\documentclass[11pt]{article}\usepackage[Aymar]{ammaths}\usepackage{pst-eucl}\begin{document}\nocolor


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\entetests{1}{6}{Fonctions réciproques}{Analyse continue 3}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
\fbox{\parbox{13cm}{\sf\small A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
\begin{itemize}
\item Justifier si une fonction admet une réciproque ou non ; 
\item Tracer la courbe réciproque d'une fonction ; 
\item Déterminer l'expression de la réciproque d'une fonction ; 
\end{itemize}}}
\end{center}

\exoc{Soit $f$ la fonction définie sur $]1;+\infty[$ par $f(x)=\cfrac{x}{\ln x}$.
\begin{enumerate}
	\item Tracer la courbe de $f$ dans un repère orthonormal.
	\item Donner le plus grand intervalle sur lequel $f$ admette une fonction réciproque. Quel est l'ensemble de définition de $f^{-1}$ ?
	\item Tracer sur l'intervalle déterminé, la représentation graphique de $f^{-1}$, fonction réciproque de $f$.
\end{enumerate}}


\exoc{Pour tout $x>0$, on pose $f(x)=4+\ln x -2x^2$.
\begin{enumerate}
	\item Étudier les variations de $f$.
	\item $f$ admet-elle une fonction réciproque sur $]0 ; +\infty[$ ? Justifier.
	\item Prouver que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique sur $]0\ ;\ \dfrac{1}{2}]$.
	\item Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de cette solution. (Indiquer les étapes).
\end{enumerate}}


\exoc{Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{x^2-1}$.
\begin{enumerate}
	\item Etudier les variations de $f$.
	\item Tracer sa courbe représentative $\Co_f$.
	\item $f$ admet-elle une fonction réciproque sur $\R$ ? justifier.
	\item Trouver un intervalle où $f$ admette une fonction réciproque notée $f^{-1}$.
	\item Tracer sur le même graphique la courbe de $f^{-1}$ et exprimer $f^{-1}(x)$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}}


\exoc{Soit $f$ la fonction définie sur $\Df_f=\R-\{5\}$ par $f(x)=\cfrac{x+1}{x-5}$.
\begin{enumerate}
	\item Montrer que $f$ réalise des bijections que l'on précisera.
	\item Déterminer la fonction réciproque de $f$.
	\item $f$ réalise-t-elle une bijection de $\Df_f=\R-\{5\}$ sur $]1; +\infty[$ ? Justifier.
\end{enumerate}}

\exoc{On considère la fonction définie par $f(x)=\ln(1-\ln x)$.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'ensemble $\Df_f$ de la fonction $f$.
	\item \'Etudier les variations de $f$.
	\item Montrer que $f$ est une bijection de $\Df_f$ sur une partie de $\R$ que l'on déterminera.
	\item Expliciter l'application réciproque de $f$.
\end{enumerate}}


\exoc{On considère la fonction définie par $f(x)=\cfrac{\e^{x}+\e^{-x}}{2}$
\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'ensemble de définition $\Df_f$ de la fonction $f$.
	\item \'Etudier les variations de $f$.
	\item Donner les limites de $f$ aux bornes de son intervalle.
	\item Donner le plus grand intervalle sur lequel $f$ admette une fonction réciproque.
	\item Tracer sur l'intervalle déterminé, la représentation graphique de $f^{-1}$, fonction réciproque de $f$.
\end{enumerate}}






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\newpage
\entetests{2}{6}{Fonctions circulaires réciproques}{Analyse continue 3}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{center}
\fbox{\parbox{13cm}{\sf\small A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
\begin{itemize}
\item Tracer les fonctions $\arccos$, $\arcsin$ et $\arctan$ ; 
\item Déterminer l'image d'un nombre par les fonctions $\arccos$, $\arcsin$ et $\arctan$ ;
\item Dériver les fonctions $\arccos$, $\arcsin$ et $\arctan$.
\end{itemize}}}
\end{center}


