\documentclass[11pt]{article}\usepackage[Aymar]{ammaths}\usepackage{pst-eucl}\begin{document}\nocolor


\entetests{1}{14}{Équations différentielles d'ordre 1}{Analyse continue 7}



\begin{center}
\fbox{\parbox{13cm}{\sf\small A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
\begin{itemize}
\item résoudre une équation différentielle du premier ordre ; 
\item appliquer la méthode de la variation de la constante.
\end{itemize}}}
\end{center}


\exoc{Résoudre (ou intégrer) chacune des équations différentielles suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
	\item $2f'(t)-3f(t)=0$ (sur $\R$)
	\item $y'(t)+5y(t)=0$ (sur $\R$)
	\item $y'(t)-\cfrac{2}{t}y(t)=0$ (sur $\R^{+*}$)
	\item $tv'+(1-t)v=0$ (sur $\R^{+*}$)
	\item $(1+t^2)y'+ty=0$ (sur $\R$)
	\item $tx'-x=0$ (sur $\R^{+*}$)
	\item $(\sin t) x' + (\cos t) x=0$ sur $I=]0;\pi[$
	\item $(t-1)x'+ x=0$ sur $I=]0;1[$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\exoc{On considère l'équation différentielle $3y'+2y=0  \quad (E)$
\begin{enumerate}
\item Résolvez $(E)$ et tracez plusieurs solutions sur l'écran de votre calculatrice.
\item Résolvez cette même équation sachant maintenant que $y(0)=32$.
\end{enumerate}}

\exoc{Soit $(E)$ $(1+t^2)x=t(1-t^2)x'$.
\begin{enumerate}
	\item Trouver $A, B$ et $C$ tels que $\cfrac{1+t^2}{t(t^2-1)}=\cfrac{A}{t}+\cfrac{B}{t-1}+\cfrac{C}{1+t}$.
	\item Résoudre $(E)$ sur $]1 ; +\infty[$
	\item Trouver la solution particulière $x_1$ telle que $x_1(2)=-\cfrac23$.
\end{enumerate}}


\exoc{\emph{Décharge de condensateur}\par
Les unités de mesure utilisées sont les unités S.I.\par
Un condensateur de capacité $C$ est chargé sous une tension initiale de 20 volts.  Il se décharge ensuite dans un résistor de résistance $R$ ; on note $a=RC$.  La tension aux bornes du condensateur est une fonction $V$ du temps $t$ définie sur $[0,+\infty[$.\par
On admet que $V$ est une fonction dérivable solution de l'équation différentielle :
                $$V'(t)+\frac{1}{a}V(t)=0. \quad(E)$$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
			\item{Déterminer toutes les fonctions solutions de l'équation différentielle $(E)$.}
			\item{On rappelle que pour $t=0$ on a $V(0)=20$. Déterminer l'expression de $V$.}
			\end{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que  $R=1000$ et $C=10^{-4}$.\par
			\begin{enumerate}
			\item{Montrer que l'on a alors $V(t)=20e^{-10t}$.}
			\item{\'Etudier les variations de la fonction $V$.}
			\item{Déterminer les valeurs de $t$ pour lesquelles $V(t)\geq 0,02$.}
			\item{L'intensité traversant le circuit est une fonction $I$
			du temps; on a $I(t)=CV'(t)$.  Déterminer $I(t)$.}
			\item{Calculer l'énergie $W$ dissipée dans le résistor entre
			les instants $t=0$ et $t=0,69$ sachant que
			$$W=\int_0^{0.69} RI^2(t)\textrm{d}t.$$}
			\end{enumerate}
\item Dans cette question, la tension aux bornes étant définie par $V(t)=20e^{-\frac{t}{a}}$, on note $C_a$ la courbe représentative de $V$ dans un repère orthogonal avec les unités
graphiques  5 cm sur l'axe des abscisses pour 0,l seconde et 0,5 cm sur l'axe des ordonnées pour représenter 1 volt.\par
			\begin{enumerate}
			\item{Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe $C_a$ au point d'abscisse 0.}
			\item Soit $M$ le point d'intersection de $T$ avec l'axe des abscisses.  Déterminer l'abscisse de $M$.
			\item{Pour un certain dipôle on a tracé la courbe représentative $\Co$, ainsi que sa tangente au point d'abscisse 0 sur le graphique ci-dessous. Déduire de ce graphique la valeur correspondante de $a$.}
			\end{enumerate}
\end{enumerate}
$$\psset{xunit=0.5, yunit=0.25}
\begin{pspicture}(0,-5)(10,20)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,-5)(10,20)
\psset{dotstyle=*,dotsize=5pt,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(0,-5)(10,20)
\psplot{0}{2.5}{-10 x mul 20 add}
\psplot{0}{10}{20 0 x 2 div sub EXP mul}
\end{pspicture}$$

