]$.
    \item Montrer que, pour tout entier relatif $x$, $123x\equiv 456 [2003]$ si et seulement
    si $x\equiv 456k_0[2003]$.
    \item Déterminer l'ensemble des entiers relatifs $x$ tels que $123x\equiv 456[2003]$.
    \item Montrer qu'il existe un unique entier $n$ tel que $1\leq n\leq 2002$ et $123n\equiv 456[2003]$.
    \end{enumerate}
\item Soit $a$ un entier tel que $1\leq a\leq 2002$.
    \begin{enumerate}
    \item Déterminer PGCD$(a,2003)$. En déduire qu'il existe un entier $m$ tel que $am\equiv 2[2003]$.
    \item Montrer que, pour tout entier $b$, il existe un unique entier $x$ tel que $0\leq x\leq 2002$ et
    $ax\equiv b[2003]$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
}




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\exoc{{Inde, mai 2001}
\begin{enumerate} \item On considère l'équation (1) d'inconnue $(n~,~m)$
élément de $\Z^2$ :
\[ 11n - 24m = 1.\]
    \begin{enumerate} \item Justifier, à l'aide de l'énoncé d'un théorème, que cette
    équation admet au moins une solution.
    \item En utilisant l'algorithme d'Euclide, déterminer une solution
    particulière de l'équation (1).
    \item Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation (1).
    \end{enumerate}
\item Recherche du P.G.C.D. de $10^{11} - 1$ et $10^{24} - 1$.
    \begin{enumerate} \item Justifier que 9 divise $10^{11} - 1$ et $10^{24} - 1$.
    \item $(n,~m)$ désignant un couple quelconque d'entiers naturels
    solutions de (1), montrer que l'on peut écrire
    \[\left(10^{11n} - 1\right) - 10\left(10^{24m} - 1\right) = 9.\]
    \item Montrer que $10^{11} - 1$ divise $10^{11n} - 1$
    (on rappelle l'égalité $a^n - 1 = (a - 1)\left(a^{n-1} + a^{n-2} +
    \cdots + a^0\right)$, valable pour tout entier naturel $n$ non
    nul).\\ Déduire de la question précédente l'existence de deux
    entiers $N$ et $M$ tels que :
    \[\left(10^{11} - 1\right)N - \left(10^{24} - 1\right)M = 9.\]
    \item Montrer que tout diviseur commun à $10^{24} - 1$ et $10^{11}
    - 1$ divise 9.
    \item Déduire des questions précédentes le P.G.C.D. de $10^{24} -
    1$ et $10^{11} - 1$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exoc{{Le chiffrement de LESTER HILL}\\
Dans ce chiffrement, la fonction de codage agit sur des couples de nombres choisis dans $\{0,1, \cdots, 25\}$ : 
$$f:(x_1,x_2)\mapsto (y_1,y_2)$$
Posons par exemple : 
\[ \left\{ \begin{array}{c c c c }
y_1 &=& 5x_1+11x_2 & [26]\\
y_2 &=& 8x_1+3x_2 & [26]\\
\end{array}\right.\quad (1) \]
Ainsi le mot KL correspondant au couple $(10,11)=(x_1,x_2)$ est codé par $(y_1,y_2)=(15,9)$ soit PJ.
\begin{enumerate}
 \item Coder le mot REQUIN en détachant les trois blocs de deux lettres.
 \item \textsl{Décodage}
	\begin{enumerate}
	 \item Montrer que si $x_1, x_2, y_1$ et $y_2$ vérifient $(1)$ alors :
	 \[ \left\{ \begin{array}{c c c c}
	-3y_1+11y_2&=&73x_1 & [26]\\
	8y_1-5y_2&=&73x_2 &[26]\\
	\end{array}\right. \]
	\item Résoudre dans $\Z\times\Z$ l'équation $73x+26y=1$ , avec $0\leq x\leq 25$.
	\item Décoder alors le mot KQJLRHTN.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exoc{La Poste distribue à titre promotionnel un jeu composé de six cartes dont les reproductions sont données ci-dessous, suivies de la règle du jeu :\\

{\setlength\columnseprule{0pt}
\begin{multicols}{3}
\begin{center}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
1 & 3 & 5 & 7 \\ \hline
9 & 11 & 13 & 15 \\ \hline
17 & 19 & 21 & 23 \\ \hline
25 & 27 & 29 & 31 \\ \hline
33 & 35 & 37 & 39 \\ \hline
41 & 43 & 45 & 47 \\ \hline
49 & 51 & 53 & 55 \\ \hline
57 & 59 & 61 & 63 \\ \hline
\end{tabular}

\ \smallskip

Carte A

\ \smallskip

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
8 & 9 & 10 & 11 \\ \hline
12 & 13 & 14 & 15 \\ \hline
24 & 25 & 26 & 27 \\ \hline
28 & 29 & 30 & 31 \\ \hline
40 & 41 & 42 & 43 \\ \hline
44 & 45 & 46 & 47 \\ \hline
56 & 57 & 58 & 59 \\ \hline
60 & 61 & 62 & 63 \\ \hline
\end{tabular}

\ \smallskip

Carte D



\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
2 & 3 & 6 & 7 \\ \hline
10 & 11 & 14 & 15 \\ \hline
18 & 19 & 22 & 23 \\ \hline
26 & 27 & 30 & 31 \\ \hline
34 & 35 & 38 & 39 \\ \hline
42 & 43 & 46 & 47 \\ \hline
50 & 51 & 54 & 55 \\ \hline
58 & 59 & 62 & 63 \\ \hline
\end{tabular}

