\documentclass[11pt]{article}\usepackage[Aymar]{ammaths}\usepackage{pst-eucl}\begin{document}\nocolor


\entetests{1}{2}{Fonctions d'une variable réelle}{Analyse continue 1}



\begin{center}
\fbox{\parbox{13cm}{\sf\small À la fin de ce td, vous devez être capable de :
\begin{itemize}
\item connaître les fonctions de référence (polynômes, rationnelles, exponentielle, logarithme, trigonométrique)
\item savoir dériver une fonction et en déduire ses variations ;
\item savoir calculer des limites et en déduire des asymptôtes ;
\end{itemize}}}
\end{center}



\exoc{Soit  $f$  une fonction définie sur $]0;+\infty[$ et dont le
tableau de variation est :
    \begin{center}
    \psset{unit=0.8cm}
    \pspicture(0,0)(8,2.2)
    %\psgrid(0,0)(8,1.5)
    \pspolygon(0,0)(8,0)(8,2.2)(0,2.2)
    \psline(2,0)(2,2.2)
    \psline(0,1.5)(8,1.5)
    %\psset{labelsep=0.5cm}
    \uput[u](1,1.5){$x$}
    \uput[ur](2,1.5){$0$}
    \uput[u](5,1.5){$1$}
    \uput[ul](8,1.5){$+\infty$}
    \uput[u](1,0.4){$f(x)$}
    \psline{->}(3,1.1)(4.7,0.3)
    \psline{->}(5.3,0.3)(7,1.1)
    \uput[u](2.5,0.9){$+\infty$}
    \uput[u](7.5,0.9){$1$}
    \uput[u](5,0){0}
    \endpspicture
    \end{center}
\begin{enumerate}
\item A l'aide du tableau, répondre aux questions suivantes :\par
      \begin{enumerate}
      \item Quelles sont les limites de $f$ en $0$ et $+\infty$ ?
      \item Préciser le sens de variation de $f$  sur chacun des intervalles $]0;1]$ et $[1;+\infty[$.
      \item La fonction  $f$  admet-elle un extremum sur $]0;+\infty[$ ? Si oui, pour quelle valeur de $x$ ?
      \item Quel est le signe de  $f$  sur $]0;+\infty[$ ?
      \end{enumerate}
\item On sait que la fonction $f$  est l'une des quatre fonctions suivantes, définies sur $]0 ; +\infty[$ :\vspace{-10pt}
      \begin{multicols}{2}
      $$f_1(x)  =  - \frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x}$$
      $$f_2(x)  =  -(\ln x)^2 - 1 $$
      $$f_3(x)  =  2 - \frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x}$$
      $$f_4(x)  =  1 - \frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x}$$
      \end{multicols}
      \begin{enumerate}
      \item Calculer  $f_1(1)$.
      \item Déterminer le signe de  $f_2(x)$ sur $]0;+\infty[$.
      \item Calculer $\lim_{x\rightarrow +\infty} f_3(x)$.
      \item Que peut-on conclure des résultats des questions précédentes ?
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\begin{multicols}{2}
\exoc{Le plan est muni d'un repère orthogonal $\oij$. Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[-1;2]$ dont on donne la courbe représentative sur la figure.\\
On précise qu'au point $A(-1;2)$ et $B(1,-2)$ la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.
\columnbreak
$$\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
\def\xmin{-2}\def\ymin{-3}\def\xmax{3}\def\ymax{3}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psdots(-1,2)\rput[dr](-1.3,2){$A$}\psline[linestyle=dashed]{->}(-1,2)(0.5,2)
\psdots(1,-2)\rput[t](1,-2.4){$B$}\psline[linestyle=dashed]{<->}(0.3,-2)(1.7,-2)
\psplot[linecolor=rouge]{-1}{2}{x*x*x-3*x}
\end{pspicture*}$$
} %fin exos pour eviter pb de multicols
\end{multicols}
\begin{enumerate}\vspace{-15pt}
 \item Utiliser le graphique pour déterminer les nombres $f(0)$, $f(1)$, $f'(1)$.
 \item Résoudre graphiquement l'inéquation $f'(x)\geq0$.
 \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-1;2]$.
 \item On suppose que $f(x)$ est de la forme $f(x)=ax^3+bx+c$.\\
	À l'aide des valeurs mises en évidence à la question 1, calculer les trois coefficients réels $a$, $b$, et $c$.
 \item Utiliser l'expression de $f(x)$ obtenue à la question précédente pour résoudre l'équation $f(x)=0$. Vérifier les résultats sur le graphique.
\end{enumerate}
%}