}









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\exocpart{EDL du premier ordre avec second membre}
\exoc{Résoudre chacune des équations différentielles suivantes (on cherchera une solution particulière sous la forme indiquée) :
\begin{enumerate}
	\item $x'(t)+3x(t)=4\sin t +\cos t$ (sous la forme $A\cos t+B\sin t$).
	\item $x'(t)-5x(t)=t$ (sous la forme $At+B$).
	\item $x'(t)-4x(t)=2\e^{3t}$ (sous la forme $k\e^{3t}$).
\end{enumerate}}

\exoc{\emph{\'Ecoulement d'un liquide dans un tube cylindrique}\\
Une comparaison à un modèle d'écoulement amène à considérer que la vitesse d'écoulement $v_0$ d'un liquide dans un tube cylindrique est solution de l'équation
différentielle : $$4v'(x)+v(x)=3e^{\frac{x}{2}}-1 \quad (E)$$
avec la condition initiale $v_0(0)=0$.\par
\begin{enumerate}
	\item {Résoudre l'équation différentielle $4v'(x)+v(x)=0$.}
	\item {Déterminer les constantes réelles $A$ et $B$ pour que la fonction $u$ telle que \mbox{$u(x)=Ae^{\frac{x}{2}}+B$} soit une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.}
	\item {Résoudre l'équation différentielle $(E)$.}
	\item {Déterminer la solution particulière $v_0$ de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant $v_0(0)=0$.}
\end{enumerate}}


\exoc{\emph{Le bon polynôme}\\
Soit $(E)$ l'équation différentielle $$y'(x)-y(x)=x^2-x-1$$ dans laquelle $y$ est une fonction dérivable sur $\R$ de la variable réelle $x$ et $y'$ sa fonction dérivée.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une solution particulière de $(E)$ sous forme d'un polynôme de degré 2.
\item Trouver la solution générale de l'équation $(E)$.
\item Quelle est la solution de (E) vérifiant la condition $y(0)=1$ ?
\end{enumerate}}




\exoc{\emph{La vitesse d'un marteau}\\
Une machine à compacter est constituée d'un bloc d'acier appelé marteau. Ce marteau se déplace le long d'une tige placée verticalement.\par
L'étude physique montre que la vitesse $v$ (exprimée en mètres/seconde) est une fonction du temps $t$ (exprimé en secondes) solution de l'équation différentielle
$$v'(t)+v(t)=5+5e^{-t} \quad (E)$$
où $v$ est une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0;+\infty[$ et $v'$ sa fonction dérivée.\par
\begin{enumerate}
\item Résoudre $v'(t)+v(t)=0$.
\item Déterminer une solution particulière de $(E)$ de la forme $v_0(t)=a+bte^{-t}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels à déterminer.
\item \begin{enumerate}
			\item Résoudre $(E)$.
			\item En déduire $v(t)$ en supposant que $v(0)=0$.
			\end{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de la distance parcourue entre les instants $t=0$ et $t=2$, c'est à dire $$\int_0^2 \left[(5t-5)e^{-t}+5\right]\textrm{d}t.$$ Donner, en mètres, une valeur approchée de cette longueur au centième près.
\end{enumerate}}


\exoc{\emph{La vitesse d'un parachute}\\
La trajectoire suivie par un objet relié à un parachute est un axe vertical noté $(O;\vec{\imath})$. A un instant donné, le vecteur vitesse $\vec{V}$ de l'objet est
défini par $\vect{V}(t)=v(t)\vec{\imath}$ où $v$ est une fonction de la
variable réelle $t$ dans l'intervalle $[0;+\infty[$.\\
Dans les conditions de l'expérience, le vecteur $\vect{R}$ représentant la résistance de l'air est défini par $\vect{R}=-k\vect{V}$ où $k$ est un nombre réel strictement positif.\\
On admet que la fonction $v$ vérifie l'équation différentielle :
\begin{equation}mv'(t)+kv(t)=mg\end{equation}
où $m$ est la masse totale de l'objet et du parachute et $g$ le coefficient de l'accélération de la pesanteur. 
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
			\item Montrer qu'il existe une fonction constante, solution particulière de (1).
			\item Montrer que les fonctions solutions de (1) sont  définies pour tout nombre réel positif $t$ par:
			$$v(t)=Ce^{-\frac{k}{m}t}+\frac{mg}{k}$$
			où $C$ est une constante réelle dépendant des conditions de l'expérience.
			\end{enumerate}
\item Dans la suite du problème on prendra $m=8$ kg ; $g=10$ $m.s^{-2}$ et $k=25$ unités S.I.
      \begin{enumerate}
			\item Donner la fonction particulière $v_1$, solution de l'équation différentielle (1) correspondant à une vitesse initiale $v_1(0)$ de 5 $m.s^{-1}$.
			\item Donner la fonction particulière $v_2$ solution de l'équation différentielle (1) correspondant à une	vitesse initiale nulle.
			\item Montrer que les fonctions $v_1$ et $v_2$ ont la même limite lorsque $t$ tend vers $+\infty$.
			\item Donner la fonction particulière $v_3$ solution de l'équation différentielle (1) correspondant à une	vitesse initiale $v_3(0)$ de 3,2 $m.s^{-1}$.
			\item Tracer soigneusement les courbes $C_1$, $C_2$ et $C_3$ représentant respectivement les fonctions $v_1$, $v_2$ et $v_3$ dans un repère orthogonal \oij. On prendra pour unité graphique 2 cm sur l'axe vertical et et 4 cm sur l'axe horizontal.
			\end{enumerate}
\end{enumerate}}


