\documentclass[12pt]{article}\usepackage{ammaths}\begin{document}

\exercices{1}{Divisibilité dans $\Z$}{Terminale S}

\exoc{Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels tels que $ab=65$.
Quelles sont les valeurs possibles pour $a$ et $b$ ?}

\exoc{Un entraîneur sportif souhaite faire travailler une équipe en
petits groupes comprenant chacun le même nombre de joueurs. Quelles
sont les possibilités si l'équipe compte 15, 21, 22 ou 31 individus
?}

\exoc{Trouver tous les couples de nombres entiers naturels dont la
différence des carrés est égale à 42, puis 43, et enfin 44.}


% \exoc{
% On désigne par $n$ un entier naturel non nul et par $a_n$ le
% produit
% $$1\times 3\times 5\times \dots \times (2n-1).$$
% \begin{enumerate}
% \item  Démontrer l'égalité $a_n\times n!\times 2^n=(2n)!$.
% \item  En déduire que le produit $(n+1)(n+2)(n+3)\dots (2n-1)(2n)$ est divisible par $2^n$ et que,
% pour tout entier naturel $p$ tel que ce produit soit divisible par
% $2^p$, on a $p\leq n$.
% \end{enumerate}}
 


\exoc{Déterminer les valeurs des PGCD suivants : PGCD$(6,8)$,
PGCD$(24,36)$ et PGCD$(49,112)$.}

\exoc{Reconnaître des nombres premiers.\begin{enumerate}
\item Les nombres suivants sont-ils premiers
? 45 ; 3759 ; 47 ; 169 ; 39 ; 37 ; 29 ; 27 ; 1.
\item Dans les suites de nombres consécutifs suivants, repérer les nombres
premiers en exposant les arguments utilisés : de 320 à 330 ; de 120
à 130.
\item Les nombres 2 et 3 sont deux nombres premiers
consécutifs. Est-il possible de trouver deux autres nombres premiers
consécutifs supérieurs à 3 ? Si oui donner un exemple, si non le
démontrer.
\item On donne $a$ et $b$ entiers naturels tels que $a>b$.
      \begin{enumerate}
      \item Montrer que si $a^2-b^2$ est premier alors $a$ et $b$ sont consécutifs.
      \item La réciproque est-elle vraie ? Prouver votre réponse.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}}

