\documentclass[11pt]{article}\usepackage[Aymar]{ammaths}\usepackage{pst-eucl}\begin{document}\nocolor


\entetests{1}{3}{Nombres Complexes}{Complexes 2}

\begin{center}
\fbox{\parbox{13cm}{\sf\small À la fin de ce td, vous devez être capable de :
\begin{itemize}
\item résoudre une équation du premier à coefficients complexes ; 
\item déterminer les racines carrées d'un nombre complexe ;
\item résoudre une équation du second degré à coefficients réels ou complexes ; 
\end{itemize}}}
\end{center}




% \exoc{Résoudre chacune des équations suivantes :
% \begin{enumerate}
% 	\item $z^2 + 1 = 0$.
% 	\item $z^2 + z + 1 = 0$.
% \end{enumerate}}

 \exoc{Déterminer la solution complexe $z_0$ de l'équation  $$\frac{z+1}{z-1}= 1 +
 i.$$}

 \exoc{Déterminer les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ tels que :
$$\left\{
    \begin{array}{rcl}
        2z_1+z_2 & = & 4\\
        -2iz_1+z_2 & = & 0\\
    \end{array}\right..$$
 }


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Équations
\exoc{Résoudre chacune des équations suivantes.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\j z+2-\j=0$ ;
\item $\j \bar{z}=1-\j$ ;
\item $(3+5\j)z=1-z$ ;
\item $\dfrac{1}{z+\j}=3+\j$ ; 
\item $\dfrac{z+1}{z-1}=2\j$ ;
\item $(\j z+1)(\bar{z}+3\j)=0$ ;
\item $(7-\j)\bar{z}+3=0$ ;
\item $\syst{z-z'}{\j}{\j z+z'}{1}$ ;
\item $\syst{2z+z'}{1-\j}{z-\j z'}{0}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


\exoc{En utilisant la méthode donnée dans le cours, déterminer les racines carrées de chacun des  nombres suivants :
$$  20+48\j; \qquad 3+4\j; \qquad -3+4\j ; \qquad -16+30\j ; \qquad \j$$}


\exoc{Résoudre dans $\C$, chacune des équations suivantes (les résultats de l'exercice précédent peuvent être utiles) :
\begin{enumerate}
\item $z^2+(2-\j)z-2\j=0$
\item $z^2+2z+1-\j=0$
\item $z^2-(3+2\j)z+(1+3\j)=0$
\item $z^2+2(1+\j)z-5(1+2\j)=0$
\item $z^4 + (1-2\j)z^2-2\j=0$ (poser $X=z^2$)
\end{enumerate}}


\exoc{\'Equation bicarrée.
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ l'équation $z^2-z+1=0$.
\item Donner les solutions sous forme trigonométrique.
\item Déduire des questions précédentes les solutions de l'équation $z^4-z^2+1=0$.
\end{enumerate}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\entete{}{Devoir maison}{pour le \dots/\dots/\dots}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\emph{Equations du second degré dépendant d'un paramètre.}\\
Soit $k$ un nombre réel. On considère l'équation d'inconnue $z$ : 
$$z^2-2(1+\j k^2)z+1-k^4=0$$
Le but de ce devoir maison est de trouver les solutions, dans $\C$, de cette équation en fonction de la valeur de $k$.
\begin{enumerate}
\item\emph{Cas où $k=0$}.
	\begin{enumerate}
	\item Réecrire l'équation donnée en remplaçant $k$ par $0$.
	\item Résoudre alors l'équation.
	\end{enumerate}
\item\emph{Cas où $k=2$}.
	\begin{enumerate}
	\item Réécrire l'équation donnée en remplaçant $k$ par sa valeur.
	\item Résoudre alors l'équation.
	\end{enumerate}
\item\emph{Cas général}.
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que le déterminant de l'équation vaut $\Delta=8k^2\j$.
	\item Calculer, en fonction de $k$, la racine carrée de $\Delta$.
	\item En déduire l'expression des solutions en fonction de $k$.
	\item Remplacer $k$ par $0$ puis par $2$. que retrouve-t-on ?
	\item Donner les solutions de l'équation $z^2+(-2-18\j)z-80=0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\entetests{2}{3}{Xcas et les nombres complexes}{Complexes 2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\fbox{\parbox{13cm}{\sf\small À la fin de ce td, vous devez être capable de :
\begin{itemize}
\item utiliser Xcas pour effectuer un calcul avec des nombres complexes ;
\item utiliser Xcas pour représenter graphiquement des nombres complexes.
\end{itemize}}}
\end{center}

