\documentclass[12pt]{book}\usepackage[Aymar]{ammaths}\begin{document}
\nocolor
\setboolean{reponse}{false} % true ou  false pour enlever l'impression des réponses


\pagestyle{fancy}
\fancyhead{}
\fancyhead[LE]{\footnotesize Chapitre 7}
\fancyhead[CE]{}
\fancyhead[RE]{\footnotesize Dénombrement et probabilités discrètes}
\fancyhead[LO]{\footnotesize Cours de mathématiques}
\fancyhead[CO]{}
\fancyhead[RO]{\footnotesize STS}
\fancyfoot[LE]{\footnotesize \url{http://lyceeenligne.free.fr}}
\newcounter{chap}\setcounter{chap}{7}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\thispagestyle{empty}
{\Large\textsf{Section technicien supérieur}\par
\textsf{Cours de mathématiques}\par}

\bigskip

\textsf{\huge Chapitre 7}

{\huge\bf\textsf{Dénombrement et probabilités discrètes}}

\vfill

\begin{center}
\includegraphics[height=10cm]{probacartoon.eps}\\ \smallskip
\end{center}

\vfill

\emph{Les probabilités forment un domaine à part en mathématiques, 
celui de l'étude des phénomènes et des expériences aléatoires, 
c'est à dire des expériences dont le résultat n'est pas connu à l'avance.}
\par\medskip
\emph{Contrairement à ce que l'on pourrait penser de prime abord l'étude scientifique des probabilités est relativement récente dans l'histoire des mathématiques. On fait remonter à la correspondance de $1654$ entre Pascal et Fermat, sur un problème de jeu de hasard, l'acte de naissance du calcul des probabilités.}
\par\medskip
\emph{Après trois siècles de recherche, le calcul des probabilités a pu fournir, au début du $XX^{e}$ siècle, les bases théoriques nécessaires au développement de la statistique et a investi de très nombreux domaines de la vie scientifique, économique et sociale.}



\vfill


\begin{flushright}
\sf\small Aymar de Saint-Seine\\ Année scolaire 2011--2012
\end{flushright}

\setcounter{page}{0}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%fin front page


\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1cm}}


\newpage



\section{Rappels : Vocabulaire des événements}

\subsection{Vocabulaire}
\vspace{0cm}%pour ne pas avoir le texte ci-dessous en gras
{\footnotesize%
% Le tableau ci-dessous résume les définitions et notations importantes relatives à la notion d'expérience aléatoire.
% Pour les exemples, on considère l'expérience consistant à lancer un dé non truqué à six faces numérotées de 1 à 6 et à noter le nombre figurant sur la face supérieure du dé.
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{7.5 cm}|p{7.5 cm}|} \hline
\hfil DÉFINITIONS& \hfil EXEMPLES  \\ \hline
Une \textbf{expérience aléatoire} est une expérience liée au hasard dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance.
&Lancer un dé est une expérience aléatoire.\\[15pt]
On peut cependant connaître les \textbf{issues} possibles, appelées \textbf{éventualités}.
&Obtenir le chiffre $2$ est une des éventualités.\\[15pt]
L'ensemble de toutes les éventualités d'une expérience aléatoire est appelé \textbf{univers}. En général, on note cet ensemble $\Omega$.
&L'univers est $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$
\\ \hline
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Événement :}& \\[5pt]
Un \textbf{événement} est une partie (ou un sous-ensemble) de l'univers $\Omega$. Il est constitué d'une ou d'un ensemble d'éventualités.
& L'événement $A$ : \og obtenir un nombre pair \fg~ est composé de 3 éventualités. On note $A=\{2;4;6\}$.\\[15pt]
Lorsqu'une éventualité $e$ appartient à un événement $A$, on dit que $e$ \textbf{réalise} $A$.%\par\vspace{0.3cm}
& L'éventualité \{2\} réalise l'événement $A$ .
\\ \hline
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Événement particulier : }&\\[5pt]
Un évènement  \textbf{impossible} est un événement qui ne se réalise jamais.
&L'événement $B$ : \og obtenir 7 \fg~est impossible. On note $B=\varnothing$. \\[15pt]
Un évènement  \textbf{certain} est un événement qui se réalise toujours.
&L'événement $C$ : \og obtenir un nombre plus grand que 0 \fg~est certain. On a $C=\Omega$. \\[15pt]
Un \textbf{évènement élémentaire} est constitué que d'une seule issue.
&L'événement $D$ : \og obtenir le nombre 3 \fg~ ; $D$ = \{ 3 \} \\[15pt]
L'évènement \textbf{contraire} ou \textbf{complémentaire} de $A$ est consitué de l'ensemble des issues qui ne réalisent pas $A$. On le note $\bar{A}$.
&$\bar{A}=\{1;3;5\}$
\\ \hline
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
La \textbf{réunion} des évènements $A$ et $B$ est l'ensemble des éventualités réalisant $A$ ou $B$. On note $A\cup B$ et on dit $A$ \textbf{ou} $B$.\par 
\begin{center}
	\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.3cm,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
	\begin{pspicture*}(-3.14,-1)(4.5,2.92)
	\rput{-0.21}(0.71,0.99){\psellipse(0,0)(3.29,1.87)}
	\rput{0.9}(-0.28,0.98){\psellipse(0,0)(1.54,0.86)}
	\rput{1.11}(1.63,0.94){\psellipse(0,0)(1.37,0.91)}
	\uput[dl](-0.5,1.5){A}
	\uput[dl](2,1.5){B}
	\end{pspicture*}
	\end{center}
&Soit l'événement $E$ : \og obtenir un nombre au moins égal à 5 \fg~ ; $E$ = \{ 5 ; 6 \} \par
Soit l'événement $F$ : \og obtenir un nombre impair \fg~ ; $F$ = \{ 1 ; 3 ; 5 \} \par
L'événement $E \cup F$ est \og obtenir un nombre au moins égal à 5 ou un nombre impair \fg~ ; \par $E \cup F$ = \{ 1 ; 3 ; 5 ; 6 \} \\
L'\textbf{intersection} des évènements $A$ et $B$ est l'ensemble des éventualités réalisant $A$ et $B$. On note $A\cap B$ et on dit $A$ \textbf{et} $B$.\par 
\begin{center}
	\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.3cm,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
	\begin{pspicture*}(-3.14,-1)(4.5,2.92)
	\rput{-0.21}(0.71,0.99){\psellipse(0,0)(3.29,1.87)}
	\rput{0.9}(-0.28,0.98){\psellipse(0,0)(1.54,0.86)}
	\rput{1.11}(1.63,0.94){\psellipse(0,0)(1.37,0.91)}
	\uput[dl](-0.5,1.5){A}
	\uput[dl](2,1.5){B}
	\end{pspicture*}
	\end{center}
&L'événement $E \cap F$ est \og obtenir un nombre au moins égal à 5 et un nombre impair \fg~ c'est à dire \og obtenir un nombre impair au moins égal à 5 \fg~ ;\par $E \cap F$ = \{ 5 \}\\
$A$ et $B$ sont \textbf{disjoints} ou  \textbf{incompatibles} lorsque $A$ et $B$ ne peuvent pas se réaliser en même temps ; \par $A \cap B=\emptyset$ \begin{center}
	\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.3cm,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
	\begin{pspicture*}(-3.14,-1)(4.5,2.92)
	\rput{-0.21}(0.71,0.99){\psellipse(0,0)(3.29,1.87)}
% 	\rput{0.9}(-0.1,0.98){\psellipse(0,0)(1.54,0.86)}
% 	\rput{1.11}(2,0.94){\psellipse(0,0)(1.37,0.91)}
% 	\uput[dl](-0.5,1.5){A}
% 	\uput[dl](2,1.5){B}
	\end{pspicture*}
	\end{center}
&Les événements $E$ et $D$ sont incompatibles . $E \cap D = \Phi$.\par Ils ne sont pas contraires. \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
}%


% 
% \defi{Éventualité}{Chaque résultat possible et prévisible d'une expérience aléatoire est appelé \textbf{éventualité} liée à l'expérience aléatoire.
% }
% 
% 
% \exe{
%    \begin{itemize}
%       \item Lancer d'un dé à six faces : "obtenir $2$" est une éventualité de cette expérience aléatoire.
%       \item Tirage des six numéros gagnants du Loto : "obtenir la combinaison $2-5-17-23-36-41$" est une éventualité.
%    \end{itemize}
% }
% 
% \defi{Univers}{L'ensemble formé par les éventualités est appelé \textbf{univers}, il est très souvent noté $\Omega$.
% }
% 
% 
% 
% \exe{
%    \begin{itemize}
%       \item Lancer d'une pièce de monnaie : $\Omega=\{$pile ; face$\}$.
%       \item Lancer un dé à six faces : $\Omega=\{1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\}$.
%    \end{itemize}
% }
% 
% 
% 
% \defi{Événement}{\vspace{-15pt}
%    \begin{itemize}
%       \item Un \textbf{événement} d'une expérience aléatoire est une partie quelconque de l'univers,
%       \item Un événement ne comprenant qu'une seule éventualité est un \textbf{événement élémentaire}.
%    \end{itemize}
% }
% 
%  
% 
% \exe{
%    Lors du lancer d'un dé à $6$ faces :
%    \begin{itemize}
%       \item $A=$ "obtenir un $5$" est un événement élémentaire que l'on peut noter $A=\{5\}$,
%       \item $B=$ "obtenir un numéro pair" est un événement que l'on peut noter $B=\{2\ ;\ 4\ ;\ 6\}$.
%    \end{itemize}
% }
% 
% 
% \defi{Impossible -- Certain}{\vspace{-15pt}
%    \begin{itemize}
%       \item L'événement qui ne contient aucune éventualité est l'\textbf{événement impossible}, noté $\varnothing$,
%       \item L'événement composé de toutes les éventualités est appelé \textbf{événement certain}.
%    \end{itemize}
% }
% 
%  
% 
% \exe{
%    \begin{itemize}
%       \item Tirage des six numéros gagnants du loto : "obtenir la combinaison $3-25-38-59-67-91$" est un événement impossible (les numéros vont de $1$ à $49$).
%       \item Lancer d'un dé à six faces : "obtenir un nombre positif" est un événement certain.
%    \end{itemize}
% }
% 
% \defi{Contraire}{
%    Pour tout événement $A$ il existe un événement noté $\overline{A}$ et appelé \textbf{événement contraire} de $A$, qui est composé des éléments de $\Omega$ qui ne sont pas dans A.\\
%    On a en particulier $A\cup\overline{A}=\Omega$.
% }
% 
%  
% 
% \exe{
%    \begin{itemize}
%       \item Lancer d'une pièce de monnaie : si $A=\{\text{pile}\}$ alors son événement contraire est $\overline{A}=\{\text{face}\}$.
%       \item Lancer d'un dé à six faces : si $A$ est l'événement "obtenir un nombre inférieur ou égal à $4$", alors son événement contraire $\overline{A}$ est l'événement "obtenir $5$ ou $6$".
%    \end{itemize}
% }
% 
% Dans toute la suite du cours, on suppose que $\Omega$ est l'univers associé à une expérience aléatoire, et $A$ et $B$ deux événements associés à cet univers.
% 
% 
% \subsection{Intersection et réunion d'événements} %_______
% 
% \defi{Intersection -- Union}{\vspace{-15pt}
%    \begin{itemize}
%       \item \textbf{Intersection d'événements} : événement constitué des éventualités appartenant à $A$ et à $B$ noté $A\cap B$ (se lit "$A$ inter $B$" ou "$A$ et $B$"),
%       \item \textbf{Réunion d'événements} : événement constitué des éventualités appartenant à $A$ ou à $B$ noté $A\cup B$ (se lit "$A$ union $B$" ou "$A$ ou $B$").
%    \end{itemize}
% }
% 
% \rem{
%    Si $A\cap B=\varnothing$, on dit que les événements sont \textbf{disjoints} ou \textbf{incompatibles}.
% }
% 
% \exe{
%    On considère l'ensemble des chiffres positifs.\\
%    On note $A$ l'événement "obtenir un chiffre pair" et $B$ l'événement "obtenir un chiffre strictement inférieur à six"
%   \begin{itemize}
%      \item $A \cap B=$ "obtenir un chiffre pair et inférieure strictement à six" : $A \cap B=\{2;4\}$,
%      \item $A \cup B=$ "obtenir un chiffre pair ou inférieur strictement à six" : $A \cup B=\{1;2;3;4;5;6;8;10\}$.
%   \end{itemize}
% }
% 
% 
% \pagebreak
% \subsection{Représentation des évenements} %____________
% 
% \textbf{Diagrammes ou patates}
% 
% \begin{pspicture}(15,4)
%    \psellipse(2,2)(2,1.2)
%    \psellipse(5,2)(2.2,1.4)
%    \rput(3.4,2){$A \cap B$}
%    \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](10.5,2)(2,1.2)
%    \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](13.5,2)(2.2,1.4)
%    \rput(11.9,2){$A \cup B$}
% \end{pspicture}
% 
% 
% \textbf{Tableaux}
% 
% \begin{minipage}{8cm}
%    On jette deux dés à quatre faces (tétraèdre régulier) et on calcule la produit obtenu :
% \end{minipage}
% \hspace{3cm}
% \begin{minipage}{5cm}
%    \begin{tabular}{|*{5}{C{0.5}|}}
%        \hline 
%       & \textbf{1} & \textbf{2} & \textbf{3} & \textbf{4} \\ 
%       \hline
%       \textbf{1} & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ \\ 
%       \hline
%       \textbf{2} & $2$ & $4$ & $6$ & $8$ \\ 
%       \hline 
%       \textbf{3} & $3$ & $6$ & $9$ & $12$ \\ 
%       \hline 
%       \textbf{4} & $4$& $8$ & $12$ & $16$ \\ 
%       \hline 
%    \end{tabular} 
% \end{minipage}
% 
% 
% \textbf{Arbres}
% 
% \begin{minipage}{8cm}
%    On lance une pièce de monnaie deux fois, on peut schématiser cette expérience par un arbre :
% \end{minipage}
% \hspace{3cm}
% \begin{minipage}{5cm}
%    \pstree[treemode=R]{{\Tc*{1mm}}}
%      {\pstree{\Tr{pile}}
%         {\Tr{pile} \Tr{face}}
%       \pstree{\Tr{face}}
%         {\Tr{pile} \Tr{face}}}             
% \end{minipage}
% 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Rappels : Calcul de probabilités} %_______

