\documentclass[12pt]{article}\usepackage[Mickael]{ammaths}\fr
\usepackage{alterqcm}

\begin{document}\nocolor

\enteteseconde{17}{Fonctions trigonométriques}{Fonctions 6}

\begin{center}
\fbox{\parbox{14cm}{\sf\small A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
\begin{itemize}
\item Connaître les valeurs des sinus et cosinus des angles de 0$^o$ , 30$^o$ , 45$^o$ , 60$^o$ , 90$^o$. 
\item La notion de radian n'est pas exigible.
\end{itemize}
}}
\end{center}



\exoc{Un vélodrome est une piste circulaire pour les coureurs cyclistes. On y circule en partant de A et dans le sens indiqué par la flèche.
On choisit comme unité de longueur le rayon de la piste donc le rayon vaut $r=1$.}
\begin{center}
\psset{unit=4cm}
\pspicture(-1.1,-1.1)(1.1,1.1)
\uput[dl](0,0){$O$}
\pscircle(0,0){1}
\uput[ur](1,0){$A$}
\psset{dotstyle=x,dotsize=7pt}
\psdots(0,0)\psdots(1,0)
\psarc{->}(0,0){1.3}{22.5}{67.5}
\endpspicture
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Roger a parcouru la moitié de la piste ; il est arrivé en $C$ : 
	\begin{enumerate}
	\item Placer $C$.
	\item Quelle est la valeur exacte de la longueur de l'arc  $\arc{AC}$ ?
	\item A quelle mesure d'angle (en degrés)  correspond ce parcours ?
	\end{enumerate} 
\item Roger a parcouru les $\frac{3}{4}$ de la piste. Il est arrivé en $D$.
	\begin{enumerate}
	\item  Placer $D$.
	\item  Quelle est la valeur exacte de la longueur de l'arc  $\arc{AD}$ correspondant à ce parcours ?
	\item A quelle mesure d'angle (en degrés) correspond ce parcours ?
\end{enumerate}
	\item Roger a parcouru un arc de longueur $\frac{\pi}{2}$.
	\begin{enumerate}
	\item Placer son point d'arrivée B.
	\item A quelle mesure d'angle  correspond ce parcours ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\defi{radian}
{   On considère un cercle de centre $O$ et de rayon 1.\\
        On choisit sur ce cercle un point $A$ origine.\\
        On peut alors définir une nouvelle unité de mesure d'angle appelée \defin{radian} (abréviation rad).\\
        $M$ étant un point du cercle, dans cette unité, la mesure de l'angle $\widehat{AOM}$  est égale à la longueur de l'arc $\arc{AM}$.}



\exoc{\textit{Graduations principales}\\
Le but de cet exercice est de placer les mesures principales connues en radian. On placera les points sur un cercle identique au précédent.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
		\item Comment trace-t-on au compas la moitié d'un angle ?
		\item En remarquant que $\frac{\pi}{4}$ est la moitié de \dots\dots , placer sur le cercle le point $M_4$ de graduation $\frac{\pi}{4}$.
		\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
		\item $\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{\dots}$ donc pour placer $\frac{\pi}{3}$, il suffit de partager le cercle en $\dots$ parties égales. 
		\item Placer sur le cercle le point $M_3$ de graduation $\frac{\pi}{3}$.
		\end{enumerate}
\item En remarquant que $\frac{\pi}{6}$ est la moitié de \dots\dots , placer sur le cercle le point $M_6$ de graduation $\frac{\pi}{6}$.
\item En remarquant que $\frac{3\pi}{4}=3\times\frac{\pi}{4}$, placer la graduation $\frac{3\pi}{4}$.
\item Placer de même les graduations $\frac{5\pi}{3}$, $\frac{7\pi}{6}$.
\end{enumerate}}


\exoc{\textit{Angles orientés}
\begin{enumerate}
\item Sur le cercle précédent, on a placé un point $M_3$ vérifiant  $\angl{OAM_3}=\frac{\pi}{3}$ rad.\\
	 Sur ce même cercle, placer un point $M'_3$ , distinct de $M_3$ tel que $\angl{OAM'_3}=\frac{\pi}{3}$ rad.
\end{enumerate}


