\documentclass[10pt]{article}\usepackage[Aymar]{ammaths}\usepackage{pst-eucl}\begin{document}\nocolor


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\entetests{1}{4}{Parité -- Périodicité}{Analyse continue 2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\fbox{\parbox{13cm}{\sf\small À la fin de ce td, vous devez être capable de :
\begin{itemize}
\item déterminer la parité d'une fonction ;
\item déterminer la périodicité d'une fonction ;
\item étudier le signe d'une expresion trigonométrique ;
\end{itemize}}}
\end{center}

\exoc{On donne ci-dessous les graphiques de six fonctions. Par simple lecture graphique :
\begin{enumerate}
	\item indiquez les fonctions paires, 
	\item indiquez les fonctions impaires.
\end{enumerate}
\begin{center}
%\scalebox{0.7}{
\begin{tabular}{cp{0.5cm}cp{0.5cm}c}
\psset{xunit=0.389cm,yunit=0.1538cm} \pspicture(-4.5,-12.5)(4.5,4.5)
\psaxes[labels=none,ticks=none,linecolor=gray]{<->}(0,0)(-4.5,-12.5)(4.5,4.5)
\psplot{-4}{4}{x 2 exp neg 4 add}
\endpspicture
\par
&& \psset{xunit=0.389cm,yunit=0.2918cm}
\pspicture(-4.5,-4.5)(4.5,4.5)
\psaxes[labels=none,ticks=none,linecolor=gray]{<->}(0,0)(-4.5,-4.5)(4.5,4.5)
\psplot{-4}{4}{x}
\endpspicture
\par
&& \psset{xunit=0.389cm,yunit=0.2625cm}
\pspicture(-4.5,-1.5)(4.5,8.5)
\psaxes[labels=none,ticks=none,linecolor=gray]{<->}(0,0)(-4.5,-1.5)(4.5,8.5)
\psplot{-2}{4}{x 2 exp x 2 mul neg add}
\endpspicture
\par
\\
Graphique de  $f_1$ && Graphique de  $f_2$ &&
Graphique de  $f_3$\\
\end{tabular}

\begin{tabular}{cp{0.5cm}cp{0.5cm}c}
\psset{xunit=0.004cm,yunit=0.8753cm} \pspicture(-400,-1.5)(400,1.5)
\psaxes[labels=none,ticks=none,linecolor=gray]{<->}(0,0)(-400,-1.5)(400,1.5)
\psplot{-360}{360}{x cos}
\endpspicture
\par
&& \psset{xunit=0.004cm,yunit=0.8753cm}
\pspicture(-400,-1.5)(400,1.5)
\psaxes[labels=none,ticks=none,linecolor=gray]{<->}(0,0)(-400,-1.5)(400,1.5)
\psplot{-360}{360}{x sin}
\endpspicture
\par
&& \psset{xunit=0.7cm,yunit=0.2018cm}
\pspicture(-2.5,-0.5)(2.5,12.5)
\psaxes[labels=none,ticks=none,linecolor=gray]{<->}(0,0)(-2.5,-0.5)(2.5,12.5)
\psplot{-2}{2}{x 4 exp x 2 exp neg add}
\endpspicture
\par
\\
Graphique de  $f_4$ && Graphique de  $f_5$ &&
Graphique de  $f_6$ \\
\end{tabular}
%}%fin_scalebox
\end{center}}

\exoc{Compléter en bleu les représentations graphiques suivantes sachant qu'il s'agit de fonctions paires.
\begin{center}
\begin{tabular}{cccc}
    \psset{unit=0.35cm}
    \pspicture(-4.5,-0.5)(4.5,8.5)
    \psaxes[labels=none,ticks=none,linecolor=gray]{<->}(0,0)(-4.5,-0.5)(4.5,8.5)
    \psplot{-4}{0}{x x mul 2 div}
    \endpspicture
    \par

&
    \psset{xunit=0.35cm,yunit=0.17cm}
    \pspicture(-4.5,-10)(4.5,10)
    \psaxes[labels=none,ticks=none,linecolor=gray]{<->}(0,0)(-4.5,-8.5)(4.5,8.5)
    \psplot{-4}{-0.1}{1 x div}
    \endpspicture
    \par

