\documentclass[12pt]{book}\usepackage[Aymar]{ammaths}\begin{document}\nocolor
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{}
\fancyhead[LE]{\footnotesize Chapitre 11}
\fancyhead[CE]{}
\fancyhead[RE]{\footnotesize Transformées en $\mathcal{Z}$}
\fancyhead[LO]{\footnotesize Cours de mathématiques}
\fancyhead[CO]{}
\fancyhead[RO]{\footnotesize STS}
\fancyfoot[LE]{\footnotesize \url{http://lyceeenligne.free.fr}}
\newcounter{chap}\setcounter{chap}{11}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\thispagestyle{empty}
{\Large\textsf{Section technicien supérieur}\par
\textsf{Cours de mathématiques}\par}

\bigskip

\textsf{\huge Chapitre 11}

{\HUGE\bf\textsf{Transformées en $\mathcal{Z}$}}

\vfill

\begin{center}
 \includegraphics[width=16cm]{transfoenz.eps}
\end{center}
\emph{La transformée en Z est un outil mathématique de traitement du signal, qui est l'équivalent discret de la transformée de Laplace.}\\
\emph{Elle est utilisée entre autres pour le calcul de filtres numériques à réponse impulsionnelle infinie et en automatique pour modéliser des systèmes dynamiques de manière discrète.}

\vfill


\begin{flushright}
\sf\small Aymar de Saint-Seine\\Année scolaire 2011--2012
\end{flushright}
\setcounter{page}{0}\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%fin front page


\section{Signaux discrets}
\subsection{Introduction}
Supposons qu'un signal soit caractérisé par une fonction $f$ continue sur l'intervalle \mbox{$]-\infty ; +\infty[$}.\\
On peut échantillonner le signal au pas $\Delta t$. On va ainsi mesurer $f(0)$, $f(\Delta t)$, $f(2\Delta t)$, $\cdots$\\
On peut alors considérer la suite $\pa{f(n\Delta t)}$, pour $n\in\Z$. Si $\Delta t$ est suffisamment petit, la connaissance de cette suite donne une idée assez précise du signal continu $t\mapsto f(t)$. On dit alors qu'on a \textbf{discrétisé} le signal continu au pas $\Delta t$.\\
\begin{minipage}{8cm}
$$\textrm{signal original}$$
$$\psset{unit=0.7cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
\def\xmin{-2}\def\ymin{-1}\def\xmax{6}\def\ymax{6}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psaxes[labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psline{->}(\xmin,0)(\xmax,0)\psline{->}(0,\ymin)(0,\ymax)
\pscurve[linecolor=rouge](-1,0.5)(0,2)(1,4)(2,5)(3,4)(4,2)(5,0.5)
\psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,0.5)\rput(-1,-0.5){\tiny{$-\Delta t$}}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,2)\rput(0,-0.5){\tiny{$0$}}
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,4)\rput(1,-0.5){\tiny{$\Delta t$}}
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,5)\rput(2,-0.5){\tiny{$2\Delta t$}}
\psline[linestyle=dashed](3,0)(3,4)\rput(3,-0.5){\tiny{$3\Delta t$}}
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,2)\rput(4,-0.5){\tiny{$4\Delta t$}}
\psline[linestyle=dashed](5,0)(5,0.5)\rput(5,-0.5){\tiny{$5\Delta t$}}
\end{pspicture*}$$
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
$$\textrm{signal discrétisé}$$
$$\psset{unit=0.7cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
\def\xmin{-2}\def\ymin{-1}\def\xmax{6}\def\ymax{6}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psline{->}(\xmin,0)(\xmax,0)\psline{->}(0,\ymin)(0,\ymax)
\rput(-1,-0.5){\tiny{$-\Delta t$}}
\rput(0,-0.5){\tiny{$0$}}
\rput(1,-0.5){\tiny{$\Delta t$}}
\rput(2,-0.5){\tiny{$2\Delta t$}}
\rput(3,-0.5){\tiny{$3\Delta t$}}
\rput(4,-0.5){\tiny{$4\Delta t$}}
\rput(5,-0.5){\tiny{$5\Delta t$}}
\psdots(-1,0.5)\psdots(0,2)\psdots(1,4)\psdots(2,5)\psdots(3,4)\psdots(4,2)\psdots(5,0.5)
\end{pspicture*}$$
\end{minipage}

Dans la pratique, une unité de temps étant choisi, on peut supposer $\Delta t=1$ (s, ms, $\mu$s, \dots).\\

\exe{On considère le signal continu caractérisé par la fonction $f(t)=2t$. On l'échantillonne au pas d'unité 1 ms. La suite des échantillons est $\{\cdots ; -2 ; 0 ; 2 ; 4 ; 6 \cdots \}$. Si $\alpha_n$ est le terme général de cette suite, on a $\alpha_n=2n$.} 

Comme on écrit $f(t)$ pour une fonction, on écrira $\alpha(n)$ pour les termes d'une suite (au lieu de $\alpha_n$.)

\subsection{Exemples de signaux discret}
\defi{Suite de Dirac ou suite canonique}
{La \textbf{suite canonique}, ou \textbf{suite de Dirac} ou \textbf{impulsion unité discrète}, notée \boldmath{$d$}, est définie par :
$$\left \lbrace \begin{array}{l} 
d(n)=0~ \textrm{ si } n \in \Z^{\star} \ ; \\ 
d(0)=1. \\ 
\end{array} \right.$$}

\illus{Suite de Dirac ou suite canonique}{
$$\psset{unit=0.7cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
\def\xmin{-6}\def\ymin{-1}\def\xmax{6}\def\ymax{2}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psdots(-6,0)\psdots(-5,0)\psdots(-4,0)\psdots(-3,0)\psdots(-2,0)\psdots(-1,0)
\psdots(0,1)
\psdots(1,0)\psdots(2,0)\psdots(3,0)\psdots(4,0)\psdots(5,0)\psdots(6,0)
\end{pspicture*}$$}




\theo{Echelon unité discret}
{L'échelon unité discret, noté \boldmath{$e$}, est défini par : 
$$\left \lbrace \begin{array}{l} 
 e(n)=1 \textrm{ si } n \in \N \ ; \\ 
 e(n)=0 \textrm{ si } n \in \Z^{\star -}.\\ 
\end{array} \right. $$
Son équivalent pour les fonctions est $\U(t)$.}

\illus{Echelon unité discret}{
$$\psset{unit=0.7cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
\def\xmin{-6}\def\ymin{-1}\def\xmax{6}\def\ymax{2}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psdots(-6,0)\psdots(-5,0)\psdots(-4,0)\psdots(-3,0)\psdots(-2,0)\psdots(-1,0)
\psdots(0,1)\psdots(1,1)\psdots(2,1)\psdots(3,1)\psdots(4,1)\psdots(5,1)\psdots(6,1)
\end{pspicture*}$$}


\theo{Rampe unité causale}
{La rampe unité causale, notée \boldmath{$r$}, est définie par :
$$\left \lbrace \begin{array}{l} 
 r(n)=n ~{\rm si}~ n \in \N \ ; \\ 
 r(n)=0~ {\rm si}~ n \in  \Z^{\star -}.\\ 
\end{array} \right. $$
Son équivalent pour les fonctions est $t\U(t)$.}

\illus{Rampe unité causale}{
$$\psset{unit=0.7cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
\def\xmin{-6}\def\ymin{-1}\def\xmax{6}\def\ymax{5.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psdots(-6,0)\psdots(-5,0)\psdots(-4,0)\psdots(-3,0)\psdots(-2,0)\psdots(-1,0)\psdots(0,0)
\psdots(1,1)\psdots(2,2)\psdots(3,3)\psdots(4,4)\psdots(5,5)
\end{pspicture*}$$}


\theo{Signal géométrique causal}
{Le signal géométrique causal, noté $f$, est défini, pour $a \in \R^{\star}$, par :
$$\left \lbrace \begin{array}{l} 
 f(n)=a^n~ {\rm si}~ n \in \N \ ; \\ 
 f(n)=0~ {\rm si}~ n~ \in  \Z^{\star -}.\\ 
\end{array} \right. $$
}

\illus{représentation graphique avec $a=0,5$.}{
$$\psset{xunit=0.7cm,yunit=5cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
\def\xmin{-6}\def\ymin{-0.2}\def\xmax{6}\def\ymax{1.2}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psdots(-6,0)\psdots(-5,0)\psdots(-4,0)\psdots(-3,0)\psdots(-2,0)\psdots(-1,0)\psdots(0,1)
\psdots(1,0.5)\psdots(2,0.25)\psdots(3,0.125)\psdots(4,0.0625)\psdots(5,0.03)\psdots(6,0.02)
\end{pspicture*}$$}



\subsection{Opération sur les signaux discrets}
Tout comme pour les fonctions, on peut additionner, multiplier par un nombre ou entre eux les signaux discrets.