\textbf{Xcas\footnote{Téléchargement sur \url{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/irem.html}}} est un logiciel libre de calcul formel.
Les principales instructions concernant les nombres complexes sont présentées ci-dessous.\\
Voir l'aide de ce logiciel pour plus de précisions sur chacune d'elles.

  \begin{center}
  \begin{tabular}{|l|l|c|}\hline
    &Syntaxe Xcas & Réponse xcas \\
    \hline
    \hline
    Définir sous forme algébrique & z:=2*\textcolor{magenta}{sqrt}(3)+2*\textcolor{magenta}{i}& $2\sqrt{3}+2\textrm{i}$ \\
    Module $|z|$ & \textcolor{magenta}{simplifier}(\textcolor{magenta}{abs}(z))& $4$ \\
    Conjugué $\overline{z}$ & \textcolor{magenta}{conj}(z)& $2\sqrt{3}+-2\textrm{i}$ \\
    Argument $\arg(z)$ & \textcolor{magenta}{simplifier}(\textcolor{magenta}{arg}(z))& $\frac{\pi}{6}$\\
    \hline
    \hline
    Définir sous forme exponentielle & z:=2*e\^{}(\i*\textrm{pi}/4)& $2\pa{\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\i\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$\\
    Partie réelle $\textrm{Re}(z)$ & \textcolor{magenta}{re}(z)& $\sqrt{2}$\\
    Partie Imaginaire $\textrm{Im}(z)$ & \textcolor{magenta}{im}(z)& $\sqrt{2}$\\
    \hline
    \hline
    Résoudre $x^2+1=0$ dans $\mathbf{C}$ & \textcolor{magenta}{csolve}(x\^{}2+1=0,x)& $-\textrm{i}$ et $\textrm{i}$ \\
    Factoriser & \textcolor{magenta}{factoriser}(x\^{}2-x-6)& $(x-3)(x+2)$\\
    \hline
    \hline
    Placer le point $A$ d'affixe $2+\i$  & $A:=$\textcolor{magenta}{point}(2+i)& \\
    \hline
  \end{tabular}
  \end{center}
  
%\newpage

\partie{Applications}

\exoc{\emph{Résolution d'équation}
\begin{enumerate}
 \item Résoudre dans l'ensemble des nombres réels $\R$ l'équation $x^2+2x+5=0$.
 \item Résoudre dans l'ensemble des nombres réels $\C$ l'équation $x^2+2x+5=0$.
 \item Résoudre dans l'ensemble des nombres réels $\C$ l'équation $\i x+2-\i=0$.
 \item Déterminer la racine carrée de $2+3\j$.\\
       Quel(s) commentaire(s) pouvez-vous faire sur le résultat ?
 \item Résoudre dans l'ensemble des nombres réels $\C$ l'équation $z^2+(2-\j)*z+-2\j=0$.
\end{enumerate}
}

\exoc{\emph{Fonctions de base}\\
Resoudre avec Xcas les exercices du TD1 (ex 1.1 à 1.9) sauf l'exercice 1.5.\\
La création de fonction est vivement conseillée pour éviter de recopier maintes fois les mêmes instructions.}