\exoc{\emph{Nombres premiers et problèmes historiques.}
\begin{enumerate}
\item \textbf{La conjecture de Goldbach.}\\
      \emph{ \small La conjecture de Goldbach (du mathématicien allemand qui l'a formulée le premier en 1742) affirme que tout nombre pair supérieur à deux est somme de deux nombres premiers. Cette conjecture n'a toujours pas été démontrée (ni démentie).}\\
      Vérifier cette conjecture pour tout les nombres compris entre 4 et 20.
\item \textbf{Nombres premiers de Sophie Germain.}\\
      \emph{ \small Sophie Germain (1776-1831), jeune française qui se passionna très tôt pour les mathématiques se vit interdire l'entrée à l'Ecole polytechnique nouvellement crée et réservée aux hommes. Elle dut prendre un pseudonyme (M. Le Blanc) sous lequel elle correspondit avec les mathématiciens Lagrange (en France) et Gauss (en Allemagne). Elle fut la première femme admise aux cours de l'académie des sciences. Ses travaux portèrent entres autres, sur les nombres premiers, et elle s'attaqua au célèbre grand théorème de Fermat.}\\
      Les nombres de Sophie Germain sont les nombres premiers $n$ tels que $2n+1$ soit aussi premier. Par exemple, 3 est un nombre premier de Sophie Germain car 3 est premier et $2\times3 + 1 = 7$ est aussi premier.\\
      Trouver les nombres premiers de Sophie Germain inférieurs à 100 ( il y en a 10).
\item \textbf{Nombres premiers de Fermat.}\\
      Les nombres $F_n$ s'écrivant sous la forme $2^{2^{n}}+ 1$ où $n$ est un entier naturel sont appelés nombre de Fermat (nommés ainsi d'après le mathématicien Pierre de Fermat (1601 - 1655) qui les étudia en premier lieu).
      \begin{enumerate}
      \item Déterminer $F_0$, $F_1$, $F_2$, $F_3$  et $F_4$. (Indiquer les calculs effectués).
      \item Les quatre premiers nombres de Fermat ainsi déterminés sont-ils premiers ?
      \end{enumerate}
      \emph{ \small Fermat a conjecturé que tous les nombres de Fermat était premiers, mais cette conjecture fut démentie par Euler qui montra en 1732 que le nombre $F_5$ n'est pas premier.}
\item \textbf{Nombres premiers de Mersenne.}\\
      Le moine Français, Marin Mersenne ( 1588 - 1648) fournit une liste de nombres premiers s'écrivant sous la forme $2^n-1$ que l'on note $M_n$ pour tout entier naturel non nul.
      \begin{enumerate}
      \item Déterminer $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$,\ldots $M_{10}$. (Indiquer les calculs effectués).
      \item Parmi les nombres précédents, déterminer les nombres premiers de Mersenne.
%       \item Euclide démontra  que si le nombre de Mersenne $2^n-1$  est un nombre premier alors le nombre $(2^n-1)2^{n-1}$  est un nombre parfait. 
%       \begin{enumerate}
%       \item Peut-on dire qu'Euclide était en avance sur son temps ? 
%       \item Retrouver ainsi les quatre premiers nombres parfaits. (indiquer les calculs effectués).
       \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\exoc{\textbf{Pas de conclusion hâtive, s'il vous plaît !}\\
Soit $f$  la fonction définie par  $f(n) = n^2 - n + 41$. 
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau de valeurs ci dessous.
      \begin{center}
      \begin{tabular}{|*{17}{c|}} \hline
      $n$	& 1	& 2 & 3 &	4	& 5 &	6	& 7	& 8	& 9	& 10 &11	&12	&13	&14	&15	&16 \\\hline
      $f(n)$&   &   &   &   &   &   &   &   &   &    &	  &   &   &   &   &  	\\\hline
      \end{tabular}
      \end{center}
\item Que peut-on dire sur les valeurs de $f(n)$ pour tout entier naturel?
\item En observant que $ f(41) = 41^2 - 41 + 41= 41^2$ , que pouvez vous dire de votre remarque faite précédemment ?
\item Que faut-il retenir de cet exercice ? 
\end{enumerate}
}

\exoc{Décomposition en facteurs premiers.
\begin{enumerate}
\item Donner la décomposition en facteurs
premiers de 21, 125, 548, 180, 1000.
\item Décomposer en facteurs premiers les entiers $a=510$ et $b=819$,
et déterminer leur PGCD et leur PPCM grâce à ces décompositions.
\item Décomposer en facteurs premiers les entiers $a=4515$ et
$b=1369$, et déterminer leur PGCD et leur PPCM grâce à ces
décompositions.
\item On cherche à résoudre dans \N~l'équation $x(x+1)(3x-1)=220$.
      \begin{enumerate}
      \item Décomposer 220 en produit de facteurs premiers.
      \item En déduire la liste des diviseurs de 220.
      \item Résoudre l'équation.
      \end{enumerate}
\item Deux amies d'enfance se rencontrent :
      \begin{itemize}
      \item Hortense, quelle belle surprise ! comment vas-tu ?
      \item Bien, j'ai trois enfants.
      \item Quels âges ont-ils ?
      \item le produit de leur âges est 36.
      \item ??????
      \item Le numéro que porte la maison d'en face est égale à la somme de leurs âges.
      \item ??????
      \item malheureusement, l'aîné n'aime pas les maths.
      \item Ah, je vois.
      \end{itemize}
      Et vous, avez-vous trouvé l'âge des enfants d'Hortense ? 
\end{enumerate}}

\exoc{Le nombre $n$ désigne un entier naturel.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $n^2+5n+4$ et $n^2+3n+2$ sont divisibles par
$n+1$.
\item Prouver que $3n^2+15n+19$ est divisible par $n+1$ si et seulement si $n+1$ divise
$7$. Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles c'est le cas.
\item  En déduire que, quel que soit $n$, $3n^2+15n+19$ n'est pas divisible par
$n^2+3n+2$.
\end{enumerate}
}


