\documentclass[10pt]{book}\usepackage{aymar}\begin{document}\nocolor


\entete{Chapitre 1 - TD1}{Fiche m�thodes}{Complexes}
\sectionblack{Forme alg�brique}
\defi{Forme alg�brique}{L'�criture $x+\i y$ est appell�e forme alg�brique du complexe $z$.\\
$x$ s'appelle la \defin{partie r�elle} et est not� $\Re(z)$.\\
$y$ s'appelle la \defin{partie imaginaire} et est not�e $\Im(z)$. C'est un nombre r�el.\\
$\bar{z}=a-b\i$ est le \defin{conjugu�} de $z$. Il sert � mettre sous forme alg�brique des fractions.}

\textbf{Calculs sur les formes alg�briques : }\\
Les r�gles de calculs (addition, d�vellopement, factorisation) valables pour les nombres r�els sont aussi valables pour les nombres complexes.
\exosol{On donne $z_1=-2+3\i$ et $z_2=4-\i$.\\
�crire sous forme alg�brique : 
\begin{enumerate}  
\item $z_1+z_2$ ;
\item $2z_1$ ;
\item $z_1\times z_2$.
\end{enumerate}
}
{\begin{enumerate}
  \item $z_1+z_2=(-2+3\i)+(4-\i)=-2+4+\i(3-1)=2+2\i$ ;
  \item $2z_1=2(-2+3\i)=-4+6\i$ ;
  \item $z_1\times z_2=(-2+3\i)(4-\i)=-8+2\i+12\i-\i^2=-8+14\i-(-1)=-7+14\i$.
 \end{enumerate}
}

\textbf{Mise sous forme alg�brique de fractions : }\\
On multiplie num�rateur et d�nominateur par le conjugu� du d�nominateur.

\exosol{Mettre sous forme alg�brique les nombres $z_3=\dfrac{2}{3+\i}$ et $z_4=\dfrac{1+2\i}{5-6\i}$.}
{\\
$z_3=\dfrac{2}{3+\i}=\dfrac{2(3-\i)}{(3+\i)(3-\i)}=\dfrac{6-2\i}{9-\i^2}=\dfrac{6-2\i}{10}=\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{5}\i$.\\
$z_4=\dfrac{1+2\i}{5-6\i}=\dfrac{(1+2\i)(5+6\i)}{(5-6\i)(5+6\i)}=\dfrac{5+6\i+10\i+12\i^2}{5^2-(6\i)^2}=\dfrac{5+16\i-12}{25-36(-1)}=\dfrac{-7+16\i}{61}.$}


%\newpage
\sectionblack{Forme trigonom�trique -- Forme exponentielle}
\defi{forme trigonom�trique -- exponentielle}
{on appelle \defin{module} de $z$ le nombre r�el $\sqrt{x^2+y^2}$. On le note \defin{$|z|$} ou \defin{$r$}.\\
Il s'agit de la longueur du segment OM.\\
On appelle \defin{argument} de $z$ une mesure de l'angle entre $\overrightarrow{Ox}$ et $\overrightarrow{OM}$.\\
On le note souvent \defin{$\theta$}.\\
L'�criture $[r\ ; \ \theta]=r(\cos\theta+\i\sin\theta)$ est appell�e forme trigonom�trique.\\
L'�criture $r\eit{}$ est appell�e forme exponentielle.}


\textbf{Calculs sur les formes trigonom�triques -- exponentielles : }\\
Lorsque l'on multiplie deux nombres complexes, on multiplie les modules et additionne les arguments.\\
Le conjugu� de $z$ � m�me module mais un argument oppos� � $z$.

\exosol{Soit $z=3\ei{3}{4}$ et $z'=7\ei{-2}{3}$.\\
Donner les formes exponentielles de  $zz'$ ; $\frac{z}{z'}$ ; $\frac{1}{z} ; \bar{z} ; z^8$}
{\\$zz'=3\times7e^{i(\cfrac{3\pi}{4}+\cfrac{-2\pi}{3})}=21\ei{}{12}$.\\
$\cfrac{z}{z'}=\cfrac{3}{7}e^{i(\cfrac{3\pi}{4}-\cfrac{-2\pi}{3})}=\cfrac{3}{7}\ei{17}{12}$.\\
$\cfrac{1}{z}=\cfrac{1}{3}\ei{-3}{4}$.\\
$\bar{z}=\ei{-3}{4}$.\\
$z^8=\pa{3\ei{3}{4}}^8=3^8\ei{3\times8}{4}=3^8\ei{6}{}=3^8$
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\sectionblack{Passage forme alg�brique -- forme exponentielle}
\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(-0.5,-0.3)(3.5,2.3)
  \psaxes{->}(0,0)(1,1)
  \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{->}(0,0)(3,2)
  \psline(-0.5,0)(3.5,0)
  \psline(0,-0.5)(0,2.5)
  \psline[linestyle=dashed](3,0)(3,2)
  \psline[linestyle=dashed](0,2)(3,2)
  \rput(-0.2,-0.2){$0$}
  \rput(0.5,-0.2){$\vect{u}$}
  \rput(-0.2,0.5){$\vect{v}$}
  \rput[l](2,1){$\textcolor{blue}{r=\sqrt{x^2+y^2}}$}
  \psarc[linecolor=red,linewidth=0.05]{->}(0,0){1}{0}{35}
  \rput(3.2,2.2){$M(z)$}
  \rput(1.1,0.3){$\textcolor{red}{\theta}$}   
  \rput(3,-0.2){$x=r\cos \theta$}
  \rput[r](-0.4,2){$y=r\sin \theta$}
\end{pspicture} 
\end{center}