% \exoc{\emph{Complexes et géométrie}%\textbf{Selon génie mécanique, énergétique, civil Polynésie juin 2010}
% 
% On considère les points A, B, C, D et K d'affixes respectives : 
% 
% \[a = 2 + 2\text{i}, \quad  b = 1 + \text{i}\sqrt{3}, \quad  c =  2 - 2\text{i}, \quad  d = [2\sqrt{3}; -\dfrac{\pi}{6}]~\text{et} ~ k = 2.\]
% 
% \begin{enumerate}
% \item Construction du quadrilatère $ABCD$. 
%       \begin{enumerate}
%       \item Déterminer la forme trigonométrique du nombre complexe $c$.
%       \item Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $d$.
%       \item Démontrer que le point $K$ est le milieu du segment $[AC]$ et le milieu du segment $[BD]$. 
%       \item Placer les points $A$, $C$ et $K$, puis construire et expliquer la construction des points $B$ et $D$.
%       \end{enumerate} 
% \item Nature du quadrilatère $ABCD$. 
%       \begin{enumerate}
%       \item Démontrer que les points $A, B, C$ et $D$ appartiennent à un cercle dont on précisera le centre et le rayon. 
%       \item Démontrer que le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle.  
%       \end{enumerate}
% \end{enumerate}
% }


% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% \newpage
% \corrige
% \entete{STS}{Xcas et les nombres complexes}{Corrigé}
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 
% \probpart{-- Complexes et équations}
% \begin{enumerate}
%  \item $P(2)=0$ donc le polynome est factorisable par $z-2$.
%  \item $\begin{array}[t]{rcl}
% 	P(z) &=&(z - 2)\left(az^2 + bz + c\right)\\
% 	&=&az^3+bz^2+cz-2az^2-2bz-2c\\
% 	&=&az^3+(b-2a)z^2+(c-2b)z-2c
% 	\end{array}$\\
% 	Par identification, on obtient :$\left\{\begin{array}{ccc}
% 				a &=& 1\\
% 				b-2a &=& -6\\
% 				c-2b &=& 16\\
% 				-2c &=& -16\\
% 				\end{array}\right.$ soit  $\left\{\begin{array}{ccc}
% 				a &=& 1\\
% 				b &=& -4\\
% 				c &=& 8
% 				\end{array}\right.$
% 	$$P(z)=(z-2)(z^2-4z+8)$$
% \item %{R\'esoudre alors l'\'equation $P(z) = 0$ dans l'ensemble $\C$ des	nombres complexes.}\\
%       $P(z)=(z-2)(z^2-2z+4)=0$.\\
%       Un produit de facteur est nul si et seulement si un des facteurs est nul.\\
%       On a donc : \\
%       \begin{tabular}{c@{ OU } l}
%       $z-2=0$ & $ z^2-4z+8=0$\\
%       $z=2$ & $\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\times1\times8=-16$\\
%       &$\Delta$ est négatif, l'équation a deux solutions complexes conjugués :\\
%       &$z_1=\cfrac{-b - \i\sqrt{-\Delta}}{2a}=\cfrac{4 - \i\sqrt{16}}{2}=2-2\i$ et $z_2=\bar{z_1}=2+2\i$\\
%       \end{tabular}\\
%       l'équation a trois solutions : $z=2$ ou $z=2-2\i$ ou $z=2+2\i$.
% \end{enumerate}
% 
% 
% 
% \probpart{-- Complexes et géométrie}
% \begin{enumerate}
% \item %Construction du quadrilatère ABCD. 
%       \begin{enumerate}
%       \item %Déterminer la forme trigonométrique des nombres complexes $a$ et $b$.
%       \emph{Calcul du module :}
%       $$|c|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(2)^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$
% 
%       \emph{Calcul d'un argument :}\\
%       $\left.\begin{array}{l}
% 	    \cos\theta=\dfrac{a}{|c|}=\dfrac{2}{2\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\
% 	      \sin\theta=\dfrac{b}{|c|}=-\dfrac{2}{2\sqrt{2}}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\
% 	    \end{array}\right\}$
% 	    \psset{unit=0.5cm} 
%       \begin{minipage}[r]{3cm}
%       \begin{pspicture}(2.5,2)(-3,-2)
%       \pscircle(0,0){2}
%       \psline{->}(-2,0)(2,0)
%       \psline{->}(0,-2)(0,2)
%       \psline[linestyle=dashed]{->}(1.41,0)(1.41,-1.41)(0,-1.41)
%       \tiny{\rput(1.8,-1.41){$\frac{-\pi}{4}$}\rput(1.41,0.5){$\frac{\sqrt{2}}{2}$}\rput(-0.8,-1.41){$\frac{-\sqrt{2}}{2}$}}
%       \end{pspicture}
%       \end{minipage} 
%       donc $\theta=\dfrac{-\pi}{4}$
% 
%       \vspace{0.5cm}
%       \emph{Conclusion :}
%       $$c=[2\sqrt{2};-\dfrac{\pi}{4}]$$
% 	
%       \item %Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $d$.
%       $\left.\begin{array}{l}
% 	    a=\rho\cos\theta=2\sqrt{3}\cos(\dfrac{-\pi}{6})=2\sqrt{3}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\\
% 	    b=\rho\cos\theta=2\sqrt{3}\cos(\dfrac{-\pi}{6})=2\sqrt{3}\times\dfrac{-1}{2}=-\sqrt{3}\\
% 	    \end{array}\right\}$
%       donc $d=a+\i b=3-\sqrt{3}\i$.
%       \item %Démontrer que le point K est le milieu du segment [AC] et le milieu du segment [BD].
%       Le milieu de $[AC]$ a pour affixe : $$\dfrac{a + c}{2} = \dfrac{2+ 2\text{i} + 2 - 2\text{i}}{2} = 2 = k.$$
%       De même : $$\dfrac{b + d}{2} = \dfrac{1 + \text{i}\sqrt{3} + 3 -\text{i}\sqrt{3}}{2} = 2 = k$$ ce qui montre que $K$ est le milieu des segments $[AC]$ et $[BD]$. 
%       \item %Placer les points A, C et K, puis construire les points B et D.
%       Voir la figure pour les points $A, C$ et $K$.
% 
%       Le point $B$ appartient au cercle de centre $O$ et de rayon 2 (module de $b$) et il a pour abscisse $1$ (partie réelle de $b$). Il suffit donc de tracer la perpendiculaire à $(Ox)$ contenant le point (1~;~0) : elle coupe le cercle de rayon 2 au point d'ordonnée positive B.
%       
%       $K$ est le milieu de $[BD]$. Il suffit de construire le symétrique de $B$ par rapport à $K$ : C'est le point $D$.
%       \end{enumerate} 
% \item %Nature du quadrilatère ABCD. 
%       \begin{enumerate}
%       \item %Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
%       On calcule :  $$AC  = |c - a| = |(2 - 2\text{i}) - (2 + 2\text{i}) | = |-4\text{i}| = 4$$ 
%       $$BD = |d - b| = |3 -\text{i}\sqrt{3} - (1 - \text{i})| = |2 - 2\text{i}\sqrt{3}| = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$$
% 
%       On a donc $KA = KC = KB = KD = 2$ : les points $A, B, C$ et $D$ appartiennent au cercle de centre $K$ et de rayon 2. 
%       \item %Démontrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle.
%       On a démontré que le point $K$ est le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$ : le quadrilatère $ABCD$ est donc un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur : c'est un rectangle.  
%       \end{enumerate}
% \end{enumerate}
% Figure :
% 
% \medskip
% 
% \psset{unit=1.25cm}
% \begin{center}
% \begin{pspicture}(-2,-3)(4,3)
% \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-3)(4,3)
% \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange]
% \pscircle(0,0){2}
% \psline[linestyle=dashed](1,-3)(1,3)
% \psdots(2,2)(2,-2)(2,0)(1,1.732)(3,-1.732)%ACKBD
% \uput[ur](2,2){A}\uput[d](2,-2){C}\uput[u](1,1.732){B}\uput[dr](3,-1.732){D}\uput[ur](2,0){K}\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}\uput[dl](0,0){O}
% \pspolygon(2,2)(1,1.732)(2,-2)(3,-1.732)
% \end{pspicture}
% \end{center}
% 



\end{document}
