&

    \psset{xunit=0.4cm,yunit=0.2cm}
    \pspicture(-3.5,-3.5)(3.5,11.5)
    \psaxes[labels=none,ticks=none,linecolor=gray]{<->}(0,0)(-3.5,-3.5)(3.5,11.5)
    \psplot{-3}{0}{1 8 div x 4 exp mul 2 neg add}
    \endpspicture
    \par
&
    \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.3cm}
    \pspicture(-2.5,-6.5)(2.5,6.5)
    \psaxes[labels=none,ticks=none,linecolor=gray]{<->}(0,0)(-2.5,-6.5)(2.5,6.5)
    \psplot{-2}{0}{x 3 exp x neg add}
    \endpspicture
    \par
\\
 ${\cal C}_1$ &  ${\cal C}_2$ &
 ${\cal C}_3$ & ${\cal C}_4$ \\\end{tabular}
\end{center}
Reprendre l'exercice dans le cas où les fonctions sont impaires (compléter en rouge).}

\exoc{Soient $f$ et $g$ deux fonctions paires. Compléter les tableaux suivants :
$$\begin{array}{|*{7} {>\centering p{1cm} <\centering |}} \hline
$x$    & -5  & -3 & -1 & 1 & 3 & 5 \tabularnewline\hline
$f(x)$ & -10 &    &  -2&   & 15&  \tabularnewline \hline
\end{array}$$
\medskip
$$\begin{tabular}{c|lp{1cm}cp{1cm}cp{1cm}cp{1cm}r}
$x$ & $-5$ && $-3$ && $0$ && $3$ && $5$ \\
\hline
 & &&\rnode{B}{$13$} &&  \\

$g(x)$ & && &&  \\
 & \rnode{A}{$9$} && && \rnode{C}{$0$} \\
\end{tabular}
\psset{nodesep=3pt}
\ncline{->}{A}{B} \ncline{->}{B}{C} $$
Reprendre l'exercice dans le cas où les fonctions $f$ et $g$ sont impaires.}

%\newpage
\exoc{Déterminer par le calcul si les fonctions suivantes sont paires, impaires, ou rien du tout.
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
	\item $a(x)=4x$
	\item $b(x)=x^2-7$
	\item $c(x)=\cfrac{x}{x+100}$
	\item $d(x)=-5$
	\item $e(x)=x^4+\cfrac{1}{x^2}$
	\item $f(x)=x^2+\sqrt x$
	\item $g(x)=\cfrac{x+2}{x+1}$
	\item $h(x)=x^3+x$
	\item $i(x)=\dfrac{x^3}{1-x^2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\exoc{Dans cet exercice, on se propose de mettre en évidence une cohérence linguistique :
\begin{enumerate}
\item Déterminer la parité de chacune des fonctions suivantes : \\
$f_0:x\mapsto x^0=1$ ; $f_1:x\mapsto x^1$ ; $f_2:x\mapsto x^2$ ; $f_3:x\mapsto x^3$ ;
$f_4:x\mapsto x^4$ ; $f_5:x\mapsto x^5$.
\item Proposer une règle donnant la parité de $x\mapsto x^n$ suivant la valeur de $n$.
\item Quelle cohérence remarque-t-on ?
\end{enumerate}}

% \exoc{Soit f la fonction définie sur \R~ par $f(x)=\cfrac{4}{x^2+1}$
% \begin{enumerate}
% \item Préciser l'ensemble de définition de la fonction $f$.
% \item Etudier la parité de f.
% \item Tracer la représentation graphique $\Co_f$ sur $[-3 ; 3]$  ainsi que la droite \Dr~ d'équation \mbox{y = x + 3}. (unité 1 cm ou 1 carreau sur chaque axe)
% \item \begin{enumerate}
% 		\item Résoudre graphiquement $f (x) = x + 3$.  
% 		\item Résoudre graphiquement $f (x)\le x + 3$.
% 		\item Soit $k$ un nombre réel quelconque. Déterminer graphiquement quel est, en fonction de la valeur de $k$, le nombre de solutions de l'équation $f(x)=k$.
% 		\end{enumerate}
% \end{enumerate}}



% \exoc{Soient $f$ et $g$ deux fonctions paires.
% \begin{enumerate}
% 	\item \begin{enumerate}
% 				\item Que dire de la fonction définie sur \R~par $h(x)=f(x)+g(x)$.
% 				\item Que dire de la fonction définie sur \R~par $h(x)=f(x)\times g(x)$.
% 				\end{enumerate}
% 	\item Reprendre la question 1. dans le cas où les fonctions $f$ et $g$ sont impaires.
% 	\item Reprendre la question 1. dans le cas où $f$ est impaire et $g$ est paire.
% \end{enumerate}}
% 
% \exoc{Pour aller plus loin.
% \begin{enumerate}
% 	\item Montrer que si une fonction est impaire alors $f(0)=0$.
% 	\item A quelle(s) condition(s) une fonction affine est -elle paire ? 
% 	\item A quelle(s) condition(s) une fonction affine est -elle impaire ? 
% \end{enumerate}}



