\documentclass[11pt]{article}\usepackage[Aymar]{ammaths}\usepackage{pst-eucl}\begin{document}\nocolor



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\entetests{1}{9}{Nombres Complexes}{Complexes 4}
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\begin{center}
\fbox{\parbox{13cm}{\sf\small À la fin de ce td, vous devez être capable de :
\begin{itemize}
\item linéariser un polynome trigonométrique ; 
\end{itemize}}}
\end{center}



\exoc{Soit $f$  la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\sin(x)\times \sin(2x)$.
\begin{enumerate}
\item En utilisant les formules d'Euler, écrire $f(x)$ sous la forme d'une somme.
\item En déduire une primitive de $f(x)$.
\end{enumerate}
}

\exoc{En utilisant deux fois de suite la formule $\cos^2a =  \frac{(1 + \cos 2a)}{2}$, exprimer pour $x\in{\rm\bf R}$, $\cos^4x$ en fonction de $\cos 2x$ et $\cos 4x$.\\
Retrouver ce résultat en utilisant les formules d'Euler.
}

\exoc{Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \sin^3x$.
\begin{enumerate}
\item En utilisant les formules d'Euler, linéariser $f(x)$.
\item En déduire une primitive de $f(x)$.                                                                                                                                                             \end{enumerate}
}

\exoc{Le but de cet exercice est la résolution dans l'intervalle [0,2$\pi$] de l'équation \mbox{$2\sin x - \sin 3x =0$.}
\begin{enumerate}
\item Linéariser $\sin^3 x$ et en déduire que : $ 4 \sin^3 x - \sin x=2\sin x - \sin 3x $
\item Résoudre dans l'intervalle [0 ; 2$\pi$] les équations suivantes : 
      \begin{multicols}{3}
      \begin{enumerate}
      \item $\sin x =0$
      \item $\sin x =\frac{1}{2}$
      \item $\sin x =-\frac{1}{2}$
      \end{enumerate}
      \end{multicols}
\item En déduire les solutions appartenant à l'intervalle [0 ; 2$\pi$] de l'équation \mbox{$2\sin x - \sin 3x =0$}.
\end{enumerate}}

\exoc{Utiliser les formules d'Euler pour transformer en sommes les expressions suivantes :
\begin{multicols}{2} 
\begin{enumerate} 
\item $\sin 2x\times\sin 3x$ ;
\item $\cos x\times\cos 2x$ ;
\item $\sin x\times\cos 3x $ ;
\item $\sin 4x\times\cos x $ ;
\item $\cos^3x$ ;
\item $\cos 2x\sin 3x$ ;
\item $\cos5x \cos 7x$ ;
\item $\cos x\sin^2x$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\exoc{Utiliser Xcas pour vérifier chacun des résultats précédents.}
\end{document}
















