\documentclass[12pt]{article}\usepackage{ammaths}\fr
\usepackage{pst-eucl}


\begin{document}\nocolor


\enteteseconde{5}{Line and Plane in 3D}{3D Geometry 2}

\begin{center}
\fbox{\parbox{14cm}{\sf\small \`A la fin de ce chapitre, vous dever :
\begin{itemize}
\item connaître les positions relatives concernant les droites et les plans
\item savoir prouver les parallélismes potentiels.
\end{itemize}
}}
\end{center}


%\exocpart{Positions relatives dans l'espace}

\exoc{$ABCD$ est un tétraèdre. Les points $I, J, K$ et $L$ sont respectivement sur les arêtes $[DB]$, $[DC]$, $[AB]$ et
$[DB]$, la droite $(IJ)$ étant parallèle à la droite $(BC)$ et la droite $(LK)$ parallèle à $(AD)$.\\
Compléter les phrases suivantes par \og coplanaires et sécantes \fg , \og coplanaires et parallèles \fg\ ou \og non
coplanaires \fg.\\
\begin{tabular}{p{5cm}p{1cm}p{10cm}}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
$$\begin{pspicture*}(-1,-1)(4.5,4.5)
%\psgridsubgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(4.5,4.5)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-1)(4.5,4.5)
\psline(1,1)(3,0)
\psline(3,0)(4,1)
\psline(4,1)(2,4)
\psline(2,4)(1,1)
\psline(2,4)(3,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](1,1)(4,1)
\psline(2.47,2.12)(2.94,2.59)
\psline(2.2,0.4)(2.6,1.6)
\rput[tr](1,1.12){$A$}
\rput[tr](3,0){$B$}
\rput[bl](4.07,1.12){$C$}
\rput[tr](1.9,4.1){$D$}
\rput[tr](2.34,2.23){$I$}
\rput[bl](3.01,2.7){$J$}
\rput[tr](2.07,0.52){$K$}
\rput[bl](2.67,1.72){$L$}
\end{pspicture*}$$
 & &
\begin{enumerate}
\item Les droites $(IJ)$ et $(DC)$ sont \dots
\item Les droites $(IJ)$ et $(LC)$ sont \dots
\item Les droites $(IJ)$ et $(AB)$ sont \dots
\item Les droites $(IJ)$ et $(KL)$ sont \dots
\item Les droites $(IK)$ et $(DC)$ sont \dots
\item La droite $(IJ)$ et le plan $(ABC)$ sont \dots
\item La droite $(IJ)$ et le plan $(AKL)$ sont \dots
\item Les plans $(DAB)$ et $(LDK)$ sont \dots
\item Les plans $(DAB)$ et $(CIJ)$ sont \dots
\end{enumerate}
\end{tabular}}

\exoc{Let $ABCDEFGH$ be a cube with faces $ABCD$ and $EFGH$ and edges $AE$, $BF$, $CG$ and $DH$.
Let $I$, $J$, $K$, $L$, $M$ be the respective midpoints of the edges $AB$, $BC$,
$BF$, $EF$ and $FG$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
    \item Find all the lines parallel to $(IJ)$.
    \item Find all the lines coincident with $(JK)$ that don't have $J$ nor $K$ in their names.
    \item Find at least six lines coplanar with $(KL)$ that don't have $K$ nor $L$ in their names.
    \item Find at least six lines non coplanar with $(LM)$.
    \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
    \item Are the points $I$, $K$, $M$ collinear ? Explain your answer.
    \item Are the points $B$, $D$, $M$ collinear ? Explain your answer.
    \item Are the points $I$, $J$, $K$, $B$ coplanar ? Explain your answer.
    \item Are the points $K$, $M$, $C$, $G$ coplanar ? Explain your answer.
    \item Are the points $A$, $C$, $L$, $M$ coplanar ? Explain your answer.
        \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
    \item Find all the faces of the cube coincident with $(KLM)$.
    \item Find all the planes parallel to $(IJK)$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}}

% \begin{center}
% \psset{unit=0.35cm}
% \pspicture(-0.5,-0.5)(10,8.5)
% \psline(0,0)(6,0)(6,6)(0,6)(2.5,8)(8.5,8)(6,6)(6,0)(8.5,2)(8.5,8)
% \psline(0,0)(0,6)
% \psline[linestyle=dashed](0,0)(2.5,2)(2.5,8)
% \psline[linestyle=dashed](2.5,2)(8.5,2)
% \psline(0,6)(2.5,8)
% \psline(6,0)(8.5,2)
% \uput[l](0,0){\small $A$}
% \uput[dr](6,0){\small $B$}
% \uput[r](8.5,2){\small $C$}
% \uput[ul](2.5,2){\small $D$}
% \uput[l](0,6){\small $E$}
% \uput[dr](6,6){\small $F$}
% \uput[r](8.5,8){\small $G$}
% \uput[ul](2.5,8){\small $H$}
% \endpspicture
% \end{center}