\exe{Le signal $d(n)+r(n)$ est représenté par 
$$\psset{unit=0.7cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
\def\xmin{-6}\def\ymin{-1}\def\xmax{6}\def\ymax{5.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psdots(-6,0)\psdots(-5,0)\psdots(-4,0)\psdots(-3,0)\psdots(-2,0)\psdots(-1,0)\psdots(0,1)
\psdots(1,1)\psdots(2,2)\psdots(3,3)\psdots(4,4)\psdots(5,5)
\end{pspicture*}$$}
\defi{Signal retardé de \boldmath{$k$}}
{Soit $s(n)$ un signal causal. Le signal retardé de $k$ est $$
s(n-k)\times e(n-k).$$
L'équivalent pour les fonctions est $f(t-\tau)\U(t-\tau)$.}

\exes{
\begin{enumerate}
\item L'impulsion unité discrète retardée de $k$, notée $d_k$ est définie par :
	$$\left \lbrace \begin{array}{l} 
	d_k(n)=0 \textrm{ pour } n\neq k \ ; \\ 
	d_k(n)=1 \textrm{ pour } n=k.
	\end{array} \right.$$
	\illus{représentation graphique de $d_3$.}{
	$$\psset{unit=0.7cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
	\def\xmin{-6}\def\ymin{-1}\def\xmax{6}\def\ymax{2}
	\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
	\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
	\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
	\psdots(-6,0)\psdots(-5,0)\psdots(-4,0)\psdots(-3,0)\psdots(-2,0)\psdots(-1,0)\psdots(0,0)\psdots(1,0)\psdots(2,0)
	\psdots(3,1)
	\psdots(4,0)\psdots(5,0)\psdots(6,0)
	\end{pspicture*}$$}
\item L'echelon unité retardé de $k$ est définie par :
	$$\left \lbrace \begin{array}{l} 
	e_k(n)=0 \textrm{ pour } n< k \ ; \\ 
	e_k(n)=1 \textrm{ pour } n\geq k.
	\end{array} \right.$$
	\illus{représentation graphique de l'echelon unité retardé de $3$.}{
	$$\psset{unit=0.7cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
	\def\xmin{-6}\def\ymin{-1}\def\xmax{6}\def\ymax{2}
	\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
	\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
	\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
	\psdots(-6,0)\psdots(-5,0)\psdots(-4,0)\psdots(-3,0)\psdots(-2,0)\psdots(-1,0)\psdots(0,0)\psdots(1,0)\psdots(2,0)
	\psdots(3,1)\psdots(4,1)\psdots(5,1)\psdots(6,1)
	\end{pspicture*}$$}
\end{enumerate}
}


\section{Transformée en z}
\subsection{Définition}
La transformée de Laplace transforme un signal continu (donné par une fonction) en une autre fonction. L'intêret mathématique est de pouvoir ainsi résoudre des équations différentielle.\\
On cherche à trouver pour les signaux discrets l'équivalent de la transformation de Laplace pour les signaux continus.
$$\textrm{signal continu : } F(p)=\int_{0}^{+\infty}\e^{-pt}f(t)\dt$$
$$\textrm{signal discret : } \sum_{k=0}^{+\infty}\e^{-pk}f(k)=\sum_{k=0}^{+\infty}s(k)z^{-k} \textrm{ car } s(k)=f(k) \textrm{ et en posant } z=\e^p$$


\defi{Transformée en \boldmath{$z$}}
{La transformée en $z$ d'une suite $(s_n)_{n\in N}$ est la fonction de la variable réelle ou complexe $z$, définie par : 
$$(\mathcal{Z}s)(z)=\sum_{n=0}^{+\infty } s(n)z^{-n} \ (=\sum_{n=0}^{+\infty } s_n\dfrac{1}{z^n}).$$
}

La transformée en $z$ transforme un signal discret (donné par une suite) en une fonction. L'intêret mathématique sera de pourvoir ainsi résoudre des équations aux différences, plus connues sous le nom de suites récurentes.\\


\rems{\begin{itemize}
\item La série associée à la transformée en $z$ d'un signal causal n'est pas forcement convergente pour toute valeur de $z$. Conformément au programme de BTS, nous ne nous attarderons sur ce problème et nous admettrons la convergence pour les valeurs étudiées.
\item Soit un signal analogique causal $t \mapsto s(t)$. Si on échantillonne au pas $\Delta t=T_e$, sa transformée en z est : $$(\mathcal{Z}s)(z)=\sum\limits_{n=0}^{+ \infty }s(nT_e)z^{-n}$$
\end{itemize}}


\subsection{Transformées en z usuelles}

\theo{Transformées en z des suites usuelles}
{\vspace{-15pt}
  \begin{enumerate}
  \item La transformée en z de la suite canonique, ou suite de Dirac, ou impulsion unité discrète est : $$(\mathcal{Z}d)(z)=1.$$
  \item La transformée en z de l'impulsion unité discrète retardée de $k$ est : $$(\mathcal{Z}d_k)(z)=z^{-k}.$$
  \item La transformée en z de l'échelon unité discret est : $$(\mathcal{Z}e)(z)=\cfrac{z}{z-1} \textrm{ si } |z|>1.$$
  \item La transformée en z de la rampe unité causale est : $$(\mathcal{Z}r)(z)=\cfrac{z}{(z-1)^2} \textrm{ si } |z|>1.$$
  \item La transformée en z du signal causal discret $x(n)=n^2$ est : $$(\mathcal{Z}x)(z)=\cfrac{z(z+1)}{(z-1)^3} \textrm{ si } |z|>1.$$
  \item La transformée en z du signal géométrique causal est : $$(\mathcal{Z}f)(z)=\cfrac{z}{z-a} \textrm{ si }|z|>|a|.$$
 \end{enumerate}
}


\dem{
\begin{enumerate}
 \item Par définition, $(\mathcal{Z}d)(z)=\dis\sum_{n=0}^{+\infty}d(n)z^{-n}=d(0)z^0=1$.
 \item Par définition, $(\mathcal{Z}d_k)(z)=\dis\sum_{n=0}^{+\infty}d_k(n)z^{-n}=d(k)z^{-k}=z^{-k}$.
 \item Par définition, on a $(\mathcal{Z}e)(z)=\dis\sum_{n=0}^{+\infty }1\times z^{-n}=\dis\sum_{n=0}^{+\infty }\pa{\dfrac{1}{z}}^n.$\\
Il s'agit donc d'une série dont le terme général est une suite géométrique de raison $\cfrac{1}{z}$. Cette série converge si $|\cfrac{1}{z}|<1$, donc si $|z|>1$ et on a :
$(\mathcal{Z}e)(z)=\cfrac{1}{1-\frac{1}{z}}=\cfrac{z}{z-1}.$
 \item Par définition, on a $(\mathcal{Z}r)(z)=\dis\sum_{n=0}^{+\infty } n z^{-n}$.\\
Par ailleurs, on sait que pour $|z|>1$, on a $\dis\sum_{n=0}^{+\infty } z^{-n}=\frac{z}{z-1}$.\\
En dérivant membre à membre cette égalité, on obtient $\dis\sum_{n=0}^{+\infty } -nz^{-n-1}=\frac{-1}{(z-1)^2}.$\\
En multipliant les deux membres par $-z$, il vient $\dis\sum_{n=0}^{+\infty } nz^{-n}=\frac{z}{(z-1)^2}.$
 \item admis.
 \item Par définition, on a $(\mathcal{Z}f)(z)=\dis\sum_{n=0}^{+\infty } a^n z^{-n}=\dis\sum_{n=0}^{+\infty } \left( \frac{a}{z} \right) ^n$.\\
Il s'agit donc d'une série dont le terme général est une suite géométrique de raison $\frac{a}{z}$. Cette série converge si $|\frac{a}{z}|<1$, donc si $|z|>|a|$ et on a : 
$(\mathcal{Z}f)(z)=\cfrac{1}{1-\frac{a}{z}}=\cfrac{z}{z-a}$.
\end{enumerate}
}

% \theo{Suite de Dirac ou suite canonique}
% {La transformée en z de la suite canonique, ou suite de Dirac, ou impulsion unité discrète est : $$(\mathcal{Z}d)(z)=1.$$}

% \dem{Par définition, $(\mathcal{Z}d)(z)=\dis\sum_{n=0}^{+\infty}d(n)z^{-n}=d(0)z^0=1$.}
% 
% 
% \theo{Suite de Dirac retardée de \boldmath{$k$}}
% {La transformée en z de l'impulsion unité discrète retardée de $k$ est : $$(\mathcal{Z}d_k)(z)=z^{-k}.$$}
% 
% \dem{Par définition, $(\mathcal{Z}d_k)(z)=\dis\sum_{n=0}^{+\infty}d_k(n)z^{-n}=d(k)z^{-k}=z^{-k}$.}
% 
% 
% \theo{Echélon unité discret}
% {La transformée en z de l'échelon unité discret est : $$(\mathcal{Z}e)(z)=\cfrac{z}{z-1} \textrm{ si } |z|>1.$$}
% 
% 
% 
% \dem{Par définition, on a $(\mathcal{Z}e)(z)=\dis\sum_{n=0}^{+\infty }1\times z^{-n}=\dis\sum_{n=0}^{+\infty }\pa{\dfrac{1}{z}}^n.$\\
% Il s'agit donc d'une série dont le terme général est une suite géométrique de raison $\cfrac{1}{z}$. Cette série converge si $|\cfrac{1}{z}|<1$, donc si $|z|>1$ et on a :
% $(\mathcal{Z}e)(z)=\cfrac{1}{1-\frac{1}{z}}=\cfrac{z}{z-1}.$
% }
% 
% 
% \theo{Rampe unité causale}
% {La transformée en z de la rampe unité causale est : $$(\mathcal{Z}r)(z)=\cfrac{z}{(z-1)^2} \textrm{ si } |z|>1.$$}
% 
% \dem{Par définition, on a $(\mathcal{Z}r)(z)=\dis\sum_{n=0}^{+\infty } n z^{-n}$.\\
% Par ailleurs, on sait que pour $|z|>1$, on a $\dis\sum_{n=0}^{+\infty } z^{-n}=\frac{z}{z-1}$.\\
% En dérivant membre à membre cette égalité, on obtient $\dis\sum_{n=0}^{+\infty } -nz^{-n-1}=\frac{-1}{(z-1)^2}.$\\
% En multipliant les deux membres par $-z$, il vient $\dis\sum_{n=0}^{+\infty } nz^{-n}=\frac{z}{(z-1)^2}.$}
% 
% \theoad{Signal causal discret \boldmath{$n^2$}}
% {La transformée en z du signal causal discret $x(n)=n^2$ est : $$(\mathcal{Z}x)(z)=\cfrac{z(z+1)}{(z-1)^3} \textrm{ si } |z|>1.$$}
% 
% 
% 
% 
% \theo{Signal géométrique causal}
% {La transformée en z du signal géométrique causal est : $$(\mathcal{Z}f)(z)=\cfrac{z}{z-a} \textrm{ si }|z|>|a|.$$}
% 
% \dem{Par définition, on a $(\mathcal{Z}f)(z)=\dis\sum_{n=0}^{+\infty } a^n z^{-n}=\dis\sum_{n=0}^{+\infty } \left( \frac{a}{z} \right) ^n$.\\
% Il s'agit donc d'une série dont le terme général est une suite géométrique de raison $\frac{a}{z}$. Cette série converge si $|\frac{a}{z}|<1$, donc si $|z|>|a|$ et on a : 
% $(\mathcal{Z}f)(z)=\cfrac{1}{1-\frac{a}{z}}=\cfrac{z}{z-a}$.}


