\documentclass[11pt]{article}\usepackage[Aymar]{ammaths}\usepackage{pst-eucl}\begin{document}\nocolor


\entetests{1}{16}{Équations différentielles d'ordre 2}{Analyse continue 8}


\begin{center}
\fbox{\parbox{13cm}{\sf\small A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
\begin{itemize}
\item 
\end{itemize}}}
\end{center}

\exoc{Résoudre chacune des équations différentielles suivantes : 
\begin{enumerate}
	\item $x''-6x'+8x=0$
	\item $x''-6x'+9x=0$
	\item $x''-4x'+20x=0$
\end{enumerate}}


\exoc{En physique, l'étude d'un mouvement amorti conduit à l'équation différentielle $$ x''(t)+2x'(t)+2x(t)=0 \quad (E)$$ dans laquelle $x$ désigne une fonction numérique de la variable $t$, admettant des dérivées première et seconde notées respectivement $x'(t)$ et $x''(t)$.
\begin{enumerate}
\item Résoudre cette équation sur $\R$.
\item Trouver la solution particulière de cette équation prenant la valeur $0$ pour $t=0$ et dont la dérivée prend la valeur $1$ pour $t=0$.
\item Soit $f$ la fonction numérique, telle que, pour tout élément $t$ de l'intervalle $[0,\pi]$, $$f(t)=e^{-t}\sin t.$$
	\begin{enumerate}
% 	\item \'Etudier le signe de $\cos (t+\frac\pi4)$ pour $t\in[0 ; \pi]$.
% 	\item \'Etudier les variations de $f$. 
	\item Justifer le signe de $f$ sur l'intervalle $[0 ; \pi]$
	\item Tracer à la calculatrice la représentation graphique $C$ de $f$.
	\end{enumerate}
\item On se propose de calculer, en cm$^2$ une valeur approchée par défaut à 1 mm$^2$ près de l'aire du domaine plan délimité par la courbe $C$ et l'axe des abscisses. À cette fin, deux méthodes sont proposées :
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'intégrale $\int_0^\pi f(t) \textrm{d}t$ au moyen de deux intégrations par parties successives.
	\item En utilisant l'équation différentielle $(E)$ écrite sous la forme
$$x=-\frac{1}{2}(x''+2x'),$$ déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $[0,\pi]$.\par
En déduire l'expression de $\int_0^\pi f(t) \textrm{d}t$ à l'aide de F.
	\item Déterminer une valeur approchée de l'aire considérée à 1 mm$^2$ près par défaut.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exocpart{EDL du deuxième ordre avec second membre}
\exoc{On considère l'équation différentielle $(E) :y''(x)-2y'(x)+y(x)=x^2$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Montrez que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2+4x+6$ est une solution de $(E)$.
	\item En déduire la forme générale des solutions de $(E)$.
	\end{enumerate}
\item Montrez que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=(2x-5)e^x+x^2+4x+6$ est une autre solution de $(E)$.
\item Montrez que la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=(32x-80)e^x+x^2+4x+6$ est aussi solution de $(E)$.
\end{enumerate}}





\exoc{Soit l'équation différentielle (E) $$y''+4y'+3y=e^{-2x}$$
dans laquelle $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$.
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $y''+4y'+3y=0$.
\item Déterminer une solution particulière de $(E)$ de la forme $Ae^{-2x}$, où $A$ est un réel que l'on déterminera.
\item En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$.
\item Déterminer la solution particulière $f$ de $(E)$ qui vérifie $f(0)=0$ et $f'(0)=0$.
\end{enumerate}}

\exoc{On considère l'équation différentielle $(E)$ : $$x''-2x'-3x=3t^2+1$$
où $x$ est une fonction numérique de la variable $t$, définie et deux fois dérivable sur $\R$, $x'$ la fonction dérivée de $x$ et $x''$ la fonction dérivée seconde de $x$.
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $x''-2x'-3x=0$.
\item Chercher une solution particulière de l'équation $(E)$ sous la forme d'une fonction polynôme du second degré.
\item En déduire la solution générale de $(E)$.
\item Déterminer la fonction $f$, solution de $(E)$ telle que $f(0)=0$ et $f'(0)=0$.
\end{enumerate}}

