\documentclass[10pt]{book}\usepackage{aymar}\begin{document}\nocolor


\entete{Chapitre 1 - TD1}{Fiche méthodes}{Complexes}
\sectionblack{Complexes et géométrie}
\begin{multicols}{2}\setlength{\columnseprule}{1pt}
\begin{center}\textbf{Forme algébrique}\end{center}
Au nombre complexe $z=x+\i y$, on fait correspondre le point $M$ de coordonnées $(x\ ;\ y)$.\\

\vspace{1.5cm}
$$\psset{unit=1 cm} 
\begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(3.5,2.3)
\psaxes{->}(0,0)(1,1)
\psline(-0.5,0)(3.5,0)
\psline(0,-0.5)(0,2.5)
\psline[linestyle=dashed](3,0)(3,2)
\psline[linestyle=dashed](0,2)(3,2)
\rput(-0.2,-0.2){$0$}
\rput(0.5,-0.2){$\vect{u}$}
\rput(-0.2,0.5){$\vect{v}$}
\rput(3.2,2.2){$M(z)$}
\rput(3,-0.2){$x=\Re(z)$}
\rput[r](-0.4,2){$y=\Im(z)$}
\rput(1,-0.9){\textrm{\defin{Repérage cartésien}}}
\end{pspicture} $$
$M$ est l'\defin{image} de $z$.\\
$z$ est l'\defin{affixe} de $M$.\\

\columnbreak
\begin{center}\textbf{Forme trigonométrique}\end{center}
Au nombre complexe, $z=[r\ ;\ \theta]=r(\cos\theta+\j\sin\theta)=r\eit{}$, on fait correspondre le point $M$ de rayon $r$ et d'angle
polaire $\theta$.

\vspace{1.5cm}

\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(3.5,2.3)
  \psaxes{->}(0,0)(1,1)
  \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{->}(0,0)(3,2)
  \psline(-0.5,0)(3.5,0)
  \psline(0,-0.5)(0,2.5)
  \psline[linestyle=dashed](3,0)(3,2)
  \psline[linestyle=dashed](0,2)(3,2)
  \rput(-0.2,-0.2){$0$}
  \rput(0.5,-0.2){$\vect{u}$}
  \rput(-0.2,0.5){$\vect{v}$}
  \rput[l](2,1){$\textcolor{bleu}{\rho}$}
  \psarc[linecolor=red,linewidth=0.05]{->}(0,0){1}{0}{35}
  \rput(3.2,2.2){$M(z)$}
  \rput(1.1,0.3){$\textcolor{rouge}{\theta}$}   
  \rput(1,-0.7){\textrm{\defin{Repérage polaire}}}
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{multicols}

\vspace{15pt}

\textbf{Pour calculer des longueurs :} $AB=|z_B-z_A|$\\
\textbf{Pour calculer un angle :} $\anglvec{u}{AB}=arg(z_B-z_A)$\\
\textbf{Pour déterminer l'affixe d'un vecteur :} $z_{\tiny\vect{AB}}=z_B-z_A$.\\
\textbf{Pour trouver le milieu d'un segment  :} $I$ milieu de $[AB]$ d'où $z_I=\cfrac{z_A+z_B}{2}$.\\
\textbf{Pour prouver des symétries : }$z$ et $\bar{z}$ sont symétriques par rapport à $(Ox)$\\
\textbf{Pour prouver que des point sont alignés ou que des droites son parallèles :} on utilise les affixes des vecteurs pour prouver qu'ils sont colinéaires.\\
\textbf{Pour prouver que des points sont sur un cercle : } On utilise les modules des affixes des points.

\textbf{Complexes et transformations : }\\
La translation de vecteur \vect{u} d'affixe $b$ a pour écriture complexe $z'=z+b$.\\
La rotation de centre O et d'angle $\theta$ a pour écriture complexe $z'=\eit{}\times z$.\\




\exosol{On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A=-1+3\i$ et $z_B=2-\i$.
\begin{enumerate}
 \item Placer les points dans un repère orthonormé.
 \item Calculer la longeur $AB$.
 \item Calculer l'affixe du point $I$ milieu de $[AB]$.
 \item Calculer l'affixe du vecteur $\vect{AB}$.
\end{enumerate}
}
{\begin{enumerate}
% \item 
% $$\psset{unit=1 cm} 
% \begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(3.5,2.3)
% \psaxes{->}(0,0)(1,1)
% %\psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{->}(0,0)(3,2)
% \psline(-0.5,0)(3.5,0)
% \psline(0,-0.5)(0,2.5)
% \psline[linestyle=dashed](3,0)(3,2)
% \psline[linestyle=dashed](0,2)(3,2)
% \rput(-0.2,-0.2){$0$}
% \rput(0.5,-0.2){$\vect{u}$}
% \rput(-0.2,0.5){$\vect{v}$}
% \rput(3.2,2.2){$M$}
% \rput(3,-0.2){$x=\Re(z)$}
% \rput[r](-0.4,2){$y=\Im(z)$}
% \rput(1,-0.9){\textrm{\defin{Repérage cartésien}}}
% \end{pspicture} $$
\item $AB=|z_B-z_A|=|(-1+3\i)-(2-\i)|=|-3+4\i|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.
\item $I$ milieu de $[AB]$ donc $z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}=\dfrac{(-1+3\i)+(2-\i)}{2}=\dfrac{1+2\i}{2}$.
\item $z_{\tiny\vect{AB}}=z_B-z_A=(-1+3\i)-(2-\i)=-3+4\i.$
\end{enumerate}
}



\end{document}