\ \smallskip

Carte B

\ \smallskip

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
16 & 17 & 18 & 19 \\ \hline
20 & 21 & 22 & 23 \\ \hline
24 & 25 & 26 & 27 \\ \hline
28 & 29 & 30 & 31 \\ \hline
48 & 49 & 50 & 51 \\ \hline
52 & 53 & 54 & 55 \\ \hline
56 & 57 & 58 & 59 \\ \hline
60 & 61 & 62 & 63 \\ \hline
\end{tabular}

\ \smallskip

Carte E



\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline
12 & 13 & 14 & 15 \\ \hline
20 & 21 & 22 & 23 \\ \hline
28 & 29 & 30 & 31 \\ \hline
36 & 37 & 38 & 39 \\ \hline
44 & 45 & 46 & 47 \\ \hline
52 & 53 & 54 & 55 \\ \hline
60 & 61 & 62 & 63 \\ \hline
\end{tabular}

\ \smallskip

Carte C


\ \smallskip

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
32 & 33 & 34 & 35 \\ \hline
36 & 37 & 38 & 39 \\ \hline
40 & 41 & 42 & 43 \\ \hline
44 & 45 & 46 & 47 \\ \hline
48 & 49 & 50 & 51 \\ \hline
52 & 53 & 54 & 55 \\ \hline
56 & 57 & 58 & 59 \\ \hline
60 & 61 & 62 & 63 \\ \hline
\end{tabular}

\ \smallskip

Carte F



\end{center}
\end{multicols}
}

\begin{center}
\fbox{\parbox{13.5cm}{
{\bf Épater votre entourage.}\par
Ce jeu se joue à 2 ou à plusieurs et vous avez le pouvoir de deviner le numéro magique choisi en secret par l'un des joueurs...
\begin{enumerate}
\item Demandez à quelqu'un de choisir mentalement un numéro entre 1 et 63, et de le révéler aux autres personnes présentes, sans vous le dire.
\item Disposez une par une les six cartes devant la personne choisie, dans n'importe quel ordre. Le joueur doit éliminer les cartes sur lesquelles le numéro qu'il a choisi  ne figure pas.
\item Additionnez alors le numéro inscrit dans la première case -- en haut à gauche -- de chaque carte restante et vous trouverez le numéro magique. \'Etonnez les joueurs en leur annonçant ce numéro connu d'eux seuls.

\end{enumerate}
}}
\end{center}
\ \smallskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que le jeu fonctionne pour les nombres 61 et 17.
\item Quelle est la forme générale des nombres de la carte A ?
\item Sur quelles cartes trouve-t-on les nombres 2, 21, 48 et 63 ?
\item Etablir la liste des nombres que l'on trouve seulement sur une carte.
\item Donner la décomposition et l'écriture en base 2 des nombres trouvés à la question précédente, puis des nombres 21, 63, 48, 17 et 61.
\item Quel est le lien entre la décomposition d'un nombre en base 2 et les cartes sur lesquelles il apparait ?
\item Quel est le point commun des nombres présents sur la carte F ? Même question pour la carte E, puis la carte D, la carte C, la carte B et enfin la carte A.
\item\begin{enumerate}
	\item Pourquoi les nombres de la carte F sont-ils tous supérieurs à 32 ?
	\item Pourquoi les nombres de la carte A sont-ils tous impairs ?
	\item Pourquoi chaque ligne de la carte C est-elle composée de 4 nombres consécutifs ?
	\item Pourquoi les nombres de la carte E sont-ils répartis en 2 suites de 16 nombres consécutifs ?                                 \end{enumerate}
\item Expliquer complètement le ``secret'' du fonctionnement de ce jeu.
\end{enumerate}
}

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\exoc{{\bf Devoir maison 4}\\ %{\sl Amérique du sud, novembre 2010}
Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, on pose $A(n) = n^4 + 1$.\\
\emph{L'objet de l'exercice est l'étude des diviseurs premiers de} $A(n)$.
\begin{enumerate}
\item Quelques résultats 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la parité de l'entier $A(11)$. 
		\item Montrer que, quel que soit l'entier $n,~A(n)$ n'est pas un multiple de 3. 
		\item Montrer que tout entier $d$ diviseur de $A(n)$ est premier avec $n$. 
		\item Montrer que, pour tout entier $d$ diviseur de $A(n)$ : $$n^8 \equiv 1\quad \mod d.$$
	\end{enumerate} 
\item  Recherche de critères\\
      Soit $d$ un diviseur de $A(n)$. On note $s$ le plus petit des entiers naturels non nuls $k$ tels que $n^k \equiv  1\quad  \mod d$. 
	\begin{enumerate}
	\item Soit $k$ un tel entier. En utilisant la division euclidienne de $k$ par $s$, montrer que $s$ divise $k$. 
	\item  En déduire que $s$ est un diviseur de 8. 
	\item  Montrer que si, de plus, $d$ est premier, alors $s$ est un diviseur de $d -1$. On pourra utiliser le petit théorème de Fermat.
	\end{enumerate} 
\item Recherche des diviseurs premiers de $A(n)$ dans le cas où $n$ est un entier pair.\\
      Soit $p$ un diviseur premier de $A(n)$. En examinant successivement les cas $s = 1,~s = 2$ puis $s = 4$, conclure que $p$ est congru à 1 modulo $8$. 
\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}\\
      Appliquer ce qui précède à la recherche des diviseurs premiers de $A(12)$.\\
      \emph{Indication :} la liste des nombres premiers congrus à 1 modulo 8 débute par 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, \ldots 
\end{enumerate}
}
\end{document}