\subsection{Propriétés de la transformation en z}
\theo{Linéarité}
{Soit $x$ et $y$ deux signaux discrets causaux et $k$ un nombre réel. On a :
$$(\mathcal{Z}(x+y))(z)=(\mathcal{Z}x)(z)+(\mathcal{Z}y)(z)\ $$
$$(\mathcal{Z}(\lambda x))(z)=\lambda (\mathcal{Z}x)(z) \textrm{ avec } \lambda  \in \R.$$}

\exe{La transformée en $z$ de $d(n)+2r(n)$ est $(\mathcal{Z}(d+2r))(z)=(\mathcal{Z}d)(z)+2(\mathcal{Z}r)(z)=1+\dfrac{2z}{(z-1)^2}.$}

\theo{Retard}
{Soit $x$ un signal discret causal. Le signal retardé de $n_0$ ($n_0 \in \N^{\star}$) est le signal $y$ défini par $y(n)=x(n-n_0)e(n-n_0)$. On a :
$$(\mathcal{Z}y)(z)=z^{-n_0}(\mathcal{Z}x)(z).$$
Comparer avec Laplace : $\e^{-\tau p}F(p)$.}

\dem{$(\mathcal{Z}y)(z)=\dis\sum_{n=0}^{+\infty } x(n-n_0)e(n-n_0)z^{-n}$.\\
Puisque que $e(n-n_0)$ est nul si $n<n_0$, on a :\\
$$(\mathcal{Z}y)(z)=\dis\sum\limits_{n=n_0}^{+ \infty } x(n-n_0)z^{-n}.$$
En posant $p=n-n_0$, on a ($p \in \N$):\\
$$(\mathcal{Z}y)(z)=\dis\sum\limits_{p=0}^{+ \infty }x(p)z^{-n_0-p}=z^{-n_0}\dis\sum\limits_{p=0}^{+ \infty }x(p)z^{-p}.$$
En changeant $p$ en $n$ (variable muette), on trouve :\\
$$(\mathcal{Z}y)(z)=z^{-n_0}\dis\sum\limits_{n=0}^{+ \infty }x(n)z^{-n}=z^{-n_0}(\mathcal{Z}x)(z).$$}

\exe{La transformée en $z$ de la rampe retardée de $3$ est :\\
$\pa{\mathcal{Z}r(n-3)\times e(n-3)}(z)=z^{-3}(\mathcal{Z}r)(z)=z^{-3}\times\dfrac{z}{(z-1)^2}=\dfrac{1}{z^2(z-1)^2}.$}
 


\theo{Avance}
{Soit  $x$ un signal discret causal. Le signal avancé de $n_0$ ($n_0 \in \N^{\star}$) est le signal $y$ défini par $y(n)=x(n+n_0)$. On a :
$$(\mathcal{Z}y)(x)=z^{n_0}\left[(\mathcal{Z}x)(z)-\dis\sum_{n=0}^{n_0-1}x(n)z^{-n}\right].$$
En particulier : 
$$\textrm{ si } n_0=1\ :\ (\mathcal{Z}x)(n+1)=z\cro{(\mathcal{Z}x)(z)-x(0)}\ ; $$
$$\textrm{ si } n_0=2\ :\ (\mathcal{Z}x)(n+2)=z^2\cro{(\mathcal{Z}x)(z)-x(0)-x(1)z^{-1}}.$$}





\dem{$(\mathcal{Z}y)(z)=\dis\sum_{n=0}^{+\infty } x(n+n_0)z^{-n}$.\\
Le changement de variable $p=n+n_0$ donne :
$$(\mathcal{Z}y)(x)=\dis\sum\limits_{p=n_0}^{+ \infty }x(p) z^{-(p-n_0)}=z^{n_0}\dis\sum\limits_{p=n_0}^{+ \infty }x(p)z^{-p}$$
En changeant $p$ en $n$ (variable muette), on trouve :
$$(\mathcal{Z}y)(x)=z^{n_0}\left[\dis\sum_{n=0}^{+\infty } x(n)z^{-n}-\dis\sum\limits_{n=0}^{n=n_0-1}x(n)z^{-n}\right].$$}

\exe{La transformée en $z$ de la rampe avancée de $3$ est :
\begin{eqnarray*}
(\mathcal{Z}r(n+3))(z)&=&z^3\cro{(\mathcal{Z}r)(z)-r(0)-r(1)z^{-1}-r(2)z^{-2}}\\
	     &=&z^3\cro{\dfrac{z}{(z-1)^2}-0-1z^{-1}-2z^{-2}}\\
	     &=&\dfrac{z^4}{(z-1)^2}-z^2-2z\\
\end{eqnarray*}}


\theo{Produit par un signal géométrique causal}
{Soit  $x$ un signal discret causal. Son produit par un signal géométrique causal est le signal $y$ défini par $y(n)=a^n x(n)$ où $a \in \R^{\star}$. On a :
$$(\mathcal{Z}y)(z)=(\mathcal{Z}x)(\frac{z}{a}).$$}

\dem{
D'une part : $(\mathcal{Z}y)(z)=\dis\sum_{n=0}^{+\infty }a^n x(n)z^{-n}=\dis\sum_{n=0}^{+\infty } x(n) (\frac{z}{a})^{-n}$ ; \\
d'autre part $(\mathcal{Z}x)(z)=\dis\sum_{n=0}^{+\infty } x(n)z^{-n}$ donc $(\mathcal{Z}x)(\frac{z}{a})=\dis\sum_{n=0}^{+\infty } x(n) (\frac{z}{a})^{-n}$.
%Donc pour $a \in \R^{\star}$, $y(n)=a^n x(n) \Rightarrow (\mathcal{Z}y)(z)=(\mathcal{Z}x)(\frac{z}{a})$
}

\exe{Si $x(n)=e(n)$ et $a=2$ alors $y(n)=2^ne(n)$.\\
Le théorème indique que $(\mathcal{Z}y)(z)=\dfrac{\frac{z}{2}}{\frac{z}{2}-1}=\dfrac{z}{z-2}$.\\
On retrouve bien la formule de la transformée en $z$ pour $2^n$.}

% 
% \theo{Transformée de  $nx(n)$}
% {Soit  $x$ un signal discret causal. Notons  $y$ le signal discret causal défini par $y(n)=nx(n)$ où $n \in \N$. 
% $$(\mathcal{Z}y)(z)=-z~\frac{d}{dz}[(\mathcal{Z}x)(z)]$$}
% 
% \dem{$(\mathcal{Z}y)(z)=\dis\sum_{n=0}^{+\infty } nx(n)z^{-n}$.\\
% Par ailleurs, $(\mathcal{Z}x)(z)=\dis\sum_{n=0}^{+\infty } x(n)z^{-n}$. En dérivant, on obtient :\\
% $\frac{d}{dz}[(\mathcal{Z}x)(z)]=\dis\sum_{n=0}^{+\infty } -nx(n)z^{-n-1}=-\frac{1}{z}\dis\sum_{n=0}^{+\infty } nx(n)z^{-n}$.On en déduit donc que $(\mathcal{Z}y)(z)=-z~\frac{d}{dz}[(\mathcal{Z}x)(z)]$}
% 
% \exe{Si $x(n)=e(n)$ alors $y(n)=ne(n)$.\\
% Le théorème indique que $(\mathcal{Z}y)(z)=-z~\frac{d}{dz}[(\mathcal{Z}e)(z)]=-z\pa{\frac{z}{z-1}}'=-z\dfrac{-1}{(z-1)^2}=\dfrac{z}{(z-1)^2}$.\\
% On retrouve bien la formule de la transformée en $z$ de la rampe discrète.}

\subsection{Théorèmes de la valeur initiale et de la valeur finale}

\theo{Théorème de la valeur initiale}
{$$x(0)=\lim \limits_{|z| \to + \infty }(\mathcal{Z}x)(z)$$}


\theo{Théorème de la valeur finale}
{$$\lim \limits_{n \to + \infty }x(n)=\lim \limits_{|z| \to 1}(z-1)(\mathcal{Z}x)(z)$$}

\exe{On peut vérifier ces deux théorèmes sur $e(n)$. On a $(\mathcal{Z}e)(z)=\dfrac{z}{z-1}$.\\
Théorème de la valeur initiale : $e(0)=1$ et $\dis\lim_{|z|\mapsto+\infty}\dfrac{z}{z-1}=1$.\\
Théorème de la valeur finale : $\dis\lim_{n\mapsto+\infty}e(n)=1$ et $\dis\lim_{|z|\mapsto1}(z-1)\dfrac{z}{z-1}=1$.}


\section{\large Applications : Résolution d'équations récurrentes}

La démarche générale comporte trois étapes :
\begin{itemize}
 \item On applique la transformée en $z$ à l'équation récurente ; 
 \item On déduit l'expression de $(\mathcal{Z}u)$ ;
 \item On recherche l'original de $(\mathcal{Z}u)$ pour avoir l'expression de $u_n$.
\end{itemize}

\exosol{Résoudre $u_{n+1}=u_n+2$ avec $u_0=3$.}
{\vspace{-10pt}\begin{eqnarray*}
u(n+1)&=&u(n)+2\\
z[(\mathcal{Z}u)(z)-u(0)]&=&(\mathcal{Z}u)(z)+\frac{2z}{z-1}\\
z[(\mathcal{Z}u)(z)-3]&=&(\mathcal{Z}u)(z)+\frac{2z}{z-1}\\
(\mathcal{Z}u)(z)(z-1)&=&\frac{2z}{z-1}+3z\\
(\mathcal{Z}u)(z)&=&\frac{2z}{(z-1)^2}+\frac{3z}{z-1}\\
u_n&=&2n+3
\end{eqnarray*}
\rem{cette résolution est inutile, puisqu'on connait la formule $u_n=u_0+nr$ (suite arithmétique). Elle est seulement donnée pour montrer un exemple très simple.}}