\defi{}{La \textbf{probabilité} d'un événement d'univers $\Omega$ est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constitue.
}

 

\defi{}{On dit qu'il y a \textbf{équiprobabilité} lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité. \\
   Dans ce cas, on a : $P(A)=\dfrac{\textrm{nombre d'éléments de }A}{\textrm{nombre d'éléments de }\Omega}=\dfrac{\textrm{Card}(A)}{\textrm{Card}(\Omega)}$.
}



\rem{Dans un exercice, pour signifier qu'on est dans une situation d'équiprobabilité on a généralement dans l'énoncé un expression du type :
  \begin{itemize}
     \item on lance un dé \textbf{non pipé}, un dé \textbf{équilibré}, \dots
     \item dans une urne, il y a des boules \textbf{indiscernables} au toucher,
     \item on rencontre au \textbf{hasard} une personne parmi \dots
  \end{itemize}
}

 

\exe{On lance un dé équilibré à six faces. On considère l'événement $A$ : "obtenir un chiffre pair" et l'événement $B$ : "obtenir un diviseur de six".
   \begin{itemize}
      \item Le dé est équilibré, on est donc dans une situation d'équiprobabilité.
      \item $A=\{2\ ;\ 4\ ;\ 6\}$ et $B=\{1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 6\}$,
      \item donc, $P(A)=\dfrac{\textrm{Card}(A)}{\textrm{Card}(\Omega)}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$, et $P(B)=\dfrac{\textrm{Card}(B)}{\textrm{Card}(\Omega)}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$.
   \end{itemize}
}

 

\theo{}{Soit $A$ et $B$ deux événements, on a les propriétés suivantes :
   \begin{itemize}
      \item $0 \leqslant P(A) \leqslant 1$ ; en particulier $P(\varnothing)=0$ et $P(\Omega)=1$.
      \item $P(\overline{A})=1-P(A)$.
      \item $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
   \end{itemize}
}

 

\exe{On considère l'ensemble $E$ des entiers de $1$ à $20$. On choisit l'un de ces nombres au hasard. \\
   $A$ est l'événement : \og~le nombre est multiple de $3$ \fg : $A=\{3\ ;\ 6\ ;\ 9\ ;\ 12\ ;\ 15\ ;\ 18\}$ ; \\
   $B$ est l'événement : \og~le nombre est multiple de $2$ \fg : $B=\{2\ ;\ 4\ ;\ 6\ ;\ 8\ ;\ 10\ ;\ 12\ ;\ 14\ ;\ 16\ ;\ 18\ ;\ 20\}$.\\
   
   Calcul des probabilités :
   \begin{itemize}
      \item $P(A)=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}=0,3$.
      \item $P(\overline{A})=1-P(A)=1-\dfrac{3}{10}=\dfrac{7}{10}=0,7$.
      \item $P(B)=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}=0,5$.
      \item $P(A \cap B)=\dfrac{3}{20}=0,15$.
      \item $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\dfrac{6}{20}+\dfrac{10}{20}-\dfrac{3}{20}=\dfrac{13}{20}=0,65$.
   \end{itemize}
}
% 
% 
% 
% 
% \section{Vocabulaire}
% \txt{Les probabilités forment un domaine à part en mathématiques, 
% celui de l'étude des phénomènes et des expériences aléatoires, 
% c'est à dire dont le résultat n'est pas connu à l'avance. On y 
% utilise un vocabulaire spécifique.
%     \begin{itemize}
%         \itemb L'\emph{univers} est l'ensemble des résultats possibles. 
%         Il est souvent noté $\Omega$. 
%         \itemb Un \emph{évènement} est une partie de l'univers, un ensemble 
%         de résultats possibles.
%         \itemb Un évènement  \emph{élémentaire} est un évènement ne 
%         comportant qu'un seul élément.
%     \end{itemize}
% }
% 
% \exe{Le jet d'un dé à six faces est une expérience aléatoire. 
% L'univers est $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$. Les ensembles 
% $\{1;3;5\}$, $\{2\}$, $\{4;5;6\}$ sont des évènements. L'ensemble 
% $\{5\}$ est un évènement élémentaire.}
% \txt{Deux évènements sont dits \emph{disjoints} ou \emph{incompatibles} 
% s'ils n'ont aucun élément commun. C'est le cas des évènements 
% $\{1;3;5\}$ et $\{2\}$ dans l'exemple précédent, mais pas des 
% évènements $\{1;3;5\}$ et $\{4;5;6\}$, qui ont l'élément 5 en 
% commun.\par\noindent L'évènement \emph{contraire} d'un évènement 
% $A$, noté $\bar{A}$, est constitué des éléments de $\Omega$ 
% n'appartenant pas à $A$. Par exemple, l'évènement contraire de 
% $\{1;3;5\}$ est $\{2;4;6\}$.}


% cours de Michel 
% \section{Notion de probabilité}
% Si on connait le nombre total d'événements et le nombre de ceux qui sont
% favorables, on a probabilité=$\frac{\rm nombre~ de~ cas~ favorables} {\rm nombre~ de~ cas~ possibles}$
% \paragraph{Evènement impossible :} événement qui n'arrive jamais : probabilité= 0
% \paragraph{Evènement  certain :} événement qui arrive toujours : probabilité = 1
% \paragraph{Evènement presque impossible :} événement de probabilité= 0 
% \paragraph{Evènement presque certain :} événement probabilité = 1\\
% Les notions de presque impossible et presque certain ne sont distinctes des notions d'impossible et de certain que dans le cas où le nombre d'évènements possibles est infini.
% \paragraph{Evénements contraires :}   Deux événements sont contraires si l'un arrive quand l'autre n'arrive pas. La probabilité de chacun d'eux = 1 - probabilité de l'autre. 
% \paragraph{Evènements incompatibles :}  Deux événements sont incompatibles s'ils n'arrivent pas ensemble.
% La probabilité d'avoir l'un ou l'autre est la somme des probabilités.
% \paragraph{Evènements indépendants :}  Deux événements sont indépendants si le fait que le premier se réalise ou non n'influe pas sur le deuxième. La probabilité pour que les deux arrivent est égale au produit des deux probabilités.
% \paragraph{Probabilité conditionnelle : }   On appelle probabilité conditionnelle la probabilité pour qu'un événement A se réalise sous la condition qu'un autre événement B se soit réalisé.\\
% $P_{B}(A)=\frac{P(A {\rm ~et~} B)}{P(B)}$\\
% $P(A {\rm ~et~} B)= P (A)\cdot P_{A}(B) = P(B)\cdot P_{B}(A)$\\
% Si A et B sont indépendants, on a $P(A {\rm ~et~} B)=P(A)\times P(B)$
% 


% \section{Probabilités discrètes}
% \txt{On parle de probabilités discrètes quand l'univers $\Omega$ est fini. 
% Une probabilité ${\cal P}$ sur $\Omega$ est alors une application 
% de l'ensemble des évènements de $\Omega$ dans l'intervalle 
% $[0;1]$ telle que $${\cal P}(\Omega)=1$$ et pour tous évènements 
% {\em disjoints} $A$ et $B$, $${\cal P}(A\cup B)={\cal P}(A)+{\cal 
% P}(B).$$
% \noindent Intuitivement, la probabilité d'un 
% évènement est le taux de chances qu'il se réalise. Elle est 
% toujours comprise entre $0$ et $1$, puisque c'est un taux. Les 
% deux propriétés ci-dessus signifient que l'univers pris en entier 
% à une probabilité égale 1, c'est à dire que le résultat sera 
% forcément l'un de ses éléments, et que la probabilité pour que 
% l'un des évènements $A$ ou $B$ se réalise est la somme des 
% probabilités de $A$ et de $B$ si les deux évènements n'ont rien 
% en commun.}
% 
% \txt{Quand tous les évènements élémentaires ont la même probabilité, 
% on est dans une situation d'\emph{équiprobabilité}. La 
% probabilité d'un événement $A$ est alors :
%     $${\cal P}(A)=\frac{\mbox{Nombre d'éléments de $A$}}{\mbox{Nombre d'éléments de $\Omega $}}$$}
% 
% \exe{Le jet d'un dé est une situation d'équiprobabilité. En effet chaque évènement élémentaire a une chance sur 6 de se produire,
% c'est à dire 
%     \begin{eqnarray*}
%     {\cal P}(\{1\}) & = & {\cal P}(\{2\})={\cal P}(\{3\})  \\
%      & = & {\cal P} (\{4\}) ={\cal P}(\{5\})={\cal P}(\{6\})=\frac{1}{6}.\\
%     \end{eqnarray*}
% 
% \noindent On calcule alors la probabilité d'un évènement 
% quelconque en appliquant la formule précédente. Par exemple,
%     $${\cal P}(\{1;3;5\})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$$
% 
% }
% 
% 
% 
% \theo{}{Si $\cal P$ est une probabilité sur un univers $\Omega$, alors :
% \begin{itemize}
%     \itemb la probabilité d'un évènement $A$ est la somme 
%     des probabilités des évènements élémentaires inclus dans $A$ ;
%     \itemb pour tout évènement $A$, ${\cal P}(\bar{A})=1-{\cal P}(A)$ ; 
%     en particulier ${\cal P}(\textrm{\O})=0$, car 
%     $\textrm{\O}=\overline{\Omega}$ et ${\cal P}(\Omega)=1$ ;
%     \itemb pour deux évènements quelconque $A$ et $B$,\\ 
%     ${\cal P}(A\cup B)={\cal P}(A)+{\cal P}(B)-{\cal P}(A\cap B)$.
% \end{itemize}}