\exoc{On considère la fonction $f$ définie sur $[0 ; 2\pi]$ par $f : x \mapsto 2\cos^2 x -2\cos x-1$.
\probpart{ -- Étude de la fonction $f$}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item Montrer que la dérivée de $\cos^2 x$ est $-2\sin x \cos x$.
      \item Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item Vérifier que $f'(x) = 2\sin x (1 - 2 \cos x).$
      \item Etudier le signe de $f '$ et en déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}

\probpart{ -- Représentation graphique}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est $2\pi$ périodique. Qu'en déduit-on pour la courbe de $f$ ?
\item Montrer que $f$ est paire. Qu'en déduit-on pour la courbe de $f$ ?
\item \begin{enumerate}
      \item Déterminer les abscisses des points d'intersection de $\Co_f$ avec l'axe $(Ox)$ sur $[-\pi ; +\pi]$.
      \item En déduire toutes les abscisses des points où $\Co_f$ recoupe $(Ox)$.
      \end{enumerate}
\item Tracer $\Co_f$ dans un repère orthonormal $\oij$ d'unité 1cm.
\end{enumerate}
}

\exoc{On considère la fonction $f$ définie sur $[0 ; 2\pi]$ par $f(x)=3\sin^2x+4\cos^3 x$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Déterminer la dérivée de $\sin^2x$.
	\item Déterminer la dérivée de $\cos^3x$.
	\item En déduire la dérivée de $f$.
	\item Vérifier que $f'(x)=6\sin x\cos x(1-2\cos x)$.
	\end{enumerate}
\item Étudier le signe de $f'$ sur l'intervalle $[0 ; 2\pi]$.
\item Tracer le tableau de variation de $f$ sur $[0 ; 2\pi]$. 
\item Préciser et justifier les extremums que $f$ admet.
\item Tracer la représentation graphique de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 2\pi]$. (Unités graphiques : 2 cm pour une unité sur chaque axe).
\end{enumerate}}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\entetests{2}{4}{Continuité}{Analyse continue 2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\fbox{\parbox{13cm}{\sf\small À la fin de ce td, vous devez être capable de :
\begin{itemize}
\item déterminer graphiquement si une fonction est continue ;
\item déterminer par le calcul si une fonction est continue ;
\item tracer une fonction dont l'expression comporte la fonction de Heaviside ;
%\item utiliser la fonction de Heaviside pour donner l'expression d'une fonction ;
\end{itemize}}}
\end{center}




\exoc{Soit $f$ la fonction définie sur $\R$, impaire, périodique de période $2$, définie sur $[0;1]$ par 
$$\left\{ \begin{array}{l} 
f(x)=x^2 \textrm{ si } x\in [0;1[\\ 
f(1)=0\\
\end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item Tracer sa représentation graphique dans un repère orthonormal sur$[-5;5]$.
\item Graphiquement, la fonction semble-t-elle continue en $1$ ?
\end{enumerate}
}


\exoc{Soit $f$ la fonction définie sur $\R$, paire, périodique de période $4$, telle que
$$\left\{ \begin{array}{l} 
\textrm{ si } 0\leq t<1 \textrm{ alors } f(t)=t\\
\textrm{ si } 1\leq t\leq2 \textrm{ alors } f(t)=1\\
\end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item Tracer sa représentation graphique dans un repère orthonormal sur$[-5;5]$.
\item Étudier graphiquement la continuité de $f$ en $0$ et en $1$.
\end{enumerate}
% \item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$, impaire, périodique de période $4$, telle que
%       $$\left\{ \begin{array}{l} 
%       \textrm{ si } 0\leq t<1 \textrm{ alors } g(t)=t\\
%       \textrm{ si } 1\leq t<2 \textrm{ alors } g(t)=1\\
%       g(2)=0\\
%       \end{array} \right.$$
%       Tracer sa représentation graphique dans un repère orthonormal sur$[-6;6]$.
% \end{enumerate}
}


\exoc{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=|\sin(2x)|$.\\
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est paire et périodique de période $\dfrac{\pi}{2}$.
\item Tracer sa représentation graphique de $f$ sur $[-\pi;2\pi]$.
\item Étudier graphiquement la continuité de $f$.
\end{enumerate}
}