% \exoc{%geospace cube2.g3w\\
% Soit $ABCDEFGH$ un cube dont $ABCD$ et $EFGH$ sont des faces
% et $AE]$, $BF]$, $CG]$ et $DH]$ sont des arêtes. On note $I$,
% $J$, $K$, $L$, $M$ les milieux respectifs des arêtes $AB]$, $BC]$,
% $BF]$, $EF]$ et $FG]$.
% \begin{center}
% \psset{unit=0.4cm}
% \pspicture(-0.5,-0.5)(10,8.5)
% \psline(0,0)(6,0)(6,6)(0,6)(2.5,8)(8.5,8)(6,6)(6,0)(8.5,2)(8.5,8)
% \psline(0,0)(0,6)
% \psline[linestyle=dashed](0,0)(2.5,2)(2.5,8)
% \psline[linestyle=dashed](2.5,2)(8.5,2)
% \psline(0,6)(2.5,8)
% \psline(6,0)(8.5,2)
% \uput[l](0,0){\small $A$}
% \uput[dr](6,0){\small $B$}
% \uput[r](8.5,2){\small $C$}
% \uput[ul](2.5,2){\small $D$}
% \uput[l](0,6){\small $E$}
% \uput[dr](6,6){\small $F$}
% \uput[r](8.5,8){\small $G$}
% \uput[ul](2.5,8){\small $H$}
% \endpspicture
% \end{center}
% 
% \begin{enumerate}
% \item \begin{enumerate}
%     %\item Dresser la liste de toutes les droites parallèles à $(IJ)$  définies par deux points de cette figure.
%     \item Dresser la liste de toutes les droites sécantes avec $(JK)$  définies par deux points de cette figure.
%     \item Dresser la liste de toutes les droites coplanaires avec $(KL)$  définies par deux points de cette figure.
%     \item Dresser la liste de toutes les droites non coplanaires avec $(LM)$  définies par deux points de cette
%figure.
%     \end{enumerate}
% \item Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse :
% 	\begin{enumerate}
% 	\item La droite $(ED)$ est parallèle au plan $(EGB)$.
% 	\item La droite $(BC)$ est parallèle au plan $(AFG)$.
% 	\item La droite $(BF)$ est parallèle au plan $(EGC)$.
% 	\item La droite $(FC)$ est parallèle au plan $(ADE)$.
% 	\end{enumerate}
% \item \begin{enumerate}
% 	\item Les points $I$, $K$ et $M$ sont-ils alignés ? Justifier votre réponse.
% 	\item Les points $B$, $D$ et $M$ sont-ils alignés ? Justifier votre réponse.
% 	\item Les points $I$, $J$, $K$ et $B$ sont-ils coplanaires ? Justifier votre réponse.
% 	\item Les points $K$, $M$, $C$ et $G$ sont-ils coplanaires ? Justifier votre réponse.
% 	\item Les points $A$, $C$, $L$ et $M$ sont-ils coplanaires ? Justifier votre réponse.
% 	\end{enumerate}
% \item \begin{enumerate}
% 	\item Dresser la liste des plans de la figure sécants avec $(KLM)$.
% 	\item Dresser la liste des plans de la figure parallèles à $(IJK)$.
% 	\end{enumerate}
% \end{enumerate}}
% 
% 
% \pagebreak

\pagebreak
\exoc{$ABCDEFGH$ est un cube dont $ABCD$ et $EFGH$ sont des faces et $[AE]$, $[BF]$, $[CG]$ et $[DH]$ sont des
arêtes. Déterminer, si elle existe, l'intersection
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item des plans $(GHC)$ et $(ABC)$ ;
\item des plans $(ABG)$ et $(EFG)$ ;
\item des plans $(EFG)$ et $(ABC)$ ;
\item des plans $(GHC)$ et $(ABC)$ ;
\item des plans $(AFC)$ et $(ABD)$ ;
\item des plans $(CDF)$ et $(BHD)$ ;
\item des plans $(DEG)$ et $(AFH)$ ;
\item du plan $(GHC)$ et de la droite $(AD)$ ;
\item du plan $(BHD)$ et de la droite $(CF)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}	

% \begin{center}
% \psset{unit=0.4cm}
% \pspicture(-0.5,-0.5)(10,8.5)
% \psline(0,0)(6,0)(6,6)(0,6)(2.5,8)(8.5,8)(6,6)(6,0)(8.5,2)(8.5,8)
% \psline(0,0)(0,6)
% \psline[linestyle=dashed](0,0)(2.5,2)(2.5,8)
% \psline[linestyle=dashed](2.5,2)(8.5,2)
% \psline(0,6)(2.5,8)
% \psline(6,0)(8.5,2)
% \uput[l](0,0){\small $A$}
% \uput[dr](6,0){\small $B$}
% \uput[r](8.5,2){\small $C$}
% \uput[ul](2.5,2){\small $D$}
% \uput[l](0,6){\small $E$}
% \uput[dr](6,6){\small $F$}
% \uput[r](8.5,8){\small $G$}
% \uput[ul](2.5,8){\small $H$}
% \endpspicture
% \end{center}


