\documentclass[12pt]{book}\usepackage[Aymar]{ammaths}\begin{document}\nocolor
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{}
\fancyhead[LE]{\footnotesize Chapitre 9}
\fancyhead[CE]{}
\fancyhead[RE]{\footnotesize Variables al�atoires, loi binomiale et de Poisson}
\fancyhead[LO]{\footnotesize Cours de math�matiques}
\fancyhead[CO]{}
\fancyhead[RO]{\footnotesize STS}
\fancyfoot[LE]{\footnotesize \url{http://lyceeenligne.free.fr}}
\newcounter{chap}\setcounter{chap}{9}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setboolean{reponse}{true}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\thispagestyle{empty}
{\Large\textsf{Section technicien sup�rieur}\par
\textsf{Cours de math�matiques}\par}

\bigskip

\textsf{\huge Chapitre 9}

{\HUGE\bf\textsf{Variables al�atoires}}\\[10pt]
{\HUGE\bf\textsf{Loi binomiale et loi de Poisson}}
\vfill

\begin{center}
\includegraphics[height=10cm]{probapoker.eps}
\end{center}


\vfill


\begin{flushright}
\sf\small Aymar de Saint-Seine\\ Ann�e scolaire 2011--2012
\end{flushright}
\setcounter{page}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%fin front page
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}

\section{Variables al�atoires}
\defi{Variable al�atoire}
{Soit $\Omega$ l'ensemble des �ventualit�s d'une exp�rience al�atoire.\\
On appelle \textbf{variable al�atoire} toute fonction $X$ de $\Omega$  dans $\R$ qui, � tout �ventualit�s de $\Omega$, fait correspondre un nombre r�el $x$.}

\exe{On lance deux d�s � quatre faces (t�tra�dre r�gulier). Les �ventualit�s sont :
				\begin{center}
				\begin{tabular}{|*{5}{c|}}
				\hline 
				\backslashbox{de 2}{de 1} & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 
				\hline
				1 & $(1;1)$ & $(2;1)$ & $(3;1)$ & $(4;1)$ \\ 
				\hline
				2 & $(1;2)$ & $(2;2)$ & $(3;2)$ & $(4;2)$ \\
				\hline 
				3 & $(1;3)$ & $(2;3)$ & $(3;3)$ & $(4;3)$ \\
				\hline 
				4 & $(1;4)$ & $(2;4)$ & $(3;4)$ & $(4;4)$ \\
				\hline 
				\end{tabular}\end{center} 
A cette exp�rience al�atoire, on peut associer diff�rentes variables al�atoires :
\begin{itemize}
 \item $X$ qui � une �ventualit� fait correspondre le maximum des deux valeurs obtenues.
 \item $Y$ qui � une �ventualit� fait correspondre le produit des deux valeurs obtenues.
 \item $Z$ qui � une �ventualit� fait correspondre la quotient de la premier valeur par la deuxi�me valeur.
\end{itemize}

Pour la variable al�atoire $Z$, on obtient les tableaux de valeurs suivants :
\begin{center}
% \begin{minipage}{5cm}
% \begin{tabular}{|*{5}{c|}}
% 	\hline 
% 	\backslashbox{de 2}{de 1} & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 
% 	\hline
%       1 & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ \\ 
%       \hline
%       2 & $2$ & $2$ & $3$ & $4$ \\ 
%       \hline 
%       3 & $3$ & $3$ & $3$ & $4$ \\ 
%       \hline 
%       4 & $4$& $4$ & $4$ & $4$ \\ 
%       \hline 
%    \end{tabular} 
% \end{minipage}
% 
% \begin{minipage}{5cm}
% \begin{tabular}{|*{5}{c|}}
% 	\hline 
% 	\backslashbox{de 2}{de 1} & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 
% 	\hline
%       1 & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ \\ 
%       \hline
%       2 & $2$ & $4$ & $6$ & $8$ \\ 
%       \hline 
%       3 & $3$ & $6$ & $9$ & $12$ \\ 
%       \hline 
%       4 & $4$& $8$ & $12$ & $16$ \\ 
%       \hline 
%    \end{tabular} 
% \end{minipage}
% 
\begin{minipage}{5cm}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}
	\hline 
	\backslashbox{de 2}{de 1} & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 
	\hline
      1 & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ \\ 
      \hline
      2 & $0.5$ & $1$ & $1.5$ & $2$ \\ 
      \hline 
      3 & $0.3$ & $0.6$ & $1$ & $1.3$ \\ 
      \hline 
      4 & $0.25$& $0.5$ & $0.75$ & $1$ \\ 
      \hline 
   \end{tabular} 
\end{minipage}

 La variable al�atoire $Z$ fait correspondre $\dfrac{2}{3}$ � l'eventualit� $(2 ; 3)$. On lit $Z( (2 ; 3))= \dfrac{2}{3}$.\\
 C'est bien une fonction qui a un �l�ment de $\Omega$ fait correspondre un nombre. 
 \end{center}}


\defi{Loi de probabilit�}
{La \textbf{loi de probabilit�} d'une variable al�atoire $X$ est la fonction qui � chaque valeur $x$ de la variable al�atoire fait correspondre sa probabilit�.\\
G�n�ralement, on donne son tableau de valeur pour l'expliciter.}

\exe{la probabilit� de la valeur $\dfrac{2}{3}$ est $\dfrac{1}{16}$.
On obtient le tableau de valeur suivant :\\
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{12}{c|}} \hline
$z_i$ & 1/4 & 1/3 & 1/2 & 2/3 & 3/4 & 1 & 2/3 & 3/2 & 2  & 3 & 4\\ \hline
$p(Z=z_i)$ & 1/16 & 1/16 & 2/16 & 1/16 & 1/16 & 4/16 & 1/16 & 1/16 & 2/16 & 1/16 & 1/16\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}}


\defi{Esp�rance,Variance et �cart-type d'une loi de probabilit�}
{On consid�re une variable al�atoire $X$ prenant $m$ valeurs $x_i$ avec les probabilit�s $p_i=p(X=x_i)$.\\
\textbf{L'esperance} de $X$ est :
$$E(x)= p_1x_1 + p_2x_2 + \cdots + p_mx_m = \sum_{i=1}^{i=m}p_ix_i.$$
\textbf{La variance} de $X$ est :
$$V(x)= p_1(x_1-E(X))^2 + p_2(x_2-E(X))^2 + \cdots + p_m(x_m-E(X))^2=E(X^2)-E(X)^2.$$
\textbf{L'�cart type} de $X$ est $$\sigma(x)=\sqrt{V(X)}.$$ }

\rem{L'esp�rance indique le degr� d'�quit� d'un jeu de hasard puiqu'elle est �gale � la somme des gains (et des pertes) pond�r�s par la probabilit� du gain (ou de la perte).\\
La variance caract�rise la dispersion d'un �chantillon ou d'une population puisqu'elle cumule les �carts de chaque valeur avec la moyenne.}

\exe{\\Pour la loi de probabilit� de $Z$, on obtient :\\
$E(Z)=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{16}+\cdots+4\times\dfrac{1}{16}=1,26$\\
Pour calculer la variance, il faut calculer auparavant $E(Z^2)$ :
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{12}{c|}} \hline
$z_i^2$ & 1/16 & 1/9 & 1/4 & 4/9 & 9/16 & 1 & 4/9 & 9/4 & 4  & 9 & 16\\ \hline
$p(Z=z_i^2)$ & 1/16 & 1/16 & 2/16 & 1/16 & 1/16 & 4/16 & 1/16 & 1/16 & 2/16 & 1/16 & 1/16\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

On a donc $E(Z^2)=\dfrac{1}{16}\times\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{9}\times\dfrac{1}{16}+\cdots+16\times\dfrac{1}{16}=2,58$\\
$V(Z)=E(Z^2)-E(Z)^2=2,58-1,26^2=1,32$ et $\sigma(Z)=\sqrt{1,32}=1,15$. }

\rem{L'utilisation de la calculatrice permet de gagner beaucoup de temps.}

\section{Fonction de r�partition}
On regarde toujours la variable al�atoire $Z$, mais on cherche d�sormais � associer � toute valeur r�elle $z$ la probabilit� d'obtenir un tirage inf�rieur ou �gal � $z$. \\
Par exemple, la probabilit� que $Z\leq \dfrac{2}{3}$ est $p(Z\leq\dfrac{2}{3})=\dfrac{1+1+2+1+1+1+4+1}{16}=\dfrac{9}{16}$.\\
De m�me, on obtient $p(Z \leq 1,4)=p(Z\leq\dfrac{2}{3})=\dfrac{9}{16}$ puisqu'aucune valeur entre $\dfrac{2}{3}$ et $1,4$ n'est prise par $Z$.