\section{Probabilités conditionnelles}
\defi{Probabilité conditionelle}
{Soient $\cal P$ une probabilité sur un univers $\Omega$, 
$A$ est un évènement de probabilité non nulle et $B$ un 
évènement quelconque.\\
On appelle \textbf{probabilité de $B$ sachant 
que $A$ est réalisé} la probabilité 
    $${\cal P}_A(B)={\cal P}(B|A)=\frac{{\cal P}(A\cap B)}{{\cal P}(A)}.$$}
    
\theo{}{Soient $A$ et $B$ deux évènements de probabilité non nulle. La définition précédente implique :
    $${\cal P}(A\cap B)={\cal P}(B|A){\cal P}(A)={\cal P}(A|B){\cal P}(B).$$}
    
\defi{Indépendant}
{Deux évènements sont dits \textbf{indépendants} quand 
    $${\cal P}(A\cap B)={\cal P}(A)\times{\cal P}(B)$$ 
c'est à dire, 
en supposant que les probabilités de $A$ et $B$ sont non nulles, si et 
seulement si 
    $${\cal P}(A|B)={\cal P}(A)\mbox{ et }{\cal P}(B|A)={\cal P}(B).$$}




\section{Dénombrements}%cours de Michel
\subsection{Puissances}
Le nombre de \textbf{listes} de $p$ éléments \textbf{distincts ou non} choisis parmi $n$ est $n^p$.\\

\exosol{Combien y-a-t-il de codes secrets de carte bancaire ?}{On fait une liste de 4 chiffres choisis parmi $10$ valeurs donc $10^4$.}


\subsection{Permutations}
Soit un ensemble de $n$ éléments. Le nombre de façons de classer ces $n$ éléments est $$n!=n\times (n-1)\times (n-2) \times \cdots \times3\times2\times1$$
C'est le nombre de \textbf{permutations} de $n$ éléments.\\
On a $n!=n \times  (n-1)!$ et $0!=1$\\

\exosol{Combien de mots (existants ou non) peut-on former avec les lettres $a, b, c$?}{On permute trois lettres : $3!=6$ mots différents.}

\subsection{Arrangements}
Le nombre de \textbf{listes} de $p$ éléments \textbf{distincts} choisis parmi $n$ est $n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times(n-p+1)$.\\
On dit qu'on a un \textbf{arrangement} de $p$ éléments choisis par $n$.

$$A_{n}^{p}~=~n(n-1)(n-2) \cdots (n-p+1)=~ \frac{n!}{(n-p)!}$$


\exosol{Quel est le nombre de tiercés dans l'ordre sachant qu'il y a $15$ chevaux partants ?}{On classe trois chevaux choisis parmi $15$ : $A_{15}^{3}=15.14.13=2\ 730$ tiercés possibles.}

\subsection{Combinaisons}
Le nombre \textbf{d'ensembles} de $p$ éléments \textbf{distincts} choisis parmi $n$ est $\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)}{1.2.3.4 \cdots p}$.\\
On dit qu'on a une \textbf{combinaison} de $p$ éléments choisis par $n$.
Il s'agit comme dans les arrangements de placer $p$ éléments d'un ensemble choisi parmi $n$, mais cette fois ci, on ne s'occupe pas de l'ordre. Le nombre de combinaisons est:
$$C_{n}^{p}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)}{1.2.3.4 \cdots p}~=~\frac{n!}{p!(n-p)!}$$

\exosol{Combien d'équipes de 11 joueurs différentes peut-on constitués en choisisant parmi 19 candidats ?}{On choisit 11 joueurs non classés parmi 19 : $C_{19}^{11}=\dfrac{19\times18\times\cdots\times9}{11\times10\times\cdots\times1}=75\ 582$.}

On a $C_{n}^{p}~=~C_{n}^{n-p}~=~C_{n-1}^{p}~+~C_{n-1}^{p-1}$ (car pour constituer une équipe de $p$ joueurs en ayant $n$ candidats dont Roger, soit on fait une équipe avec Roger (et on choisit $p-1$ joueurs parmi $n-1$ pour complèter l'équipe de Roger), soit on fait une équipe sans Roger et dans ce cas, on choisit $p$ joueurs parmi les $n-1$ candidats restants.\\
Grace à cette formule, on peut représenter les $C_n^p$ dans un triangle (qui est appelé triangle de Pascal \footnote{ainsi appelé car  Blaise Pascal l'a étudié}).
$$\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|}
\hline
& $p=0$ & $p=1$ & $p=2$ & $p=3$ & $p=4$ & $p=5$\\
\hline \hline 
$n=0$&1&&&&&\\
$n=1$ & 1 &1&&&&\\
$n=2$ & 1 & 2 & 1&&& \\
$n=3$ & 1 & 3 & 3 &1&& \\
$n=4$ & 1 & 4 & 6 &4  &1& \\
$n=5$ & 1 & 5 & 10 &10  & 5 & 1\\
\hline
\end{tabular}$$


\theo{Formule du binôme}
{On a \begin{eqnarray*}
      (a+b)^n&=&\sum\limits_{i=0}^{n}C_n^i a^{n-i}b^i\\
	      &=&C_n^0a^nb^0+C_n^1a^{n-1}b^1+C_n^2a^{n-2}b^2+\cdots+C_n^na^0b^n\end{eqnarray*}}

\exe{$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$ (on peut utiliser le triangle de Pascal pour trouver les coefficients).}


\subsection{Résumé}
\begin{itemize}
\itemb Si le tirage autorise des répétitions, on utilise les puissances.
\itemb Si le tirage n'autorise pas de répétitions, on doit utiliser des factorielles :
   \begin{enumerate}
   \item Si l'ordre est important, on utilise le nombre d'arrangements.
   \item Si l'ordre n'est pas important, on utilise le nombre de combinaisons.
   \end{enumerate}
\end{itemize}

\exe{Un sac contient $5$ boules de couleurs différentes.
\begin{enumerate}
 \item On tire $1$ boule, on note sa couleur, on la remet et on recommence trois fois au total :  répétition et ordre, il y a $5^3$ tirages différents.
 \item On tire $1$ boule, on note sa couleur, on ne la remet pas et on recommence trois fois au total : pas de répétition et ordre, il y a $A_5^{3}$ tirages différents.
 \item On tire simultanement trois boules : Pas de répétition, ni d'ordre : $C_{5}^{3}$.
\end{enumerate}
}



% \exercice{10}{Probabilités}{STS 2}
% \begin{minipage}{16cm}
% \tableofcontents
% \end{minipage}
% \newpage
\section{Exercices}



\subsection{Probabilités discrètes}
\exoc{On utilise un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6.
Les résultats seront donnés sous forme de fractions
irréductibles.
\begin{enumerate}
\item On effectue un lancer du dé. On considère les évènements suivants.
	\begin{itemize}
	\itemb $A$ : ``On obtient 3 ou 6.''
	\itemb $B$ : ``On obtient 1, 2, 3 ou 5.''
	\end{itemize}
	\begin{enumerate}
	\item Calculer la probabilité des évènements $A$, $B$ et $A\cap B$.
	 \rep{}{$\P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ ; $\P(B)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ ;\\
        $\P(A\cap B)=\P(\{3\})=\frac{1}{6}$.}
	\item En déduire la probabilité de l'évènement $A\cup B$.
	\rep{}{$\P(A\cup B)=\P(A)+\P(B)-\P(A\cap B)
        =\frac{2}{6}+\frac{4}{6}-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$.}
	\end{enumerate}
	\item On effectue deux lancers successifs du dé, le résultat 
	étant noté par un couple $(x,y)$ où $x$ et $y$ sont les 
	numéros des faces obtenues respectivement au premier et au second 
	lancer.
	\begin{enumerate}
	\item Quel est le nombre d'éléments de l'univers ?
	\rep{}{$|\Omega|=6\times 6=36$.}
	\item Déterminer la probabilité de l'évènement $C$ : ``On obtient 3 ou 6 à chacun des deux lancers.''
	\rep{}{Quatre couples solutions réalisent cet évènement :
        $(3;3)$, $(3;6)$, $(6;3)$ et $(6;6)$. La probabilité
        de $C$ est donc $\P(C)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\pagebreak
\exoc{Un sac contient six jetons :
\begin{itemize}
\itemb deux jetons verts numérotés notés $V_1$ et $V_2$ ;
\itemb trois jetons jaunes notés $J_1$, $J_2$ et $J_3$ ;
\itemb un jeton noir noté $N_1$.
\end{itemize}
On réalise l'expérience suivante : on tire au hasard un premier
jeton dans le sac ; parmi les jetons restants, on en tire au
hasard un second. Les probabilités calculées seront données sous
forme de fractions irréductibles.
\begin{enumerate}
\item Décrire les résultats possibles de cette expérience à l'aide d'un arbre. Quel est le
nombre d'éléments de  cet univers ?
\rep{}{L'univers contient $6\times 5$ éléments.}
\item On suppose que tous les évènements élémentaires sont équiprobables. Calculer la probabilité
de chacun des évènements suivants.
	\begin{itemize}
	\itemb $A$ : ``Les deux jetons tirés ont la même couleur.''
	\itemb $B$ : ``Les deux jetons tirés ont le même numéro.''
	\end{itemize}
\rep{}{Les évènements élémentaires appartenant à $A$ sont $(V_1;V_2)$, $(V_2;V_1)$,
    $(J_1;J_2)$, $(J_2;J_1)$, $(J_1;J_3)$, $(J_3;J_1)$, $(J_2;J_3)$ et $(J_3;J_2)$.
    La probabilité de $A$ est donc $\P(A)=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}$.
    Les évènements élémentaires appartenant à $B$ sont $(V_1;J_1)$, $(V_1;N_1)$,
    $(V_2;J_2)$, $(J_1;V_1)$, $(N_1;V_1)$ et $(J_2;V_2)$  
    donc la probabilité de $B$ est donc $\P(B)=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}$.}
\item Les évènements $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ? En déduire la probabilité de $A\cup B$.  
\rep{}{Les évènements $A$ et $B$ sont incompatibles car il n'est pas possible
    de tirer à la fois deux jetons de la même couleur et portant le même numéro.
    Donc $\P(A\cup B)=\P(A)+\P(B)=\frac{8}{30}+\frac{6}{30}=\frac{14}{30}=\frac{7}{15}$.}                                   \end{enumerate}
}