% \cadre{M�thode}
\textbf{Forme exponentielle $z=[r;\theta]=r\eit{}$ => Forme alg�brique $z=a+\i b$ }
% {En consid�rant les projections orthogonales du point $M$ sur les axes $(O,\vect{u})$ et $(O,\vect{v})$, on obtient les relations :
% $$x=r\cos\theta \qquad y=r\sin\theta.$$
% On a alors $$z=x+\i y=r\cos\theta+\i r\sin\theta=r(\cos\theta+\i\sin\theta)$$}


\exosol{Donner la forme alg�brique du nombre complexe $z_5$ de module $2$ et d'argument $\frac\pi3$.}
% {\\\textbf{M�thode 1 : }
% $z_5=r(\cos\theta +\i \sin\theta)=2\pa{\cos(\dfrac\pi3)+\i\sin(\dfrac\pi3)}=2\pa{\dfrac{1}{2}+\i\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=1+\i\sqrt{3}$.\\
% \textbf{M�thode 2 : }
{\\$\left.\begin{array}{l}
x=r\cos\theta=2\cos(\dfrac\pi3)=1\\
y=r\sin\theta=2\sin(\dfrac\pi3)=\sqrt{3} \end{array} \right\}$
donc $z=x+\i y=1+\i\sqrt{3}$. 
}

% \cadre{M�thode}
\textbf{Forme alg�brique $z=a+\i b$ => Forme exponentielle $z=[r;\theta]=r\eit{}$ }
% {Le module de $z=a+\i b$ est 
% $$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$
% Un argument de $z=a+\i b$ est l'angle $\theta$ v�rifiant le syst�me: 
% $$\left\{\begin{array}{l}
%       \cos\theta=\dfrac{a}{|z|}\\
% 	\sin\theta=\dfrac{b}{|z|}
%       \end{array}\right.
% $$
% }

\exosol{Mettre sous forme exponentielle le nombre complexe $z_3=1-\i\sqrt{3}$.}
{\\ \emph{Calcul du module :}
$$|z_3|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(1)^2+(-\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=2$$

\emph{Calcul d'un argument :}\\
$\left.\begin{array}{l}
      \cos\theta=\dfrac{a}{|z|}=\dfrac{1}{2}\\
	\sin\theta=\dfrac{b}{|z|}=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\\
      \end{array}\right\}$
      \psset{unit=0.5cm} 
\begin{minipage}[r]{3cm}
\begin{pspicture}(2.5,2)(-3,-2)
 \pscircle(0,0){2}
 \psline{->}(-2,0)(2,0)
 \psline{->}(0,-2)(0,2)
 \psline[linestyle=dashed]{->}(1,0)(1,-1.7)(0,-1.7)
 \tiny{\rput(1.5,-2){$\frac{-\pi}{3}$}\rput(1,0.5){$\frac{1}{2}$}\rput(-0.8,-1.5){$\frac{-\sqrt{3}}{2}$}}
\end{pspicture}
\end{minipage} 
 donc $\theta=\dfrac{-\pi}{3}$