Formellement, cela conduit � la d�finition :
 
\defi{Fonction de r�partition}
{La \textbf{fonction de r�partition} d'une variable al�atoire $X$ est la fonction qui � tout r�el $x$ associe
$$F(x) = P[X\leq x].$$}


\exe{Pour la variable al�atoire $Z$, on obtient le tableau de valeur suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{13}{c|}} \hline
$z_i$ & 0  & 1/4 & 1/3 & 1/2 & 2/3 & 3/4 & 1 & 2/3 & 3/2 & 2  & 3 & 4\\ \hline
$F(z)=p(z\leq z_i)$ &0 & 1/16 & 1/16 & 2/16 & 1/16 & 1/16 & 4/16 & 1/16 & 1/16 & 2/16 & 1/16 & 1/16\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Grpahiquement, on obtient :
$$\psset{xunit=2cm,yunit=4cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
\def\xmin{-0.5}\def\ymin{-0.2}\def\xmax{6}\def\ymax{1.2}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psline[linecolor=rouge]{-[}(\xmin,0)(0.25,0)\psdots[linecolor=rouge](0.25,0.06)
\psline[linecolor=rouge]{-[}(0.25,0.06)(0.33,0.06)\psdots[linecolor=rouge](0.33,0.13)
\psline[linecolor=rouge]{-[}(0.33,0.13)(0.5,0.13)\psdots[linecolor=rouge](0.5,0.25)
\psline[linecolor=rouge]{-[}(0.5,0.25)(0.6,0.25)\psdots[linecolor=rouge](0.6,.31)
\psline[linecolor=rouge]{-[}(0.6,0.31)(0.75,0.31)\psdots[linecolor=rouge](0.75,0.38)
\psline[linecolor=rouge]{-[}(0.75,0.38)(1,0.38)\psdots[linecolor=rouge](1,0.625)
\psline[linecolor=rouge]{-[}(1,0.625)(1.3,0.625)\psdots[linecolor=rouge](1.3,0.69)
\psline[linecolor=rouge]{-[}(1.3,0.69)(1.5,0.69)\psdots[linecolor=rouge](1.5,0.75)
\psline[linecolor=rouge]{-[}(1.5,0.75)(2,0.75)\psdots[linecolor=rouge](2,0.88)
\psline[linecolor=rouge]{-[}(2,0.88)(3,0.88)\psdots[linecolor=rouge](3,.94)
\psline[linecolor=rouge]{-[}(3,.94)(4,.94)\psdots[linecolor=rouge](4,1)
\psline[linecolor=rouge]{-[}(4,1)(\xmax,1)
\end{pspicture*}$$}

\theo{}{La fonction de r�partition poss�de les propri�t�s suivantes :
\begin{itemize}
\item $F$ est croissante ;
\item $\dis\lim_{x \to -\infty}F(x) = 0$ ;
\item $\dis\lim_{x \to +\infty}F_X(x)=1$.
\end{itemize}}



\section{Loi binomiale}
\subsection{�preuve de Bernoulli}
\defi{}{Soit $p$ un r�el tel que $0\leq p \leq 1$.\par
Une {\bf exp�rience de Bernoulli de param�tre $p$} est une exp�rience
al�atoire � deux issues appel�es << succ�s >>  (de probabilit� $p$)
et<< �chec >> de probabilit� $1-p$.}

\theo{}{Soit $X$ la variable al�atoire d�finie sur $\{0\ ; \ 1\}$ par
  $\mathcal{P}(X=1)=p$ et $\mathcal P(X=0)=1-\mathcal{P}(X=1)=1-p$. L'esp�rance
  math�matique de $X$ est $E(X)=p$.  La variance de $X$ est
  $V(X)=p(1-p)$.}
 
\dem{$E(X)=\sum_{i=1}^{i=2}p_ix_i=p\times1+(1-p)\times0=p.$\\
$E(X^2)=\sum_{i=1}^{i=2}p_ix_i=p\times1^2+(1-p)\times0^2=p.$\\
$V(X)=E(X^2)-E(X)^2=p-p^2=p(1-p)$.
$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{p(1-p)}$.}
 
\subsection{Sch�ma de Bernoulli}
\defi{}{Soit $p$ un r�el tel que $0\leq p \leq 1$ et  $n$ un entier
  naturel non nul.\par Un {\bf sch�ma de  Bernoulli de param�tre
    $(n;p)$} consiste en la succession de $n$  �preuves de Bernoulli
  ind�pendantes et de m�me param�tre $p$.}
\subsection{Loi binomiale}
\theo{}{Soit une exp�rience al�atoire suivant le sch�ma de Bernoulli de
  param�tre $(n;p)$.  Soit $X$ la variable al�atoire �gale au nombre
  de succ�s obtenus au bout des $n$ �preuves r�p�t�es constituant le
  sch�ma. La loi de $X$ est d�finie par $$\mathcal P (X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$$ o� $k$ est un entier tel que $0\leq k  \leq n$.}

\defi{}{Avec les notations pr�c�dentes, on dit que $X$ suit la {\bf loi
    binomiale de param�tre} $(n;p)$.}

\theo{}{Si $X$ suit la loi
  bin�miale de param�tre $(n;p)$, alors
 $$E(X)=np \qquad ; \qquad V(X)=np(1-p) \qquad ; \qquad \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}.$$}


\section{Loi de Poisson}

\defi{}{Une variable al�atoire suit {\bf la loi de Poisson ${\cal P}(\lambda)$ de param�tre positif $\lambda$}  lorsque sa loi de
  probabilit� est donn�e par la formule $$\mathcal
  P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!},$$ pour tout entier naturel $k$. }

\rem{\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Ce type de loi intervient dans la mod�lisation 
d'�v�nements o� le futur est ind�pendant du pass�. Elle est 
notamment utilis�e dans l'�tude des files d'attentes, des pannes 
de machines, des appels t�l�phoniques � un standard, de la 
mortalit�, de la gestion des stocks \dots
\item[$\bullet$] Le formulaire donne les valeurs num�riques des probabilit�s avec la loi
de Poisson pour plusieurs valeurs de $k$ et $\lambda$.
\end{itemize}
}

\theo{}{Si $X$ est une variable al�atoire suivant la loi de Poisson ${\cal P}(\lambda)$ de 
param�tre $\lambda$ alors 
$$E(X)=\lambda \qquad ; \qquad V(X)=\lambda \qquad ; \qquad \sigma(X)=\sqrt{\lambda}.$$
} 

\section{\large Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson}

\theo{}{On admet que si $n$ est << grand >>, $p$ << proche >> de $0$ et
  $np$ << pas trop grand >>,
alors la loi binomiale ${\cal B}(n,p)$ peut �tre approch�e par la loi de Poisson 
${\cal P}(\lambda)$ de param�tre $\lambda=np$.}

\rem{Les conditions d'approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson ne sont 
pas � apprendre. Il faut par contre se souvenir que dans le cas d'une telle approximation,
le param�tre de la loi de Poisson est $np$.}


\section{Exercices}

% \exercice{11}{Variables al�atoire}{STS 2}
% 
% \begin{minipage}{16cm}
% \tableofcontents
% \end{minipage}
% \newpage

\subsection{Variable al�atoire}

\exoc{Une machine remplit automatiquement des sachets en 
m�langeant deux produits A et B. Dans chaque sachet, pour le 
produit A, la machine introduit 50 grammes avec une probabilit� 
de 0,8 ou 51 grammes avec une probabilit� de 0,2 et 
ind�pendamment pour le produit B elle introduit 50 grammes avec 
une probabilit� de 0,6 ou 51 grammes avec une probabilit� de 
0,4.
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les masses possibles $X$ d'un sachet ? 
�tablir et pr�senter sous forme de tableau la loi de probabilit� de $X$.
\item Quelle est la probabilit� pour qu'un sachet contienne au plus 101 grammes ?
\item Calculer l'esp�rance math�matique de $X$.
\item Les sachets sont vendus par groupes de deux, 
la constitution des paires �tant �quiprobable. Calculer la 
probabilit� pour qu'un groupe de deux sachets contienne 202 
grammes.
\end{enumerate}
}