\exoc{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$, périodique de période $2\pi$ définie par :
$$\left\{ \begin{array}{l} 
f(t)=\sin t \textrm{ si } t\in[0;\pi]\\
f(t)=0 \textrm{ si } t\in]\pi;2\pi[
\end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item Tracer la représentation graphique de $f$ sur $[-\pi;2\pi]$.
\item Étudier la continuité de $f$ en $0$.
\end{enumerate}
}

\exoc{Soit $f$ la fonction définie par $\left\{ \begin{array}{l} 
f(x)=x^2 \textrm{ si } x\in [0;1[\\ 
\textrm{f périodique de période 1} \end{array} \right.$
\begin{enumerate}
	\item Représenter $f$ graphiquement dans un repère $\oij$ orthonormal d'unité 1 cm pour $x\in [-3;3]$.
	\item $f$ est-elle continue en 1 ? Justifier par un calcul de limite.
	\item Donner toutes les valeurs en lesquelle $f$ n'est pas continue.
	\item Donner le plus grand intervalle sur lequel $f$ est continue.
	\item $f$ est-elle continue par morceaux ? Justifier.
\end{enumerate}}


% \exoc{Représenter graphiquement le signal $u$, fonction de la variable $t$, défini par :
% \begin{center}
% $ \left\{\begin{array}{ll}
% u(t)=t & \textrm{si } 0\leq t<1\\
% u(t)=2-t&\textrm{si } 1\leq t \leq2 \\
% u(t)=0&\textrm{si } 2< t<3\\
% u \textrm{ est périodique}&\textrm{de période 3}
% \end{array}\right.$\\
% \end{center}
% La fonction $u$ est -elle continue sur $[0 ; +\infty[$ ? justifier.}

\exoc{On appelle fonction échelon unité ou fonction de Heaviside la fonction $\U$ définie par
\begin{center}
$\U(x) : \left\{ \begin{array}{l} 
\U(x)=0 \textrm{ si } x<0\\ 
\U(x)=1 \textrm{ si } x\ge0 \end{array} \right.$
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Représenter graphiquement la fonction $\U$.
	\item Est-elle continue sur $\R$ ? Justifier.
	\item Représenter graphiquement la fonction définie par $f(t)=(t^2-1)\U(t)$ pour tout $t\in\R$
	\item \'Etudier la continuité de $f$ en $t=0$.
\end{enumerate}}

% \exoc{Soit $f$ la fonction défine sur $\R$ par :$ \left\{\begin{array}{ll}
% f(x)=1-\e^x & \textrm{si } x<0\\
% f(x)=\cfrac{\e^x -1}{\e^x+1} & \textrm{si } x>0\\
% \end{array}\right.$
% \begin{enumerate}
% 	\item Montrer que $f$ est continue sur $\R$.
% 	\item \'Etudier les variations de $f$ (on étudiera les limites aux bornes).
% 	\item Tracer la courbe représentative de $f$.
% \end{enumerate}}

\exoc{Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x\U(x)-x\U(x-1)-\U(x-2)$.
\begin{enumerate}
  \item Déterminer explicitement $f$ pour chacun des intervalles $]-\infty ; 0[$ , $[0;1[$ , $[1;2[$, $[2;+\infty[$.
  \item Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère $\oij$ orthonormal d'unité 1 cm.
  \item \'Etudier la continuité de $f$ en 0, 1, 2.
  \item Que peut-on dire de $f$ sur $\R$ ?
\end{enumerate}}

\exoc{Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x\U(x)-2(x-1)\U(x-1)+(x-2)\U(x-2)$.
\begin{enumerate}
  \item Déterminer explicitement $f$ pour chacun des intervalles $]-\infty ; 0[$ , $[0;1[$ , $[1;2[$, $[2;+\infty[$.
  \item Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère $\oij$ orthonormal d'unité 1 cm.
  \item \'Etudier la continuité de $f$ en 0, 1, 2.
  \item Que peut-on dire de $f$ sur $\R$ ?
\end{enumerate}}


\exoc{on considère la fonction $f$ définie sur $\R$, paire, périodique de période $\pi$, telle que $f(t)=\cfrac{2}{\pi} t$ pour tout $t\in\cro{0;\cfrac\pi2}$.
\begin{enumerate}
  \item Tracer sa représentation graphique dans un repère orthogonal sur $[-2\pi;+2\pi]$ (unité 1 cm pour $\cfrac{\pi}{2}$ en abscisse, et 1 cm pour une unité en ordonnée).
  \item \'Etudier la continuité de $f$ en $0$ et en $\cfrac\pi2$.
\end{enumerate}}