\pagebreak
\exoc{Dériver chacune des expressions suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item $f(x)=\dfrac{4x+5}{-x+2}$.
 \item $g(x)=(6x+3)^5$.
 \item $h(x)=\cos(2x+5)+\dfrac{1}{x^5}$.
 \item $i(x)=\ln\pa{(3x+2)^5}$.
 \item $j(x)=(x^2+3x+1)\e^{2x}$.
 \item $k(x)=\ln(\sqrt{x+3})$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


\exoc{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\cfrac{1}{x^2+x+1}$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item Résoudre l'équation $x^2+x+1=0$.
      \item Expliquer l'intervalle de définition de $f$.
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.
      \item Quelle(s) asymptote(s) peut-on en déduire pour la courbe ?
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
      \item Etudier le signe de $f'$.
      \item En déduire le tableau de variation de $f$.
      \end{enumerate}
\item Justifier que la fonction $f$ admet un extremum. Préciser le.
\item Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $0$.
\end{enumerate}}


\exoc{Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ~;~ + \infty[$ par $f(x) = (\ln x)^2-3\ln x + 2.$
\begin{enumerate} 
\item \begin{enumerate} 
		\item Montrer que : $f'(x) =\dfrac{2 \ln x-3}{x}$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.	
		\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0 ~;~ + \infty[$.(On ne demande pas la valeur des limites en 0 et $+\infty$).
		\end{enumerate}
\item Calculer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 1.
\item \begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation d'inconnue $X$ : $X^2 - 3X + 2 = 0.$
		\item En déduire les solutions exactes dans $]0 ~;~ + \infty[$ de l'équation $f(x) = 0$.
		\item Déduire, des questions précédentes, le signe de $f(x)$ lorsque $x$ varie dans l'intervalle  $]0 ~;~ + \infty[$.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\exoc{On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x) = - \text{e}^{2x} + x + 3.$\\
On appelle ($\Co$) la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \oij, unités graphiques : 3 cm  sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
			\item \'Etudier la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
			\item \'Etudier la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
			\item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = x + 3$ est asymptote à la courbe
			 ($\mathcal{C}$) en $- \infty$.
			\item \'Etudier la position de la courbe ($\mathcal{C}$) par rapport à la 
			droite $\Delta$.
			\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
			\item Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$.
			\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$.
			\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. (Donner la valeur exacte de son maximum.)
			\end{enumerate}
%\item Déterminer la primitive de $f$ qui s'annule en 0.
\end{enumerate}}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\entetests{2}{2}{Fonctions d'une variable réelle}{Analyse continue 1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\fbox{\parbox{13cm}{\sf\small À la fin de ce td, vous devez être capable de :
\begin{itemize}
\item utiliser un logiciel de calcul formel pour étudier une fonction.
\end{itemize}}}
\end{center}


\textbf{Xcas\footnote{Téléchargement sur \url{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/irem.html}}} est un logiciel libre de calcul formel.
Les principales instructions concernant les fonctions sont présentées ci-dessous.\\
Voir l'aide de ce logiciel pour plus de précisions sur chacune d'elles.