\exosol{Résoudre $u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+2$ avec $u_0=1$.}
{\vspace{-10pt}\begin{eqnarray*}
z[(\mathcal{Z}u)(z)-1]&=&\frac{1}{3}(\mathcal{Z}u)(z)+\frac{2z}{z-1}\\
(\mathcal{Z}u)(z) (z-\frac{1}{3})&=&\frac{2z}{z-1}+z\\
(\mathcal{Z}u)(z)&=&\frac{2z}{(z-1)(z-\frac{1}{3})}+\frac{z}{z-\frac{1}{3}}
\end{eqnarray*}
et en décomposant en éléments simples :
\begin{eqnarray*}
(\mathcal{Z}u)(z)&=&\frac{3}{z-1}+\frac{-1}{z-\frac{1}{3}}+\frac{z}{z-\frac{1}{3}}\\
&=&3z^{-1}\times~\frac{z}{z-1}-z^{-1}\times~\frac{z}{z-\frac{1}{3}}+\frac{z}{z-\frac{1}{3}}
\end{eqnarray*}
On en déduit donc que :
$$u_n=3e(n-1)-(\frac{1}{3})^{n-1}e(n-1)+(\frac{1}{3})^n$$}
\par\suitesol{
Et donc si $n \ge 1$, on a:
\vspace{-10pt}\begin{eqnarray*}
u_n&=&3-(\frac{1}{3})^{n-1}+(\frac{1}{3})^n\\
&=&3-(\frac{1}{3})^{-1}\times~(\frac{1}{3})^n+(\frac{1}{3})^n\\
&=&3-3\times~(\frac{1}{3})^n+(\frac{1}{3})^n\\
&=&3-2(\frac{1}{3})^n
\end{eqnarray*}
On vérifie que la formule est aussi vraie pour $n=0$.}




\exosol{Résoudre $u_{n+2}=2u_{n+1}+3u_n$ avec $u_0=1$ et $u_1=2$.}
{\vspace{-10pt}\begin{eqnarray*}
z^2[(\mathcal{Z}u)(z)-1-2z^{-1}]&=&2z[(\mathcal{Z}u)(z)-1]+3(\mathcal{Z}u)(z)\\
(\mathcal{Z}u)(z)(z^2-2z-3)&=&z^2-z^2\times~(-2z^{-1})-2z\\
(\mathcal{Z}u)(z)(z^2-2z-3)&=&z^2+2z-2z\\
(\mathcal{Z}u)(z)(z^2-2z-3)&=&z^2\\
(\mathcal{Z}u)(z)=\dfrac{z^2}{z^2-2z-3}\\
\end{eqnarray*}
Il faut donc décomposer en éléments simples. On obtient :
% Le degré du dénominateur n'étant pas supérieur à celui du numérateur, il faut écrire :\\
% $(\mathcal{Z}u)(z)=1+\frac{2z+3}{z^2-2z-3}$\\
% $z^2-2z-3=0$, $\Delta=(-2)^2-4\times~(-3)=4+12=16=4^2$\\
% $z_1=\frac{2-4}{2}=-1$ et $z_2=\frac{2+4}{2}=3$ et donc $z^2-2z-3=(z-3)(z+1)$\\
% On a donc $(\mathcal{Z}u)(z)=\frac{z^2}{z^2-2z-3}=\frac{A}{z-3}+\frac{B}{z+1}=\frac{Az+A+Bz-3B}{(z+1)(z-3)}$\\
% On résout le système $\left \lbrace \begin{array}{l} 
% A+B=2  \\ 
% A-3B=3 \\ 
% \end{array} \right.$, ce qui donne  $A=\frac{9}{4}$ et $B=\frac{-1}{4}$\\
\begin{eqnarray*}
(\mathcal{Z}u)(z)&=&1+\frac{\frac{9}{4}}{z-3}-\frac{\frac{1}{4}}{z+1}\\
(\mathcal{Z}u)(z)&=&1+\frac{9}{4}z^{-1}\times~\frac{z}{z-3}-\frac{1}{4}z^{-1}\times~\frac{z}{z+1}\\
u_n&=&d(n)+\frac{9}{4}\times~3^{n-1}e(n-1)-\frac{1}{4}\times~(-1)^{n-1}e(n-1)
\end{eqnarray*}
donc, si $n \ge 1$, on a :
\vspace{-10pt}\begin{eqnarray*}
u_n&=&\frac{9}{4}\times~3^{n-1}-\frac{1}{4}\times~(-1)^{n-1}\\
u_n&=&\frac{3}{4}\times~3^n+\frac{1}{4}(-1)^n
\end{eqnarray*}
On vérifie pour $n=0$, $u_0=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$. 
}



% \begin{itemize}
% \item [$\bullet$]Transformée de $n \mapsto n^2$\\
% On sait que $\sum_{n=0}^{+\infty } z^{-n}=\frac{z}{z-1}$\\
% En dérivant, on a $\sum_{n=0}^{+\infty } -n z^{-n-1}=\frac{-1}{(z-1)^2}$\\
% En dérivant à nouveau, $\sum_{n=0}^{+\infty } -n(-n-1) z^{-n-2}=\frac{2}{(z-1)^3}$\\
% $\sum_{n=0}^{+\infty } n(n+1)z^{-n}\times~z^{-2}=\frac{2}{(z-1)^3}$\\
% $\sum_{n=0}^{+\infty } n(n+1)z^{-n}=\frac{2z^2}{(z-1)^3}$\\
% $\sum_{n=0}^{+\infty } n^2 z^{-n}+\sum_{n=0}^{+\infty } nz^{-n}=\frac{2z^2}{(z-1)^3}$\\
% $\sum_{n=0}^{+\infty } n^2 z^{-n}=\frac{2z^2}{(z-1)^3}-\frac{z}{(z-1)^2}=\frac{2z^2-z(z-1)}{(z-1)^3}$\\
% $=\frac{2z^2-z^2+z}{(z-1)^3}=\frac{z^2+z}{(z-1)^2}=\frac{z(z+1)}{(z-1)^3}$
% \item [$\bullet$]Transformée de $n \mapsto n^3$\\
% On sait que $\sum_{n=0}^{+\infty } z^{-n}=\frac{z}{z-1}$\\
% En dérivant, on a $\sum_{n=0}^{+\infty } -n z^{-n-1}=\frac{-1}{(z-1)^2}$\\
% En dérivant à nouveau, $\sum_{n=0}^{+\infty } -n(-n-1) z^{-n-2}=\frac{2}{(z-1)^3}$\\
% En dérivant à nouveau, $\sum_{n=0}^{+\infty } -n(-n-1)(-n-2) z^{-n-"}=\frac{-6}{(z-1)^4}$\\
% $\sum_{n=0}^{+\infty } n(n^2+3n+2) z^{-n-3}=\frac{6}{(z-1)^4}$\\
% $\sum_{n=0}^{+\infty } (n^3+3n^2+2n) z^{-n}\times~z^{-3}=\frac{6}{(z-1)^4}$\\
% $\sum_{n=0}^{+\infty } (n^3+3n^2+2n) z^{-n}=\frac{6z^3}{(z-1)^4}$\\
% $\sum_{n=0}^{+\infty } n^3z^{-n}=\frac{6z^3}{(z-1)^3}-3\times~\frac{z(z+1)}{(z-1)^3}-2\frac{z}{(z-1)^2}$\\
% $=\frac{6z^3-3z(z^2-1)-2z(z^2-2z+1)}{(z-1)^4}$\\
% $=\frac{6z^3-3z^3+3z-2z^3+4z^2-2z}{(z-1)^4}=\frac{z^3+4z^2+z}{(z-1)^4}$
% \end{itemize}