\defi{Sens direct-Positif-Trigonométrique}{On appelle \defin{sens positif} ou \defin{sens direct} ou \defin{sens trigonométrique}, le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens giratoire).}

\defi{angle orientés}
{Pour distinguer les deux points $M_3$ et $M'_3$ correspondants à un même angle géométrique, on utilisera les notations suivantes : 
\begin{itemize}
\item $\anglvec{OA}{OM_3}$  au lieu de $\angl{OAM_3}$ et puisque pour passer de $\vect{OA }$ à $\vect{OM_3}$, on a un angle de $\frac{\pi}{3}$  en tournant  dans le sens trigonométrique, on écrira $\anglvec{OA}{OM_3} = + \frac{\pi}{3}$ rad,
\item $\anglvec{OA}{OM'_3}$  au lieu de $\angl{OAM'_3}$ et puisque pour passer de $\vect{OA }$ à $\vect{OM'_3}$, on a un angle de $-\frac{\pi}{3}$  en tournant  dans le sens trigonométrique, on écrira $\anglvec{OA}{OM'_3} = - \frac{\pi}{3}$ rad,
\end{itemize}
Les angles $\anglvec{OA}{OM_3}$ et $\anglvec{OA}{OM'_3}$ sont appelés \defin{angles orientés.}}
}

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}
\item Placer sur le cercle précédent les points $E$, $F$, $G$ et $H$ tels que :
	\begin{multicols}{2}
	\begin{enumerate}
	\item $\anglvec{OA}{OE}=\dfrac{-\pi}{4}$
	\item $\anglvec{OA}{OF}=\dfrac{-\pi}{6}$
	\item $\anglvec{OA}{OG}=\dfrac{-5\pi}{6}$
	\item $\anglvec{OA}{OH}=\dfrac{-7\pi}{3}$
	\end{enumerate}
	\end{multicols}
\end{enumerate}


\exoc{Tracer un cercle trigonométrique.
\begin{enumerate}
\item En noir, placer dessus à l'aide du compas, les points correspondant au angle de mesure $\cfrac{\pi}{4}$, $\cfrac{\pi}{6}$,$\cfrac{\pi}{3}$, $\cfrac{\pi}{2}$ et $\pi$.
\item En rouge, placer les points de mesure $\cfrac{2\pi}{3}$, $\cfrac{7\pi}{4}$,$\cfrac{5\pi}{6}$.
\item En vert, placer les points de mesure $\cfrac{-\pi}{3}$, $\cfrac{11\pi}{4}$,$\cfrac{-13\pi}{6}$.
\end{enumerate}}


\exoc{On considère le cercle trigonométrique ci-dessous :\\
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\pspicture(-1.1,-1.1)(1.1,1.1)
\pscircle(0,0){1}
\psline(-1,0)(1,0)
\psline(0,-1)(0,1)
\uput[ur](0,0){$O$}
\uput[ur](1,0){$A$}
\psline(0,0)(0.866,0.5)
\uput[r](0.866,0.5){$B$}
\psline(0,0)(0.5,0.866)
\uput[ur](0.5,0.866){$C$}
\uput[ur](0,1){$D$}
\psline(0,0)(-0.866,0.5)
\uput[l](-0.866,0.5){$F$}
\psline(0,0)(-0.5,0.866)
\uput[ul](-0.5,0.866){$E$}
\uput[ul](-1,0){$G$}
\psline(0,0)(-0.866,-0.5)
\uput[l](-0.866,-0.5){$H$}
\psline(0,0)(-0.5,-0.866)
\uput[dl](-0.5,-0.866){$I$}
\psline(0,0)(0.866,-0.5)
\uput[r](0.866,-0.5){$L$}
\psline(0,0)(0.5,-0.866)
\uput[dr](0.5,-0.866){$K$}
\uput[dr](0,-1){$J$}
\endpspicture
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{11cm}
\begin{enumerate}
 \item Justifier que la mesure d'un secteur est de $\dfrac{\pi}{6}$ radian.
 \item Parmi les égalités suivantes, indiquer celles qui sont vraies et corriger les autres.
	   \begin{multicols}{2}
	   \begin{enumerate}
	    \item $\anglvec{OC}{OB}=\dfrac{-\pi}{6}$
	    \item $\anglvec{OA}{OD}=\dfrac{-3\pi}{2}$
	    \item $\anglvec{OL}{OD}=\dfrac{4\pi}{3}$
	    \item $\anglvec{OA}{OH}=\dfrac{7\pi}{6}$
	    \item $\anglvec{OG}{OK}=\dfrac{-2\pi}{3}$
	    \item $\anglvec{OB}{OK}=\dfrac{\pi}{2}$
	    \item $\anglvec{OA}{OH}=\dfrac{-5\pi}{6}$
	   \end{enumerate}
   \end{multicols}
\end{enumerate}
\end{minipage}}