\vspace{0.5cm}
\emph{Conclusion :}
$$z_3=[2;-\dfrac{\pi}{3}]=2\ei{-}{3}$$
}

\textbf{Les lignes trigonom�triques remarquables :}
\begin{center}
   \psset{unit=1.5cm} 
   \begin{pspicture}(-3,-3.5)(3,4)
      \pscircle(0,0){3}
      \psline{-}(-3,0)(3,0)
      \psline{-}(0,-3)(0,3)
      \pspolygon[linestyle=dashed,linecolor=blue](2.6,1.5)(-2.6,1.5)(-2.6,-1.5)(2.6,-1.5)
      \pspolygon[linestyle=dashed,linecolor=red](2.1,2.1)(-2.1,2.1)(-2.1,-2.1)(2.1,-2.1)
      \pspolygon[linestyle=dashed,linecolor=green](1.5,2.6)(-1.5,2.6)(-1.5,-2.6)(1.5,-2.6)
      \pspolygon(0,0)(1.5,2.6)(3,0)
      \rput(3.3,0){$0$}
      \rput(3,1.5){\textcolor{blue}{$\dfrac{\pi}{6}$}}
      \rput(2.4,2.5){\textcolor{red}{$\dfrac{\pi}{4}$}}
      \rput(1.6,3.1){\textcolor{green}{$\dfrac{\pi}{3}$}}
      \rput(0,3.5){$\dfrac{\pi}{2}$}
      \rput(-3,1.5){\textcolor{blue}{$\dfrac{5\pi}{6}$}}
      \rput(-2.4,2.5){\textcolor{red}{$\dfrac{3\pi}{4}$}}
      \rput(-1.6,3.1){\textcolor{green}{$\dfrac{2\pi}{3}$}}
      \rput(-3.5,0){$-\pi$}
      \rput(-3,-1.5){\textcolor{blue}{$\dfrac{7\pi}{6}$}}
      \rput(-2.4,-2.5){\textcolor{red}{$\dfrac{5\pi}{4}$}}
      \rput(-1.7,-3.2){\textcolor{green}{$\dfrac{4\pi}{3}$}}
      \rput(0,-3.5){$\dfrac{3\pi}{2}$}
      \rput(3.1,-1.5){\textcolor{blue}{$\dfrac{11\pi}{6}$}}
      \rput(2.4,-2.5){\textcolor{red}{$\dfrac{7\pi}{4}$}}
      \rput(1.7,-3.2){\textcolor{green}{$\dfrac{5\pi}{3}$}}
      \rput(1.5,0){$\frac{1}{2}$}
      \rput(2.1,0){$\frac{\sqrt{2}}{2}$}
      \rput(2.6,0){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}
      \rput(0,0){$0$}
      \rput(-1.5,0){$-\frac{1}{2}$}
      \rput(-2.1,0){$-\frac{\sqrt{2}}{2}$}
      \rput(-2.6,0){$-\frac{\sqrt{3}}{2}$}
      \rput(0,1.5){$\frac{1}{2}$}
      \rput(0,2.1){$\frac{\sqrt{2}}{2}$}
      \rput(0,2.6){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}
      \rput(0,-1.5){$-\frac{1}{2}$}
      \rput(0,-2.1){$-\frac{\sqrt{2}}{2}$}
      \rput(0,-2.6){$-\frac{\sqrt{3}}{2}$}
   \end{pspicture}
\end{center}
%merci � Mathalie Daval pour ces superbes figures : http://mathematiques.daval.free.fr/spip.php?article1