\exoc{Soit $n$ un entier naturel quelconque.
\begin{enumerate}
\item  Démontrer par récurrence que $2^{3n}-1$ est divisible par 7.
\item  En déduire que $2^{3n+1}-2$ et $2^{3n+2}-4$ sont des multiples de $7$.
\item  Déterminer les restes de la division par 7 des puissances de 2.
\end{enumerate}}



\exoc{Soient $n$ et $e$ deux entiers naturels non nuls.
\begin{enumerate}
    \item Factoriser puis montrer que $n(n^2-1)$ est un multiple de 3.
    \item Montrer que $n(n^4-1)$ est un multiple de 5.
    \item En déduire que $n^e$ et $n^{e+4}$ se terminent par le même chiffre des unités.
\end{enumerate}}


\exoc{\begin{enumerate}
\item Décomposer 1276 en facteurs premiers.
\item Soient $x$ et $y$ deux entiers naturels, $A=3x+5y$ et $B=x+2y$.
Prouver que $PGCD(x;y)=PGCD(A;B)$.
\item Résoudre dans $\N^2$ le système
    $$\left\{\begin{array}{l}
    (3x+5y)(x+2y)=1276 \\
    xy=2m
    \end{array}\right.$$
où $m$ désigne le PPCM de $x$ et $y$.
\end{enumerate}
}


\exoc{Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls, $d$ leur
PGCD et $m$ leur PPCM. Trouver tous les couples $(a;b)$ vérifiant le
système ci-dessous.
    $$\left\{\begin{array}{l}
    m=d^2 \\
    m+d=156 \\
    a\geq b
    \end{array}\right.
    $$
}

\exoc{Soient $x$ et $y$ des entiers naturels non nuls vérifiant $x < y$ et soit $S$ est l'ensemble des couples $(x;y)$ tels que
$PGCD(x;y)=y-x$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item Calculer $PGCD(363;484)$.
      \item Le couple (363;484) appartient-il à $S$ ? 
      \end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul ; le couple $(n;n+1)$ appartient-il à $S$ ?
\item \begin{enumerate}
      \item Montrer que $(x;y)$ appartient à $S$ si et seulement si il existe un entier naturel non nul $k$ tel que
$x=k(y-x)$ et $y=(k+1)(y-x)$.
      \item En déduire que pour tout couple $(x;y)$ de S on a : $PPCM(x;y)=k(k+1)(y-x)$.                                                                           \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item Déterminer l'ensemble des entiers naturels diviseurs de 228.
      \item En déduire l'ensemble des couples $(x;y)$ de $S$ tels que $PPCM(x;y)=228$.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\exoc{ Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère les entiers
$M$ et $N$ définis par
\begin{eqnarray*}
    N & = & 9n+1 ; \\
    M & = & 9n-1.
\end{eqnarray*}
\begin{enumerate}
\item On suppose que $n$ est un entier pair. On pose $n=2p$, où $p$ est un entier naturel non nul.
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que $M$ et $N$ sont des entiers impairs.
    \item En remarquant que $N=M+2$, déterminer le PGCD de $M$ et $N$.
    \end{enumerate}
\item On suppose que $n$ est un entier impair. On pose $n=2p+1$, où $p$ est un entier naturel.
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que $M$ et $N$ sont des entiers pairs.
    \item En remarquant que $N=M+2$, déterminer le PGCD de $M$ et $N$.
    \end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel non nul $n$, on considère l'entier $81n^2-1$.
    \begin{enumerate}
    \item Exprimer l'entier $81n^2-1$ en fonction des entiers $M$ et $N$.
    \item Démontrer que si $n$ est pair alors $81n^2-1$ est impair.
    \item Démontrer que $81n^2-1$ est divisible par $4$ si et seulement si
    $n$ est impair.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
}



% \exoc{Soient $n$ et $d$ deux entiers naturels non nuls et $x$ un
% entier relatif différent de $0$ et $1$.
% \begin{enumerate}
% \item Démontrer l'équivalence des propositions suivantes :
% \begin{description}
%     \item [$P_1$ :] $d$ divise $x^2-x$ ;
%     \item [$P_2$ :] $d$ divise $x^n-x$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
% \end{description}
% \item Déterminer les entiers relatifs $x$ tels que, pour tout entier naturel $n$ non nul, 6 divise $x^n-x$.
% \end{enumerate}}