\exoc{On veut résoudre l'équation différentielle $$y''(x)+2y'(x)+y(x)=e^{-x},$$
notée $(E)$, où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, deux fois dérivable sur l'ensemble des nombres réels.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Résoudre l'équation différentielle $y''(x)+2y'(x)+y(x)=0.$
	\item Déterminer une fonction $u$, deux fois dérivable sur $\R$ telle que la fonction $y_0$, définie par $y_0(x)=u(x)e^{-x}$, soit solution de l'équation différentielle $(E)$.
	\item Donner l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
	\item Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation $(E)$ telle que  $f(0)=1$ et $f'(0)=0$.                             \end{enumerate}
\item On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie sur l'intervalle $[0,1]$ par $$f(x)=e^{-x}\left(1+x+\frac{x^2}{2}\right).$$
On note $C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\oij$ (unité graphique : 10 cm).
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que, pour tout nombre $x$ appartenant à $[0 ; 1]$, $f'(x)=-\cfrac{x^2}{2}e^{-x}.$
	\item \'Etudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variation de $f$.
	\item Tracer la courbe $C$ dans le repère $\oij$.
	\item Sur la figure, on constate que l'équation $f(x)=0,95$ admet une solution unique. Par lecture graphique, donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près de cette solution (on fera apparaître sur la figure les tracés permettant cette lecture).
	\item A l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de cette solution.                          \end{enumerate}
\end{enumerate}}


\exoc{Soit $(E)$ l'équation différentielle : $$y''+2y'+y=4e^{-x}$$
où $y$ est une fonction de la variable $x$, deux fois dérivable sur $\R$, $y'$ sa fonction dérivée et $y''$ sa fonction dérivée seconde. \probpart{}
\begin{enumerate}
     \item Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle $(E_0)$ : $y''+2y'+y=0.$
     \item Montrer que la fonction $y_1$ définie sur $\R$ par :  $y_1(x)=2x^2e^{-x}$ est une solution particulière sur $\R$ de $(E)$.
     \item En déduire la solution générale sur $\R$ de $(E)$.
     \item Déterminer la solution $y_2$ de $(E)$ qui vérifie : $y_2(0)=4\textrm{ et }y'_2(0)=1.$
 \end{enumerate}
\probpart{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $$f(x)=(2x^2+5x+4)e^{-x}.$$
On note $\cal C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \oij (unité graphique 1 cm).
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. On justifiera les résultats obtenus.
\item \'Etudier les variations de $f$.
\item Construire la courbe $C$.
\item Soit $\cal A$ l'aire en cm$^2$ de la partie du plan limitée par les droites d'équations $x=0$, $x=1$ et la courbe $\cal C$.\par
Donner la valeur exacte de $\cal A$, puis la valeur approchée à $10^{-3}$ près, de deux façons différentes :
	\begin{itemize}
	\item en effectuant successivement deux intégrations par parties ;
	\item en utilisant le fait que $f$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$.
	\end{itemize}
\end{enumerate}}


\exoc{\emph{Good vibrations}\\ \setcounter{probpart}{0}
Une masse M est posée sur le sol à l'aide d'une suspension amortie.\\
Pour tout $t$ de $[0,+\infty[$, on désigne par $x(t)$ la longueur du ressort (en mètres).\\
On établit en mécanique que la fonction de la variable $t$ définie sur $[0,+\infty[$ par $t\mapsto x(t)$ est solution de l'équation différentielle: $x''+kx'+25x=20$ où $k$ désigne une constante réelle positive qui dépend des caractéristiques de l'amortisseur.
\probpart{}
Les questions {\bf l.} et {\bf 2.} sont, dans une large mesure, indépendantes.
\begin{enumerate}
\item Le but de cette partie est la résolution de l'équation différentielle :
$$x''+kx'+25x=0 \quad (1)$$
où l'inconnue $x$ est une fonction de la variable réelle $t$ définie et deux fois dérivable sur $[0,+\infty[$ et $k$ une constante positive.
			\begin{enumerate}
			\item{\'Erire l'équation caractéristique de l'équation (1).}
			\item{Donner suivant les valeurs de $k$ les	différentes formes des solutions.}
			\item{Déterminer l'intervalle dans lequel il faut choisir le nombre $k$
			pour que l'équation (1) n'admette pas de solutions faisant intervenir des fonctions trigonométriques, donc que le système ne soit pas soumis à des oscillations.}
			\end{enumerate}
\item Dans la suite on prend $k=10$ et on considère l'équation différentielle  :
$$x''+10x'+25x=20\quad (2)$$
où l'inconnue $x$ est une fonction de la variable réelle $t$ définie et deux fois dérivable sur $[0,+\infty[$.\par
			\begin{enumerate}
			\item{Résoudre l'équation différentielle :
			$$x''+10x'+25x=0\quad (3)$$}
			\item{Déterminer le nombre réel $m$ tel que la fonction
			constante $h$ définie sur $[0,+\infty[$ par $h(t)=m$ soit
			solution de l'équation (2).}
			\item{Déduire de ce qui précède l'ensemble des solutions de l'équation (2).}
			\item{Déterminer la solution particulière $x$ de l'équation
			(2) qui vérifie les conditions initiales $x(0)=0,4$ et $x'(0)=0$.}
			\end{enumerate}
\end{enumerate}