\exoc{On utilise un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6.  Ce dé est pipé, c'est à dire que toutes les faces n'ont pas
la même probabilité d'apparition. On sait seulement que :
\begin{itemize}
    \itemb les faces paires ont la même probabilité d'apparition ;
    \itemb les faces impaires ont la même probabilité d'apparition ;
    \itemb la probabilité d'apparition d'une face impaire est le double de celle d'une face paire.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item En utilisant un système d'équations à deux inconnues, déterminer la probabilité d'apparition de chaque face.
\rep{}{Soient $x$ la probabilité d'apparition d'une des faces 
paires et $y$ celle d'une face impaire. D'après l'énoncé :
$y=2x$. De plus la somme des probabilités d'apparition de toutes les faces
doit être égale à 1, donc $x+x+x+y+y+y=3x+3y=1$. On en déduit que
$3x+3\cdot2x=9x=1$ et donc $x=\frac{1}{9}$ ce qui implique $y=\frac{2}{9}$.}
\item Quelle est la probabilité de voir apparaitre un chiffre pair ? Et un chiffre impair ?
\rep{}{Comme il y a trois faces présentant un chiffre pair, la probabilité d'en obtenir
un est $3\times\frac{1}{9}=\frac{1}{3}$. De même la probabilité d'obtenir
un chiffre impair est $3\times\frac{2}{9}=\frac{2}{3}$.}
\end{enumerate}
}



\subsection{Probabilités conditionnelles}
\exoc{Lors d'un test où il fallait répondre par ``oui'' ou ``non'' à deux questions :
\begin{itemize}
    \itemb 13 personnes ont répondu ``oui'' à la $1^{\mbox{\tiny ère}}$ question ;
    \itemb 16 personnes ont répondu ``non'' à la $2^{\mbox{\tiny nde}}$ question ;
    \itemb 5 personnes ont répondu ``non'' aux deux questions.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation dans un tableau.
\item Compléter le tableau sachant que 28 personnes ont été interrogées.
\rep{}{$$\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Qu2$\backslash$ Qu1 & Oui & Non & Total \\ \hline
Oui & 2 & 10 & 12 \\ \hline 
Non & 11 & 5 & 16 \\ \hline
Total & 13 & 15 & 28 \\ \hline  
\end{tabular}$$}
\item On choisit au hasard une personne parmi les 28 testées. Quelles sont
les probabilités des évènements suivants ?
    \begin{itemize}
        \itemb $A$ : ``Elle a répondu ``oui'' aux deux questions.''
        \itemb $B$ : ``Elle a répondu ``oui'' à l'une des deux questions.''
        \itemb $C$ : ``Elle a répondu ``oui'' à l'une des deux questions et ``non'' à l'autre.''
    \end{itemize}
\rep{}{$\P(A)=\frac{2}{28}=\frac{1}{14}$ ; $\P(B)=\frac{23}{28}$ ;
$\P(C)=\frac{21}{28}=\frac{3}{4}$.}
\item On choisit une personne parmi celles qui ont répondu ``non'' 
à la première question. Quelle est la probabilité pour qu'elle 
ait aussi répondu ``non'' à la seconde question ?
\rep{}{Il s'agit d'une probabilité conditionnelle. Si on note
$D$ cet évènement, $E$ l'évènement ``elle a répondu ``non'' à la première question''
et $F$ ``elle a répondu ``non'' à la seconde question'', alors
$\P(D)=\P(F|E)=\frac{\P(F\cap E)}{\P(E)}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$.}
\end{enumerate}
}


\exoc{Dans une population de 40 hommes et 60 femmes, on observe
que 50 personnes ont les yeux bleus et que $60\%$ des hommes ont
les yeux bleus. On choisit une personne au hasard. Calculer les
probabilités pour que la personne choisie :
    \begin{itemize}
        \itemb $A$ : soit un homme ;
        \itemb $B$ : soit un homme aux yeux bleus ;
        \itemb $C$ : soit une femme aux yeux bleus ;
        \itemb $D$ : ait les yeux bleus, sachant que c'est
        une femme ;
        \itemb $E$ : soit une femme, sachant qu'elle a les
        yeux bleus.
    \end{itemize}
\rep{}{Grâce aux informations de l'énoncé, on peut compléter le tableau 
ci-dessous :}
\smallskip
\rep{}{\hfill\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
 & Homme & Femme & Total \\ \hline
Bleus & 24 & 26 & 50 \\ \hline 
Non bleus & 16 & 34 & 50 \\ \hline
Total & 40 & 60 & 100 \\ \hline  
\end{tabular}\hfill\hfill}
\smallskip
\rep{}{On en déduit alors les probabilités demandées :} \smallskip
\rep{}{$\P(A)=\frac{40}{100}=\frac{2}{5}$ ;} \smallskip
\rep{}{$\P(B)=\frac{24}{100}=\frac{6}{25}$ ;} \smallskip
\rep{}{$\P(C)=\frac{26}{100}=\frac{13}{50}$ ;} \smallskip
\rep{}{$\P(D)=\P(Bl|F)=\frac{\P(Bl\cap F)}{\P(F)}=\frac{26}{60}=\frac{13}{30}$  ;}
\rep{}{$\P(E)=\P(F|Bl)=\frac{\P(F\cap Bl)}{\P(Bl)}=\frac{26}{50}=\frac{13}{25}$.}
}





\exoc{Une étude épidémiologique concernant une certaine maladie a
été faite dans des familles ayant un garçon et une fille de moins
de dix ans. On a constaté que $20\%$ des filles et $50\%$ des
garçons sont touchés par la maladie. Par ailleurs, parmi les
familles où la fille est malade, $70\%$ des garçons le sont
aussi. On choisit au hasard une famille étudiée. Calculer les
probabilités des évènements suivants.
 \begin{itemize}
        \itemb $A$ :  ``Les deux enfants sont touchés par la
        maladie.''
        \itemb $B$ : ``Au moins un des deux enfants est touché.''
        \itemb $C$ : ``Aucun des deux enfants n'est touché.''
        \itemb $D$ : ``Sachant que le garçon est touché, la fille
        l'est aussi.''
        \itemb $E$ : ``Sachant que le garçon n'est pas touché, la fille
        l'est.''
    \end{itemize}
Pour la rédaction on notera $F$ l'évènement ``La fille est
touchée par la maladie.'' et $G$ l'évènement ``Le garçon est
touché par la maladie.''
\rep{}{D'après l'énoncé, $\P(F)=\frac{1}{5}$, $\P(G)=\frac{1}{2}$
et $\P(G|F)=\frac{7}{10}$. On en déduit les probabilités demandées :} \smallskip
\rep{}{$\P(A)=\P(F\cap G)=\P(G|F)\P(F)=\frac{7}{50}$ ;} \smallskip
\rep{}{$\P(B)=\P(F\cup G)=\P(F)+\P(G)-\P(F\cap G)=\frac{14}{25}$ ;} \smallskip
\rep{}{$\P(C)=\P(\bar{B})=1-\frac{14}{25}=\frac{11}{25}$ ;} \smallskip
\rep{}{$\P(D)=\P(F|G)=\frac{\P(F\cap G)}{\P(G)}=\frac{7}{25}$ ;} \smallskip
\rep{}{$\P(F\cap \bar{G})=1-\P(F\cap G)=\frac{43}{50}$ donc} \smallskip
\rep{}{$\P(E)=\P(F|\bar{G})=\frac{\P(F\cap \bar{G})}{\P(\bar{G})}=\frac{43}{25}$.}
}




\exoc{On effectue une enquête sur les goûts  des consommateurs
concernant les accessoires automobiles. Parmi les personnes
interrogées, $90\%$ souhaitent un véhicule équipé d'un autoradio,
$15\%$ souhaitent la climatisation et $12\%$ ces deux
équipements.
\begin{enumerate}
\item On choisit un individu dans cette population.
	\begin{enumerate}
	\item Quelle est la probabilité pour qu'il ne souhaite pas d'autoradio ?
	\item Quelle est la probabilité pour qu'il souhaite au moins un des deux équipements ?                                            \end{enumerate}
\rep{}{Notons $A$ l'évènement ``l'individu souhaite un autoradio'' et
    $C$ l'évènement ``l'individu souhaite la climatisation''. Grâce aux données de l'énoncé,
    on peut compléter le tableau suivant :} 
    \smallskip
    \rep{}{\hfill\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
    \hline
    & $A$ & $\bar{A}$\rule{0pt}{12pt} & Total \\ \hline
    $C$\rule{0pt}{12pt} & 12 & 3 & 15 \\ \hline 
    $\bar{C}$\rule{0pt}{12pt} & 78 & 7 & 85 \\ \hline
    Total\rule{0pt}{12pt} & 90 & 10 & 100 \\ \hline  
    \end{tabular}\hfill\hfill}
    \smallskip
    \rep{}{On en déduit sans difficulté que $\P(\bar{A})=\frac{1}{10}$
    et $\P(A\cup C)=\P(A)+\P(C)-\P(A\cap C)=\frac{90+15-12}{100}=\frac{93}{100}$.}
\item On choisit au hasard un individu qui souhaite la climatisation. Quelle est la
probabilité pour qu'il souhaite aussi un autoradio ?
\rep{}{C'est $\P(A|C)=\frac{\P(A\cap C)}{\P(C)}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$.}
\end{enumerate}
}