\exoc{Attention à ne pas aller trop vite dans les réponses! 
\begin{enumerate}
  \item Calculer $\sin(\arcsin x)$ pour $x=\cfrac12$, pour $x=-\cfrac{\sqrt3}{2}$, pour $x=2$.
  \item Calculer $\arcsin(\sin x)$ pour $x=-\cfrac\pi3$, pour $x=\cfrac{3\pi}{4}$, pour $x=\cfrac{7\pi}{4}$.
  \item \begin{enumerate}
	\item A-t'on $\sin(\arcsin x)=x$ pour tout réel $x$ ?
	\item A-t'on $\arcsin(\sin x)=x$ pour tout réel $x$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}


\exoc{On veut montrer que pour tout $x$ de $[-1;1]$, on a $\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$. 
\begin{enumerate}
\item Exprimer $\cos y$ en fonction de $\sin^2y$.
\item En déduire l'expression de $\cos (\arcsin x)$.
\item En déduire que pour tout $x$ de $[-1;1]$, on a $\tan(\arcsin x)=\cfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.
\end{enumerate}}

\exoc{En s'inspirant de ce qui a été fait précédemment, montrer que $\sin(\arccos x)= \sqrt{1-x^2} $ et en déduire que $\tan(\arccos x)=\cfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ }

\exoc{Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\arcsin(\sin x)$.
\begin{enumerate}
\item Donner le domaine de définition de $f$.
\item Montrer que $f$ est périodique de période $2\pi$.
\item Etude de $f$ sur l'intervalle $[-\pi ; +\pi]$.
      \begin{enumerate}
      \item Pour chacune des figures suivantes, placer un angle $x$ appartenant l'intervalle donné puis la valeur de $\sin x$ correspondante et enfin celle de $\arcsin(\sin x)$.
      $$ \psset{unit=1.5cm} 
      \begin{pspicture}(-1,-1.2)(1,1.2)
      \pscircle(0,0){1}
      \psline{-}(-1,0)(1,0)
      \psline{-}(0,-1)(0,1)
      \end{pspicture}
      %cercle 2
      \hspace{1cm}
      \begin{pspicture}(-1,-1.2)(1,1.2)
      \pscircle(0,0){1}
      \psline{-}(-1,0)(1,0)
      \psline{-}(0,-1)(0,1)
      \end{pspicture}
      %cercle 3
      \hspace{1cm}
      \begin{pspicture}(-1,-1.2)(1,1.2)
      \pscircle(0,0){1}
      \psline{-}(-1,0)(1,0)
      \psline{-}(0,-1)(0,1)
      \end{pspicture}	$$	
      \hspace{1.75cm}				$x \in [-\cfrac\pi2 ;  \cfrac\pi2]$ \hspace{1.75cm} $x \in [\cfrac\pi2 ;  \pi]$ \hspace{1.75cm} $x \in [-\pi ;  - \cfrac\pi2]$ \hspace{1cm}
      \item En déduire l'expression de $\arcsin(\sin x)$ en fonction de $x$ sur chacun des intervalles donnés.
      \end{enumerate}
\item Déduire de la question précédente le tracé de $f$ sur $[-\pi ; +\pi ]$
\item En déduire le tracé de la courbe de $f$ sur \R.
\item $f$ est-elle continue sur $[-\pi ; +\pi]$ ? sur $\R$ ?
\end{enumerate}}



\exoc{on considère la fonction $f$ définie sur $[-1 ; 1]$ par $f(x)=\arcsin(2x\sqrt{1-x^2})$.
\begin{enumerate}
  \item On pose $x=\cos a$ avec $a\in[0;\pi]$. Montrer que $f(x)=\arcsin(\sin 2a).$
  \item Donner suivant les valeurs de $a$, l'expression de $f$.
  \item En déduire l'expression de $f$ suivant les valeurs de $x$ dans $[-1,1]$.
  \item Construire la courbe représentative de $f$ dans un repère $\oij$ orthogonal d'unité 4 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée.
\end{enumerate}}