\exoc{Pour tout entier $ \geq 1$, on note $\sigma(n)$ la somme de tous les diviseurs positifs de $n$. Ainsi, $\sigma(10)=1+2+5+10=18$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer $\sigma(n)$ pour $n\leq20$
 \item Montrer que, si $p$ est premier, on a, pour tout entier $\alpha$, $\sigma(p^\alpha)=\cfrac{p^{\alpha+1}-1}{p-1}$.\\
 En déduire $\sigma(625)$, $\sigma(243)$, $\sigma(2^n)$.
 \item Etablir que si $p$ et $q$ sont premiers distincts et $\alpha$, $\beta$ entiers, on a $$\sigma(p^\alpha q^\beta)=\sigma(p^\alpha)\sigma(q^\beta).$$
 \item En déduire $\sigma(1\,998)$, $\sigma(1\,000\,000)$, $\sigma(1\,001)$.
\end{enumerate}
}

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\exoc{{\sl Asie, juin 2003} %DS 2009

\begin{enumerate} \item
    \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel
    $n$, $3n^3-11n+48$ est divisible par $n + 3$.
    \item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~3n^2 - 9n + 16$
    est un entier naturel non nul.
    \end{enumerate}
\item Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers naturels non nuls. On
note $d=\text{PGCD}(a~;~b)$ et $d'=\text{PGCD}(bc - a~;~b)$.
    \begin{enumerate}
    \item Prouver que tout diviseur commun de $a$ et $b$ divise
    $bc-a$. Que peut-on en déduire pour $d$ et $d'$ ?
    \item Prouver que tout diviseur commun de $bc-a$ et $b$ divise
    $a$. Que peut-on en déduire pour $d$ et $d'$ ?
    \item Déduire des 2 questions précédentes que
    \[\text{PGCD}(a~;~b) = \text{PGCD}(bc - a~;~b).\]
    \end{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal
à 2, l'égalité suivante est vraie :
\[\text{PGCD}(3n^3 - 11n~;~n + 3) = \text{PGCD}(48~;~n + 3).\]
\item
    \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des diviseurs
    entiers naturels de 48.
    \item En déduire l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que
    $\cfrac{3n^3 - 11n}{n+3}$  soit un entier naturel.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\exoc{{\bf Devoir maison 1}
\exoc{{\sl Centres étrangers, juin 2002} %DM 2009

Soit $p$ un nombre premier donné. On se propose d'étudier
l'existence de couples $(x~;~y)$ d'entiers naturels strictement
positifs vérifiant l'équation :
\[\textbf{E}~: x^2  + y^2= p^2\]
\begin{enumerate} \item On pose $p = 2$. Montrer que l'équation  \textbf{E}
est sans solution.\end{enumerate} On suppose désormais $p\neq 2$ et
que le couple $(x~;~ y)$ est solution de l'équation
\textbf{E}.\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}
\item Le but de cette question est de prouver que $x$ et $y$ sont
premiers entre eux, c'est à dire que leur PGCD est égal à $1$.
    \begin{enumerate} \item Montrer que $x$ et $y$ sont de parités différentes.
    \item Montrer que $x$ et $y$ ne sont pas divisibles par $p$.
    \item Montrer que le PGCD de $x^2$ et $y^2$ divise $p^2$.
    \item En déduire que le PGCD de $x$ et $y$ est égal à $1$.
    \end{enumerate}
\item On suppose maintenant que $p$ est une somme de deux carrés
non nuls, c'est-à-dire : $p = u^2 + v^2$ où $u$  et $v$ sont deux
entiers naturels strictement positifs.
    \begin{enumerate} \item Vérifier qu'alors le  couple $\left(\left|u^2 -
    v^2\right|~;~2uv\right)$ est solution de l'équation \textbf{E}.
    \item Donner une solution de l'équation \textbf{E}, lorsque $p =
    5$ puis lorsque $p = 13$.
    \end{enumerate}
\item On se propose enfin de vérifier sur deux exemples,
 que l'équation \textbf{E} est impossible lorsque $p$ n'est pas somme de
 deux  carrés.
    \begin{enumerate} \item $p = 3$ et $p = 7$ sont-ils somme de deux carrés ?
    \item Démontrer que les équations $x^2  +y^2 = 9$ et $x^2 + y^2 =
    49$ n'admettent pas de solution en entiers naturels strictement
    positifs.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