\exoc{Dans un club de vacances, deux activit\'es A et B sont propos\'ees aux enfants entre 8 et 10 ans. Les enfants peuvent cumuler les deux activit\'es, choisir une seule de ces deux activit\'es, ou encore ne pratiquer aucune de ces deux activit\'es. On choisit au hasard le nom d'un enfant de cet \^age. Tous les enfants ont la m\^eme probabilit\'e d'\^etre choisis.\\
On notera $\mathcal{A}$ l'\'ev\`enement :  \og l'enfant pratique l'activit\'e A \fg{} et $\overline{\mathcal{A}}$ l'\'ev\`enement contraire de $\mathcal{A}$, 
$\mathcal{B}$ l'\'ev\`enement :  \og l'enfant pratique l'activit\'e B \fg{}  et $\overline{\mathcal{B}}$ l'\'ev\`enement contraire de $\mathcal{B}$.\\
La situation est repr\'esent\'ee \`a l'aide d'un arbre pond\'er\'e donn\'e en annexe I.
\begin{enumerate}
\item Compl\'eter l'arbre et le tableau donnés ci dessous.\\
	\rep{\renewcommand{\arraystretch}{1.15}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{X|}}\hline
	& probabilit\'e du r\'esultat\\ \hline
	~~& ~~\\
	\multirow{4}{6cm}{\pstree[treemode=R]{\Tdot}
	{
		\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{$\mathcal{A}$}\taput{$0,6$}}
			{
	\Tdot~[tnpos=r]{$\mathcal{B}$}\taput{$0,3$}
	\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\mathcal{B}}$}\tbput{$\cdots$}
			}
		\pstree{\Tdot~[tnpos=b]{$\overline{\mathcal{A}}$}\tbput{$\cdots$}}
			{
	\Tdot~[tnpos=r]{$\mathcal{B}$}\taput{$\cdots$}
	\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\mathcal{B}}$}\tbput{$0,9$}
			}
	} }
	&$p(\mathcal{A} \cap \mathcal{B}) = 0,18$\\
	&\\
	&  $p(\mathcal{A} \cap \overline{\mathcal{B}}) = \cdots$\\
	&\\
	&$p(\overline{\mathcal{A}} \cap \mathcal{B}) = \cdots$\\
	&\\
	&$p(\overline{\mathcal{A}} \cap \overline{\mathcal{B}}) =\cdots $ \\ 
	~& ~\\\hline
	\end{tabularx}}
	{\renewcommand{\arraystretch}{1.15}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{X|}}\hline
 & probabilit\'e du r\'esultat\\ \hline
~~& ~~\\
\multirow{4}{6cm}{\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
	\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{$\mathcal{A}$}\taput{$0,6$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$\mathcal{B}$}\taput{$0,3$}
 \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\mathcal{B}}$}\tbput{$0,7$}
 		}
	\pstree{\Tdot~[tnpos=b]{$\overline{\mathcal{A}}$}\tbput{$0,4$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$\mathcal{B}$}\taput{$0,1$}
 \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\mathcal{B}}$}\tbput{$0,9$}
 		}
} }
&$p(\mathcal{A} \cap \mathcal{B}) = 0,18$\\
&\\
&  $p(\mathcal{A} \cap \overline{\mathcal{B}}) = 0,42$\\
&\\
&$p(\overline{\mathcal{A}} \cap \mathcal{B}) = 0,04$\\
&\\
&$p(\overline{\mathcal{A}} \cap \overline{\mathcal{B}}) = 0,36 $ \\ 
~& ~\\\hline
\end{tabularx}}
\item Par lecture de l'arbre, donner les probabilit\'es conditionnelles $p(\mathcal{B}/\mathcal{A})$ et $p(\mathcal{B}/\overline{\mathcal{A}})$.
\rep{}{$p(\mathcal{B}/\mathcal{A})=0,3$ et $p(\mathcal{B}/\overline{\mathcal{A}})=0,1$.}
\item D\'emontrer que $p(\mathcal{B}) =  0,22$.
\rep{}{$p(\mathcal{B})=p(\mathcal{B}\cap\mathcal{A})+p(\mathcal{B}\cap\bar{\mathcal{A}})=0,18+0,4=0,22$.}
\item On d\'efinit les \'ev\`enements $E$ et $F$ de la façon suivante :\\
	E : \og l'enfant choisi ne pratique aucune des deux activit\'es \fg ;\\
	F :  \og l'enfant choisi pratique au moins l'une des activit\'es \fg .
\begin{enumerate}
\item  Exprimer $E$ en fonction de $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ puis, en s'appuyant sur les r\'esultats contenus dans le tableau du 1, d\'eterminer $p(E)$.
\rep{}{$p(E)=p(\bar{\mathcal{A}}\cap\bar{\mathcal{B}})=0,36.$}
\item  Calculer $p(F)$.
\rep{}{$p(F)=p(\mathcal{A}\cup\mathcal{B})=p(\mathcal{A})+p(\mathcal{B})-p(\mathcal{A}\cap\mathcal{B})=0,6+0,22-0,18=0,64$.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\exoc{Une usine fabrique des composants électroniques. Une étude statistique à montré que 90\% de la production ne présente pas de défaut.\\
Chaque composant est soumis à un contrôle de fabrication. Ce contrôle refuse 94\% des composants avec défaut et accepte 92\% des composants sans défaut.\\
On prélève au hasard un composant avant son passage au contrôle dans la production d'une journée.\\
Tous les tirages sont équiprobables.\\
On désigne par $D$ l'événement : \og~ Le composant a un défaut \fg~ et par $A$ l'événement : \og~ Le composant est accepté a l'issue du contrôle. \fg
\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
	\item Déduire $P(\bar{D}), P(A/\bar{D})$ et $P(\bar{A}/D)$ des informations figurant dans l'énoncé  et représenter la situation à l'aide d'un arbre de probabilité.
	\rep{}{D'après l'énoncé, on a $P(\bar{D})=0,9, P(A/\bar{D})=0,92$ et $P(\bar{A}/D)=0,94$
	$$\pstree[treemode=R]{\Tdot}{
		\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{D}\taput{0,1}}
			{\Tdot~[tnpos=r]{A \qquad p(D\cap A)=0,006}\taput{0,06}
 			\Tdot~[tnpos=r]{\bar{A}\qquad p(D\cap\bar{A})=0,094}\tbput{0,94}	}
		\pstree{\Tdot~[tnpos=b]{\bar{D}}\tbput{0,9}}
			{\Tdot~[tnpos=r]{A\qquad p(\bar{D}\cap A)=0,828}\taput{0,92}
 			\Tdot~[tnpos=r]{\bar{A}\qquad p(\bar{D}\cap \bar{A})=0,072}\tbput{0,08}}
 	    				}$$
 	}
 	\item En déduire $P(A/D)$.
 	\rep{}{$P(A/D)=1-P(\bar{A}/D)=1-0,94=0,06$.}
 	\end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
	\item Calculer la probabilité des événements suivants :\\
	$E_1$ : \og~ Le composant est accepté et n'a pas de défaut \fg\\
	$E_2$ : \og~ Le composant est accepté et a un défaut \fg
	\rep{}{$p(E_1)=p(A\cap\bar{D})=p(A/\bar{D}).p(\bar{D})=0,92\times0,9=0,828$.\\
	$p(E_2)=p(A\cap D)=p(A/D).p(D)=0,06\times0,1=0,006$.}
	\item Calculer la probabilité que le composant soit accepté.
	\rep{}{$p(A)=p(A\cap D)+p(A\cap \bar{D})=0,828+0,006=0,834$.}
	\end{enumerate}
\item Le contrôle permet-il d'affirmer que moins de 1\% des composants acceptés présentent un défaut ?
\rep{}{$p(D/A)=\dfrac{p(A\cap D)}{p(A)}=\dfrac{0,006}{0,834}=0,007<1\%.$\\
Effectivement, moins de 1\% des composants acceptés présentent un défaut.}
\end{enumerate}
}

\exoc{Roger est un adepte du tir au fusil sur un disque d'argile lancé dans les airs (ball-trap).\\
Il tire successivement sur deux disques, lancés l'un après l'autre à quelques secondes d'intervalles.\\
On note $A_1$ l'évènement :\og~Roger atteint le premier disque\fg et $A_2$ l'évènement :\og~Roger atteint le deuxième disque\fg.\\
La probabilité qu'il atteigne le premier disque est de 0,8. Lorsqu'il atteint le premier disque, la probabilité qu'il atteigne le deuxième disque est de 0,7. Lorsque Roger rate le premier disque, la probabilité qu'il atteigne le deuxième disque est de 0,4.
\begin{enumerate}
	\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre de probabilité.
	\rep{}{$$\pstree[treemode=R]{\Tdot}{
		\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{A_1}\taput{0,8}}
			{\Tdot~[tnpos=r]{A_2 \qquad p(A_1\cap A_2)=0,56}\taput{0,7}
 			\Tdot~[tnpos=r]{\bar{A_2}\qquad p(A_1\cap\bar{A_2})=0,24}\tbput{0,3}	}
		\pstree{\Tdot~[tnpos=b]{\bar{A_1}}\tbput{0,2}}
			{\Tdot~[tnpos=r]{A_2\qquad p(\bar{A_1}\cap A_2)=0,08}\taput{0,4}
 			\Tdot~[tnpos=r]{\bar{A_2}\qquad p(\bar{A_1}\cap \bar{A_2})=0,12}\tbput{0,6}}
 	    				}$$
 	}
	\item En indiquant les calculs et en utilisant les notations correctes, donner la probabilité que Roger rate le premier disque et atteigne le deuxième.
	\rep{}{$p(\bar{A_1}\cap A_2)=p(\bar{A_1})p(A_2/\bar{A_1})=0,2\times0,4=0,08$.}
	\item En indiquant les calculs et en utilisant les notations correctes, donner la probabilité que Roger atteigne le deuxième disque.
	\rep{}{$p(A_2)=p(A_2\cap A_1)+p(A_2\cap\bar{A_1})=0,8\times0,7+0,2\times0,4=0,64$.}
	\item En indiquant les calculs et en utilisant les notations correctes, donner la probabilité que Roger ait raté le premier disque sachant qu'il atteint le deuxième.
	\rep{}{$p(\bar{A_1}/A_2)=\dfrac{p(\bar{A_1}\cap A_2)}{p(A_2)}=\dfrac{0,08}{0,64}=0,125$.}
\end{enumerate}}

\exoc{Une maladie atteint $3\%$ d'une population.\\
On appellera \og~malades \fg~les individus atteints de cette maladie et \og~sains \fg~ceux qui ne le sont pas.\\
Un test de dépistage donne les résultats suivants :  
\begin{itemize}
	\item Chez les individus malades, $95\%$ de tests sont positifs et $5\%$ négatifs ;
	\item Chez les individus non malades, $2\%$ de tests sont positifs et $98\%$ négatifs.
\end{itemize}
On note $M$ l'événement : \og~être malade \fg~et $P$ l'événement : \og~avoir un test positif \fg.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Donner, en utilisant les notations correctes, les probabilités fournies par l'énoncé.
	\rep{}{On a $p(P/M)=0,95, p(\bar{P}/M)=0,05, p(P/\bar{M})=0,02, p(\bar{P}/\bar{M})=0,98$.}
	\item Construire un arbre pondéré correspondant à la situation décrite.
	\rep{}{$$\pstree[treemode=R]{\Tdot}{
		\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{M}\taput{0,03}}
			{\Tdot~[tnpos=r]{P \qquad p(P\cap M)=0,0285}\taput{0,95}
 			\Tdot~[tnpos=r]{\bar{P} \qquad p(\bar{P}\cap M)=0,0015}\tbput{0,05}	}
		\pstree{\Tdot~[tnpos=b]{\bar{M}}\tbput{0,97}}
			{\Tdot~[tnpos=r]{P \qquad p(P\cap \bar{M})=0,0194}\taput{0,02}
 			\Tdot~[tnpos=r]{\bar{P}\qquad p(\bar{P}\cap \bar{M})=0,9506}\tbput{0,98}}
 	    				}$$
 	}
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Exprimer par une phrase les événèment $M\cap\bar{P}$ et $\bar{M}\cap P$.
	\rep{}{$M\cap\bar{P}$ est l'événement : \og~l'individu est malade et le test est négatif\fg.\\
	$\bar{M}\cap P$ est l'événement : \og~l'individu est sain et le test est positif\fg.}
	\item Calculer $p(M\cap\bar{P})$ et $p(\bar{M}\cap P)$.
	\rep{}{$p(M\cap\bar{P})=p(\bar{P}/M).p(M)=0,05\times0,03=0,0015$.\\
	$p(\bar{M}\cap P)=p(P/\bar{M}).p(\bar{M})=0,97\times0,02=0,0194$.}
	\item Quelle est la probabilité que le test donne un résultat érroné ?
	\rep{}{les événements étant indépendants, on additionne les probabilités. On a donc une probabilité de $0,0015+0,0194=0,0209\approx2\%.$}
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Calculer $p(M\cap P)$ puis $p(P)$.
	\rep{}{$p(M\cap P)=p(M).p(P/M)=0,03\times0,95=0,0285$.\\
	$p(P)=p(P\cap M)+p(P\cap\bar{M})=0,0285+0,0,0194=0,0479$.}
	\item Calculer la probabilité qu'un individu dont le test est positif soit sain.
	\rep{}{$p(\bar{M}/P)=\dfrac{p(P\cap\bar{M})}{p(P)}=\dfrac{0,0194}{0,0479}\approx0,41$.}
	\item Au regard des frais médicaux très lourd engagés pour un individu à la suite d'un test positif, quelle peut être l'opinion des responsables financiers à propos de ce test ?
	\rep{}{Le test n'est pas assez fiable puisque trop de personne saine sont déclarées malades.}
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Calculer $p(\bar{P})$
	\rep{}{$p(\bar{P})=1-p(P)=1-0,0479=0,9521$ ou alors \\
	$p(\bar{P})=p(\bar{P}\cap M)+p(\bar{P}\cap\bar{M})=0,0015+0,97\times0,98=0,9521$.}
	\item Calculer la probabilité qu'un individu dont le test est négatif soit malade.
	\rep{}{$p(M/\bar{P})=\dfrac{M\cap\bar{P}}{p(\bar{P})}=\dfrac{0,0015}{0,9521}=0,0016$.}
	\item Les responsables de la santé auront-ils la même opinion que les responsables financiers ?
	\rep{}{Non, car le test détecte très bien les personnes malades ... le pb est qu'il les detecte même trop bien puisqu'il declare malade des personnes qui ne le sont pas mais i lvaut mieux guérir un personne saine que laisser une personne malade en circulation.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}