\exoc{Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
\begin{enumerate}\vspace{-10pt}
\begin{multicols}{2}
  \item $x\arccos x$
  \item $\arctan(2x)$
  \item $\arctan(x^2)$
  \item $x\arcsin(x)+\sqrt{1-x^2}$
  \item $\arccos\pa{\cfrac{1-x^2}{1+x^2}}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
}

\exoc{Soit $f$ la fonction définie sur $[-1;1]$ par $f(x)=\arcsin x + \arccos x$.
\begin{enumerate}
  \item Calculer la dérivée de $f$ sur $]-1 ; 1 [$.
  \item Calculer $f(0)$.
  \item \begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout $x$ de $]-1;1[$, on a $\arcsin x + \arccos x=\cfrac\pi2$.
	\item Montrer que pour tout $x$ de $[-1;1]$, on a $\arcsin x + \arccos x=\cfrac\pi2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\exoc{Soit $f$ la fonction définie sur $[-1;1]$ par $f(x)=\arcsin(x^2)$.
\begin{enumerate}
  \item Calculer $f'(x)$.
  \item \'Etudier les variations de $f$.
  \item Tracer la représentation graphique de $f$.
\end{enumerate}}


\exoc{Soit $f$ la fonction de la variable réelle $x$ définie sur $\R$ par $f(x)=\cfrac{2x}{x^2+1}-\arctan x$.\\
On note $\Co$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal (unités : 1,5 cm en abscisse et 3 cm en ordonnée).
\begin{enumerate}
  \item Déterminer la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
  \item Montrer que la dérivée de $f$ est définie par $f'(x)=\cfrac{1-3x^2}{(x^2+1)^2}$.
  \item Dresser le tableau de variation de $f$.
  \item Donner une équation de la tangente au point d'abscisse $0$.
  \item Soit $\phi$ la fonction numérique défine sur $\R$ par $\phi(x)=x-f(x)$. \'Etudier les variations de la fonction $\phi$ (les limites ne sont pas demandées). Calculer $\phi(0)$. Donner le signe de $\phi(x)$. En déduire la position de la courbe $\Co$ par rapport à sa tangente $(T)$.
\end{enumerate}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%exo supp
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% \exoc{Soit $f$ la fonction numérique de la variable $x$ définie par $f(x)=\arctan\pa{\cfrac{x}{1-x^2}}$.
% \begin{enumerate}
%   \item Donner le domaine de définition de $f$.
%   \item Montrer que $f$ est une fonction impaire. En déduire le domaine d'étude de la fonction $f$.
%   \item \begin{enumerate}
% 	\item \'Etudier les limites de $f$ lorsque $x$ tend vers $1$. Donner les coordonnées des points d'arrêt de la courbe $\Co$ représentative de $f$.
% 	\item \'Etudier la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\Co$ ?
% 	\end{enumerate}
%   \item Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$.
%   \item Donner une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $\Co$ au point d'abscisse $0$.
%   \item Dans un repère orthonormal,(unité graphique 2 cm), construire $(T)$ et $\Co$. On placera les demi-tangentes aux points d'arrêt.
% \end{enumerate}}
% 
% 
% 
% \exoc{Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\arcsin\pa{\cfrac{1}{1+x^2}}$.
% \begin{enumerate}
% \item \begin{enumerate}
% 	\item Justifier que pour tout réel $x$, on a $0\leq \cfrac{1}{1+x^2}\leq1$.
% 	\item Sur quel ensemble $f$ est-elle définie ?
% 	\end{enumerate}
% \item \begin{enumerate}
% 	\item \'Etudier les variations de $f$ et tracer la courbe $\Co_f$. On donnera les limites aux bornes.
% 	\item Montrer que l'équation $\arcsin\pa{\cfrac{1}{1+x^2}}=1$ admet une seule solution positive. En donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
% 	\end{enumerate}
% \end{enumerate}}
% 
% \exoc{On considère l'équation $\arcsin x = \cfrac{x+1}{2}$.\\
% On note $f$ la fonction définie sur $[-1;1]$ par $f(x)=\arcsin x - \cfrac{x+1}{2}$.
% \begin{enumerate}
% 	\item \'Etudier les variations de la fonction $f$.
% 	\item Démontrer que l'équation admet une unique solution puis donner un encadrement de cette solution d'amplitude $0,01$.
% \end{enumerate}}