\exoc{Soit $(E) : y'(x)-y(x)=x^2$.
\begin{enumerate}
	\item Résoudre $(E)$
	\item Trouver la solution $f$ de $(E)$ vérifiant $f(0)=0$.
	\item Etudier $f$ sur $\R^+$ et tracer sa représentation graphique. (On pourra étudier rapidement les variations de la fonction $g:x\mapsto e^x-(x+1)$ pour trouver le signe de $f'$ sur $\R^+$.)
\end{enumerate}}

\exoc{Soit $(E)$ l'équation différentielle $$2x'(t)+3x(t)=6t^2-7t-7$$ où l'inconnue $x$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur $\R$, et où $x'$ est la fonction dérivée de $x$.\par
\begin{enumerate}
	\item {Résoudre l'équation différentielle $(E)$.}
	\item {Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation $(E)$ qui vérifie la condition initiale $f(0)=0$.}
\end{enumerate}}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exocpart{Méthode de variation de la constante}
\exoc{En utilisant la méthode de la variation de la constante, résoudre chacune des équations différentielles suivantes puis préciser pour chaque solution sur quel domaine elle est valable.
\begin{enumerate}
	\item $x'(t)-x(t)=\cfrac{e^{2t}}{1+e^t}$
	\item $tx'(t)-x(t)=\sqrt t$
	\item $(t^2+1)x'(t)+2tx(t)=3t^2$
	\item $y'(x)\cos x-y(x)\sin x=2x-1$
\end{enumerate}}

\exoc{En utilisant la méthode de la variation de la constante, résoudre chacune des équations différentielles suivantes puis préciser pour chaque solution sur quel domaine elle est valable.
\begin{enumerate}
	\item $ty'(t)-y(t)=t^2\e^{t}$
	\item $(1-x^5)y'(x)-5x^4y(x)=1$
	\item $xy'+y=\dfrac{1}{1+x^2}$
	\item $xy'+(x-1)y=x^2$
	\item $(x+1)^3y'+2y(x+1)^2=1$
\end{enumerate}}


\exoc{\emph{Méthode de la variation de la constante}\\
Le but de l'activité est la résolution de l'équation différentielle $(E)$ :
      $$x(x^2+1)y'-2y=x^3(x-1)^2e^{-x},$$
où $y$ représente une fonction de la variable réelle $x$,
dérivable sur l'intervalle $]0,+\infty[$ et où $y'$ est la fonction
dérivée de $y$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Déterminer les trois nombres réels $a$, $b$, $c$ tels que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0,+\infty[$ :
		$$\frac{2}{x(x^2+1)}=\frac{a}{x}+\frac{bx+c}{x^2+1}.$$
	\item En déduire une primitive sur l'intervalle $]0,+\infty[$ de la fonction : $$x\mapsto \frac{2}{x(x^2+1)}.$$
	\item Résoudre sur l'intervalle $]0,+\infty[$ l'équation différentielle $(E_1)$ :$$x(x^2+1)y'-2y=0.$$
	\item Pourquoi a-t-on préciser l'intervalle $]0,+\infty[$ ?
	\end{enumerate}
\item On se propose de déterminer une fonction $g$ dérivable sur l'intervalle $]0,+\infty[$ telle que la fonction :$$h:x\mapsto\frac{x^2}{x^2+1}g(x)$$ soit une solution particulière de l'équation $(E)$.
	\begin{enumerate}
	\item  Calculer $h'(x)$ en fonction de $g(x)$ et $g'(x)$.
	\item Montrer que $h(x)$ est solution de $(E)$ si et seulement si $$g'(x)=(x-1)^2e^{-x}.$$
	\item Déterminer les nombres réels $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ tels que la fonction $x\mapsto (\alpha x^2+\beta x+\gamma)e^{-x}$ soit une primitive sur l'intervalle $]0,+\infty[$ de la fonction : $$x\mapsto (x-1)^2e^{-x}.$$
	\end{enumerate}
\item En déduire une solution particulière de l'équation  $(E)$ puis la solution générale de cette équation.
\end{enumerate}}






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\newpage
\entetests{2}{14}{Équations différentielles d'ordre 1}{Analyse continue 7}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\fbox{\parbox{13cm}{\sf\small A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
\begin{itemize}
\item 
\end{itemize}}}
\end{center}

\exoc{
}


\end{document}
