\exoc{Une entreprise utilise des machines de type M constitu�es 
chacune de deux �l�ments E1 et E2. La d�fectuosit� d'un seul des 
deux �l�ments E1 et E2 suffit � mettre la machine hors service et 
on exclut toute autre �ventualit� de panne.\par Soient $A1$ et 
$A2$ les deux �v�nements :
\begin{description}
    \item[$A1$ :] ``l'�l�ment E1 tombe en panne'' ;
    \item[$A2$ :] ``l'�l�ment E2 tombe en panne''.
\end{description}
On suppose que $A1$ et $A2$ sont deux �v�nements ind�pendants
 de probabilit�s respectives $p_1=P(A1)=0,08$ et $p_2=P(A2)=0,05$.\par
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilit� $s$ pour que les deux �l�ments soient 
simultan�ment hors service.
\item Calculer la probabilit� $p$ pour que la machine M soit en panne.
\item On note $X$ la variable al�atoire �gale au nombre d'�l�ments hors service.
    \begin{enumerate}
	\item D�terminer la loi de probabilit� de $X$.
        \item V�rifier que l'esp�rance math�matique de $X$ est �gale � 0,13.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\exoc{Deux grossistes produisent des bulbes de tulipes :
\begin{itemize}
\itemb le premier, des bulbes � fleurs rouges dont 90\% donnent une fleur ;
\itemb le second, des bulbes � fleurs jaunes dont 80\% donnent une fleur.
\end{itemize}
Un horticulteur ach�te 70\% des bulbes qu'il cultive au premier grossiste et le reste au second. Un bulbe de tulipe donne au plus une fleur.
L'horticulteur plante un bulbe pris au hasard. On notera :
\begin{description}
    \item[$G$ :]  l'�v�nement ``le bulbe provient du premier grossiste'' ;
    \item[$\overline{G}$ :]  l'�v�nement ``le bulbe provient du second grossiste'' ;
    \item[$F$ :] l'�v�nement ``le bulbe donne une fleur''.
\end{description}
\begin{enumerate}
\item D�terminer les probabilit�s des �v�nements suivants :
    \begin{enumerate}
    \item obtenir une fleur rouge ;
    \item obtenir une fleur jaune ;
    \item ne pas obtenir de fleur.
    \end{enumerate}
\item L'horticulteur gagne 0,8 euros par fleur rouge obtenue et 1 euros par fleur jaune.
    Soit $X$ la variable al�atoire �gale au gain de l'horticulteur par bulbe plant�.
    D�terminer la loi de probabilit� de $X$ et son esp�rance math�matique.
    Quelle est l'esp�rance de gain de l'horticulteur s'il commande 10 000 bulbes ?
\end{enumerate}}

\exoc{Dans une salle de jeux un appareil (connu sous le nom de Bandit manchot) comporte quatre roues, chacune portant 
� sa p�riph�rie huit images de fruits diff�rents : ananas, 
bananes, cerises, dattes, fraises, groseilles, poires, 
raisins.\par Une mise de 1 euro d�clenche le fonctionnement de 
l'appareil pour une partie. Chacune des quatre roues affiche au 
hasard dans une fen�tre un de ces fruits. On admettra que tous 
les �v�nements �l�mentaires sont �quiprobables.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilit� des �v�nements suivants :
    \begin{description}
    \item[$E$ :] on obtient quatre fruits identiques ;
    \item[$F$ :] on obtient trois fruits identiques et trois seulement ;
    \item[$G$ :] on obtient quatre fruits distincts.
    \end{description}
\item Certains r�sultats permettent de gagner de l'argent :
    \begin{itemize}
    \item[$\bullet$] 50 euros pour quatre fruits identiques ;
    \item[$\bullet$] 5 euros pour trois fruits identiques ;
    \item[$\bullet$] 1 euro pour quatre fruits distincts ;
    \item[$\bullet$] 0 euro pour les autres r�sultats.
    \end{itemize}
Soit $X$ la variable al�atoire qui � chaque r�sultat associe 
    le gain indiqu� ci-dessus.
    \begin{enumerate}
     \item Quelle est la probabilit� de l'�v�nement ``obtenir un gain non nul'' ?
     \item D�terminer l'esp�rance math�matique de $X$, not�e $E(X)$.
     \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\exoc{Une urne contient 3 boules vertes portant le num�ro 0, deux boules rouges portant
le num�ro 5 et une boule noire portant le num�ro $a$ ($a$ est un 
entier naturel non nul, diff�rent de 5 et de 10). Toutes les 
boules sont indiscernables au toucher. Un joueur tire 
simultan�ment trois boules de l'urne.
\begin{enumerate}
\item  Quelle est la probabilit� pour qu'il tire :
       \begin{enumerate}
	\item trois boules de la m�me couleur ?
        \item trois boules de couleurs diff�rentes ?
        \item deux boules et deux seulement de la m�me couleur ?
    \end{enumerate}
\item Le joueur re�oit, en euros, la somme des num�ros marqu�s sur les boules
    tir�es. Les gains possibles du joueur sont donc : $$0 ; 5 ; 10 ; a ; 5+a ; 10+a.$$
    \begin{enumerate}
    \item Soit $X$ la variable al�atoire �gale au gain du joueur, d�terminer 
    la loi de probabilit� de $X$.
    \item Calculer l'esp�rance math�matique de $X$ en fonction de $a$.
    \item Calculer $a$ pour que l'esp�rance de gain du joueur soit de 20.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
\rep{}{\begin{enumerate}
\item On choisit trois boules indiscernables simultan�ment. Les tirages sont donc non ordonn�s et sans r�p�tition. C'est donc une combinaison de 3 �l�ments choisis parmi 6. Il y a $C_6^3=20$ tirages possibles.
      \begin{enumerate}
      \item Il y a une seule possibilit� d'avoir trois boules de m�me couleur (les trois vertes). La probabilit� est donc de $\dfrac{1}{20}$.
      \item Pour avoir trois boules de couleurs diff�rentes, il faut la boule noire, une boule rouge (2 choix possibles) et une boule verte (3 choix possibles). Il y a donc combinaisons possibles et la probabilit� est de $\dfrac{6}{20}$.
      \item Soit on a les deux boules rouges et une autre couleur ensuite (4 choix pour cette derniere boule) soit on choisit 2 boules vertes parmi les trois ($C_3^2=3$ combinaisons possibles) et une autre couleur (3 choix possibles). La probabilit� est donc de $\dfrac{4+3\times 3}{20}=\dfrac{13}{20}$
      \end{enumerate}
On remarque que la somme des proba trouv�es fait 1, ce qui est coh�rent puisque l'on a consid�rer toutes les issues possibles.
\item \begin{enumerate}
      \item Le tableau suivant pr�sente la loi de probabilit� de $X$. La ligne interm�diaire indique les combinaisons realisant la valeur $x_i$. La probabilit� est obtenue en d�nombrant les cas favorables � l'aide de combinaison.
      \begin{center}
      \begin{tabular}{|*{7}{c|}}
       \hline
       $x_i$ & 0 & 5& 10 & $a$ & $a$+5 & $a+10$ \\  
       \hline
       Combinaison&V-V-V&R-V-V&R-R-V&N-V-V&N-R-V&N-R-R\\
       \hline
      $P(X=x_i)$ &$\dfrac{1}{20}$&$\dfrac{6}{20}$&$\dfrac{3}{20}$&$\dfrac{3}{20}$&$\dfrac{6}{20}$&$\dfrac{1}{20}$\\
       \hline 
      \end{tabular}
      \end{center}
      \item l'esperance est 
	    \begin{eqnarray*}
	    E(X)&=&\sum p_ix_i \\
	    &=&0\times\dfrac{1}{20}+5\times\dfrac{6}{20}+\cdots+(a+10)\times\dfrac{1}{20}\\
	    &=&\dfrac{0\times1+5\times6+10\times3+a\times3+(a+5)\times6+(a+10)\times1}{20}\\
	    &=&\dfrac{100+10a}{20}
	    \end{eqnarray*}
      \item Le gain moyen du joueur est de 20 si et seulement si l'esperance du jeu est de 20, c'est � dire :
	    $$\dfrac{100+10a}{20}=20$$
	    $$100+10a=400$$
	    $$10a=300$$
	    $$a=30$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}%fin_rep
}