\newpage
\entete{}{Devoir maison}{pour le \dots/\dots/\dots}

\exo{\emph{Fonctions réciproques circulaires}
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\cos(\arccos x)$.
	\begin{enumerate}
	\item Donner et justifier le domaine de définition, noté $\Df_f$ de $f$.
	\item En utilisant un cercle trigonométrique pour votre résultat, donner  l'expression de $\cos(\arccos x)$ en fonction de $x$ sur $\Df_f$.
	\item Tracé la courbe de $f$ sur $\Df_f$.
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=\arccos(\cos x)$.
	\begin{enumerate}
	\item Donner et justifier le domaine de définition de $g$.
	\item Montrer que $f$ est périodique de période $2\pi$.
	\item En utilisant un cercle trigonométrique pour justifier votre résultat, donner  l'expression de $\arccos(\cos x)$ en fonction de $x$ sur $[0 ; \pi]$.
	\item Faire de même pour l'intervalle $[-\pi;0]$.
	\item Déduire de la question précédente le tracé de $g$ sur $[-\pi ; +\pi ]$
	\item En déduire le tracé de la courbe de $g$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\exo{\emph{\'Etude d'une fonction}\\
On considère la fonction $f$ définie sur $[-1 ; 1]$ par $$f(x)=x\arccos x.$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée première $f'$ de la fonction $f$ sur $]-1 ; 1[$.
\item Si $f''$ désigne la dérivée seconde de la fonction $f$ sur $]-1 ; 1[$, montrer que l'on a $$f''(x)=\cfrac{x^2-2}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}.$$
\item Etudier le signe de $f''$ et en déduire le tableau de variation de $f'$.
\item Démontrer que la fonction $f'$ s'annule pour une unique valeur $\alpha$ sur $]0 ; 1[$.
\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. (On indiquera les étapes dans un tableau).
\item Déduire\footnote{Indication : On utilisera l'égalité $f'(\alpha)=0$ pour obtenir une expression de $\arccos\alpha$ en fonction de $\alpha$.} de l'étude précédente les variations de la fonction $f$ et montrer que $f$ admet un extremum égal à : $$\cfrac{\alpha^2}{\sqrt{1-\alpha^2}}
$$\end{enumerate}}