 \begin{center}
  \begin{tabular}{|l|l|c|}
    \hline
    \centering Définition mathématique & Saisie dans Xcas & Résultat affiché \\ \hline
    Définir une fonction & f(x):=2x\^{}{}2-5x+1& $x\mapsto 2x^2-5x+1$ \\
    $f(x)=\textrm{e}^x$ & f(x):=\textcolor{magenta}{exp}(x)& $x\mapsto\exp(x)$\\
    $g(x)=\ln(x)$  & g(x):=\textcolor{magenta}{ln}(x)&$x\mapsto\ln(x)$ \\
    $h(x)=\textrm{log}_{10}(x)$ & h(x):=\textcolor{magenta}{log10}(x)& $x\mapsto\ln(x)$\\
    \hline
    \hline
    L'image de 2 par $f$ & f(2)& $-1$\\
    Tracer une fonction & \textcolor{magenta}{graphe}(f(x),x=0..5)& \\ 
    Développer & \textcolor{magenta}{developper}((x+3)*(x-1)\^{}2)& $x^3+x^2-5x+3$\\ 
    Réduire \dots & \textcolor{magenta}{simplifier}(2x-5x\^{}2+4x*(x+1))& $-x^2+6x$\\
    Factoriser & \textcolor{magenta}{factoriser}(x\^{}2-x-6)& $(x-3)(x+2)$\\
    Forme canonique & \textcolor{magenta}{forme\_canonique}(x\^{}2+x+1)& $\left(x+\frac12\right)^2+\frac34$\\
    \hline
    \hline
    Résoudre une équation & \textcolor{magenta}{resoudre}(2x\^{}2-3x=2x-3,x)& $1$ et $\frac32$\\
    Résoudre une inéquation & \textcolor{magenta}{resoudre}(x\^{}2-1>0)& $x<(-1)$ ou $x>1$\\
    \hline
    \hline
    $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\frac{2x-4}{x+5}}$ & \textcolor{magenta}{limite}((2x-4)/(x+5),x,+\textcolor{magenta}{infinity})& $2$ \\
    $\displaystyle{\lim_{x\to-5\atop x>-5}\frac{2x-4}{x+5}}$ & \textcolor{magenta}{limite}((2x-4)/(x+5),x,-5,1)& $-\infty$\\
    $\displaystyle{\lim_{x\to-5\atop x<-5}\frac{2x-4}{x+5}}$ & \textcolor{magenta}{limite}((2x-4)/(x+5),x,-5,-1)& $+\infty$\\ 
    \hline
    \hline
    Dériver une fonction & \textcolor{magenta}{derive}(x\^{}2+x+1+cos(x),x)& $2x+1-\sin(x)$\\
    Une primitive de $\ln$ & F(x):=\textcolor{magenta}{integrer}(ln(x),x)& $x\ln(x)-x$ \\
    $\displaystyle{\int_1^2\frac1x\textrm{d}x}$ & \textcolor{magenta}{integrer}(1/x,x,1,2)& $\ln(2)$ \\
    \hline
    \end{tabular}
  \end{center}
  
  \newpage

\partie{Applications}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x):=-x^3-4x^2-x+6$

\probpart{-- Quelques opérations sur $f$}
\begin{enumerate}
 \item Définir la fonction $f$ par $f(x)=-x^3-4x^2-x+6$.
 \item Calculer $f(6)$ ; $f(\dfrac{3}{7})$ ; $f(\sqrt{5})$.
 \item Factoriser $f$.
 \item Résoudre $f(x)=0$.
\end{enumerate} 

\probpart{-- Étude de la courbe de $f$}
\begin{enumerate}
 \item Déterminer les coordonées des points d'intersection de la courbe de $f$ avec l'axes des ordonnées.
 \item Déterminer les coordonées des points d'intersection de la courbe de $f$ avec l'axes des abscisses.
 \item Tracer la fonction $f$ sur $[-3;3]$ et vérifier les résultats précédents.
\end{enumerate}  
 