\exoc{Un \'etablissement est compos\'e de deux sas, not\'es 1 et 2, et de six salles de travail, not\'ees A, B, C, D, E et F. Les communications entre ces diff\'erentes salles se font par le moyen de $12$~portes repr\'esent\'ees par le sch\'ema suivant :

\begin{center}
\begin{pspicture}(9,5)
\psframe(9,5)
\psline(0,1.25)(1.5,1.25) \psline(2,1.25)(4.25,1.25) \psline(4.75,1.25)(7.25,1.25)\psline(7.75,1.25)(9,1.25)
\psline(0,2.5)(1.5,2.5)\psline(2,2.5)(7.25,2.5)\psline(7.75,2.5)(9,2.5)
\psline(0,3.75)(1.5,3.75)\psline(2,3.75)(4.25,3.75)\psline(4.75,3.75)(7.25,3.75)\psline(7.75,3.75)(9,3.75)
\psline(2,1.05)(2,1.45) \psline(1.5,2.3)(1.5,2.7)\psline(1.5,3.55)(1.5,3.95)
\psline(1.5,1.05)(1.5,1.45) \psline(2,3.55)(2,3.95)
\psline(7.25,1.05)(7.25,1.45) \psline(7.75,1.05)(7.75,1.45) \psline(2,2.3)(2,2.7)
\psline(4.25,1.05)(4.25,1.45) \psline(4.75,1.05)(4.75,1.45) 
\psline(7.25,2.3)(7.25,2.7)\psline(7.75,2.3)(7.75,2.7)
\psline(4.25,3.55)(4.25,3.95)\psline(4.75,3.55)(4.75,3.95)
\psline(7.25,3.55)(7.25,3.95)\psline(7.75,3.55)(7.75,3.95)
\psline(3,1.25)(3,1.75) \psline(2.8,1.75)(3.2,1.75)
\psline(6,1.25)(6,1.75) \psline(5.8,1.75)(6.2,1.75)
\psline(3,2.5)(3,3) \psline(2.8,3)(3.2,3)
\psline(6,2.5)(6,3) \psline(5.8,3)(6.2,3)
\psline(3,3.75)(3,3.25) \psline(2.8,3.25)(3.2,3.25)
\psline(6,3.75)(6,3.25) \psline(5.8,3.25)(6.2,3.25)
\psline(3,2.5)(3,2) \psline(2.8,2)(3.2,2)
\psline(6,2.5)(6,2) \psline(5.8,2)(6.2,2)
\rput(4.5,4.3){Sas 2} \rput(4.5,0.6){Sas 1} 
\rput(1.75,1.8){A} \rput(4.5,1.8){B} \rput(7.5,1.8){C} 
\rput(7.5,3.1){D} \rput(4.5,3.1){E} \rput(1.75,3.1){F} 
\end{pspicture}
\end{center}

\noindent On remarquera que les salles B et E ne communiquent pas directement.\\

\begin{itemize}
\item  Un robot, rang\'e dans le sas 1, est programm\'e pour nettoyer exactement trois salles diff\'erentes parmi les salles A, B, C, D, E et F.
\item  Le robot commence toujours son parcours par l'une des salles A, B ou C.
\item  D\`es que le robot entre dans une salle, il la nettoie syst\'ematiquement.
\item  Il lui est impossible de franchir la m\^eme porte plus d'une fois ou de nettoyer deux fois la m\^eme salle.
\item  Une fois les trois salles nettoy\'ees, le robot ressort :
\begin{itemize}
\item  soit par le sas 1 ;
\item  soit par le sas 2. Dans ce cas, il retourne plus tard dans le sas 1 par un couloir non repr\'esent\'e sur le sch\'ema.
 \end{itemize}
 \end{itemize}
On appelle \og trajet\fg{} une suite ordonn\'ee de 3 salles constituant un parcours possible pour le robot.\\
\textbf{Exemples :}
\begin{itemize}
\item ABC et BCD sont des trajets.
\item  CBA et ABC sont deux trajets diff\'erents.
\item  ABE n'est pas un trajet (les salles B et E ne communiquent pas directement).
\item  DEF n'est pas un trajet (le robot ne peut pas commencer par la salle D).
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer les six trajets possibles (on pourra s'aider d'un arbre).\\
Dans toute la suite, on admet que les six trajets obtenus sont \'equiprobables.
\item  \begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilit\'e $p_{1}$ de l'\'ev\`enement \og la salle E est la troisi\`eme salle nettoy\'ee par le robot \fg.
\item  Calculer la probabilit\'e $p_{2}$ de l'\'ev\`enement \og  le robot sort par le sas 2 \fg.
\end{enumerate}
\item  Le tableau suivant donne le temps de nettoyage du robot dans chacune des salles en minutes :

\medskip

\noindent  \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Salles & A&B&C&D&E&F\\ \hline
Temps de nettoyage du robot&20 min		&24 min&30 min&14 min&22 min &14 min\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\noindent On d\'esigne par X la variable al\'eatoire qui, \`a chaque trajet, associe le temps de nettoyage des $3$ salles exprim\'e en minutes.



\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer les valeurs prises par la variable al\'eatoire X.
\item  D\'eterminer la loi de probabilit\'e de X.
\item  Calculer l'esp\'erance E(X) de la variable al\'eatoire X. Que repr\'esente ce nombre ?
\item  Calculer la probabilit\'e $p_{3}$ de l'�v\`enement \og le robot effectue le nettoyage des $3$ salles en moins de $60$~minutes \fg{}?
\end{enumerate}
\item  On appelle $\sigma$(X) l'�cart type de la variable al\'eatoire X.
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer la valeur arrondie au centi\`eme de $\sigma$(X)
\item  Le robot effectue un parcours par jour, $7$ jours sur $7$. Soit $n$ un entier naturel non nul. On admet qu'il est acceptable d'utiliser le robot durant $n$ jours d'affil\'ee sans r\'evision si le nombre :
\[n \times  \text{E}(\text{X}) + 1,5 \times  \sigma(\text{X}) \times  \sqrt{n}\]
est inf\'erieur \`a $500$~heures. Est-il acceptable de ne faire r\'eviser le robot qu'une fois par an ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}



\exoc{Le personnage virtuel d'un jeu \'electronique doit franchir un torrent en sautant de rocher en rocher.\\
Le torrent se pr\'esente de la mani\`ere suivante (les disques R$_{1}$, R$_{2}$, \ldots,  R$_{17}$, R$_{18}$, repr\'esentent les rochers) :\\
%\newpage

%\begin{pspicture}(12,8)
%\psline(0,7)(12,7) \psline(0,-7)(12,-7)
\scalebox{0.9}{\begin{minipage}{18cm}\begin{center}
\psset{colsep=0.8cm,rowsep=0.8cm}
\begin{psmatrix}[mnode=circle]
			&			&			& {\Large A}&			&			& [mnode=none]\\
			&R$_{1}$	&			&	&			&R$_{8}$	& [mnode=none]\\
			&R$_{2}$	&			&	&R$_{9}$	&R$_{10}$	&R$_{11}$\\
R$_{3}$	&R$_{4}$	&R$_{5}$	&	&			&R$_{12}$	&R$_{13}$\\
			&R$_{6}$	&			&	&R$_{14}$	&R$_{15}$	& [mnode=none]\\
			&R$_{7}$	&			&	&R$_{16}$	&			& [mnode=none]\\
			&			&			&	&			&R$_{17}$	& [mnode=none]\\
			&			&			&	&R$_{18}$	&			& [mnode=none]\\
			&			&			&{\Large B}	&			&			&[mnode=none] \\
\end{psmatrix}
\psset{linestyle=dashed}
\psset{arrows=->}
\ncline{1,4}{2,2}\ncline{1,4}{2,6}\ncline{2,2}{3,2}
\ncline{2,6}{3,5}\ncline{2,6}{3,6}\ncline{2,6}{3,7}
\ncline{3,2}{4,1}\ncline{3,2}{4,2}\ncline{3,2}{4,3}
\ncline{4,3}{4,2}\ncline{4,1}{5,2}\ncline{4,2}{5,2}
\ncline{5,2}{6,2}\ncline{6,2}{9,4}\ncline{3,5}{5,5}
\ncline{5,5}{6,5}\ncline{6,5}{7,6}\ncline{7,6}{8,5}
\ncline{8,5}{9,4}\ncline{3,6}{4,6} \ncline{4,6}{5,5}
 \ncline{3,7}{4,7} \ncline{4,7}{5,6} \ncline{5,6}{7,6} 