% \exoc{{\sl Centres étrangers, juin 2004} %DS 2008 - 2010
% 
% On se propose dans cet exercice d'étudier le problème suivant :
% \begin{quote}
% <<~\textit{Les  nombres dont l'écriture décimale n'utilise que le
% seul chiffre} 1 \textit{peuvent-ils être premiers} ?~>>
% \end{quote}
% 
% Pour  tout entier naturel $p \geqslant 2$, on pose
% $N_{p}=\overline{1 \ldots 1}$ où 1 apparaît $p$ fois.\\
% On rappelle dès lors que $N_{p} = 10^{p-1} + 10^{p-2} + \cdots +
% 10^0$.
% \begin{enumerate}\item Les nombres $N_{2} = 11,~ N_{3} = 111,~N_{4} = 1111$ sont-ils
% premiers ?
% \item Prouver que $N_{p} = \cfrac{10^p -1}{9}$. Peut-on être
% certain que $10^p - 1$ est divisible par 9 ?
% \item On se propose de démontrer que si $p$ n'est pas premier,
% alors $N_{p}$ n'est pas premier.\\ On rappelle que pour tout nombre
% réel $x$ et tout entier naturel $n$ non nul,
% \[x^n - 1 = (x - 1)\left(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1\right).\]
%     \begin{enumerate}\item On suppose que $p$ est pair et on pose $p = 2q$, où $q$ est un
%     entier naturel plus grand que 1. Montrer que $N_{p}$ est divisible
%     par $N_{2} = 11$.
%     \item On suppose que $p$ est multiple de 3 et on pose $p = 3q$, où
%     $q$ est un entier naturel plus grand que 1. Montrer que $N_{p}$
%     est divisible par $N_{3} = 111$.
%     \item On suppose $p$ non premier et on pose $p = kq$ où $k$ et $q$
%     sont des entiers naturels plus grands que 1. En déduire que
%     $N_{p}$ est divisible par $N_{k}$.
%     \end{enumerate}
% \item Énoncer une condition nécessaire pour que $N_{p}$ soit
% premier. Cette condition est-elle suffisante ?
% \end{enumerate}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%





%exos supprimes car Gauss nécessaire pour question 1b
% \exoc{Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels.
% \begin{enumerate}
% \item On suppose que la somme et le produit de $a$ et $b$
% ont pour PGCD le carré d'un nombre premier $p$.
%     \begin{enumerate}
%     \item Montrer que $p^2$ divise $a^2$. (On pourra remarquer que $a^2=a(a+b)-ab$.)
%     \item En déduire que $p$ divise $a$.
%     \item Montrer que $p$ divise $b$.
%     \item Démontrer que le PGCD de $a$ et $b$ est soit $p$, soit $p^2$.
%     \end{enumerate}
% \item On cherche à déterminer les entiers naturels $a$ et $b$ tels que PGCD$(a+b,ab)=49$ et PPCM$(a,b)=231$.\par
%     \begin{enumerate}
%     \item Soient $a$ et $b$ deux tels entiers. Montrer que leur PGCD est 7.
%     \item Quelles sont les solutions du problème posé ?
%     \end{enumerate}
% \end{enumerate}}

\exoc{{\sl Nouvelle Calédonie, décembre 2001}
\probpart{}

Soit $x$ un nombre réel.
\begin{enumerate} \item Montrer que $x^4 + 4 = \left(x^2 + 2\right)^2 - 4x^2$.
\item En déduire que $x^4  + 4$  peut s'écrire comme produit de
deux trinômes à coefficients réels.
\end{enumerate}