% \subsection{Cas particulier de la suite de Fibonacci}
% On rappelle qu'une suite de Fibonacci est définie par $u_1=u_0=1$ et $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$.\\
% Le but est de trouver $u_n$ en fonction de $n$.\\
% On transforme l'expression $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$ par la transformée en \mathcal{Z}. On a donc :
% $$z^2[(\mathcal{Z}_u)(z)-u_0-u_1z^{-1}]=z[(\mathcal{Z}u)(z)-u_0]+(\mathcal{Z}_u)(z)$$
% Et en remplaçant $u_0$ et $u_1$ par leurs valeurs:
% $$z^2[(\mathcal{Z}_u)(z)-1-z^{-1}]=z[(\mathcal{Z}u)(z)-1]+(\mathcal{Z}_u)(z)$$
% En développant en et mettant $(\mathcal{Z}_u)(z)$ en facteurs :
% $$(\mathcal{Z}_u)(z)(z^2-z-1)=z^2+z-z=z^2$$
% $$(\mathcal{Z}_u)(z)=\cfrac{z^2}{z^2-z-1}$$
% On divise les deux membres par $z$, afin que le degré du numérateur soit inférieur à celui du dénominateur\\
% $\frac{(\mathcal{Z}u)(z)}{z}=\frac{z}{z^2-z-1}$\\
% Résolution de l'équation $z^2-z-1=0$\\
% $\Delta=(-1)^2-4\times~1\times~(-1)=5$. Il y a donc deux  solutions : \\
% $z_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ et $z_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$\\
% On voit donc que $z_2=\phi$ (nombre d'or) et $z_1=-\frac{1}{_\phi}$\\
% On a donc $z^2-z-1=(z+\frac{1}{\phi})(z-\phi)$\\
% On pose $\frac{z}{z^2-z-1}=\frac{A}{z+\frac{1}{\phi}}+\frac{B}{z-\phi}$\\
% $\frac{z}{z^2-z-1}=\frac{Az-A\phi +Bz+\frac{B}{z}}{z^2-z-1}$\\
% En identifiant, on a \\
% $\left \lbrace \begin{array}{l} 
% A+B=1 \\ 
% -A\phi +\frac{B}{\phi}=0 \\ 
% \end{array} \right.$\\
% % Par la méthode de Cramer:\\
% % $D=\begin{array}{|cc|}
% % 1  & 1 \cr
% % -\phi &\frac{1}{\phi}  \cr
% % \end{array}=\frac{1}{\phi}+\phi=\phi-1+\phi=2\phi-1=\sqrt{5}$ \\
% % (on rappelle que $\phi^2=\phi+1 \Rightarrow \phi=1+\frac{1}{\phi} \Rightarrow \frac{1}{\phi}=\phi -1$)\\
% % $D_A=\begin{array}{|cc|}
% % 1  &1  \cr
% % 0 & \frac{1}{\phi} \cr
% % \end{array}=\frac{1}{\phi}=\phi-1$\\
% % $D_B=\begin{array}{|cc|}
% % 1  &1  \cr
% % -\phi & 0 \cr
% % \end{array}=\phi$\\
% On en déduit que $A=\frac{\phi -1}{\sqrt{5}}$ et $B=\frac{\phi}{\sqrt{5}}$\\
% En remplaçant A et B dans $\frac{(\mathcal{Z}u)(z)}{z}=\frac{z}{z^2-z-1}$, on a \\
% $\frac{(\mathcal{Z}u)(z)}{z}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[(\phi-1)\frac{1}{z+\frac{1}{\phi}}+\phi\frac{1}{z-\phi}\right]$\\
% $(\mathcal{Z}u)(z)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[(\phi-1)\frac{z}{z+\frac{1}{\phi}}+\phi\frac{z}{z-\phi}\right]$\\
% En utilisant les transformées inverses, on a :\\
% $u_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[(\phi-1)\left(-\frac{1}{\phi}\right)^n+\phi\times~\phi^n\right]$\\
% 
% $$u_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[(\phi-1)\left(-\frac{1}{\phi}\right)^n+\phi^{n+1}\right]$$\\
% 
% Il n'est pas évident, en voyant cette expression, que $u_n$ est un entier quel que soit $n$ (mais il est très facile de le démontrer par récurrence). \\
% Si $n \to  \infty $, l'expression $\left(-\frac{1}{\phi}\right)^n$ tend vers 0, ce qui prouve que le rapport de deux termes consécutifs de la suite tend vers le nombre d'or quand $n \to  \infty $.\\



%formulaire
% \rotatebox{90}
% {
% \begin{tabular}{|c|c|}
% \hline
% Signal causal &Transformée en \mathcal{Z} \\
% $n \mapsto x(n)$ pour $n \in \N$&$z \mapsto (\mathcal{Z}x)(z)$\\
% \hline 
% $e(n)=1$ &$(\mathcal{Z}e)(z)=\frac{z}{z-1}$ \\
% \hline 
% $\left \lbrace \begin{array}{l} 
% d(0)=1  \\ 
% d(n)=0 {\rm \textrm{ si }} n \not= 0 \\ 
% \end{array} \right.$ & $(\mathcal{Z}d)(z)=1$\\ \hline 
% $r(n)=n$ & $(\mathcal{Z}r)(z)=\frac{z}{(z-1)^2}$\\ \hline 
% $c(n)=n^2$ & $(\mathcal{Z}c)(z)=\frac{z(z+1)}{(z-1)^3}$\\ \hline 
% $f(n)=a^n$, $a \in \R-\{0\}$ &$(\mathcal{Z}f)(z)=\frac{z}{z-a}$ \\ \hline 
% $y(n)=a^nx(n)$, $a\in \R-\{0\}$  &$(\mathcal{Z}y)(z)=(\mathcal{Z}x)\left(\frac{z}{a}\right)$ \\ \hline  
% $y(n)=x(n-n_0)$, $(n-n_0) \in \N$&\\
% ou&$(\mathcal{Z}y)(z)=z^{-n_0}(\mathcal{Z}x)(z)$\\
% $y(n)=x(n-n_0)e(n-n_0)$ & \\ \hline 
% $y(n)=x(n+1)$ &$(\mathcal{Z}y)(x)=z[(\mathcal{Z}x)(z)-x(0)]$ \\ \hline 
% $y(n)=x(n+2)$ &$(\mathcal{Z}y)(x)=z^2[(\mathcal{Z}x)(z)-x(0)-x(1)z^{-1}]$ \\ \hline
% $y(n)=x(n+n_0)$, $n_0 \in \N^\star$ &
%   $(\mathcal{Z}y)(z)=z^{n_0}[(\mathcal{Z}x)(z)-x(0)-x(1)z^{-1}-x(2)z^{-2} \cdots -x(n_0-1)z^{-(n_0-1)}]$  \\ 
% \hline
% \end{tabular}



\section{Exercices}
\subsection{Signaux discrets causaux}
\exoc{Représenter graphiquement chacun des signaux discrets causaux suivants :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item $e(n-2)$ ; 
 \item $d(n-1)$ ; 
 \item $r(n-2)$ ;
 \item $r(n+2)$ ; 
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


\exoc{Donner les écritures de chacune des suites causales représentées graphiquement ci-dessous :\\
\begin{minipage}{8cm}
$$\psset{unit=0.7cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
\def\xmin{-2}\def\ymin{-1}\def\xmax{6}\def\ymax{3}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psdots(-2,0)\psdots(-1,0)\psdots(0,0)\psdots(4,0)\psdots(5,0)\psdots(6,0)
\psdots(1,2)\psdots(2,2)\psdots(3,2)
\end{pspicture*}$$
$$x(n)=0 \textrm{ pour } n\geq4$$
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
$$\psset{unit=0.7cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
\def\xmin{-2}\def\ymin{-1}\def\xmax{6}\def\ymax{3}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psdots(-2,0)\psdots(-1,0)\psdots(0,0)\psdots(4,0)\psdots(5,0)\psdots(6,0)
\psdots(1,1)\psdots(2,0)\psdots(3,1)
\end{pspicture*}$$
$$x(n)=0 \textrm{ pour } n\geq4$$
\end{minipage}

\vspace{1cm}

\begin{minipage}{8cm}
$$\psset{unit=0.7cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
\def\xmin{-2}\def\ymin{-2}\def\xmax{6}\def\ymax{3}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psdots(-2,0)\psdots(-1,0)\psdots(0,0)\psdots(4,0)\psdots(5,0)\psdots(6,0)
\psdots(1,-1)\psdots(2,1)\psdots(3,-1)
\end{pspicture*}$$
$$x(n)=0 \textrm{ pour } n\geq4$$
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
$$\psset{unit=0.7cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
\def\xmin{-2}\def\ymin{-1}\def\xmax{6}\def\ymax{4}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psdots(-2,0)\psdots(-1,0)\psdots(0,3)\psdots(4,0)\psdots(5,0)\psdots(6,0)
\psdots(1,2)\psdots(2,1)\psdots(3,0)
\end{pspicture*}$$
$$x(n)=0 \textrm{ pour } n\geq4$$
\end{minipage}

\vspace{1cm}

\begin{minipage}{8cm}
$$\psset{unit=0.7cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
\def\xmin{-2}\def\ymin{-2}\def\xmax{6}\def\ymax{3}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psdots(-2,0)\psdots(-1,0)\psdots(0,0)\psdots(4,0)\psdots(5,0)\psdots(6,0)
\psdots(1,1)\psdots(2,2)\psdots(3,1)
\end{pspicture*}$$
$$x(n)=0 \textrm{ pour } n\geq4$$
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
$$\psset{unit=0.7cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
\def\xmin{-2}\def\ymin{-3}\def\xmax{6}\def\ymax{2}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psdots(-2,0)\psdots(-1,0)\psdots(0,0)\psdots(4,0)\psdots(5,0)\psdots(6,0)
\psdots(1,-1)\psdots(2,-2)\psdots(3,0)
\end{pspicture*}$$
$$x(n)=0 \textrm{ pour } n\geq4$$
\end{minipage}
}

\subsection{Calcul de transformées}
\exoc{Déterminer les transformées en $z$ des suites causales définies par : 
\vspace{-10pt}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $x(n)=n^2+3n+2$;
\item $x(n)=n2^n$ ;
\item $x(n)=(n-3)e(n-3)$ ;
\item $x(n)=(n+2)^2$.
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\exoc{Déterminer les transformées en $z$ des suites causales définies par : 
\vspace{-10pt}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $x(n)=(2n+1)e(n)$ ;
\item $x(n)=5^ne(n)$ ; 
\item $x(n)=(n+2)e(n)$ ;
\item $x(n)=4^nne(n)$ ;
\item $x(n)=3^{n-2}(n-2)e(n-2)$ ;
\item $x(n)=3^nn^2e(n)$ ;
\end{enumerate}
\end{multicols}
}



\exoc{Déterminer les transformées en $z$ des suites causales définies par : 
\vspace{-10pt}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $x(n)=(4n-3)e(n)$;
\item $x(n)=n(-1)^ne(n)$ ;
\item $x(n)=(n-1)e(n-1)$ ;
\item $x(n)=n^22^ne(n)$ ;
\item $x(n)=(n+2)^2e(n+2)$ ;
\item $x(n)=(2n^2-3n+5)e(n)$;
\item $x(n)=(n-3)^2e(n-3)$ ;
\item $x(n)=n^2(-2)^ne(n)$ ;
\item $x(n)=(\dfrac{8}{3}n+\dfrac{5}{8})e(n)$ ;
\item $x(n)=(2n+1)3^ne(n)$ ;
\item $x(n)=(n-2)^2e(n-2)$ ;
\item $x(n)=(n+4)e(n)$ ;
\item $x(n)=(n+1)^2e(n+1)$ ;
\item $x(n)=(n-1)^2e(n-1)$ ;
\item $x(n)=(n+3)e(n)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}}