\exoc{Une pièce est usinée successivement par deux machines M1 et M2, les résultats des deux usinages étant indépendants. 
Après passage dans la première machine M1, 5\% des pièces présentent un défaut. 
On note $A$ l'événement : ``La pièce est défectueuse après passage dans M1''. 
Après passage dans la deuxième machine M2 (et quel que soit leur état après leur passage dans M1), 
2\% présentent un autre défaut. On note $B$ l'événement : ``La pièce est défectueuse après passage dans M2''.
On extrait au hasard une pièce parmi les pièces ayant subi les deux usinages.
\begin{enumerate}
\item Donner les probabilités de $A$ et de $B$.
\rep{}{D'après l'énoncé, $\P(A)=\frac{5}{100}$ et $\P(B)=\frac{2}{100}$.}
\item Exprimer à l'aide des événements $A$ et $B$ les événements suivants :
    \begin{itemize}
    \itemb $C$ : ``la pièce est défectueuse pour les deux usinages par M1 et M2'' ;
    \itemb $D$ : ``la pièce est défectueuse'' ;
    \itemb $E$ : ``la pièce ne présente aucun défaut''.
    \end{itemize}
\rep{}{On trouve $C=A\cap B$, $D=A\cup B$ et $E=\bar{A\cup B}$.}
\item Calculer les probabilités des événements $C$, $D$ et $E$.
\rep{}{D'après l'énoncé, les évènements $A$ et $B$ sont indépendants, donc
$\P(C)=\P(A)\times\P(B)=\frac{10}{10000}=\frac{1}{1000}$. On sait ensuite que
$\P(D)=\P(A\cup B)=\P(A)+\P(B)-\P(A\cap B)=\frac{69}{1000}$. Enfin,
$\P(E)=\P(\bar{D})=1-\P(D)=\frac{931}{1000}$.}
\item Sachant que la pièce extraite est défectueuse, quelle est la probabilité que la pièce présente 
des défauts d'usinage par les deux machines ?
\rep{}{Il faut calculer $\P(C|D)=\frac{\P(C\cap D)}{\P(D)}=\frac{\P(C)}{\P(D)}=\frac{1}{69}$.}
\item Exprimer à l'aide de $A$ et $B$ l'événement : ``le défaut provient uniquement de la machine M2'', 
puis sa probabilité. En déduire la probabilité que le défaut provienne uniquement de la machine M2, 
sachant que la pièce est défectueuse.
\rep{}{Le premier évènement est $F=\bar{A}\cap B$. Comme $A$ et $B$ sont indépendants, sa probabilité est
$\P(F)=\P(\bar{A})\times\P(B)=\frac{190}{10000}=\frac{19}{1000}$. La probabilité demandée ensuite est 
donc égale à $\P(F|D)=\frac{\P(F\cap D)}{\P(D)}=\frac{\P(F)}{\P(D)}=\frac{19}{69}$.}
\end{enumerate}
}


\exoc{On jette un dé équilibré à six faces. Si le résultat obtenu est 1, 2 ou 3
 on jette un autre dé à six faces. Si le
 résultat du premier jet de dé est 4, 5 ou 6, on jette un dé à quatre faces (toujours
 équilibré). Le résultat de cette expérience est un couple de nombres entiers $(a;b)$.\par
 \begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des résultats possibles gràce à un tableau.
\rep{}{$$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
1 & $(1,1)$ & $(1,2)$ & $(1,3)$ & $(1,4)$ & $(1,5)$ & $(1,6)$ \\ \hline 
2 & $(2,1)$ & $(2,2)$ & $(2,3)$ & $(2,4)$ & $(2,5)$ & $(2,6)$ \\ \hline 
3 & $(3,1)$ & $(3,2)$ & $(3,3)$ & $(3,4)$ & $(3,5)$ & $(3,6)$ \\ \hline 
4 & $(4,1)$ & $(4,2)$ & $(4,3)$ & $(4,4)$ & &  \\ \hline 
5 & $(5,1)$ & $(5,2)$ & $(5,3)$ & $(5,4)$ & &  \\ \hline 
6 & $(6,1)$ & $(6,2)$ & $(6,3)$ & $(6,4)$ & &  \\ \hline 
\end{tabular}$$}
 \smallskip
\rep{}{Il y a donc en tout 30 tirages possibles.}
\item Calculer la probabilité des évènements suivants :
    \begin{itemize}
    \itemb $A$ : ``Le premier chiffre est 3'' ;
    \itemb $B$ : ``Le second chiffre est 5'' ;
    \itemb $C$ : ``Le premier chiffre est 6'' ;
    \itemb $D$ : ``Le second chiffre est 2'' ;
    \itemb $E$ :  ``Le premier chiffre est 1, 2 ou 3''.
    \end{itemize}
\rep{}{$\P(A)=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}$ ;
$\P(B)=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}$ ;
$\P(C)=\frac{4}{30}=\frac{2}{5}$} \smallskip
\rep{}{$\P(D)=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}$ ;
$\P(E)=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$.}
\item Existe-t-il deux évènements incompatibles parmi les cinq précédents ? Si oui, lesquels ?
\rep{}{Oui, les évènements $A$ et $C$ dont évidemment incompatibles, mais aussi $B$ et $C$, car
si on obtient un 6 avec le premier dé on ne jette qu'un dé à 4 faces.}
\item Existe-t-il deux évènements indépendants parmi les cinq précédents ? Si oui, lesquels ?
\rep{}{$p(A\cap B)=\frac{1}{30}\neq p(A)\times p(B)$ donc $A$ et $B$ sont indépendants. On procède de la même façon pour les autres événements, mais d'une façon générale le lancer du deuxième dé étant lié au résultat du premier lancer, les événements ne sont pas indépendants.}
\item Calculer la probabilité de $A\cup B$.
\rep{}{$\P(A\cup B)=\P(A)+\P(B)-\P(A\cap B)=\frac{6}{30}+\frac{3}{30}-\frac{1}{30}=\frac{4}{15}$.}
\item Calculer la probabilité de $B\cup C$.
\rep{}{$\P(B\cup C)=\P(B)+\P(C)-\P(B\cap C)=\frac{3}{30}+\frac{4}{30}-0=\frac{7}{30}$.}
\item Calculer la probabilité de $C\cup D$.
\rep{}{$\P(C\cup D)=\P(C)+\P(D)-\P(C\cap D)=\frac{4}{30}+\frac{6}{30}-\frac{1}{30}=\frac{1}{10}$.}
\item Calculer la probabilité de $D$ sachant $E$.
\rep{}{$\P(D|E)=\frac{\P(D\cap E)}{\P(E)}=\frac{3}{18}=\frac{1}{6}$.}
\item Calculer la probabilité de $D$ sachant $\bar{E}$.
\rep{}{$\P(D|\bar{E})=\frac{\P(D\cap \bar{E})}{\P(\bar{E})}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$.}
\item La formule suivante est-elle vraie ? ${\cal P}(D)={\cal P}(D|E)+{\cal P}(D|\bar{E})$
\rep{}{Cette formule est fausse. La formule exacte qui y ressemble est 
${\cal P}(D)={\cal P}(D\cap E)+{\cal P}(D\cap \bar{E})$.} 
\end{enumerate}
}

\exoc{Un même type d'écrou est fabriqué par trois machines appelées $M_1$, $M_2$ et $M_3$.
  Les productions journalières de chaque machine  sont 
  respectivement $m_1=2500$, $m_2=1 900$ et $m_3=2200$.\par Les 
  probabilités qu'un écrou choisi au hasard parmi la production 
  journalière d'une des trois machines soit défectueuse sont 
  respectivement $p_1=0,09$, $p_2=0,05$ et $p_3=0,06$. On choisit 
  un écrou au hasard dans la production d'une journée.  On 
  suppose que tous les choix sont équiprobables.  Calculer la 
  valeur approchée à $10^{-3}$ de la probabilité de chacun des 
  évènements suivants.
  \begin{itemize}
  \itemb $A$ : ``l'écrou est défectueux et provient de $M_1$'' ;
  \itemb $B$ : ``l'écrou est défectueux et provient de $M_2$'' ;
  \itemb $C$ : ``l'écrou est défectueux et provient de $M_3$'' ;
  \itemb $D$ : ``l'écrou est défectueux'' ;
  \itemb $E$ : ``l'écrou a été fabriqué par $M_1$ sachant qu'il est
  défectueux'' ;
  \itemb $F$ : ``l'écrou n'a pas été fabriqué par $M_1$ sachant qu'il est
  défectueux''.
  \end{itemize}
  \rep{}{La production journalière totale est égale à $6600$. Les écrous défectueux provenant
de $M_1$ sont au nombre de $2500\times 0.09=225$ donc $\P(A)=\frac{225}{6600}=0.034$.
Les écrous défectueux provenant de $M_2$ sont au nombre de $1900\times 0.05=95$
donc $\P(B)=\frac{95}{6600}=0.014$. Les écrous défectueux provenant
de $M_3$ sont au nombre de $2200\times 0.06=132$ donc $\P(C)=\frac{132}{6600}=0.02$.
On en déduit que $\P(D)=\P(A)+\P(B)+\P(C)=\frac{452}{6600}=0.068$.
Les deux derniers évènements mettent en jeu des probabilités conditionnelles :
$\P(E)=\P(M_1|D)=\frac{\P(M_1\cap D)}{\P(D)}=\frac{\P(A)}{\P(D)}=\frac{225}{452}=0.498$ et 
$\P(E)=\P(\bar{M_1}|D)=\frac{\P(\bar{M_1}\cap D)}{\P(D)}=\frac{\P(M_2\cap D)+\P(M_3\cap D)}{\P(D)}=
\frac{\P(B)+\P(C)}{\P(D)}=\frac{227}{452}=0.502$.}
}

% 


% \exoc{Un sac contient six jetons :
%     \begin{itemize}
%         \itemb deux jetons verts numérotés notés $V_1$ et $V_2$ ;
%         \itemb trois jetons jaunes notés $J_1$, $J_2$ et $J_3$ ;
%         \itemb un jeton noir noté $N_1$.
%     \end{itemize}
% On réalise l'expérience suivante : on tire au hasard un premier
% jeton dans le sac ; parmi les jetons restants, on en tire au
% hasard un second. Les probabilités calculées seront données sous
% forme de fractions irréductibles.\par
%     \qu{Décrire les résultats possibles de cette expérience à l'aide d'un arbre. Quel est le
%     nombre d'éléments de  cet univers ?}
%     \qu{On suppose que tous les évènements élémentaires sont équiprobables. Calculer la probabilité
%     de chacun des évènements suivants.
%     \begin{itemize}
%         \itemb $A$ : ``Les deux jetons tirés ont la même couleur.''
%         \itemb $B$ : ``Les deux jetons tirés ont le même numéro.''
%     \end{itemize}}
%     \qu{Les évènements $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ? En déduire la probabilité de $A\cup B$.}
% }
% 