\vspace*{-20cm}
\psset{linestyle=solid,arrows=-}
\begin{pspicture}(12,10)
\rput(0,4){RIVE}
\rput(0,-10){RIVE}
\psline(0,3.5)(12,3.5)
\psline(0,-9.5)(12,-9.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}}


\vspace{10.5cm}
\noindent Le personnage virtuel part de A pour aller en B. Il ne peut choisir que les trajets mat\'erialis\'es par des pointill\'es et avancer uniquement dans le sens des fl\`eches.
On appelle \og parcours \fg{} une suite ordonn\'ee de lettres repr\'esentant un trajet possible.\\
\textbf{Par exemple :} AR$_{1}$R$_{2}$R$_{3}$R$_{6}$R$_{7}$B est un parcours qui n\'ecessite $6$ bonds.\\
\emph{Toute probabilit\'e demand\'ee sera donn\'ee sous forme de fraction.}
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer les six parcours possibles.
\item  Le joueur choisit au hasard un parcours. On admet que les diff\'erents parcours sont \'equiprobables.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilit\'e $p_{1}$ de l'\'ev\`enement \og le personnage virtuel passe par le rocher R$_{7}$ \fg{}?
\item 	Quelle est la probabilit\'e $p_{2}$ de l'\'ev\`enement \og le personnage virtuel passe par le rocher R$_{14}$ \fg{}?
\end{enumerate}
\item  Chaque bond du personnage virtuel n\'ecessite 2 secondes.\\
On note X la variable al\'eatoire qui, \`a chaque parcours, associe sa dur\'ee en secondes.
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer les valeurs prises par la variable al\'eatoire X.
\item  Donner la loi de probabilit\'e de la variable al\'eatoire X.
\item  Calculer l'esp\'erance math\'ematique E(X) de la variable al\'eatoire X.
\end{enumerate}
\item  Quelle devrait \^etre la dur\'ee d'un bond du personnage virtuel pour que la dur\'ee moyenne d'un parcours soit \'egale \`a 10 secondes ?
\end{enumerate}
}



% \exoc{Paul propose le jeu suivant � son camarade Alexis :\par
% \begin{quote}
% ``Voici un d� � 6 face num�rot�es de 1 � 6. Tu le lances une 
% fois. Si tu obtiens un multiple de 3, tu tires un papier dans le 
% chapeau noir, sinon tu tires un papier dans le chapeau blanc. Ce 
% papier t'indiquera ce que tu auras gagn� ou perdu.''
% \end{quote}
% Paul a plac� dans le chapeau noir quatre papiers portant la 
% mention $+5$  et un papier portant la mention $-20$. Dans le 
% chapeau blanc, il a mis trois papiers portant la mention  $+5$ 
% et un papier portant la mention $-15$.\par On appelle $N$ 
% l'�v�nement ``tirer dans le chapeau noir'' et $B$ l'�v�nement 
% ``tirer dans le chapeau blanc''. On admettra qu'� chaque �tape du 
% jeu, les tirages ou lancers sont r�alis�s dans des conditions qui 
% assurent l'�quiprobabilit� des r�sultats.\par
% \begin{enumerate}
% \item Calculer la probabilit� $p(B)$ de l'�v�nement $B$, ainsi 
% que la probabilit� $p(N)$ de l'�v�nement $N$.
% \item On appelle $X$ la variable al�atoire donnant, pour une 
% tentative, le gain alg�brique possible. Quelles
% valeurs peut prendre $X$ ?
% \item Calculer $p((X=5)/N)$, c'est � dire la probabilit� de gagner 
% 5 sachant que l'on tire dans le chapeau noir.\par Calculer 
% $p((X=5)/B)$, c'est � dire la probabilit� de gagner 5 sachant 
% que l'on tire dans le chapeau blanc.\par En d�duire la 
% probabilit� de l'�v�nement $(X=5)\cap N$, ainsi que la 
% probabilit� de l'�v�nement $(X=5)\cap B$.
% \end{enumerate}
% }




% \exoc{Deux joueurs, Paul et Jacques, lancent chacun une seule fois 
% un m�me d� dont chacune des six faces, num�rot�es de 1 � 6, a la 
% m�me probabilit� de sortir. Le joueur qui gagne est celui qui 
% obtient un nombre strictement sup�rieur � celui de l'autre. La 
% partie est nulle si les deux joueurs obtiennent le m�me 
% nombre.
% \begin{enumerate}
% \item Calculer la probabilit� pour que Paul gagne.
% \item On suppose, dans cette question, que Paul a obtenu le nombre 4. 
% Calculer la probabilit� pour que Jacques gagne.
% \item Le joueur qui gagne re�oit en euros la somme des nombres obtenus par les deux joueurs.
% Soit $X$ la somme d'argent re�ue par Paul ($X=0$ si la partie est nulle 
% ou si Jacques gagne).
% 	\begin{enumerate}
% 	\item D�terminer l'ensemble des valeurs prises par la variable
% 	al�atoire $X$, puis la loi de probabilit� de $X$.
% 	\item Calculer l'esp�rance math�matique et l'�cart-type de la variable al�atoire $X$.
% 	\item Pour avoir le droit de jouer, Paul doit verser la somme de 5 euros.
% 	Le jeu est-il avantageux pour ce joueur ?                                                                                   \end{enumerate}
% \end{enumerate}
% }
% 
% \exoc{Un forain a construit un appareil de jeu contenant six boules 
% blanches et trois boules rouges. Lorsqu'on introduit un jeton 
% dans l'appareil, trois boules tombent dans un panier. On traitera 
% l'exercice en admettant que toutes les boules ont la m�me 
% probabilit� de tomber dans le panier. Si les trois boules 
% obtenues sont rouges, le joueur gagne un lot de 100 euros. Si 
% deux des boules obtenues sont rouges, le joueur gagne un lot de 
% 15 euros. Si une seule des trois boules est rouge, le joueur gagne un 
% lot de 5 euros. Si les trois boules sont blanches, le joueur ne 
% gagne rien. Le prix du jeton est fix� � 8 euros.
% \begin{enumerate}
% \item La variable al�atoire $X$ d�signant la valeur du lot gagn� par le joueur, 
% d�terminer la loi de probabilit� de $X$. Calculer l'esp�rance 
% math�matique de $X$. En d�duire le gain moyen du forain.
% \item L'appareil ne s'av�rant pas suffisamment rentable, le forain 
% envisage deux solutions : augmenter de 1 euro le prix du jeton, 
% ou bien ajouter une boule blanche � l'int�rieur de l'appareil. 
% Quelle est la solution la plus rentable pour le forain ?
% \end{enumerate}
% }