\newpage
\entete{}{Devoir maison}{pour le \dots/\dots/\dots}
\corrige




\exo{\emph{Fonctions réciproques circulaires}
\begin{enumerate}
\item \textit{Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\cos(\arccos x)$.}
	\begin{enumerate}
	\item %\textit{Donner et justifier le domaine de définition, noté $\Df_f$ de $f$.}\\
		 Par définition, $\arccos x$ est définie de $[-1;1]$ sur $[0;\pi]$. Comme $\cos x$ est définie sur $\R$ et en particulier sur $[0;\pi]$, la fonction $f$ est définie sur $[-1;1]$.
	\item %\textit{En utilisant un cercle trigonométrique pour justifier votre résultat, donner  l'expression de $\arccos(\cos x)$ en fonction de $x$ sur $\Df_f$.}\\
		\begin{multicols}{2}
		$\arccos x$ envoie le segment $[-1;1]$ de l'axe des abscisses sur le demi-cercle supérieur. $\cos x$ envoie le demi-cercle supérieur sur le segment $[-1;1]$
		 de l'axe des abscisses. On a donc $$\forall x \in [-1;1] \arccos(\cos x) =x.$$\columnbreak
		$$\psset{unit=1.5cm} 
		\begin{pspicture}(-1,-1.2)(1,1.2)
		\pscircle(0,0){1}
		\psline{-}(-1,0)(1,0)
		\psline{-}(0,-1)(0,1)
		\rput(0.7,-0.2){$x$}\psline{->}(0.7,0)(0.7,0.7)\rput[l](1,0.45){$\uparrow\footnotesize\textcircled{1}\arccos x$}
		\psline{<-}(0.65,0)(0.65,0.7)\rput[l](1,0.15){$\downarrow\footnotesize\textcircled{2}\cos x$}
		\end{pspicture}$$
		\end{multicols}
		\item %\textit{Tracé la courbe de $f$ sur $\Df_f$.}
		Il suffit de tracer $y=x$ pour $x$ variant de $-$1 à $1$.
% 		$$\psset{unit=0.7cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
% 		\def\xmin{-1.5}\def\ymin{-1.5}\def\xmax{1.5}\def\ymax{1.5}
% 		\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
% 		\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
% 		\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
% 		\psplot[linecolor=rouge]{-5}{4}{x}
% 		\end{pspicture*}$$
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=\arccos(\cos x)$.
	\begin{enumerate}
	\item \textit{Donner et justifier le domaine de définition de $g$.}\\
$\cos x$ est définie de $\R$ sur $[-1;1]$, donc l'intervalle d'arrivée de $\cos x$ correspond à l'intervalle de départ de $\arccos x$.La fonction est définie sur $\R$.
	\item \textit{Montrer que $f$ est périodique de période $2\pi$.}\\
$f(x+2\pi)=\arccos(\cos(x+2\pi))=\arccos(\cos(x))=f(x)$ donc $f$ est bien $2\pi$-périodique.\\
	\item \textit{En utilisant un cercle trigonométrique pour justifier votre résultat, donner  l'expression de $\arccos(\cos x)$ en fonction de $x$ sur $[0 ; \pi]$.}\\
	\begin{multicols}{2}
	 Si $x\in[0 ; \pi]$ alors $\cos(x)$ envoie le demi cercle supérieur sur le segment $[-1;1]$ et $\arccos x$ retourne ce segment sur le demi cercle supérieur. donc
$$\forall x\in[0;\pi] ; \arccos(\cos x)=x$$
	$$ \psset{unit=1.5cm} 
		\begin{pspicture}(-1,-1.2)(1,1.2)
		\pscircle(0,0){1}
		\psline[linewidth=0.05]{-}(-1,0)(1,0)
		\psline{-}(0,-1)(0,1)\psline(0,0)(0.7,0.7)
		\rput(0.7,1){$x$}\psline{->}(0.7,0)(0.7,0.7)\rput[l](1,0.45){$\uparrow\footnotesize \textcircled{2}\arccos x$}
		\psline{<-}(0.65,0)(0.65,0.7)\rput[l](1,0.15){$\downarrow\footnotesize\textcircled{1}\cos x$}
		\end{pspicture}$$
	\end{multicols}
	\item \textit{Faire de même pour l'intervalle $[-\pi;0]$.}\\
		\begin{multicols}{2}
		Si $x\in[-\pi ; 0]$ alors $\cos(x)$ envoie le demi cercle inférieur sur le segment $[-1;1]$ et $\arccos x$ retourne ce segment sur le demi-cercle supérieur. donc
$$\forall x\in[0;\pi] ; \arccos(\cos x)=-x$$
		$$ \psset{unit=1.5cm} 
		\begin{pspicture}(-1,-1.2)(1,1.2)
		\pscircle(0,0){1}
		\psline[linewidth=0.05]{-}(-1,0)(1,0)
		\psline{-}(0,-1)(0,1)\psline(0,0)(0.7,0.7)\psline(0,0)(0.7,-0.7)
		\rput(0.7,-1){$x$}\psline{->}(0.7,0)(0.7,0.7)\rput[l](1,0.45){$\uparrow\footnotesize\textcircled{2}\arccos x$}
		\psline{<-}(0.7,0)(0.7,-0.7)\rput[l](1,-0.35){$\uparrow\footnotesize\textcircled{1}\cos x$}
		\end{pspicture}$$
	\end{multicols}
	\item \textit{Déduire de la question précédente le tracé de $g$ sur $[-\pi ; +\pi ]$}\\
On trace la fonction $y=x$ sur $[0;\pi]$ puis la fonction $y=-x$ sur $[-\pi;0]$. La fonction étant $2\pi$-périodique, on effectue ensuite les translations pour obtenir la courbe sur $\R$ entier.