\exoc{Déterminer les transformées en $z$ des suites causales trouvées à l'exercice 2.}


\exoc{Soient les signaux causaux discrets définis par :
$$x_1(n)=ne(n) \qquad ; \qquad x_2(n)=ne(n-1)  \qquad ; \qquad x_3(n)=ne(n-2)$$
$$x_4(n)=(n+1)e(n) \qquad ; \qquad x_5(n)=(n+1)e(n-1)  \qquad ; \qquad x_6(n)=(n+1)e(n-2).$$
Déterminer leurs transformées en $z$ en écrivant les signaux sous la forme $x_i(n)=(n-a)e(n-a)+be(n-a)$.}

% \exoc{À l'aide de la formule d'Euler, déterminer les transformées en $z$ des suites causales définies par :
% \begin{enumerate}
% \item $f(n)=\cos(n)u(n) \quad \textrm{ et } \quad f(n)=\sin(n)u(n)$ ;
% \item $f(n)=\cos(n\omega)u(n)  \quad \textrm{ et } \quad f(n)=\sin(n\omega)u(n)$.
% \item Dans les cas $\omega=\dfrac{\pi}{2}$ et $\omega=\pi$, représenter graphiquement les suites et donner leurs transformées en $z$.
% \end{enumerate}
% % }
% 
% 
% 
%  
% \exoc{soit $f$ la fonction numérique causale de la variable réelle $t$ définie par 
% $$f(t)=(1-\e^{-2t})\U(t).$$
% On l'échantillonne, la période de l'échantillonnage étant $T$. Donner sa transformée en $z$.\\
% Donner son expression quand, $T=0,5$ secondes, $T=2$ secondes, $T=4$ secondes.}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Recherche d'originaux}
\exoc{Trouver les originaux de :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $(\mathcal{Z}x)(z)=\dfrac{4z}{z-1}$ ;
\item $(\mathcal{Z}x)(z)=\dfrac{3z}{(z-1)^2}$ ;
\item $(\mathcal{Z}x)(z)=\dfrac{2z}{z+1}$ ;
\item $(\mathcal{Z}x)(z)=\dfrac{z}{2z+1}$ ;
\item $(\mathcal{Z}x)(z)=\dfrac{z}{(\frac{z}{2}-1)^2}$ ;
\item $(\mathcal{Z}x)(z)=\dfrac{2}{z-3}$ ;
\item $(\mathcal{Z}x)(z)=\dfrac{z}{(2z-1)^2}$ ;
\item $(\mathcal{Z}x)(z)=\dfrac{3}{(z-2)^2}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\exoc{Trouver les originaux de :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $(\mathcal{Z}x)(z)=\dfrac{6z}{(z-1)^2}$ ;
\item $(\mathcal{Z}x)(z)=\dfrac{z}{z+3}$ ;
\item $(\mathcal{Z}x)(z)=\dfrac{z}{4z+1}$ ;
\item $(\mathcal{Z}x)(z)=\dfrac{z}{(\frac{z}{3}-1)^2}$ ;
\item $(\mathcal{Z}x)(z)=\dfrac{3}{z-2}$ ;
\item $(\mathcal{Z}x)(z)=\dfrac{z}{(3z-1)^2}$ ;
\item $(\mathcal{Z}x)(z)=\dfrac{2}{(z-3)^2}$ ;
\item $(\mathcal{Z}x)(z)=\dfrac{2z}{(z-2)^2}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\exoc{Soit $x$ un signal discret causal dont la transformée en $z$ est définie par 
$$(\mathcal{Z}x)(z)=\dfrac{2z}{(z-1)(z-3)} \textrm{ où } |z|>3.$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer deux constantes $a$ et $b$ telles que, pour tout $z$ vérifiant $|z|>3$ :
$$\dfrac{1}{(z-1)(z-3)}=\dfrac{a}{z-1}+\dfrac{b}{z-3}.$$
\item En déduire le signal $x$.
\end{enumerate}}


\exoc{Soit $x$ un signal discret causal dont la transformée en $z$ est définie par 
$$(\mathcal{Z}x)(z)=\dfrac{z}{z^2-6z+8} \textrm{ où } |z|>4.$$
\begin{enumerate}
\item Factoriser $z^2-6z+8$.
\item Déterminer deux constantes $a$ et $b$ telles que, pour tout $z$ vérifiant $|z|>3$ :
$$\dfrac{1}{z^2-6z+8}=\dfrac{a}{z-2}+\dfrac{b}{z-4}.$$
\item En déduire le signal $x$.
\end{enumerate}}


\exoc{Trouver les originaux de chacune des fonctions suivantes. On pourra utiliser une décomposition en éléments simples de $F(z)$ ou $\dfrac{F(z)}{z}$.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $F(z)=\dfrac{z-1}{z+3}$ ;
\item $F(z)=\dfrac{z}{(z-1)(z-2)}$ ;
\item $F(z)=\dfrac{z^2}{z^2-3z+2}$ ;
\item $F(z)=\dfrac{3z^2}{z^2-z-2}$ ;
\item $F(z)=\dfrac{z^3}{(z-1)^2(z+4)}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Résolution d'équations aux différences}
\exoc{Soit l'équation aux différences : 
$$\left\{\begin{array}{l}
y(n+1)-2y(n)=0\\
y(0)=1.
\end{array}\right.$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $y(1)$, $y(2)$, $y(3)$.
\item Résoudre l'équation aux différences à l'aide de la transformée en $z$ et retrouver les résultats de la première question.
\end{enumerate}}

\exoc{Résoudre l'équation aux différences à l'aide de la transformée en $z$
$$\left\{\begin{array}{l}
y(n+1)-y(n)=(2n+1)e(n)\\
y(0)=y_0.
\end{array}\right.$$}

\exoc{Résoudre l'équation aux différences à l'aide de la transformée en $z$
$$\left\{\begin{array}{l}
y(n+2)-2y(n+1)+y(n)=2e(n)\\
y(0)=0 \quad ; \quad y(1)=1.
\end{array}\right.$$}

\exoc{Résoudre l'équation aux différences à l'aide de la transformée en $z$
$$\left\{\begin{array}{l}
y(n+2)-4y(n)=4d(n-2)e(n-2)\\
y(0)=y(1)=0.
\end{array}\right.$$}

\exoc{Soit l'équation aux différences $y(n)+y(n-1)=e(n)$ où $y$ est un signal causal discret et $u$ la suite échelon unité.
\begin{enumerate}
\item En écrivant l'équation pour $n=0$ et en utilisant le fait que le signal est causal, calculer $y(0)$.
\item On pose $Y(z)=\mathcal{Z}(y(n)).$ En appliquant la transformée en $z$ aux deux membres de l'équation, déterminer $Y(z)$.
\item Décomposer $\dfrac{Y(z)}{z}$ en éléments simples.
\item En déduire $y(n)$.
\end{enumerate}}

\exoc{Soit l'équation aux différences $y(n)-2y(n-1)=ne(n)$ où $y$ est un signal causal discret et $u$ la suite échelon unité.
\begin{enumerate}
\item En écrivant l'équation pour $n=0$ et en utilisant le fait que le signal est causal, calculer $y(0)$.
\item On pose $Y(z)=\mathcal{Z}(y(n)).$ En appliquant la transformée en $z$ aux deux membres de l'équation, montrer que $Y(z)=\dfrac{z^2}{(z-1)^2(z-2)}$.
\item Déterminer trois constantes $a$, $b$ et $c$ telles que :
$$\dfrac{z}{(z-1)^2(z-2)}=\dfrac{a}{z-1}+\dfrac{b}{(z-1)^2}+\dfrac{c}{z-2}.$$
\item En déduire $y(n)$.
\end{enumerate}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Annales}
\exoc{\emph{France 2004.}\\
Dans tout cet exercice, le nombre $n$ est un entier relatif.\\
 La suite $n \mapsto e(n)$ représente l'échelon discrétisé causal
 défini par :
 $$
       \left\lbrace\begin{array}{l}
         e(n)=0 \textnormal{ pour } n<0 \\
         e(n)=1 \textnormal{ pour } n\geq 0
      \end{array}\right.
 $$
 On considère un filtre numérique dans lequel le signal d'entrée
 est $n \mapsto e(n)$ et le signal de sortie est un signal discret
 causal noté $n \mapsto x(n)$.\\
 Ce filtre est régi par l'équation récurrente :
 $$x(n)-2x(n-1)=e(n)~~(E)$$
 \noindent{ \large {\textbf{Partie 1}}}
 \vspace{1ex}\\
 {\it Dans cette partie, on résout l'équation récurrente $(E)$
 sans utilisation de la transformation en $\mathcal{Z}$.
 }
\begin{enumerate}
  \item %1
\begin{enumerate}
  \item %a
   Justifier que $x(0)=1$.
  \item %b
   Calculer $x(1)$, $x(2)$ et $x(3)$.
\end{enumerate}
  \item %2
   Pour tout entier naturel $n$ l'équation $(E)$ s'écrit :
   $$x(n)-2x(n-1)=1~~(E)$$
\begin{enumerate}
  \item %a
   On considère la suite $y$ définie pour tout entier naturel $n$
   par :
   $$y(n)=x(n)+1$$
   Montrer que la suite $y$ est une suite géométrique de raison
   $2$.\\
   Donner l'expression de $y(n)$ en fonction de de l'entier
   naturel $n$.
  \item %b
   En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de
   $x(n)$. Vérifier que l'on retrouve les mêmes valeurs de $x(0)$,
   $x(1)$, $x(2)$ et $x(3)$ qu'à la question $1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 \vspace{2ex}
 \noindent{ \large {\textbf{Partie 2}}}
 \vspace{1ex}\\
 {\it Dans cette partie on résout l'équation récurrente $(E)$ en
 utilisant la transformation en $\mathcal{Z}$.
 }
\begin{enumerate}
  \item %1
   On rappelle que $x(0)=1$.\\
   On se place dans le cas où $n\geq 1$ et on admet que le signal
   $n \mapsto x(n)$, solution de l'équation récurrente $(E)$, a
   une transformation en $\mathcal{Z}$ notée $(\mathcal{Z}x)(z)$.
\begin{enumerate}
  \item %a
   Montrer que pour tout $z$ différent de $0$, de $1$ et de $2$ on
   a :
   $$(\mathcal{Z}x)(z)=\frac{z^2}{(z-1)(z-2)}$$
  \item %b
   Montrer que pour tout $z$ différent de $0$, de $1$ et de $2$ on
   a :
   $$\frac{(\mathcal{Z}x)(z)}{z}=\frac{-1}{z-1}+\frac{2}{z-2}$$
  \item %c
   En déduire par lecture inverse du dictionnaire d'images, le
   signal de sortie $n \mapsto x(n)$ pour $n\geq 1$.
\end{enumerate}
  \item %2
   Représenter dans un repère orthogonal, pour les nombres entiers
   $n$ tels que $-2\leq n \leq 3$, le signal de sortie $n\mapsto
   x(n)$. Prendre comme unités graphiques $2$ cm sur l'axe des
   abscisses et $0,5$ cm sur l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}}