\subsection{Dénombrement}

\exoc{Dans une pièce de théâtre , il y a six rôles qui peuvent être tenus par n'importe lesquelles des
vingt personnes de la troupe. Combien y a-t-il de distributions
possibles de ces rôles  ?
\rep{}{L'ordre est important et il n'y a pas répétition. C'est un arrangement de 6 éléméents choisis parmi 20. $A_{20}^6=20\times19\times18\times7\times16\times15=27\ 907\ 200$.}
}

\exoc{Une suite de dix questions est proposée à un candidat qui
doit répondre par oui ou par non à ces questions. Dénombrer les 
façons différentes dont on peut envisager de répondre à 
l'ensemble des questions :
\begin{enumerate}
\item en supposant que toute question reçoit une réponse ;
\rep{}{Il y a 10 répétitions de 2 choix donc $2^{10}$ possibilités.}
\item en supposant que certaines questions peuvent être laissées sans réponse.
\rep{}{Il y a 10 répétitions de 3 choix donc $3^{10}$ possibilités.}
\end{enumerate}
}

\exoc{$45$ personnes participent à une course dont les trois
premiers sont récompensés par des prix de valeur dégressive.
Combien y a-t-il de palmarès différents possibles ?
\rep{}{On choisit 3 personnes classées parmi 45 donc $A_{45}^3=85\ 140$ possibilités.}
}


\exoc{Sur trois étagères, on souhaite ranger cinq livres de
mathématiques différents, quatre livres de physique différents,
deux livres de chimie différents. Calculer le nombre de
rangements possibles en séparant les mathématiques, la physique
et la chimie (l'ordre des livres sur les étagères est donc important).
\rep{}{ Il s'agit d'ordonner les matières sue les étagères. C'est une permutation de 3 éléments. Il y a 3!=6 possibilités.\\
Si on considère de plus l'ordre des livres sur chaque étagère, il y a $5!$ façons de ranger les livres de math, $4!$ façons de ranger les livres de physique et $2!$ façons de ranger les livres de chimie. Donc au total, il y a $6!\times5!\times4!\times2!=4\ 417\ 200$ façons de ranger les livres sur les étagères.}
}


\exoc{Combien y a-t-il de façons de remplir une grille simple de
loto (on rappelle qu'une grille comporte quarante neuf cases
numérotées de 1 à 49 et qu'il faut en cocher six ) ?
\rep{}{On choisit 6 numéros non classés parmi 49 : $C_{49}^{6}=\dfrac{49\times48\times\cdots\times44}{6\times5\times\cdots\times1}=13\ 983\ 816$.}}




\exoc{Dénombrer les codes secrets de carte bancaire à quatre
chiffres. En supposant qu'il existe en Francs 10 millions de
cartes bancaires en circulation, combien de cartes ont le même
code secret.
\rep{}{Il y a 4 répétitions de 10 choix donc $10^{4}=10\,000$ possibilités. Comme il y a $10\,000\,000$ cartes en circulations, 
il y a $1000$ cartes qui ont le même numéro.}
}

\exoc{On considère les deux signaux différents du morse : le
point $\bullet$ et le trait $-$. On appelle séquence d'ordre $n$,
l'émission de $n$ signaux ($n\in\N$). Par exemple, $-$ $\bullet$
$-$ $-$ est une séquence d'ordre 4.
\begin{enumerate}
\item Quel nombre de séquences d'ordre $n$ différentes peut-on ainsi émettre ?
\rep{}{Il y a $n$ répétitions de $2$ choix donc $2^n$ possibilités.}
\item Quelle valeur minimale faut-il attribuer à $n$ pour pouvoir coder en séquences
    d'ordre $n$ les vingt-six lettres de l'alphabet français plus les dix chiffres ?
\rep{}{On veut que $2^n\geq26+10$, donc $n$ doit être au minimum égale à $6$ puisque $2^5=32$.}
\end{enumerate}
}


\exoc{En informatique, les couleurs sont notées en mode binaire,
c'est à dire par une série de 0 et de 1. On dit qu'un couleur est
notée en $n$ bits si on la représente par une série de $n$
symboles 0 ou 1.
\begin{enumerate}
\item Combien de couleur peut-on coder en utilisant 1 bit, 2 bits, 4 bits et 8 bits ?
\rep{}{Il y a $n$ répétitions de $2$ choix donc 1 bits : $2^1=2$ couleurs ; 2 bits : $2^2=4$ couleurs ; 4 bits : $2^4=16$ couleurs ; 8 bits : $2^8=256$ couleurs}
\item Combien faut-il de bits pour coder au moins 64000 couleurs ?
\rep{}{On veut que $2^n\geq64000$, donc $n$ doit être au minimum égale à $16$ puisque $2^{15}=32\,768$ et $2^{16}=65\,536$.}
\item On parle de couleurs vraies quand plus de 16 millions de couleurs sont disponibles.
	Combien de bits faut-il alors utiliser pour le codage ?
\rep{}{On veut que $2^n\geq16\,000\,000$, donc $n$ doit être au minimum égale à $24$ puisque $2^{23}=8\,388\,608$ et $2^{24}=16\,777\,216$.}
\end{enumerate}
}



\exoc{On appelle mot de 3 lettres tout assemblage ordonné de 3
éléments que l'on peut former avec les symboles $a$, $b$, $c$, $d$
et $e$ (pouvant être utilisées plusieurs fois,
éventuellement).
\begin{enumerate}
\item Dénombrer les mots distincts de 3 lettres.
\rep{}{Il y a $3$ répétitions de $5$ choix donc $5^3=125$ possibilités.}
\item Parmi eux, dénombrer :
      \begin{enumerate}
	\item Les mots de 3 lettres distinctes.
	\rep{}{On choisit $3$ lettres classées parmi $5$ sans répétitions donc $A_{5}^{3}=5\times4\times3=60$ possibilités.}
        \item Les mots de 3 lettres distinctes dont la première lettre est $a$.
       \rep{}{On choisit $2$ lettres classées parmi $4$ sans répétitions donc $A_{4}^{2}=4\times3=12$ possibilités.}
       \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\exoc{Trois personnes peuvent s'asseoir sur trois chaises numérotées. 
\begin{enumerate}
\item Combien y a-t-il de possibilités ?
\rep{}{On permute les $3$ personnes donc $3!=6$ possibilités.}
\item Dénombrer les possibilités si les trois personnes ont le choix entre 7 chaises numérotées.
\rep{}{On choisit $3$ chaises classées parmi $7$ sans répétitions donc $A_{7}^{3}=7\times6\times5=210$ possibilités.}
\item Répondre aux questions précédentes dans le cas où les chaises ne sont pas différenciables.
\rep{}{Il y a une possibilités.}
\rep{}{On choisit $3$ chaises non classées parmi $7$ sans répétitions donc $C_{7}^{3}=\dfrac{7\times6\times5}{3!}=\dfrac{210}{6}=30$ possibilités.}
\end{enumerate}
}


\exoc{Le foyer d'un lycée comporte quarante adhérents, déterminer
le nombre de bureaux comprenant un président, un vice-président,
un trésorier.
\rep{}{On choisit $3$ chaises classées parmi $40$ sans répétitions donc $A_{40}^{3}=40\times39\times38=59\,280$ possibilités.}
}

\exoc{Les trente sept élèves d'une classe (vingt filles et dix
sept garçons) veulent élire un comité de trois membres. 
\begin{enumerate}
\item Combien y a-t-il de comités possibles ?\rep{}{On choisit 3 personnes non classées parmi 37 : $C_{37}^{3}=7\ 770$ comités possibles.}
\item Parmi ceux-ci, combien contiennent plus de filles que de garçons ?\rep{}{Il y a soit 3 filles ($C_{20}^{3}=1\ 140$ comités) soit deux filles ($C_{20}^{2}\times 17=3\ 230$ comités donc 4\ 370 comités qui ont plus de filles que de garçons.}
\end{enumerate}
}


\exoc{Dans un département français, le numéro minéralogique d'un
véhicule était composé d'un nombre compris entre 1 et 9999 suivi
d'une ou deux lettres et du numéro du code du département. En ce
qui concerne le groupe de lettres, on utilise en premier lieu tout
l'alphabet de A à Z, sauf les lettres I, O et W, puis on forme
des groupes de deux lettres AA, AB ... en excluant toujours
l'utilisation des lettres I et O et des combinaisons TT et WW.
Mais T et W peuvent être utilisées hors de ces combinaisons.
\par Combien pouvait-on immatriculer de véhicules dans un même département avant de changer de
mode de numérotation ?
\rep{}{chiffres : $9999$ choix ; lettres : 26-3=$23$ choix et deux lettres :$24\times24-2=574$. Il y avait donc $9999\times(23+574)=5\,969\,403$ immatriculations possibles.}
}

\exoc{Quatre joueurs reçoivent chacun sept dominos au hasard.
Combien y a-t-il de distributions possibles distinctes ?
\rep{}{Il y a $7*4=28$ dominos.\\On choisit d'abord 7 dominos parmi 28 pour le premier joueur, puis 7 dominos parmis les 21 restants pour le second joueur, puis 7 dominos parmi 14 pour le troisième joueur. Le dernier joueur a les 7 dominos restants.
Il y a $C_{28}^{7}\times C_{21}^{7} \times C_{17}^{7} =472\ 518\ 347\ 558\ 400$}
}



\exoc{Dans le jeu de ``Master Mind'', un joueur doit deviner une
figure obtenue en plaçant des pions de six couleurs différentes,
qui seront notées par leur initiale, dans quatre trous à raison
d'un pion par trou. Dans ce qui suit, une telle figure sera
assimilée à une suite de quatre éléments de l'ensemble
$\{J;B;R;V;O;N\}$. Par exemple, $(J;B;R;J)$ est la figure dans
laquelle le premier et le quatrième pions sont jaunes, le
deuxième bleu et le troisième rouge.
\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre de figures possibles ?
	\rep{}{Il y a 4 répétitions de 6 choix possibles donc $6^4=1\ 296$ possibilités.}
\item Dénombrer les figures qui n'utilisent que la
couleur jaune, puis les figures qui n'utilisent qu'une seule
couleur.
	\rep{}{Il y a 1 seule figure qui n'utilise que le jaune donc au total, 6 figures sont monochromes.}
\item Quel est le nombre de figures qui utilisent les quatre
couleurs J, B, R et V ? En déduire le nombre de figures qui
utilisent quatre couleurs.
	\rep{}{On permute les quatre couleurs donc $4!=24$ figures utilisent les quatres couleurs J, B, R et V.\\
	On choisit 4 couleurs parmi 6 sans répétitions, sans ordre donc $C_{6}^{4}=15$ choix possibles pour les couleurs et par suite $15\times24=360$ figures de 4 couleurs distinctes.}
\item Dénombrer les figures qui utilisent
deux pions rouges et deux pions verts, un pion rouge et trois
pions verts, trois pions rouges et un pion vert.
	\rep{}{On choisit 2 places sans répétitions et non ordonnées parmi 4 pour les pions verts : $C_{4}^{2}=6$ combianaisons. Les pions rouges sont alors sur les places vides restantes.\\
	On choisit 1 place parmi 4 pour le pion rouge puis on place les autres : 4 combinaisons.\\
	On choisit 1 place parmi 4 pour le pion rouge puis on place les autres : 4 combinaisons.}
\item Déduire de la question précédente le
nombre de figures qui n'utilisent que les couleurs rouge et vert,
puis le nombre de figures qui utilisent exactement deux
couleurs.
	\rep{}{Les couleurs rouges et vertes étant choisies, il y $6 + 4+ 4$ combinaisons qui utilisent exactement deux couleurs.\\
	On choisit deux couleurs (sans répétition, sans ordre) parmi 6 : $C_{6}^{2}=15$ possibilités. Pour ses 15 possibilités, il y a 14 combinaisons donc $15\times14=210$ figures qui utilisent exactement deux
couleurs.} 
\end{enumerate}
}