% 
% \exoc{Un enfant dispose dans sa poche de six pi�ces de monnaie : 
% deux pi�ces de un euro, trois pi�ces de cinquante centimes, une 
% pi�ce de vingt centimes. Dans un magasin, pour r�gler un achat de 
% 2,20 euros, il extrait trois pi�ces de sa poche. On admet que, 
% l'enfant ne connaissant pas les rapports entre la dimension de la 
% pi�ce et sa valeur, tous ces tirages sont �quiprobables.
% \begin{enumerate}
% \item \begin{enumerate}
%      \item Quelle est la probabilit� qu'il obtienne ainsi la somme exacte de 2,20 euros ?
%     \item Quelle est la probabilit� qu'il obtienne une somme suffisante pour r�gler son achat ?
%     \end{enumerate}
% \item On d�signe par $X$ la variable al�atoire r�elle associant � chaque tirage 
%     la somme obtenue en euros.
%     \begin{enumerate}
%     \item Quelles sont les valeurs possibles prises par $X$ ?
%     \item \'Etablir la loi de probabilit� de $X$
%     \item Calculer l'esp�rance math�matique de $X$.                                                                                        \end{enumerate}
% \end{enumerate}
% }
% 
% \exoc{Une course met aux prises sept chevaux d'�gale valeur : trois ``jeunes'' 
% de moins de cinq ans et quatre ``exp�riment�s'' de plus de cinq 
% ans.\par On suppose que tous les chevaux terminent la course, 
% qu'il n'y a pas d'ex-aequo et que toutes les ``arriv�es' 
% possibles sont �quiprobables (on appelle ``arriv�e'' le r�sultat 
% complet d'une course, tous les chevaux �tant class�s dans leur 
% ordre d'arriv�e).\par
% \qu{\ssqu{Quel est le nombre d'arriv�es possibles ?}
%     \ssqu{Quelle est la probabilit� que les trois ``jeunes'' occupent les trois 
%     premi�res places ?}}
% \qu{Soit $X$ la variable al�atoire d�signant le nombre de chevaux ``exp�riment�s'' 
% pr�c�dant le premier ``jeune''.\par
% \ssqu{D�terminer la loi de probabilit� de $X$.}
% \ssqu{Calculer l'esp�rance math�matique $E(X)$ de $X$ et sa variance $V(X)$.}}}
% 
% \exoc{Deux grossistes produisent des bulbes de tulipes :
% \begin{itemize}
% \itemb le premier, des bulbes � fleurs rouges dont 90\% donnent une fleur ;
% \itemb le second, des bulbes � fleurs jaunes dont 80\% donnent une fleur.
% \end{itemize}
% Un horticulteur ach�te 70\% des bulbes qu'il cultive au premier grossiste et le reste au second. Un bulbe de tulipe donne au plus une fleur.
% L'horticulteur plante un bulbe pris au hasard. On notera :
% \begin{description}
%     \item[$G$ :]  l'�v�nement ``le bulbe provient du premier grossiste'' ;
%     \item[$\overline{G}$ :]  l'�v�nement ``le bulbe provient du second grossiste'' ;
%     \item[$F$ :] l'�v�nement ``le bulbe donne une fleur''.
% \end{description}
% \qu{D�terminer les probabilit�s des �v�nements suivants :
%     \ssqu{obtenir une fleur rouge ;}
%     \ssqu{obtenir une fleur jaune ;}
%     \ssqu{ne pas obtenir de fleur.}}
% \qu{L'horticulteur gagne 0,8 euros par fleur rouge obtenue et 1 euros par fleur jaune.
%     Soit $X$ la variable al�atoire �gale au gain de l'horticulteur par bulbe plant�.
%     D�terminer la loi de probabilit� de $X$ et son esp�rance math�matique.
%     Quelle est l'esp�rance de gain de l'horticulteur s'il commande 10 000 bulbes ?}}
% 
% 
% \exoc{Un test d'aptitude consiste � poser � chaque candidat une s�rie 
% de six questions ind�pendantes pour chacune desquelles trois 
% r�ponses sont propos�es dont une et une seule est correcte. Un 
% candidat r�pond chaque fois au hasard (on suppose donc 
% l'�quiprobabilit� des r�ponses).\par
% \qu{Quelle est la probabilit� pour qu'il donne la bonne r�ponse :
% \ssqu{� la premi�re question pos�e ?}
% \ssqu{� une des questions pos�es (et � une seule) ?}
% \ssqu{quatre questions sur six ?}
% \ssqu{aux six questions ?}}
% \qu{Le candidat sera reconnu apte s'il donne au moins quatre r�ponses correctes.
%     Quelle probabilit� a-t-il d'�tre re�u au test ?}
% \qu{Soit $X$ la variable al�atoire �gale au nombre de r�ponses correctes 
% donn�es par le candidat. Calculer l'esp�rance math�matique et la 
% variance de $X$.}}
% 
% \exoc{Une automobile rencontre sur son trajet cinq feux tricolores 
% de circulation. Pour chacun de ces feux, le rouge dure 15 
% secondes, le orange 5 secondes et le vert 40 secondes. Les cinq 
% feux ne sont pas synchronis�s et l'on suppose que les al�as de la 
% circulation sont tels que l'�tat  d'un feu devant lequel se 
% pr�sente l'automobile ne d�pend pas de l'�tat des autres feux 
% rencontr�s.\par
% \qu{L'automobile se pr�sente devant un feu. Quelle est 
% la probabilit� pour que ce feu soit vert ? D�terminer la probabilit� pour que l'automobile, sur l'ensemble de son trajet, ait exactement trois fois le feu vert sur les cinq feux rencontr�s.}
% \qu{On consid�re la variable al�atoire $X$ qui prend pour 
% valeur le nombre de feux verts rencontr�s lors d'un trajet. 
% D�finir la loi de probabilit� de $X$ et calculer l'esp�rance 
% math�matique $E(X)$ de la variable al�atoire $X$.}}
% 
% \exoc{Un joueur de tennis effectue une mise en jeu. Pour cela, 
% il a droit � deux tentatives : un premier service, suivi, s'il
%  n'est pas r�ussi, d'un deuxi�me service.\par
% La probabilit� pour que le premier service r�ussisse est 23 ;
% s'il a �chou�, la probabilit� pour que le deuxi�me service r�ussisse est 45.
% Lorsque les deux services �chouent, on dit qu'il y a "double faute" ;
% sinon la mise en jeu est r�ussie.\par
% \qu{\ssqu{D�terminer la probabilit� pour que, sur une mise en jeu, 
% ce joueur fasse une double faute.}
% \ssqu{D�terminer la probabilit� pour que la mise en jeu soit r�ussie.}}
% \qu{Ce joueur participe � un entra�nement publicitaire organis� par son 
% club et patronn� par un magasin de sport. Il s'agit, pour lui, 
% d'effectuer dix mises en jeu successives (dont les r�sultats sont 
% ind�pendants les uns des autres).\par
% Chaque mise en jeu r�ussie lui permet de gagner une balle. 
% Soit $X$ la variable al�atoire r�elle �gale au nombre de balles gagn�es.\par
% \ssqu{Exprimer $P(X = k)$ en fonction de $k$ entier entre 0 et 10.
%     Donner des valeurs num�riques approch�es � $10^{-4}$ pr�s de $P(X = 9)$ et $P(X = 10)$.}
% \ssqu{D�terminer la probabilit� pour que ce joueur gagne au moins neuf balles.}
% \ssqu{Calculer $E(X)$.}}}
% 
% 
% 
% 