\exoc{Soit $f$ la fonction  définie par
      $\left\{ \begin{array}{l} 
      f(x)=x-1+e^{-x} \textrm{ si } 0\leq x\leq 1\\ 
      f(x)=x-3+e^{-x}(1+2e) \textrm{ pour } x > 1 \end{array} \right.$\\ 
\'Etudier la continuité de $f$ en 1.}

\exoc{Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\R$ par 
    $\left\{ \begin{array}{l} 
    f(x)=x-1 \textrm{ si } x\le 1\\ 
    f(x)=x^2-2x+a \textrm{ pour } x>1 \end{array} \right.$\\
Déterminer la valeur de $a$ pour que la fonction soit continue pour $x=1$.}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\entetests{3}{4}{Continuité et résolution d'équation}{Analyse continue 2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\fbox{\parbox{13cm}{\sf\small À la fin de ce td, vous devez être capable de :
\begin{itemize}
\item justifier l'existence et l'unicité de la solution d'une équation ;
\item encadrer une solution en procédant par dichotomie ;
\item encadrer une solution en utilisant la méthode de Newton.
\end{itemize}}}
\end{center}



\exoc{On s'interresse à l'équation $\ln x+x=0$.
\begin{enumerate}
	\item Justifier que la fonction $f : x\mapsto \ln x+x $ est continue sur un intervalle  que l'on déterminera.
	\item Montrer que l'équation $\ln x+x=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[\cfrac1e ; 1]$.
	\item \'Etudier les variations de la fonction $f$ définie par $f(x)=\ln x+x$ sur $[\cfrac1e ; 1]$ et en déduire que cette solution est unique.
\end{enumerate}}

\exoc{On veut étudier le signe de $f(t)=\ln(3e^{-t}-1)$ sur l'intervalle $]-\infty;1].$ pour cela :
\begin{enumerate}
	\item Justifier que $f$ est continue sur $I$.
	\item Résoudre dans $I$ l'équation $f(t)=0$.
	\item Calculer $f(0)$ et conclure en justifiant.
\end{enumerate}}


\exoc{On se propose de résoudre par dichotomie l'équation $2x^3-3x^2+6x+17=0$.
\begin{enumerate}
	\item On désigne par $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x^3-3x^2+6x+17$.\\
				\'Etudier les variations de $f$. (limites, dérivée, tableau.)
	\item En déduire que l'équation $2x^3-3x^2+6x+17=0$ admet une unique solution (que l'on notera $\alpha$) dans l'intervalle $]-2;-1[$.
	\item \begin{enumerate}
	\item Déterminer le centre, noté $c$, de l'intervalle $[-2; -1]$.
	\item Calculer $f(c)$.
	\item $\alpha$ appartient-il à  $[-2;c]$ ou $[c;-1]$.
	\end{enumerate}
	\item Reprendre la question précédente avec l'intervalle obtenu et en déduire un nouvel encadrement de $\alpha$.
	\item Répéter la méthode jusqu'a obtenir un encadrement de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.
% 	\\
% 	      On présentera les résultats sous la forme d'un tableau :\\
% 	      intervalle de départ : $[a ; b] = [-2 ; -1 ]$\\
% 	      \begin{center}
% 	      \begin{tabular}{c*{4}{|c|c|p{0.5cm}}|c|} 
% 	      \cline{2-3}\cline{5-6}\cline{8-9}\cline{11-11}
% 	      & $a$ 	& $f(a)$ 	&&   $b$ 	& $f(b)$ && 		$\frac{a+b}{2}$	& $f(\frac{a+b}{2})$  && $\ldots\leq\alpha\leq\ldots$ \\
% 	      \cline{2-3}\cline{5-6}\cline{8-9}\cline{11-11}
% 	      Etape 1 &  $ -2$   &         &&   $-1 $		&				 &&											&											&&															\\
% 	      \cline{2-3}\cline{5-6}\cline{8-9}\cline{11-11}
% 	      Etape 2 &       &         &&     		&				 &&											&											&&															\\
% 	      \cline{2-3}\cline{5-6}\cline{8-9}\cline{11-11}
% 	      $\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&&$\vdots$&	$\vdots$&&	$\vdots$					&		$\vdots$					&&	$\vdots$										\\
% 	      \end{tabular}
% 	      \end{center}
	\item Ecrire un algorithme du procédé.
\end{enumerate}}