\probpart{}
 Soit $x$ la fonction définie sur $[0,+\infty[$ par :
        $$x(t)=(-2t-0,4)e^{-5t}+0,8$$
et $\Co$ sa courbe représentative dans le plan muni du
repère orthonormal \oij (unité graphique 10 cm).\par
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
			\item Déterminer $\dis\lim_{t\to +\infty} x(t)$.  En
			déduire l'existence d'une asymptote $D$ dont on
			donnera une équation.
			\item En admettant que la fonction $x$ que l'on
			étudie soit solution du problème mécanique décrit
			au début de cet exercice, donner une
			interprétation du résultat obtenu au {\bf B.l.a)}.
			\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
			\item{Déterminer la dérivée $x'$ de $x$.}
			\item{\'Etablir le tableau de variation de $x$.}
			\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
			\item{Déterminer la tangente $T$ à la courbe $\cal
			C$ au point d'abscisse 0.}
			\item{Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de
			valeurs suivant dans lequel on fera figurer
			éventuellement des valeurs décimales
			approchées à $10^ {-2}$ près.
			\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
			$t$ & 0 & 0,25 & 0,5 & 0,75 & 1 & 1,5 & 2 \\\hline
			$x(t)$ & & & & & & & \\
			\hline
			\end{tabular}
			\end{center}}
			\item{Construire $D$, $T$ et $\cal C$.}
			\end{enumerate}
\end{enumerate}}




\exocpart{Exemple d'équation différentielle non linéaire}
\exoc{\emph{La vitesse du parachute (suite)}\par \setcounter{probpart}{0}
Un parachutiste saute d'un avion. On suppose que son parachute s'ouvre immédiatement.\par
Sur l'ensemble homme et parachute, de masse totale $m$, s'exercent plusieurs forces :
\begin{itemize}
\item le poids de l'ensemble, $mg$ où $g$ est l'accélération de la pesanteur ;
\item la résistance de l'air, $-kv^2$ où $k$ est le coefficient strictement positif qui dépend de la voilure du parachute, et $v^2$ le carré de la vitesse ;
\item la poussée d'Archimède de l'air qui sera considérée négligeable.
\end{itemize}

En écrivant la loi fondamentale de la dynamique pour le centre de gravité $G$ de l'ensemble, on obtient l'équation différentielle  $mv'=mg-kv^2$ où $v$ est la fonction de la variable $t$, définie et  dérivable sur $[0,+\infty[$ prenant pour valeur la norme du vecteur vitesse, et $v'$ est la fonction dérivée de $v$.\par
En simplifiant, on obtient donc $v'=g-\frac{k}{m}v^2$.
Dans la suite du problème, on prendra $g=10$ ; $m=70$ et $k=28$ (en unités S.I.).
L'équation différentielle sera donc :
                    $$v'=10-0,4v^2 \quad (E)$$

\probpart{}
\begin{enumerate}
\item{Démontrer que l'équation différentielle $(E)$ peut s'écrire
$$\frac{v'}{25-v^2}=0.4$$ pour tout $v$ de l'intervalle $[0,5[$.}
\item{Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que, tout $v$ de l'intervalle $[0,5[$,
$$\frac{1}{25-v^2}=\frac{a}{5+v}+\frac{b}{5-v}.$$}
\item{Résoudre l'équation différentielle $(E)$.}
\item{Déterminer la solution particulière $v$ telle que $v(0)=0$.}
\end{enumerate}

\probpart{}
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0,+\infty[$
par : $$f(t)=\frac{e^{4t}-1}{e^{4t}+1}.$$
\begin{enumerate}
\item{Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.}
\item{\'Etudier le sens de variation de $f$.}
\item{Quelle serait la limite de la vitesse $v(t)$ si $t$ tendait
vers $+\infty$.}
\end{enumerate}}


% 
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% \newpage
% \entetests{2}{1}{Fonctions d'une variable réelle}{Analyse continue 1}
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% \begin{center}
% \fbox{\parbox{13cm}{\sf\small A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
% \begin{itemize}
% \item 
% \end{itemize}}}
% \end{center}

\exoc{
}


\end{document}
