%\pagebreak
\exoc{Soit $\Co$ un cercle de centre $A$ et $B$ un point de ce cercle.
\begin{enumerate}
 \item Construire les points $C$, $D$, $E$, et $F$ du cercle $\Co$ tels que :
 $$\anglvec{AB}{AC}=\dfrac{\pi}{3} \quad ; \quad \anglvec{AB}{AD}=\dfrac{3\pi}{4} \quad ; \quad \anglvec{AB}{AE}=\dfrac{7\pi}{6} \quad ; \quad 
\anglvec{AB}{AF}=\dfrac{-3\pi}{4}$$
\item Déterminer une mesure de chacun des angles suivants :
 $$\anglvec{AC}{AE} \quad ; \quad \anglvec{AD}{AF} \quad ; \quad \anglvec{AE}{AB} \quad ; \quad \anglvec{AF}{AC} \quad ; \quad \anglvec{AF}{AE}$$
\end{enumerate}}

\exoc{$ABCD$ est un carré. $ABJ$ et $CBK$ sont deux triangles équilatéraux tels que $J$ est à l'intérieur du carré et $K$ à l'extérieur.\\
\begin{minipage}{5cm}
$$\begin{pspicture*}(0.5,0.5)(6,3.7)
\pspolygon(1,1)(3,1)(3,3)(1,3)
\pspolygon(1,1)(3,1)(2,2.73)
\psline(1,1)(3,1)
\psline(3,1)(3,3)
\psline(3,3)(1,3)
\psline(1,3)(1,1)
\psline(1,1)(3,1)
\psline(3,1)(2,2.73)
\psline(2,2.73)(1,1)
\psline(4.73,2)(3,3)
\psline(3,1)(4.73,2)
\rput[bl](0.95,0.69){$A$}
\rput[bl](2.96,0.68){$B$}
\rput[bl](2.94,3.26){$C$}
\rput[bl](0.97,3.25){$D$}
\rput[bl](1.8,2){$J$}
\rput[bl](4.8,2.09){$K$}
\end{pspicture*}$$
\end{minipage}
\begin{minipage}{11cm}
Donner une mesure en radian de chacun des angles orientés suivants :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\anglvec{AB}{AJ}$
\item $\anglvec{DC}{DA}$
\item $\anglvec{KB}{KC}$
\item $\anglvec{BC}{BJ}$
\item $\anglvec{JD}{JA}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{minipage}}

%\pagebreak
\exoc{\textit{Plusieurs mesures pour un même angle, mesure principale.}
\begin{enumerate}
\item Sur un cercle trigonométrique, placer les graduations  multiples de $\frac{\pi}{6}$.
\item Placer le point $M$ tel que l'angle $\anglvec{OA}{OM}$ mesure  $\frac{17\pi}{6}$ rad.
\item Quelle autre mesure, en radians, aurait-on pu donner pour cet angle ?
\item Donner encore quatre mesures différentes de cet angle (toujours en  radians) : 
	\begin{itemize}
	\item deux positives.
         \item deux négatives.
	\end{itemize}
\item Combien existe-t-il de mesures différentes de cet angle ?
\item Parmi toutes les mesures possibles, donner celle qui correspond à l'arc  le plus court.
	Cette mesure est dite \defin{mesure principale} de l'angle $\anglvec{OA}{OM}$.
\item Donner les mesures principales de chacun des angles suivants:
$$ \dfrac{23\pi}{6} \quad ; \quad  \dfrac{23\pi}{3} \quad ; \quad \dfrac{-23\pi}{4} \quad ; \quad \dfrac{-23\pi}{2}\quad ; \quad
\dfrac{15\pi}{4} \quad ; \quad \dfrac{-79\pi}{6} \quad ; \quad \dfrac{33\pi}{8} \quad ; \quad \dfrac{17\pi}{6}$$
\end{enumerate}}
% \exoc{$\dfrac{-10\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$ sont ils deux mesures d'un même angle orientés ?}