\exoc{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x^3-9x^2+12x-6$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution sur l'intervalle $[2;3]$.
\item Déterminer par dichotomie une approximation à $10^{-2}$ près de la solution.
\end{enumerate}
}

\exoc{Résoudre par dichotomie chacune des équations suivantes.\\
On cherchera graphiquement une approximation entre deux entiers consécutifs de la solution et on présentera les étapes.\\
On donnera une approximation à $10^{-2}$ près de la solution.
$$x^3-3x^2+3x-6=0 \quad ; \quad \cfrac13 x^3-x -1 = 0$$}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\entete{}{Devoir maison}{pour le \dots/\dots/\dots}%exoc{\emph{Bac, problème, juin 2007, 11 points.}\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exoc{Un triangle $ABC$ isocèle, de sommet principal $A$, est inscrit dans un cercle de centre $O$ et de rayon $1$. $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$. Soit $\alpha$ la mesure en radians de l'angle  $\widehat{HOB}$ ; on suppose $0\leq \alpha\leq \pi$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $BC$ et $AH$ en fonction de $\alpha$.
\item En déduire, en fonction de $\alpha$, l'aire du triangle $ABC$.
\item On considère la fonction  $f$ définie sur $[0 ; \frac{\pi}{2}]$ par  
      $$f(\alpha)=\sin \alpha(1 + \cos \alpha).$$
      \begin{enumerate}
      \item Calculer la dérivée  $f'$ de $f$
      \item Montrer que, pour tout réel $\alpha$ appartenant à $[0 ; \frac{\pi}{2}]$, on a  $$f'(\alpha)=2 \cos^2 \alpha + \cos \alpha-1$$
      \end{enumerate}
\item Vérifier l'égalité : $2\cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1 = (2 \cos \alpha- 1) ( \cos \alpha + 1)$.
\item Déterminer le signe de $(\cos\alpha -\frac{1}{2})$ suivant les valeurs de $\alpha$, pour $\alpha$ appartenant à $[0;\frac{\pi}{2}]$.
\item En déduire le signe de  $f'(a)$ suivant les valeurs de $a$ ($0\leq a\leq\pi$).
\item Établir le tableau de variation de la fonction  $f$.
\item Montrer qu'il existe une valeur de $\alpha$, que l'on déterminera, pour laquelle l'aire du triangle $ABC$ est maximale. Préciser ce maximum. Quelle est alors la nature du triangle $ABC$ ?
\end{enumerate}
}


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\entete{}{Devoir maison}{pour le \dots/\dots/\dots}%exoc{\emph{Bac, problème, juin 2007, 11 points.}\\
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\setcounter{exoc}{23}
\exoc{Un triangle $ABC$ isocèle, de sommet principal $A$, est inscrit dans un cercle de centre $O$ et de rayon $1$. $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$. Soit $\alpha$ la mesure en radians de l'angle  $\widehat{HOB}$ ; on suppose $0\leq \alpha\leq \pi$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $BC$ et $AH$ en fonction de $\alpha$.
\item En déduire, en fonction de $\alpha$, l'aire du triangle $ABC$.
\item On considère la fonction  $f$ définie sur $[0 ; \frac{\pi}{2}]$ par  
      $$f(\alpha)=\sin \alpha(1 + \cos \alpha).$$
      \begin{enumerate}
      \item Calculer la dérivée  $f'$ de $f$
      \item Montrer que, pour tout réel $\alpha$ appartenant à $[0 ; \frac{\pi}{2}]$, on a  $$f'(\alpha)=2 \cos^2 \alpha + \cos \alpha-1$$
      \end{enumerate}
\item Vérifier l'égalité : $2\cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1 = (2 \cos \alpha- 1) ( \cos \alpha + 1)$.
\item Déterminer le signe de $(\cos\alpha -\frac{1}{2})$ suivant les valeurs de $\alpha$, pour $\alpha$ appartenant à $[0;\frac{\pi}{2}]$.
\item En déduire le signe de  $f'(a)$ suivant les valeurs de $a$ ($0\leq a\leq\pi$).
\item Établir le tableau de variation de la fonction  $f$.
\item Montrer qu'il existe une valeur de $\alpha$, que l'on déterminera, pour laquelle l'aire du triangle $ABC$ est maximale. Préciser ce maximum. Quelle est alors la nature du triangle $ABC$ ?
\end{enumerate}
}

\end{document}
