\rep{}{en attente de reponse mail}


\exoc{\emph{France 2006.}\\
 Le but de cet exercice est d'étudier quelques propriétés d'un filtre num\'erique $N$ et de comparer des effets de ce filtre avec ceux d'un filtre analogique $A$.
 \vspace{0.5cm}\\
 \textbf{Partie I}\\
 On rappelle que tout signal discret causal est nul pour tout entier strictement négatif.
 \vspace{0.5 ex}\\
 Soient $x(n)$ et $y(n)$ les termes généraux respectifs de deux signaux discrets causaux repr\'esentant, respectivement, l'entr\'ee et la sortie d'un filtre num\'erique $N$. Ce filtre est conçu de telle sorte que, pour tout nombre entier $n$ positif ou nul, on a :
 \[y(n)-y(n-2)=0,04~x(n-1).\]

\begin{enumerate}
    \item On note $\mathcal{Z}x$ et $\mathcal{Z}y$ les transformées respectives des signaux causaux $x$ et $y$. Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ diff\'erent de $-1$ et $1$, on a :
    \[\left(\mathcal{Z}y\right)(z)=\dfrac{0,04z}{(z-1)(z+1)}\left(\mathcal{Z}x\right)(z)\]
    \item On suppose que le signal d'entr\'ee est l'\'echelon unit\'e discret :
    \[x(n)=e(n) \mbox{ avec } e(n)=\left\{\begin{array}{rr}
    0 & \mbox{ si } n < 0\\
    1 & \mbox {si } n \geq 0
    \end{array}
    \right.\]
\begin{enumerate}
    \item  Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ diff\'erent de $-1$ et $1$, on a :
    \[\left(\mathcal{Z}y\right)(z)=\dfrac{0,04z^2}{(z-1)^2(z+1)}\]
    \item Calculer les constantes r\'eelles $A$, $B$ et $C$ telles que :
    \[\dfrac{0,04z}{(z-1)^2(z+1)}=\dfrac{A}{(z-1)^2}+\dfrac{B}{z-1}+\dfrac{C}{z+1}\]
    \item En remarquant que :
    \[\dfrac{\left(\mathcal{Z}y\right)(z)}{z}=\dfrac{0,04z}{(z-1)^2(z+1)}\] montrer que, pour tout entier $n$ positif ou nul, on a :
    \[y(n)=0,02n+0,01\left(1-(-1)^n\right)\]
    \item Déterminer $y(2k)$ puis $y(2k+1)$ pour tout nombre entier naturel $k$.
    \item En déduire que pour tout nombre entier naturel $k$, on a : $y(2k+1)=y(2k+2)$.
    \item Représenter graphiquement les termes du signal causal $y$ lorsque le nombre entier $n$ est compris entre $-2$ et $5$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\noindent \textbf{Partie II}\\
On rappelle que la fonction \'echelon unit\'e, not\'ee $U$, est d\'efinie par :
\[\left\{\begin{array}{rr}
U(t)=0 & \mbox{ si } t<0\\
U(t)=1 & \mbox {si } t \geq 0
\end{array}
\right.\] Soit la fonction $f$ d\'efinie pour tout nombre r\'eel
$t$ par :
\[f(t)=\sin(20t)U(t)\]
On note $F$ la transform\'ee de Laplace de la fonction $f$. Le signal de sortie du filtre analogique $A$ est représent\'e par la fonction $s$ dont la transform\'ee de Laplace $S$ est telle que :
\[S(p)=\dfrac{F(p)}{p}\]
\begin{enumerate}
    \item Justifier que, pour tout nombre r\'eel $t$ positif ou nul, on a :
    \[s(t)=\displaystyle \int_0^t f(u) \text{d}u\]
    \item En d\'eduire que, pour tout nombre r\'eel $t$ positif ou nul, on a :
    \[s(t)=\dfrac{1-\cos(20t)}{20}\]
    \item Donner sans justification la valeur maximale et la valeur minimale de la fonction $s$.
    \item Tracer, sur le graphique du document r\'eponse, l'allure de la courbe repr\'esentative de la fonction $s$.\\ Il n'est pas demand\'e d'\'etudier la fonction $s$.
    \vspace{1 cm}\\
    \textsl{La figure du document r\'eponse montre une simulation du r\'esultat obtenu en sortie du filtre num\'erique soumis à une version \'echantillonn\'ee de la fonction $f$, lorsque la p\'eriode d'\'echantillonnnage est $0,02$.}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Document à rendre avec la copie}\\
%\vspace{2 cm}
\includegraphics[scale=0.6]{fig1.eps}
\end{center}}

\rep{}
{\textbf{Partie I}
 \begin{enumerate}
    \item \`A l'aide du formulaire, et en notant $w(n)=y(n-2)$, on a $\left(\mathcal{Z}w\right)(z)=z^{-2}\left(\mathcal{Z}y\right)(z)$.\\ De même, en notant $v(n)=x(n-1)$, $\left(\mathcal{Z}v\right)(z)=z^{-1}\left(\mathcal{Z}x\right)(z)$.\\
    Par linéarit\'e de la transform\'ee en $z$ dans l'équation r\'ecurrente, on obtient :
    \[\left(\mathcal{Z}y\right)(z)-z^{-2}\left(\mathcal{Z}y\right)(z)=0,04z^{-1}\left(\mathcal{Z}x\right)(z)\]
    \[\Leftrightarrow z^{-2}(z^2-1)\left(\mathcal{Z}y\right)(z)=0,04z^{-1}\left(\mathcal{Z}x\right)(z)\]
    \[\Leftrightarrow (z^2-1)\left(\mathcal{Z}y\right)(z)=0,04z\left(\mathcal{Z}x\right)(z)\]
    Or $z^2-1=(z-1)(z+1)$, par conséquent si $z$ est différent de $-1$ et $1$, on a :
    \[\left(\mathcal{Z}y\right)(z)=\dfrac{0,04z}{(z-1)(z+1)}\left(\mathcal{Z}x\right)(z).\]
    \item
    \begin{enumerate}
    \item \`A l'aide de la table des transform\'ees en $\mathcal{Z}$, $\left(\mathcal{Z}x\right)(z)=\left(\mathcal{Z}e\right)(z)=\dfrac{z}{z-1}$.\\
    En remplaçant dans l'expression du \textbf{1.}, on obtient :
    \[\left(\mathcal{Z}y\right)(z)=\dfrac{0,04z^2}{(z-1)^2(z+1)}.\]
    \item Par r\'eduction au même d\'enominateur, on obtient : $$\begin{array}{rl}
    \dfrac{A}{(z-1)^2}+\dfrac{B}{z-1}+\dfrac{C}{z+1}&=\dfrac{A(z+1)+B(z-1)(z+1)+C(z-1)^2}{(z-1)^2(z+1)}\\
    &=\dfrac{(b+c)z^2+(a-2c)z+a-b+c}{(z-1)^2(z+1)}
    \end{array}$$
    d'où le syst\`eme suivant :
    \[\left\{\begin{array}{ll}
    b+c&=0\\
    a-2c&=0,04\\
    a-b+c&=0
    \end{array}
    \right. \quad \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
    a=0,02\\
    b=0,01\\
    c=-0,01 \end{array} \right. . \]
    Conclusion :
    \[\dfrac{0,04z}{(z-1)^2(z+1)}=\dfrac{0,02}{(z-1)^2}+\dfrac{0,01}{z-1}-\dfrac{0,01}{z+1}.\]
    \item \`A l'aide du \textbf{a.} et \textbf{b.}, on a :
    \[\left(\mathcal{Z}y\right)(z)=\dfrac{0,02z}{(z-1)^2}+\dfrac{0,01z}{z-1}-\dfrac{0,01z}{z+1}.\]
    L'original de $\dfrac{z}{(z-1)^2}$ est $r(n)=n$ pour $n\geq 0$.\\
    L'original de $\dfrac{z}{z-1}$ est $e(n)=1$ pour $n \geq 0$.\\
    L'original de $\dfrac{z}{z+1}$ est $(-1)^n$ : lecture de la table avec $\dfrac{z}{z+1}=\dfrac{z}{z-(-1)}$ et $a=-1$.\\
    On obtient finalement, pour $n$ entier positif ou nul :
    \[y(n)=0,02n+0,01-0,01(-1)^n.\]
    \item $(-1)^{2k}=1$ d'où $y(2k)=0,04k$.\\
    $(-1)^{2k+1}=-1$ d'où $y(2k+1)=0,02\times (2k+1)-0,01\times 2 \Leftrightarrow y(2k+1)=0,04k+0,04.$
    \item On a donc, pour tout entier naturel $k$, $y(2k+2)=y(2(k+1))=0,04(k+1)$, et $y(2k+1)=0,04(k+1)$ d'après \textbf{d.}.\\
    Conclusion : Pour tout nombre entier naturel $k$, on a : $y(2k+1)=y(2k+2)$.
    \item $y(-2)=0$\\
    $y(-1)=0$\\
    $y(0)=0$\\
    $y(1)=y(2)=0,04$\\
    $y(3)=y(4)=0,08$\\
    $y(5)=0,12.$\\
    Repr\'esentation graphique du signal causal :
        \begin{center}
    \psset{xunit=1cm,yunit=20}
    \begin{pspicture}(-2.3,-0.1)(5.3,0.2)
    \psaxes[linewidth=1.5pt]{-}(0,0)(-2.3,-0.1)(5.3,0.2)
    \psline[linestyle=dashed](-0.1,0.04)(2,0.04)
    \psline[linestyle=dashed](-0.1,0.08)(4,0.08)
    \psline[linestyle=dashed](-0.1,0.12)(5,0.12)
    \psdots(-2,0)
    \psdots(-1,0)
    \psdots(1,0.04)
    \psdots(2,0.04)
    \psdots(3,0.08)
    \psdots(4,0.08)
    \psdots(5,0.12)
    \rput(-.5,0.12){$0.12$}
    \rput(-.5,0.08){$0.08$}
    \rput(-0.5,0.04){$0.04$}
    \end{pspicture}
    \end{center}
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0.5 ex}
\textbf{Partie II}
\begin{enumerate}
    \item L'original de $\dfrac{F(p)}{p}$ est $\displaystyle \int_0^t f(u)U(t)\text{d}u$.\\
    Or $f$ est causale alors $f(u)U(u)=f(u)$ pour $t$ positif ou nul d'où : $s(t)=\displaystyle \int_0^t f(u) \text{d}u.$
    \item
    \[\begin{array}{rl}
    s(t)&=\displaystyle \int_0^t \sin(20u) \text{d}u\\
        &=\left[-\dfrac{\cos(20 u)}{20}\right]_0^t\\
        &=\dfrac{1}{20}\left(1-\cos(20 t)\right).\end{array}\]
    \item La valeur minimale de $s$ est $0$ pour $t=\dfrac{k\pi}{10}$ avec $k$ entier naturel.\\
    La valeur maximale de $s$ est $\dfrac{1}{10}$ pour $t=\dfrac{(2k+1)\pi}{20}$ avec $k$ entier naturel.
\end{enumerate}
 \newpage
 \begin{center}
\textbf{Document réponse}\\
\vspace{8 cm}
\includegraphics[scale=0.8]{fig2.eps}
\end{center}}