\exocpart{Fonctions trigonométriques}

\exoc{\emph{Cosinus et sinus des angles associés}.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Placer sur un cercle trigonométrique les points de mesures  $\frac{5\pi}{3}$ ; $\frac{2\pi}{3}$ et  $\frac{4\pi}{3}$.
	\item En déduire les valeurs exactes de $\cos(\frac{5\pi}{3})$, $\cos(\frac{2\pi}{3})$, $\cos(\frac{4\pi}{3})$, $\sin(\frac{5\pi}{3})$, $\sin(\frac{2\pi}{3})$ et  $\sin(\frac{4\pi}{3})$.
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Placer sur un cercle trigonométrique les points de mesures  $\frac{5\pi}{6}$ ; $\frac{-\pi}{6}$ et  $\frac{7\pi}{6}$.
	\item En déduire les valeurs exactes de $\cos(\frac{5\pi}{6})$, $\cos(\frac{-\pi}{6})$, $\cos(\frac{7\pi}{6})$, $\sin(\frac{5\pi}{6})$, $\sin(\frac{-\pi}{6})$ et  $\sin(\frac{7\pi}{6})$.
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Placer sur un cercle trigonométrique les points de mesures  $\frac{3\pi}{4}$ ; $\frac{5\pi}{4}$ et  $\frac{7\pi}{4}$.
	\item En déduire les valeurs exactes de $\cos(\frac{3\pi}{4})$, $\cos(\frac{5\pi}{4})$, $\cos(\frac{7\pi}{4})$, $\sin(\frac{3\pi}{4})$, $\sin(\frac{5\pi}{4})$,  $\sin(\frac{7\pi}{4})$, $\tan(\frac{3\pi}{4})$, $\tan(\frac{5\pi}{4})$ et  $\tan(\frac{7\pi}{4})$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\exoc{Simplifier le plus possible :
\begin{enumerate}
 \item $A=\cos(-\pi)+\cos(-\dfrac{3\pi}{4})+\cos(-\dfrac{\pi}{2})+\cos(-\dfrac{\pi}{4})$
 \item $B=\cos(0)+\cos(\dfrac{\pi}{4})+\cos(\dfrac{\pi}{2})+\cos(\dfrac{3\pi}{4})+\cos(\pi)$
 \item $C=\sin(\dfrac{\pi}{6})+\sin(\dfrac{\pi}{3})+\sin(\dfrac{\pi}{2})+\sin(\dfrac{2\pi}{3})+\sin(\dfrac{5\pi}{6})+\sin(\pi)$
\end{enumerate}}



\exoc{On considère l'équation $\cos(x)=\dfrac{1}{2}$.
\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item Dans un repère orthonormée, tracer un cercle trigonométrique et la droite d'équation $x=\dfrac{1}{2}$.
	\item En déduire les solutions de l'équation $\cos(x)=\dfrac{1}{2}$.
	\end{enumerate}
\item En s'inspirant de la démarche effectuée à la question précédente, résoudre, à l'aide d'un cercle trigonométrique chacune des équations suivantes :
	\begin{multicols}{2}
	\begin{enumerate}
	\item $\cos(x)=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}$
	\item $\sin(x)=\dfrac{1}{2}$
	\item $\sin(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
	\item $\cos(x)=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}$
	\end{enumerate}
	\end{multicols}
\end{enumerate}}



Formules Trigo (vacances) \#12

\end{document}