\probpart{}

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2.\\ On considère les
entiers $A = n^2 - 2n + 2$ et $B = n^2 + 2n + 2$ et $d$ leur PGCD.
\begin{enumerate} \item Montrer que $n^4 + 4$ n'est pas premier.
\item Montrer que, tout diviseur de $A$ qui divise $n$, divise 2.
\item Montrer que, tout diviseur commun de $A$ et $B$, divise
$4n$.
\item Dans cette question on suppose que $n$ est impair.
    \begin{enumerate} \item Montrer que $A$ et $B$ sont impairs. En déduire que $d$ est
    impair.
    \item Montrer que $d$ divise $n$.
    \item En déduire que $d$ divise 2, puis que $A$ et $B$ sont
    premiers entre eux.
    \end{enumerate}
\item On suppose maintenant que $n$ est pair.
    \begin{enumerate} \item Montrer que 4 ne divise pas $n^2 - 2n + 2$.
    \item Montrer que $d$ est de la forme $d = 2p$, où $p$ est impair.
    \item Montrer que $p$ divise $n$. En déduire que $d = 2$. (On
    pourra s'inspirer de la démonstration utilisée à la question
    \textbf{4.})
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exoc{{\sl Inde, juin 2002}
\begin{enumerate}
\item Calculer le P.G.C.D. de $4^5 - 1$ et de $4^6 - 1$.
\end{enumerate}
Soit $u$ la suite numérique définie par : $u_{0} = 0,~ u_{1} = 1$
et, pour tout entier naturel $n$,
\[u_{n+2} = 5 u_{n+1} - 4 u_{n}.\]
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}
\item Calculer les termes $u_{2},~ u_{3}$ et
$u_{4}$ de la suite $u$.
\item
    \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $u$ vérifie,
    pour tout entier naturel $n$, ~$u_{n+1} = 4 u_{n} + 1$.
    \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,~ $u_{n}$ est un
    entier naturel.
    \item En déduire, pour tout entier naturel $n$, le P.G.C.D. de
    $u_{n}$ et $u_{n+1}$.
    \end{enumerate}
\item Soit $v$ la suite définie pour tout entier
naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} + \cfrac{1}{3}.$
    \begin{enumerate} \item Montrer que $v$ est une suite géométrique dont on déterminera
    la raison et le premier terme $v_{0}$.
    \item Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$.
    \item Déterminer, pour tout entier naturel $n$, le P.G.C.D. de
    $4^{n + 1} - 1$ et de $4^n- 1$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exoc{{\sl Asie, juin 2002}

On considère les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ définies par $x_0 =
1,~y_0 = 8$ et
\[ \left\{ \begin{array}{l c l}
x_{n+ 1} & = &  \cfrac{7}{3}x_n + \cfrac{1}{3} y_n + 1\\[12pt]
y_{n + 1} &  =& \cfrac{20}{3}x_n + \cfrac{8}{3} y_n + 5\\
\end{array}\right., ~n \in \N \]
\begin{enumerate} \item Montrer, par récurrence, que les points $M_n$ de
 coordonnées $\left(x_n,~y_n\right)$ sont sur la droite $(\Delta)$ dont une
 équation est $5x - y + 3 = 0$. En déduire que $x_{n+ 1} = 4x_n + 2.$
\item Montrer, par récurrence, que tous les $x_n$ sont des
 entiers naturels. En déduire que tous les $y_n$ sont aussi des entiers naturels.
\item Montrer que :
    \begin{enumerate} \item $x_n$ est divisible par 3 si et seulement si $y_n$ est divisible par
    3.
    \item Si $x_n$ et $y_n$ ne sont pas divisibles par 3, alors ils
    sont premiers entre eux (leur PGCD est égal à 1).
    \end{enumerate}
\item
    \begin{enumerate} \item Montrer, par récurrence, que $x_n =
    \cfrac{1}{3} \left(4^n \times  5 - 2\right).$
    \item En déduire que $4^n \times  5 - 2$ est un multiple de 3,
    pour tout naturel $n$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}}

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\exoc{Soit $(U_n)$ la suite définie par :
\begin{eqnarray*}
    U_0\in\N,\quad U_0\geq 4 ; \\
    \forall n\in\N,\quad U_{n+1}=2U_n-3.
\end{eqnarray*}
\begin{enumerate}
    \item On définit la suite $(V_n)$ par $V_n=U_n-3$. Montrer que $(V_n)$
    est une suite géométrique.
    \item En déduire l'expression de $V_n$, puis celle de $U_n$ en fonction de $U_0$ et $n$.
    \item Quels sont les entiers $U_0$ tels que, pour tout $n$, $3^{U_n}$ soit le cube d'un entier
    naturel ?
    \item On suppose $U_0=4$. Déterminer toutes les valeurs de $n$ telles que $3^{U_n}-1$ soit un multiple de 11.
\end{enumerate}}