$$\psset{unit=0.7cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
\def\xmin{-6}\def\ymin{-1}\def\xmax{6}\def\ymax{4}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psplot[linecolor=rouge]{-3.14}{0}{-x}
\psplot[linecolor=rouge]{0}{3.14}{x}
\psplot[linecolor=rouge]{-6}{-3.14}{6.28+x}
\psplot[linecolor=rouge]{3.14}{6}{6.28-x}
\end{pspicture*}$$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}
 
 \exo{\emph{\'Etude d'une fonction}\\
\textit{On considère la fonction $f$ définie sur $[-1 ; 1]$ par $$f(x)=x\arccos x.$$}
 \begin{enumerate}
 \item \textit{Déterminer la fonction dérivée première $f'$ de la fonction $f$ sur $]-1 ; 1[$.}\\
 $f$ est de la forme $u(x)\times v(x)$ avec :\\ $u(x)=x \quad;\quad u'(x)=1$ et $v(x)=\arccos x \quad;\quad v'(x)=\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^ 2}}$.\\
 Comme $(u\times v)'=u'v+v'u$, on obtient $$f'(x)=\arccos x-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$
 \item \textit{Si $f''$ désigne la dérivée seconde de la fonction $f$ sur $]-1 ; 1[$, montrer que l'on a $$f''(x)=\cfrac{x^2-2}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}.$$}\\
	Commençons par calculer la dérivée de $g(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.\\
	$g$ est de la forme $\dfrac{u(x)}{v(x)}$ avec : \\
	$u(x)=x \quad;\quad u'(x)=1$ et $v(x)=\sqrt{1-x^2} \quad;\quad v'(x)=\dfrac{-2x}{2\sqrt{1-x^ 2}}$\\
	Comme $(\dfrac{u}{v})'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$, on obtient :
		\begin{eqnarray*}
		g'(x)&=&\dfrac{1\times\sqrt{1-x^2}-x\times\frac{-x}{\sqrt{1-x^ 2}}}{\sqrt{1-x^2}^2}\\
		&=&\dfrac{\frac{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-x^2}+x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\
		&=&\dfrac{1-x^2+x^2}{\sqrt{1-x^2}(1-x^2)}\\
		&=&\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}(1-x^2)}
		\end{eqnarray*}
	On a donc 
	\begin{eqnarray*}
	 f''(x)&=&(\arccos x)'-g'(x) \\
	 &=&\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}(1-x^2)}\\
	 &=&\dfrac{-1+x^2-1}{\sqrt{1-x^2}(1-x^2)}\\
	 &=&\dfrac{x^2-2}{\sqrt{1-x^2}(1-x^2)}
	\end{eqnarray*}
 \item \textit{Etudier le signe de $f''$ et en déduire le tableau de variation de $f'$.}\\
 	$\sqrt{1-x^2}$ positif sur $[-1;1]$ puisque c'est une racine carrée.\\
 	$1-x^2=(1-x)(1+x)$ est positif sur $[-1;1]$.\\
 	$x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$ est négatif sur $[-1;1]$.\\
 	$$\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit{$x$ /1,$f''(x)$/1,$f'(x)$/1}{$-1$, $1$}
	\tkzTabLine{d,-,d}
	\tkzTabVar{D+/ /,-D/ /}
	\end{tikzpicture}$$
 \item \textit{Démontrer que la fonction $f'$ s'annule pour une unique valeur $\alpha$ sur $]0 ; 1[$.}\\
	$\left.\begin{array}{l} 
	         f'  \textrm{ est continue car composée de fonctions continues.}\\