\probpart{-- Étude des variations}
\begin{enumerate}
 \item Dériver $f(x)$.
 \item Résoudre $f'(x)>0$ et en déduire le tableau de variations de $f$.
 \item Calculer la limite de $f$ en $+\infty$.
  \item Calculer $\dis\lim_{x\mapsto-\infty}f(x)$.
\item Calculer une primitive de $f$.
\item Caculer $\dis\int_{-1}^{2}f(x)\dx$.
\end{enumerate}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage\raz
\entete{}{Devoir maison}{pour le \dots/\dots/\dots}%exoc{\emph{Bac, problème, juin 2007, 11 points.}\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]~0~;~+\infty~[$ par 
\[f(x) = \text{e}^x \ln x  + \dfrac{\text{e}^x}{x}.\]
   On appelle $\Co$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal $\oij$ d'unités graphiques $4$ cm sur l'axe des abscisses et $1$ cm sur l'axe des ordonnées.\\
   \probpart{ -- Étude aux bornes de l'intervalle}
      \begin{enumerate}
      \item  Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
      \item  
      \begin{enumerate}
         \item  Montrer que pour tout nombre réel strictement positif $x$, $f(x)=\dfrac{\text{e}^x}{x}(x\ln x+1)$.\\
         On rappelle que $\displaystyle\lim_{x\to 0}x\ln x=0$. En déduire la limite de $f$ en $0$.
        \item  Montrer que la courbe $\Co$ admet une asymptote $\mathcal{D}$ dont on donnera une équation.
      \end{enumerate}
   \end{enumerate}
   \medskip
   \probpart{ -- Étude d'une fonction auxiliaire}
   Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]~0~;~+\infty~[$ par
   \[g(x)=\ln x+\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}\]
   \begin{enumerate}
      \item 
      \begin{enumerate}
         \item  On désigne par $g'$ la dérivée de la fonction $g$.\\
	      Montrer que, pour tout nombre réel strictement positif $x$, $g'(x)=\dfrac{x^2-2x+2}{x^3}$.
         \item  \'Etudier le signe de $g'(x)$. En déduire que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $]~0~;~+\infty~[$. L'étude des limites n'est pas demandée.
      \end{enumerate}
      \item  
      \begin{enumerate}
         \item  Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $\left[~\dfrac{1}{2}~;~1~\right]$.
         \item  Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$.
      \end{enumerate}
      \item  Déduire des questions B$_1$ et B$_2$ le signe de $g(x)$, pour $x$ appartenant à l'intervalle $]~0~;~+ \infty~[$.
   \end{enumerate}
   
   \probpart{ -- Variations de \boldmath$f$  et courbe associée}
   \begin{enumerate}
      \item  
      \begin{enumerate}
         \item  $f'$ désignant la dérivée de $f$, calculer $f'(x)$ et montrer que $f '(x)=\text{e}^xg(x)$, pour tout nombre $x$ appartenant à l'intervalle $]~0~;~+\infty~[$.
         \item  En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]~0~;~+\infty~[$.
      \end{enumerate}
      \item 
      \begin{enumerate}
         \item  Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. 
         \item  Calculer une valeur approchée à $10^{-1}$ près de $f(\alpha)$, en prenant $0,6$ pour valeur approchée de $\alpha$.
      \end{enumerate}
      \item  
      \begin{enumerate}
         \item  Reproduire et compléter le tableau ci-dessous.\\
         \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
            \hline
            $x$	& 0,25 & 0,5 & 0,75	& 1 & 1,25 & 1,5 & 1,75 & 2 & 2,25 & 2,5 \\ 
            \hline
            $f(x)$ à & & & & & & & & & & \\ 
            $10^{-1}$ près & & & & & & & & & &\\   
            \hline
         \end{tabularx}
         \item Construire l'asymptote $\mathcal{D}$ et la courbe $\Co$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]~0~;~2,5~]$.
      \end{enumerate}
   \end{enumerate}
%    \medskip
%    \probpart{ : calcul d'aire}
%    \begin{enumerate}
%       \item  Montrer que la fonction $F$, définie sur l'intervalle $]~0~;~+\infty~[$ par $F(x)=\text{e}^x\ln x$ est une primitive de $f$.
%       \item  On désire calculer l'aire de la partie $\mathcal{E}$ du plan comprise entre la courbe $\Co$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=2$.
%       \begin{enumerate}
%          \item  Hachurer la partie $\mathcal{E}$ sur le dessin.
%          \item  Déterminer la valeur exacte de l'aire de $\mathcal{E}$ en unités d'aires, puis en cm$^2$.
%        \end{enumerate}
%    \end{enumerate}


\end{document}
