\exoc{Une ligne de chemin de fer comporte vingt-cinq stations.
Chaque station délivre des titres de transport en première et
deuxième classes pour chacune des autres stations (on distingue
le billet $A\rightarrow B$ du billet $B\rightarrow A$). La ligne
est prolongée de trois stations. Combien doit-on imprimer de
nouveaux types de billets ?
\rep{}{On choisit la ville de départ, puis la ville d'arrivée, puis la classe: \\
$28\times27\times2-25\times24\times2=312$}
}

\exoc{Une agence de voyages veut organiser des circuits
touristiques comprenant, dans un ordre donné, les six villes
grecques : Athènes, Delphes, Olympie, Corinthe, Sparte,
Nauplie.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Combien y a-t-il de circuits possibles ?
	\rep{}{Il y a permutations de 6 éléments donc $6!=720$ trajets possibles.}
        \item Si la première ville visitée est Athènes,
        combien peut-on organiser de circuits ?
        \rep{}{Il y a permutations de 5 éléments donc $5!=120$ trajets possibles.}
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Cette agence propose aussi des excursions permettant de
    visiter deux villes parmi les six villes citées précédemment :
    les excursions du type, par exemple, Olympie-Delphes et
    Delphes-Olympie sont considérées comme des excursions
    différentes. Combien y a-t-il d'excursions différentes ?
    \rep{}{On choisit $2$ villes classées parmi $6$ sans répétitions donc $A_{6}^{2}=6\times5=30$ possibilités.}
        \item La même agence organise en Turquie des excursions du même type
    permettant de visiter deux villes. Elle propose un choix de
    soixante douze excursions. Combien a-t-elle choisi de villes
    différentes à faire visiter ?
    \rep{}{On cherche $n$ telle que $n\times(n-1)=72$ soit $n^2-n-72=0$. Les solutions sont $9$ et $-8$. Il y a $9$ villes différentes à visiter.}
     \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\exoc{On tire simultanément trois boules d'un sac qui en contient
six noires, deux blanches et quatre rouges.
\begin{enumerate}
\item De combien de façons différentes peut-on réaliser ce tirage ?
\item Combien de tirages sont constitués de trois boules de couleurs distinctes ?
\item De trois boules d'une même couleur ?
\item Combien de tirages contiennent au moins une boule noire ?
\item Exactement une boule noire ?
\end{enumerate}
\rep{}{
\begin{enumerate}
\item La simultanéité implique qu'il n'y a ni ordre, ni répétitions des boules. C'est donc une combinaison de 3 éléments choisis parmi $6+2+4=12$ possibles, donc $C_{12}{3}=220$ tirages possibles.
\item Il faut obligatoirement une boule noire, une balche et une rouge. Il y a donc $C_6^1\times C_2^1\times C_4^1=24$ tirages de trois boules de couleurs distinctes.
\item Soit on a 3 boules noires ($C_6^3=20$ possibilités) soit on a 3 boules rouges ($C_4^3=4$ possibilités). Donc au total, 24 tirages monochromes.
\item Il y a 6 boules noires possibles puis on choisit 2 boules parmi les 11 restantes donc $6*C_{11}^2=220$ ???? 
\item Il y a 6 boules noires possibles puis on choisit 2 boules parmi les 6 restantes donc $6*C_{6}^2=90$ tirages possibles.
\end{enumerate}}
}

\exoc{D'un jeu de trente-deux cartes (huit valeurs et quatre
couleurs), on extrait cinq cartes qui forment une main.
\begin{enumerate}
\item Combien de mains différentes peut-on obtenir ?
\item Dénombrer parmi ces mains combien  contiennent :
        \begin{enumerate}
	\item exactement un as ;
        \item deux c{\oe}urs et deux trèfles ;
        \item un full (deux cartes d'une même valeur et trois d'une autre valeur) ;
        \item deux paires (deux fois deux cartes d'une même valeur) ;
        \item exactement trois c{\oe}urs et une dame.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\rep{}{
\begin{enumerate}
 \item combinaison de 5 cartes parmi 32 : $C_{32}^5=201\ 376$.
 \item \begin{enumerate}
        \item $4*C_{28}^4=81\ 900$
        \item $C_{8}^2\times C_{8}^2\times16=12\ 544$.
        \item $8\times C_{4}^3\times 7 \times C_{4}^2=74$.
        \item $8\times C_{4}^2\times 7 \times C_{4}^2=90$
        \item Deux cas : 
	      \begin{itemize}
	      \item Soit la dame de c\oe urs, 2 c\oe urs et deux cartes autres (sans c\oe urs ni dame) : $1\times C_{7}^2\times C_{21}^2=4\ 410$.
	      \item soit 3 c\oe urs sans la dame, une dame (mais pas c\oe ur) et une autre carte (ni c\oe ur, ni dame) :  $C_{7}^3\times 3 \times 21=2\ 205.$
	      \end{itemize}
	      Donc au total, $4\ 410+2\ 205=6\ 615$.
       \end{enumerate}
\end{enumerate}}
}



\exoc{Le capitaine des pompiers de New-York réside à l'angle de la 7ème rue et de la 33ème
avenue. La caserne se trouve à l'angle de la 15ème rue et de la 40ème avenue. Il s'y rend
tous les jours à pied et sans perdre de temps (i.e. dans le sens des numéros croissants
aussi bien pour les rues que pour les avenues). Sachant qu'il a commencé à travailler
le jour de ses 18 ans, et sachant qu'il n'est jamais passé deux fois par le même chemin,
quel est l'âge maximum du capitaine?
\rep{}{35 ans maximum}
}

\subsection{Dénombrement et probabilités}
\exoc{Les mille billets d'une loterie sont numérotés à l'aide d'une suite de trois chiffres pris dans l'ensemble 
\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}.
Les billets gagnants sont ceux se terminant par 05 ou 42 ou 70. Tous les billets sont vendus. \par
\begin{enumerate}
\item Un joueur a acheté un billet au hasard. Calculer la probabilité des deux événements suivants : 
    \begin{itemize}
    \itemb $G$  : ``son billet est gagnant'' ; 
    \itemb $O$ : ``le numéro de son billet contient au moins un zéro''.
    \end{itemize}
\rep{}{Parmi les 1000 billets, 10 se terminent par 05, 10 autres par 42 et encore 10
par 70. Il y a donc 30 billets gagnants, ce qui implique $\P(G)=\frac{30}{1000}=\frac{3}{100}=0,03$.
L'évènement $\bar{O}$ est ``Le numéro du billet ne contient aucun zéro''. Il y a $9^3=729$ billets
réalisant cet évènement, et donc $1000-729=271$ réalisant l'évènement $O$. Donc $\P(O)=\frac{271}{1000}=0,271$.}
\item Sachant que le numéro du billet du joueur contient au moins un zéro, quelle est la probabilité
pour que ce soit un billet gagnant ?
\rep{}{On doit calculer $\P(G|O)=\frac{\P(G\cap O)}{\P(O)}$. L'évènement $G\cap O$ est ``le billet est
gagnant et comporte au moins un zéro''. Les billets qui le réalisent sont donc les 20 qui se terminent
par 05 et 70, plus le billet 042. Donc $\P(G\cap O)=\frac{21}{1000}$ et $\P(G|O)=\frac{21}{271}\simeq 0.077$.}
\item Montrer que les événements $G$ et $O$ ne sont pas indépendants.
\rep{}{On constate que $\P(G\cap O)\neq\P(G)\times\P(O)$, donc les événements $G$ et $O$ ne sont pas indépendants.}
\end{enumerate}
N. B. : On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près.} 


\exoc{Une urne contient cinq boules blanches numérotées de 1 à 5, trois bleues numérotées de 6 à 8 et deux vertes 
numérotées 9 et 10. On tire deux boules simultanément de l'urne (on admet que tous les tirages sont équiprobables).\par
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité des événements suivants :
    \begin{itemize}
    \itemb $A$ : ``les deux boules ont des numéros impairs'' ;
    \itemb $B$ : ``les deux boules ont la même couleur'' ;
    \itemb $C$ : ``les deux boules ont des numéros impairs et sont de la même couleur''.
    \end{itemize}
\rep{}{Nombre de tirages possibles : On choisit deux éléments parmi 10 sans ordre et sans répétitions donc $C_{10}^{2}=\frac{10\times 9}{2}=45$.
\begin{itemize}
    \itemb $A$ : Il y a 5 impairs. On choisit deux éléments parmi 5 sans ordre et sans répétitions donc $C_{5}^{2}=\frac{5\times 4}{2}=10$ donc $\P(A)=\frac{10}{45}=\frac{2}{9}$ ;
    \itemb $B$ : \begin{itemize}
	\item Tirer 2 boules blanches :  On choisit deux éléments parmi  5 sans ordre et sans répétitions donc $C_{5}^{2}=\frac{5\times 4}{2}=10$.
	\item Tirer 2 boules bleues : On choisit deux éléments parmi  3 sans ordre et sans répétitions donc $C_{3}^{2}=\frac{3\times 2}{2}=3$.
	\item Tirer 2 boules vertes : une possibilité.
	 \end{itemize}
		donc $\P(B)=\frac{1+3+10}{45}=\frac{14}{45}$ ;
    \itemb $C$ : les seules possibilités sont  1-3, 1-5 et 3-5, donc $\P(C)=\frac{3}{45}=\frac{1}{15}$.
    \end{itemize}}
\item Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
\rep{}{On peut remarquer que $C=A\cap B$ et que $\P(C)\neq\P(A)\times\P(B)$, ce qui montre que
les évènements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.}
\item Quelle est la probabilité des événements :
    \begin{itemize}
    \itemb $D$ : ``les deux boules sont de couleurs différentes'' ?
    \itemb $E$ : ``les deux boules sont de couleurs différentes et portent des numéros impairs'' ?
    \end{itemize}
\rep{}{L'évènement $D$ est l'évènement contraire de $B$ donc $\P(D)=1-\P(B)=\frac{31}{45}$. L'évènement 
$E$ est égal à $A\cap D$. Or $\P(A)=\P(A\cap D)+\P(A\cap B)$, donc $\P(A\cap D)=\frac{10}{45}-\frac{3}{45}=
\frac{7}{45}$.}
\item On vient de tirer deux boules de couleurs différentes, quelle est la probabilité pour qu'elles portent des numéros impairs ?
\rep{}{La probabilité demandée est $\P(A|D)=\frac{\P(A\cap D)}{\P(D)}=\frac{7}{31}$.}
\end{enumerate}
}

\newpage
\thispagestyle{empty}

\begin{minipage}{16cm}
\begin{center}
\tableofcontents
\thispagestyle{empty}
\end{center}
\end{minipage}
\end{document}