\subsection{Loi binomiale}

\exoc{On s'int�resse aux cinq exp�riences al�atoires d�crites 
ci-dessous et aux variables qui y sont d�finies.\par
\begin{enumerate}
\item Un voyageur prend le train chaque jour de travail.
Le train arrive en retard � la gare de destination avec une probabilit� $p=0,27$.
On note $X_1$ la variable al�atoire associant � une semaine de travail de 5 jours
le nombre de retards du train.
\item Une personne joue au jeu de cartes suivant. Il tire 
une carte d'un jeu de 52 cartes. S'il obtient une 
figure (valet, dame ou roi), il gagne 15 euros, sinon il en perd 
5. Il remet ensuite la carte tir�e dans le paquet. La partie est 
termin�e quand il a jou� 6 fois. On note $X_2$ la variable 
al�atoire associant � chaque partie compl�te le gain du joueur.
\item Une entreprise de fabrication d'airbags pour automobiles 
teste un �chantillon de sa production. Un coussin test� n'est 
plus utilisable et n'est pas remis dans l'�chantillon. Les tests 
sont effectu�s sur un lot de 200 airbags, dont 4 sont d�fectueux. 
On note $X_3$ le nombre de coussins d�fectueux parmi une s�rie de 
20 test successifs.
\item Dans la rue, un saltimbanque propose aux 
passants de jouer au fameux jeu du palet cach�. Un palet est 
plac� sous un gobelet opaque retourn� parmi trois. Au cours de 
manipulations rapides et complexes, le saltimbanque d�place (ou 
ne d�place pas) le palet dans un autre gobelet. A l'issue des 
manipulations, le joueur doit trouver sous quel gobelet se trouve 
le palet. S'il le trouve, il gagne 40 euros. Le prix 
d'inscription pour un coup est 15 euros. On suppose qu'il est 
tellement difficile de suivre les manipulations du saltimbanque 
que le choix se fait au hasard et que chaque gobelet a autant de 
chances d'�tre choisi. On note $X_4$ le gain alg�brique moyen que 
peut esp�rer le saltimbanque apr�s 10 parties.
\item Un (tr�s) mauvais lanceur de fl�chettes joue au 
jeu d'argent suivant. S'il atteint le centre de la cible, il 
gagne 50 euros. S'il touche la cible � un autre endroit (cela 
lui arrive 7 fois sur quarante), il ne gagne rien et ne perd 
rien. Enfin, s'il ne parvient pas � atteindre la cible, ce qui 
est le cas 32 fois sur 40, il perd 10 euros. On note $X_5$ le 
gain alg�brique du joueur apr�s 8 lancers.
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item Rep�rer parmi ces cinq exp�riences celles o� la variable al�atoire suit une loi
binomiale. Pr�ciser le cas �ch�ant les valeurs des param�tres $n$ et $p$.
\item Pour chacune des variables al�atoires suivant une loi binomiale, calculer sa loi 
de probabilit� sous la forme d'un tableau.
\item Calculer l'esp�rance math�matique de la variable
 dans chacun des cas de loi binomiale, et interpr�ter 
le r�sultat.
\item Calculer l'�cart-type de chacune de chaque variable al�atoire suivant une
loi binomiale.
\end{enumerate}

}

\exoc{Une bo�te contient quatre boules rouges, trois boules vertes et sept boules jaunes. On tire simultan�ment deux boules de la bo�te et on suppose que les tirages sont �quiprobables.
On consid�re les �v�nements suivants :
\begin{itemize}
\item A : \og~obtenir deux boules de m�me couleur \fg;
\item B : \og~obtenir deux boules de couleurs diff�rentes \fg
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilit�s $P(A)$ et $P(B)$.
\item On r�p�te dix fois l'�preuve pr�c�dente en remettant les deux boules tir�es dans la bo�te apr�s chaque tirage. Les dix �preuves al�atoires �l�mentaires sont donc ind�pendantes.\\ On note X la variable al�atoire qui, � chaque partie de dix �preuves, associe le nombre de fois o� l'�v�nement A est r�alis�. \\
Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale. Donner les param�tres de cette loi.
\item Donner la loi de probabilit� de X en donnant les r�sultats sous
  forme d'un tableau  dans lequel on fera figurer des valeurs approch�es arrondie avec un seul chiffre diff�rent de z�ro.
\item  Calculer l'esp�rance math�matique E(X) de X. Que repr�sente E(X) ?
\end{enumerate}
\rep{}{
\begin{enumerate}
\item Les tirages sont simultan�s donc il n'y a ni remise, ni ordre. On utilise des combianaisons pour d�terminer qu'il y a $C_14^2$ tirages possibles.\\
      Pour avoir deux boules de m�me couleur, on a soit deux rouges, soit deux jaunes, soit deux vertes.\\
      $p(A)=\dfrac{C_4^2+C_3^2+C_7^2}{C_14^2}=\dfrac{30}{91}$.
      $p(B)=1-p(A)=\dfrac{61}{91}$
 \item$X$ suit une loi binomiale car  : 
      \begin{itemize}
	\item L'experience d�crite est un sch�ma de Bernouilli. En effet : 
	      \begin{itemize}
	      \item On rep�te plusieurs fois et de fa�on ind�pendante la m�me �preuve.
	      \item Chaque �preuve n'a que deux issues possibles : succ�s ou �chec
	      \end{itemize}
	\item X est la variable al�atoire qui comptabilise le nombre de succ�s
      \end{itemize}
      Donc $X\sim B(10,\dfrac{30}{91})$
 \item En utilisant le tableau de valeur de la calculatrice, on obtient : \\
	\begin{tabular}{|*{12}{c|}}
	\hline
	$x_i$ & 0 & 1& 2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 \\ 
	\hline
	$P(X=x_i)$ & 0.02 & 0.09 & 0.20 & 0.26 & 0.23 & 0.13 & 0.05 & 0.01 & 0.00 & 0 & 0 \\
	\hline
	\end{tabular}
\item $X$ suit une loi binomiale donc l'esperance est $E(X)=np=10\dfrac{30}{91}=\dfrac{300}{91}=3.296$.
\end{enumerate}
}%fin_rep
}

\exoc{
Un �l�ve se rend � son lyc�e en v�lo distant de 3km. Il roule � une
vitesse suppos�e constante et �gale � 15km.h$^{-1}$. Sur le parcours,
il rencontre 5 feux tricolores non synchronis�s. Pour chaque feu, la
probabilit� qu'il soit vert est de 0,7 et la probabilit� qu'il soit
rouge est de 0,3. Un feu vert ne ralentit pas le cycliste, un feu rouge
lui fait perdre une minute. 
\begin{enumerate}
\item Soit X la variable al�atoire qui, � chaque parcours, associe le
nombre de feux rouges rencontr� par l'�l�ve. \par
Justifier que X suit une loi binomiale dont on pr�cisera les
param�tres. 
\item Donner, en fonction de X, le temps T(en minutes) mis par le
cycliste pour faire son trajet.
\item S'il part 13 minutes avant la sonnerie marquant le d�but des
cours, calculer la probabilit� qu'il arrive en retard.
\item Donner l'esp�rance math�matique de T.\par
En d�duire la vitesse moyenne (en km.h$^{-1}$) pratiqu�e par ce
cycliste sur ce trajet.
\end{enumerate}
}



\exoc{Une usine fabrique des pi�ces dont $1,8$\% sont d�fectueuses. Le contr�le des pi�ces s'effectue selon les probabilit�s conditionnelles suivantes :
\begin{itemize}
 \item sachant qu'une pi�ce est bonne, on l'accepte avec une probabilit� de 0,97 ; 
 \item sachant qu'une pi�ce est mauvaise, on la refuse avec une probabilit� de 0,99. 
\end{itemize}
\begin{enumerate}
 \item Quelle est la probabilit� qu'une pi�ce soit d�fectueuse ?
 \item \begin{enumerate}
	\item Montrer que la probabilit� que la pi�ce soit d�fectueuse et accept�e est de $0,00018$.                                                                               
	\item Montrer que la probabilit� que la pi�ce soit bonne et refus�e est de $0,02946$.
	\item Calculer la probabilit� qu'il y ait une erreur dans le contr�le.
	\end{enumerate}
\item Si on contr�le $5$ pi�ces, les contr�les �tant consid�r�s comme ind�pendants, quelle est la probabilit� qu'il y ait : 
      \begin{enumerate}
       \item exactement une erreur de contr�le ;
       \item exactement deux erreurs de contr�le ;
       \item au moins une erreur de contr�le ;
       \item plus d'une erreur de contr�le ;
       \item au plus une erreur de contr�le ;
      \end{enumerate}
\end{enumerate}}



\subsection{Loi de Poisson}
\exoc{Une entreprise fabrique des composants �lectroniques. 
On sait que 2\% des composants fabriqu�s sont d�fectueux. Soit 
$X$ la variable al�atoire qui � tout ensemble de 100 composants 
choisis au hasard associe le nombre d'�l�ments d�fectueux qu'il 
contient. On admet que la variable al�atoire $X$ suit une loi de 
Poisson de param�tre 2. Donner la probabilit� des �v�nements 
suivants :
\begin{enumerate}
\item \og~ l'ensemble ne contient pas de composant d�fectueux\fg ;
\item \og~ l'ensemble contient 2 composants d�fectueux\fg ;
\item \og~ l'ensemble contient 5 composants d�fectueux\fg.
\end{enumerate}
}

\exoc{Soit $X$ une variable al�atoire suivant la loi 
de Poisson de param�tre 5. D�terminer la probabilit�
des �v�nements suivants :\par
\begin{enumerate}
\item $X=5$ ;
\item $X\leq 4$ ;
\item $X>8$ ;
\item $7\leq X\leq 9$.
\end{enumerate}
}