\exoc{\emph{France 2008.}\\
On considère un système analogique \og entrée-sortie\fg\, dans lequel le signal
d'entrée est représenté par une fonction $e$ et celui de sortie par une
fonction $s$.
\medskip

\noindent Une fonction définie sur $\R$ est dite causale si elle est nulle sur
l'intervalle $]-\infty\,;\,0[$.
\medskip 

\noindent Les fonctions $e$ et $s$ sont des fonctions causales et on suppose
qu'elles admettent des transformées de Laplace notées respectivement $E$ et
$S$.
\medskip

\noindent On rappelle que la fonction échelon unité $U$ est définie sur $\R$ par
: 
\[\left\{
 \begin{aligned}
U(t)&=0\quad\text{si } t<0\\
U(t)&=1\quad\text{si } t\geq 0
 \end{aligned}
\right.
\]
\begin{enumerate}
 \item La fonction de transfert $H$ du système est définie par $S(p)=H(p)\times
E(p)$.\\
On suppose , dans le cadre de cette étude, que $H(p)=\frac{1}{1+2p}$ et
$e(t)=U(t)$.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer $S(p)$.
\item Déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que
$S(p)=\frac{\alpha}{p}+\frac{\beta}{p+\dfrac{1}{2}}$.
\item En déduire $s(t)$.
\end{enumerate}
\item On se propose d'approcher la fonction de transfert analogique $H$ par la
fonction de transfert numérique $F$ telle que
$F(z)=H\left(10\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}\right)=H\left(\frac{10z-10}{z+1}
\right)$.\\
L'entrée et la sortie du système numérique sont modélisés respectivement par
deux signaux causaux discrets $x$ et $y$, admettant des transformées en $\mathcal{Z}$
notées respectivement $X$ et $Y$.
\medskip

\noindent \textbf{On se place toujours dans le cas où le signal d'entrée du
système analogique est} $\mathbf{U(t)}$.\\
Le signal d'entrée du système analogique est échantillonné au pas de $0,2$.\\
Ainsi, le signal d'entrée $x$ du système numérique est défini par $x(n)=U(0,2n)$
pour tout nombre entier naturel $n$.
\medskip

\noindent Les transformées en $\mathcal{Z}$ des signaux $x$ et $y$ vérifient
$Y(z)=F(z)\times X(z)$.

\begin{enumerate}
 \item Montrer que $F(z)=\frac{z+1}{21z-19}$.
\item Déterminer $X(z)$.
\item Vérifier que
$Y(z)=\dfrac{z}{z-1}-\dfrac{20}{21}\left(\dfrac{z}{z-\frac{19}{21}}\right)$.\\
En déduire l'expression $y(n)$, pour tout nombre entier naturel $n$.
\end{enumerate}
\item Compléter le tableau en donnant des valeurs approchées à $10^{-3}$ près des résultats demandés.
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{4}{c|}}
\hline
\hspace{0.5cm}$n$\hspace{0.5cm} &\hspace{1cm} $y(n)$\hspace{1cm} &\hspace{0.5cm}
$t=0,2n$ \hspace{0.5cm}&\hspace{1cm} $s(t)\hspace{1cm}$\\
\hline
0& &0&\\
\hline
0& &0&\\
\hline
0& &0&\\
\hline
0& &0&\\
\hline
0& &0&\\
\hline
0& &0&\\
\hline
0& &0&\\
\hline
0& &0&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}
\medskip
\textit{La méthode utilisée dans l'exercice 1, pour discrétiser le système
analogique, est souvent appelée transformation bilinéaire. Dans le cadre de
l'exemple étudié, nous observons que cette transformation préserve la stabilité
du système et que les signaux de sortie analogique et numérique convergent vers
la même limite.}}

\rep{}
{\begin{enumerate}
 \item 
\begin{enumerate}
 \item On a $e(t)=U(t)$ alors $E(p)=\frac{1}{p}$.\\
On obtient alors 
\begin{align*}
S(p)&=\frac{1}{p(1+2p)}\\
&=\frac{1}{2}\frac{1}{p\left(p+\dfrac{1}{2}\right)}
\end{align*}
\item On a, par réduction au même dénominateur,
\begin{align*}
\frac{\alpha}{p}+\frac{\beta}{p+\dfrac{1}{2}}&=\frac{\alpha\left(p+\dfrac{1}{2
} \right)+\beta p}{p\left(p+\dfrac{1}{2}\right)}\\
&=\frac{(\alpha+\beta)p+\dfrac{\alpha}{2}}{p\left(p+\dfrac{1}{2}\right)}
\end{align*}
Par identification avec la relation de la question précédente, on obtient le
système
\[\left\{
 \begin{aligned}
\alpha+\beta&=0\\
\frac{\alpha}{2}&=\frac{1}{2}
 \end{aligned}
\right.
\] 
d'où
\[\left\{
 \begin{aligned}
 \alpha&=1\\
\beta&=-1
 \end{aligned}
\right.
\]
c'est-à-dire
\[S(p)=\frac{1}{p}-\frac{1}{p+\dfrac{1}{2}}\]
\item L'originale de $\frac{1}{p}$ est la fonction échelon unité $U(t)$ et
l'originale de $\frac{1}{p+\dfrac{1}{2}}$ est $\e^{-\frac{t}{2}}U(t)$. Alors
\[s(t)=\left(1-\e^{-\frac{t}{2}}\right)U(t)\]
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
 \item On a 
\begin{align*}
 F(z)&=H\left(\frac{10z-10}{z+1}\right)\\
&=\frac{1}{1+2\frac{10z-10}{z+1}}\\
&=\frac{z+1}{(z+1)+2(10z-10)}\\
&=\frac{z+1}{21z-19}
\end{align*}
\item On a $x(n)=U(0,2n)$ alors $X(z)=\frac{z}{z-1}$
\item On obtient alors $Y(z)=\frac{z(z+1)}{(z-1)(21z-19)}$.\\
On a, par réduction au même dénominateur,  
\begin{align*}
\frac{z}{z-1}-\frac{20}{21}\left(\frac{z}{z-\dfrac{19}{21}}\right)&=\frac{z}{z-1
}-\frac{20z}{21z-19}\\
&=\frac{z(21z-19)-20z(z-1)}{(z-1)(21z-19)}\\
&=\frac{z(z+1)}{(z-1)(21z-19)}\\
&=Y(z)
\end{align*}
L'originale de $\frac{z}{z-1}$ est $e(n)=1$ et l'originale de
$\frac{z}{z-\frac{19}{21}}$ est $\left(\frac{19}{21}\right)^n$, par conséquent,
on obtient
\[y(n)=1-\frac{20}{21}\left(\frac{19}{21}\right)^n\quad\text{pour tout nombre
entier naturel
}n\]
\end{enumerate}
\item Annexe complétée :
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{4}{c|}}
\hline
\hspace{0.5cm}$n$\hspace{0.5cm} &\hspace{1cm} $y(n)$\hspace{1cm} &\hspace{0.5cm}
$t=0,2n$ \hspace{0.5cm}&\hspace{1cm} $s(t)\hspace{1cm}$\\
\hline
0&0,048&0&0\\
\hline
1&0,138&0,2&0,095\\
\hline
5&0,423&1&0,393\\
\hline
10&0,650&2&0,632\\
\hline
15&0,788&3&0,777\\
\hline
20&0,871&4&0,865\\
\hline
25&0,922&5&0,918\\
\hline
50&0,994&10&0,993\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}
}


\newpage
\thispagestyle{empty}

\begin{minipage}{16cm}
\begin{center}
\tableofcontents
\thispagestyle{empty}
\end{center}
\end{minipage}
\end{document}