		\dis\lim_\toinf{x}{1}f'(x)=\dis\lim_\toinf{x}{1}\arccos x-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}=-\infty<0\\
		 f'(0)=\arccos(0)-\dfrac{0}{\sqrt{1}}=\dfrac{\pi}{2}>0
		 \end{array}\right\}$ donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, $f'$ s'annule au moins une fois entre $0$ et $1$.\\
		 $f'$ étant stictement décroissante, cette solution est unique.
\item \textit{Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. (On indiquera les étapes dans un tableau).}\\
	On procède par dichotomie et on obtient que $0,65\leq\alpha\leq0,66$.\\
	\begin{center}
	\begin{tabular}{*{3}{|c|c|p{0.5cm}}|c|} 
	\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-10}
	$a$ 	& $f(a)$ 	&&   $b$ 	& $f(b)$ && 		$\frac{a+b}{2}$	& $f(\frac{a+b}{2})$  && $\ldots\leq\alpha\leq\ldots$ \\
	\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-10}
	$0$   & $1,57$        &&   $1 $	& $-\infty$	 &&	 $0,5$&	$0,47$	&&	$0,5\leq\alpha\leq1$\\
	\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-10}
	  &         &&   	& 	 &&	 $0,75$&	$-0,41$	&&	$0,5\leq\alpha\leq0,75$\\
	\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-10}
	&         &&   	& 	 &&	 $0,63$&	$0,078$	&&	$0,63\leq\alpha\leq0,75$\\
	\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-10}
	&         &&   	& 	 &&	 $0,69$&	$-0,14$	&&	$0,63\leq\alpha\leq0,69$\\
	\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-10}
	&         &&   	& 	 &&	 $0,66$&	$-0,028$	&&	$0,63\leq\alpha\leq0,66$\\
	\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-10}
	&         &&   	& 	 &&	 $0,65$&	$0,007$	&&	$0,65\leq\alpha\leq0,66$\\
	\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-10}
	\end{tabular}
	\end{center}
 \item \textit{Déduire\footnote{Indication : On utilisera l'égalité $f'(\alpha)=0$ pour obtenir une expression de $\arccos\alpha$ en fonction de $\alpha$.} de l'étude précédente les variations de la fonction $f$ et montrer que $f$ admet un extremum égal à : $$\cfrac{\alpha^2}{\sqrt{1-\alpha^2}}$$}\\
	$f'(\alpha)=0$ et $f'$ est décroissante. On en déduit le signe de $f'$ et le tableau de variation de $f$.
	$$\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=3]{$x$ /1,$f'(x)$/1,$f'(x)$/1,$f(x)$/1}{$-1$,$\alpha$, $1$}
	\tkzTabVar{D+/ /,R//,-D/ /}
	\tkzTabVal{1}{3}{1}{$\alpha$}{$0$}
	\tkzTabLine{d,+,0,$-$,d}
	\tkzTabVar{-/$0$ /,+/$f(\alpha)$ /,-/0 /}
	\end{tikzpicture}$$
	$f$ admet un extremum en $\alpha$ car $f'$ s'annule et change de signe en ce point.\\
	$f(\alpha)=\alpha\arccos\alpha.$ Comme $f'(\alpha)=0$, on en déduit que  $\arccos\alpha-\dfrac{\alpha}{\sqrt{1-\alpha^2}}=0$ d'où $\arccos\alpha=\dfrac{\alpha}{\sqrt{1-\alpha^2}}$ et donc $f(\alpha)=\dfrac{\alpha^2}{\sqrt{1-\alpha^2}}$.
  \end{enumerate}
}






\end{document}
