\exoc{Soit $X$  une variable al�atoire suivant la loi de Poisson 
de param�tre 7. D�terminer la plus petite valeur de $k$ telle que 
$P(X\leq k)\geq 0,8$.}



\exoc{On a observ� la fr�quentation d'une 
cabine t�l�phonique au cours d'une journ�e. On a remarqu� que 
le nombre d'utilisateurs en 1 heure, repr�sent� par la variable 
al�atoire $X$, suit une loi de Poisson de param�tre 5.\par
\begin{enumerate}
\item �tablir la loi de probabilit� de $X$.
\item Repr�senter graphiquement cette loi par un diagramme en b�tons � une �chelle convenable.
\item Donner l'esp�rance math�matique, la variance et l'�cart-type de $X$.
\item Sachant qu'un coup de t�l�phone pass� depuis cette cabine 
rapporte en moyenne 3,5 euros, quel est le gain que peut esp�rer 
l'op�rateur t�l�phonique en une heure ? En une journ�e (on pourra 
consid�rer qu'il n'y a pas d'utilisateurs de 1h � 5h du matin) ? 
En un an ?
\item Le co�t de revient annuel de la construction et la maintenance 
d'une cabine t�l�phonique s'�l�ve � 50\ 000 euros. Ce service 
est-il source de b�n�fice pour l'op�rateur ?
\end{enumerate}
}






\exoc{Dans une entreprise de vente par correspondance, une �tude statistique
a montr� qu'il y avait 5 \% de bons de commande portant au moins une
erreur. On constitue au hasard un �chantillon de 100 bons de commandes
parmi ceux trait�s un jour donn�.\\ Le nombre de commandes trait� dans
cette journ�e est suffisamment important pour qu'on puisse l'assimiler
ce pr�l�vement � un tirage avec remise de 100 bons de commande.\\ On
d�signe par X la variable al�atoire qui associe � tout �chantillon de
100 bons le nombre de bons erron�s. On admet que X suit une loi de Poisson de param�tre 5.
\begin{enumerate}
\item D�terminer � l'aide du formulaire la probabilit� de chacun des
�v�nements suivants :
	\begin{itemize}
	\item $E_1$ \og~ il y a exactement 7 bons erron�s parmi les 100 \fg;
	\item $E_2$ \og~ il y a moins de 7 bons erron�s parmi les 100 \fg;
	\item $E_3$ \og~ il y a au moins 7 bons erron�s parmi les 100 \fg.
	\end{itemize}
\item D�terminer le plus petit entier  $k$ tel que la probabilit� d'avoir au moins $k$ erreurs soit sup�rieure � 0,9.                      \end{enumerate}
}

\exoc{
Pendant une journ�e de classe, le nombre d'�l�ves 
fr�quentant l'infirmerie en 20 minutes suit une loi de Poisson de 
param�tre 7.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilit� qu'aucun �l�ve ne se pr�sente entre 14h00 et 14h20.
\item Une infirmi�re d�clare �tre s�re � 80\% de recevoir plus 
de 5 �l�ves de 10h10 � 10h30. Cette affirmation est-elle fond�e ?
\item Combien d'�l�ves se rendent en moyenne � l'infirmerie en 20 minutes ?
\item Parmi tous les �l�ves visitant l'infirmerie, 85\% sont r�ellement 
malades. Soit $Y$ le nombre de malades re�us en 20 minutes. 
D�terminer la loi  de probabilit� de $Y$.
\item Calculer l'esp�rance de $Y$ et interpr�ter le r�sultat, 
puis calculer l'�cart-type.
\end{enumerate}
}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson}
\exoc{En une ann�e, un m�lomane fait l'acquisition d'environ 300 
disques compacts. Quand il en ach�te un, la probabilit� pour que 
le disque soit ray� et que sa cha�ne hi-fi ne le lise pas 
convenablement est 0,02. On note $X$ le nombre de disques ray�s 
achet�s en un an.
\begin{enumerate}
\item Quelle loi suit la variable al�atoire $X$ ?
\item Quel est le param�tre de la loi de Poisson par laquelle on peut l'approcher ?
\item Calculer la probabilit� qu'il ach�te moins de 5 disques ray�s en 
utilisant les deux lois et v�rifier la concordance des r�sultats.
\item Calculer l'�cart-type de deux fa�ons. La diff�rence entre les deux 
r�sultats est-elle n�gligeable ?
\end{enumerate}
}


\exoc{Dans cet exercice, chaque probabilit� sera calcul�e � $10^{-2}$ pr�s.\\
Une petite entreprise emploie vingt personnes. Une �tude statistique permet d'admettre qu'un jour donn� la probabilit� qu'un employ� donn� soit absent est 0,05. On admet que les absences des employ�s survenue un jour donn� sont ind�pendantes les unes des autres. On note X la variable al�atoire qui, � un jour choisi au hasard, associe le nombre d'employ�s absents.
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale. Donner les param�tres de cette loi.
\item Calculer la probabilit� des �v�nements suivants :
	\begin{itemize}
	\item $E_1$  \og~un jour donn�, il y a exactement trois absents \fg~;
	\item $E_2$  \og~un jour donn�,  il y a  au moins trois absents \fg~;
	\item $E_3$  \og~un jour donn�, le nombre d'absents est compris entre
	trois et six \fg~(bornes comprises).
	\end{itemize}
\item Calculer l'esp�rance math�matique not�e $E(X)$ de la variable al�atoire $X$. Que repr�sente $E(X)$ ?
\item On approche la loi binomiale du 1. par une loi de Poisson de
  param�tre  $np$, o� $n$ et $p$ sont les param�tres de cette loi
  binomiale.
	\begin{enumerate}
	\item  En utilisant la loi de Poisson, d�terminer les probabilit�s respectives des trois �v�nements $E1$, $E2$ et $E3$ de la question 1.
	\item V�rifier que les r�sultats obtenus au 4. diff�rent de moins de 1 \%
	des r�sultats obtenus au 1.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\exoc{Une entreprise fabriquant des meubles poss�de un parc de machines fonctionnant sans arr�t.
La probabilit� pour une machine d�termin�e de  tomber en panne au cours d'une journ�e est $p = 0,001$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilit� pour une machine d�termin�e de tomber en panne au moins une fois sur une p�riode de trente jours.
\item Calculer la probabilit� pour cette machine de tomber en panne plus d'une fois au cours d'un mois de trente jours.
\item Le parc est compos� de $n = 200$ machines et la probabilit� pour une de ces machines de tomber en panne au moins une fois au cours du mois est de $0,.03$.\\
Soit X le nombre de machines tombant au moins une fois en panne au cours du mois.
	\begin{enumerate}
	\item D�terminer la loi de probabilit� de X.
	\item  Calculer $P(X=k)$,  $k\in{0,1,2}$.
	\item  L'approximation par la loi de Poisson est-elle justifi�e ? \\
	Quelle est la probabilit� pour que X soit inf�rieur � 3 ? \\
	D�terminer l'esp�rance math�matique et la variance de X.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\exoc{Un magasin de vente d'appareils de t�l�vision assure pendant deux ans
un service apr�s-vente gratuit Une statistique �tablie sur 100 postes
donne les r�sultats suivants :%\begin{table}[h]
%\caption{\label{postes}}
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}\hline
Nombre d'interventions&
0&1&2&3&4\\\hline
Nombre de postes concern�s&
68&25&5&2&0\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Calculer l'esp�rance math�matique de la variable al�atoire X ayant les m�mes valeurs de 0 � 4 et pour probabilit�s les fr�quences associ�es au nombre de postes(0,68 ; $\cdots$ ).
\item Tracer la repr�sentation graphique de la fonction de r�partition de X.
\item Comparer les valeurs obtenues � celles d�duites d'une loi de Poisson de m�me valeur moyenne. Calculer la variance V(X) ; comparer � E(X).                                                                                                                                      \end{enumerate}
}


\newpage
\thispagestyle{empty}

\begin{minipage}{16cm}
\begin{center}
\tableofcontents
\thispagestyle{empty}
\end{center}
\end{minipage}
\end{document}