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 
% \newpage
% \sectionblack{Complexes et g�om�trie}
% \begin{multicols}{2}\setlength{\columnseprule}{1pt}
% \begin{center}\textbf{Forme alg�brique}\end{center}
% Au nombre complexe $z=x+\i y$, on fait correspondre le point $M$ de coordonn�es $(x\ ;\ y)$.\\
% %\hlinefill \\
% 
% %\begin{center}
% % \begin {tabular}{c c}
% % 
% % \begin{pspicture}(-0.5,-0.3)(1.5,2.3)
% % \rput(0,1){$z=a+ib \qquad \ssi$}
% % \end{pspicture} 
% % 
% % &
% $$\psset{unit=1 cm} 
% \begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(3.5,2.3)
% \psaxes{->}(0,0)(1,1)
% %\psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{->}(0,0)(3,2)
% \psline(-0.5,0)(3.5,0)
% \psline(0,-0.5)(0,2.5)
% \psline[linestyle=dashed](3,0)(3,2)
% \psline[linestyle=dashed](0,2)(3,2)
% \rput(-0.2,-0.2){$0$}
% \rput(0.5,-0.2){$\vect{u}$}
% \rput(-0.2,0.5){$\vect{v}$}
% \rput(3.2,2.2){$M(z)$}
% \rput(3,-0.2){$x=\Re(z)$}
% \rput[r](-0.4,2){$y=\Im(z)$}
% \rput(1,-0.9){\textrm{\defin{Rep�rage cart�sien}}}
% \end{pspicture} $$
% 
% 
% $M$ est l'\defin{image} de $z$.\\
% $z$ est l'\defin{affixe} de $M$.\\
% $AB=|z_B-z_A|$\\
% $z_{\vect{AB}}=z_B-z_A$.\\
% $I$ milieu de $[AB]$ d'o� $Z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}$.
% $z$ et $\bar{z}$ sont sym�triques par rapport � $(Ox)$\\[15pt]
% 
% 
% 
% \columnbreak
% \begin{center}\textbf{Forme trigonom�trique}\end{center}
% au nombre complexe, $z=[r\ ;\ \theta]=r(\cos\theta+\j\sin\theta)=r\eit{}$, on fait correspondre le point $M$ de rayon $r$ et d'angle
% polaire $\theta$.
% 
% \vspace{1.5cm}
% 
% \begin{center}
% \psset{unit=1cm} 
% \begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(3.5,2.3)
%   \psaxes{->}(0,0)(1,1)
%   \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{->}(0,0)(3,2)
%   \psline(-0.5,0)(3.5,0)
%   \psline(0,-0.5)(0,2.5)
%   \psline[linestyle=dashed](3,0)(3,2)
%   \psline[linestyle=dashed](0,2)(3,2)
%   \rput(-0.2,-0.2){$0$}
%   \rput(0.5,-0.2){$\vect{u}$}
%   \rput(-0.2,0.5){$\vect{v}$}
%   \rput[l](2,1){$\textcolor{bleu}{\rho}$}
%   \psarc[linecolor=red,linewidth=0.05]{->}(0,0){1}{0}{35}
%   \rput(3.2,2.2){$M(z)$}
%   \rput(1.1,0.3){$\textcolor{rouge}{\theta}$}   
%   \rput(1,-0.7){\textrm{\defin{Rep�rage polaire}}}
% \end{pspicture} 
% \end{center}
% 
% Op�rations sur les formes polaires :
% $[\rho;\theta][\rho';\theta']=[\rho+\rho';\theta+\theta']$\\
% $\bar{z}=[\rho;-\theta]$\\
% $-z=[\rho;\theta+\pi]$\par
% \vfill\null
% \end{multicols}
% 
% 
% 
% \begin{center}
% \begin {tabular}{c c}
% 
% \begin{pspicture}(-0.5,-0.3)(1.5,2.3)
% \rput(0,1){$z=x+\i y \qquad \ssi$}
% \end{pspicture} 
% 
% &
% \psset{unit=1 cm} 
% \begin{pspicture}(-0.5,-0.3)(3.5,2.3)
% \psaxes{->}(0,0)(1,1)
% \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{->}(0,0)(3,2)
% \psline(-0.5,0)(3.5,0)
% \psline(0,-0.5)(0,2.5)
% \psline[linestyle=dashed](3,0)(3,2)
% \psline[linestyle=dashed](0,2)(3,2)
% \rput(-0.2,-0.2){$0$}
% \rput(0.5,-0.2){$\vect{u}$}
% \rput(-0.2,0.5){$\vect{v}$}
% \rput(3.2,2.2){$M(z)$}
% \rput(3,-0.2){$x$}
% \rput(-0.4,2){$y$}
% \end{pspicture} 
% \end{tabular}
% \end{center}
% 
% 
% 
% 
% 
% $M$ est l'\defin{image} de $z$.\\
% $z$ est l'\defin{affixe} de $M$.\\
% $AB=|z_B-z_A|$\\
% $z_{\tiny\vect{AB}}=z_B-z_A$.\\
% $I$ milieu de $[AB]$ d'o� $Z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}$.\\   
% 
% \exosol{On consid�re les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A=-1+3\i$ et $z_B=2-\i$.
% \begin{enumerate}
%  \item Placer les points dans un rep�re orthonorm�.
%  \item Calculer la longeur $AB$.
%  \item Calculer l'affixe du point $I$ milieu de $[AB]$.
%  \item Calculer l'affixe du vecteur $\vect{AB}$.
% \end{enumerate}
% }
% {\begin{enumerate}
% \item 
% $$\psset{unit=1 cm} 
% \begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(3.5,2.3)
% \psaxes{->}(0,0)(1,1)
% %\psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{->}(0,0)(3,2)
% \psline(-0.5,0)(3.5,0)
% \psline(0,-0.5)(0,2.5)
% \psline[linestyle=dashed](3,0)(3,2)
% \psline[linestyle=dashed](0,2)(3,2)
% \rput(-0.2,-0.2){$0$}
% \rput(0.5,-0.2){$\vect{u}$}
% \rput(-0.2,0.5){$\vect{v}$}
% \rput(3.2,2.2){$M$}
% \rput(3,-0.2){$x=\Re(z)$}
% \rput[r](-0.4,2){$y=\Im(z)$}
% \rput(1,-0.9){\textrm{\defin{Rep�rage cart�sien}}}
% \end{pspicture} $$
% \item $AB=|z_B-z_A|=|(-1+3\i)-(2-\i)|=|-3+4\i|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.
% \item $I$ milieu de $[AB]$ donc $z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}=\dfrac{(-1+3\i)+(2-\i)}{2}=\dfrac{1+2\i}{2}$.
% \item $z_{\tiny\vect{AB}}=z_B-z_A=(-1+3\i)-(2-\i)=-3+4\i.$
% \end{enumerate}
% }
% 
% 




\end{document}