\exoc{On considère la suite définie par
    \begin{eqnarray*}
        U_0 & = & 3 \\
        U_n & = & \sum_{i=0}^n 3\times 5^i=3\times 5^n+3\times
        5^{n-1}+\dots+3
    \end{eqnarray*}\
    \begin{enumerate}
    \item Calculer $U_1$, $U_2$ et $U_3$.
    \item En effectuant une division euclidienne, exprimer le terme $U_{n+1}$ en fonction du terme précédent $U_n$.
    \item Prouver que pour tout entier positif $n$, $U_n$ est un entier naturel.
    \item Démontrer que pour tout entier positif $n$, $$U_n=\frac{3}{4}(5^{n+1}-1).$$
    \item En déduire que pour tout entier naturel $k$, $(5^k-1)$ est divisible par $4$.
\end{enumerate}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\exoc{{\bf Devoir maison 1}

On appelle nombre \emph{parfait} un nombre égal à la somme de ses
diviseurs stricts, c'est à dire différents de lui-même. Toutes les
réponses dans cet exercice doivent être justifiées ou
démontrées.\par
    \begin{enumerate}
    \item  Les nombres suivants sont-ils parfaits ? $12$ ; $152$ ; $6$ ; $23$ ; $16$ ; $28$.
    \item  Un nombre premier peut-il être parfait ?
    \item \txt{Euclide démontra dans le livre IX des Elements que : \begin{quote} \og Si autant de nombre que l'on veut, en commençant par l'unité, sont obtenus par une suite à double proportion jusqu'à ce que la somme de tous devienne un nombre premier, et si on forme un nombre en multipliant cette somme par le dernier nombre de cette somme, alors ce produit sera un nombre parfait. \fg \end{quote} }
    \exe{1 + 2 + 4 = 7.  7 est un nombre premier, donc on forme le produit de 7 par le dernier nombre de la somme (c'est à dire 4) et on trouve 28. 28 est bien un nombre parfait.}
        \begin{enumerate}
        \item Qui est Euclide ? (entre 5 et 10 lignes intelligibles). 
	\item Déterminer les quatre premiers nombres obtenus en utilisant la méthode d'Euclide (l'exemple est à inclure dans les 4 nombres à trouver).
	\end{enumerate}
    \item On souhaite savoir dans quels cas un nombre de la forme $2^n$, avec $n\in\N$, est parfait.
        \begin{enumerate}
        \item  Quels sont les diviseurs de $2^7$ ?
        \item  Plus généralement, quels sont les diviseurs de $2^n$ ?
        \item  Quelle est la condition pour que $2^n$ soit parfait ?
        \item  Jusitifier que si $n$ est un entier naturel quelconque,
        $$2^{n-1}+2^{n-2}+\dots+2+1=2^n-1$$
        \item  Conclure. 
        \end{enumerate}
    \item  On souhaite trouver tous les nombres parfaits de la forme $pq$, où $p$ et $q$ sont deux nombres premiers. \par
        \begin{enumerate}
        \item  Trouver un nombre parfait de cette forme.
        \item  Quels sont les diviseurs stricts de $pq$ ?
        \item  Trouver la condition sur $p$ et $q$ pour que $pq$ soit parfait.
        \item  Prouver que cette condition n'est pas réalisable si $p$ et $q$ sont strictement supérieurs à 3 ?
        (On pourra pour cela supposer $p\geq q$.)
        \item  Conclure.
        \end{enumerate}
    \item  On s'intéresse maintenant aux nombres de la forme $2^np$, où $n$ est un entier naturel non nul et $p$
    un nombre premier. On souhaite déterminer à quelle condition un
    tel nombre est parfait.\par
        \begin{enumerate}
        \item  Trouver deux nombres parfaits de cette forme.
        \item  Déterminer un entier premier $p$ tel que $2^4p$ soit parfait.
        \item  Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels, $p$ étant premier. Quels sont les diviseurs stricts de $2^np$ ?
        \item  Prouver que $1+2+2^2+...+2^{n-1}=2^n-1$.
        \item  Exprimer $p$ en fonction de $n$
        pour que $2^np$ soit parfait.
        \item  Donner la liste de tous les nombres parfaits de cette forme pour $n<10$.
	\item  Quelle proposition vient-on de prouver avec cette question ?
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}
}
\end{document}