\exoc{Consider a cuboid $ABCDEFGH$ such that $AB=6$cm, $AE=3$cm and $AD=4$cm.
The face $ABFE$ will be drawn as the front face, in real size, with the edge $BF$ on top. The length $AD$ will measure
$2.5$cm on the picture. A 6cm space will be left empty on top of the figure.\\ The points
$I$ and $J$ are the respective midpoints of the edges $AB$ and
$DC$. The points $L$ and $M$ are defined by the relations
$\vect{BL}=2\vect{BF}$ and $\vect{CM}=2\vect{CG}$.
\begin{enumerate}
\item Draw a precise picture.
\item Prove that the line segments $EF$ and $AL$ are coincident. Their intersection will be called $K$. 
\item Use vectors to prove that $K$ is the midpoint of $EF$ and $AL$.
\item In the same way, what can you say about the intersection $P$ of the line segments $HG$ and $DM$ ?
\item Compute the volume of the solid $ABLKEDCMPH$.
\end{enumerate}
}

%\pagebreak


%\exocpart{Parallélisme dans l'espace}


\exoc{\vspace*{-0.7cm}
\probpart{}

Soit $ABCDA'B'C'D'$ un parallélépipède rectangle de base $ABCD$ et
d'arêtes $[AA']$, $[BB']$, $[CC']$, $[DD']$, dont la
représentation en perspective cavalière vérifie $AB=8$cm, $BC=3.5$cm
et $AA'=4$cm. On note $I$, $J$, $I'$ et $J'$ les milieux respectifs
de $[AB]$, $[CD]$, $[A'B']$ et $[C'D']$. Dans chacune des questions
on précisera clairement les propriétés utilisées.
\begin{enumerate}
\item Prouver que les droites $(IJ)$ et $(II')$ sont parallèles au
plan $(BCB')$.
\item En déduire que le plan $(IJI')$ est parallèle à $(BCB')$.
\item Prouver que les droites $(AD)$ et $(I'J')$ sont parallèles au
plan $(BCB')$.
\item Peut-on déduire de la question précédente que les plans
$(ADI')$ et $(BCB')$ sont parallèles ? S'ils ne le sont pas,
construire leur intersection.
\item Prouver que les plans $(A'DC)$ et $(IJJ')$ ont un point
commun. En déduire la nature de leur intersection puis la préciser
explicitement.
\item Prouver que les droites $(IC)$ et $(JB)$ sont coplanaires et
non parallèles. En déduire leur position relative.
\end{enumerate}

\probpart{}

On note à présent  $K$ l'intersection de $(IC)$ et $(JB)$ et $K'$
celle $(I'C')$ et $(J'B')$.
\begin{enumerate}
\item Prouver que $K$ est le milieu de $[IC]$ et $[JB]$ et que $K'$
est le milieu de $[I'C']$ et $[J'B']$. En déduire que la droite
$(KK')$ est parallèle aux plans $(II'B)$ et $(CBB')$.
\item Les droites $(KC)$ et $(DA')$ sont-elles coplanaires ?\par Si
oui, sont-elles sécantes et en quel point ?
\item Mêmes questions pour les droites $(KI)$ et $(AA')$.
\item Mêmes questions pour les droites $(KJ)$ et $(BC')$.
\item Mêmes questions pour les droites $(KC')$ et $(II')$.
\item Mêmes questions pour les droites $(A'K)$ et $(AJ)$.
\end{enumerate}

\probpart{}

Soit $M$ un point quelconque du segment $[IJ]$.
\begin{enumerate}
\item Prouver que le plan $(KK'M)$ est sécant aux plans $(II'J)$ et
$(BCC')$ et construire les deux intersections, notées respectivement
$\Delta$ et $\Delta'$.
\item Prouver que $\Delta$ et $\Delta'$ sont parallèles.
\item Démontrer que $(BB')$ est parallèle au plan $(KK'M)$.
%\item Expliquer pourquoi les plans $(KK'M)$ et $(AA'D)$ sont
%sécants et construire leur intersection notée $\Delta''$.
%\item Prouver que $\Delta''$ et $(BB')$ sont parallèles.
\end{enumerate} }


\exoc{Let $ABCDE$ be a regulary square-based pyramid, with $ABCD$ its base. We note $I$,
$J$ and $K$ the respective midpoints of the edges $AE$, $BE$ and $CE$.
\begin{enumerate}
\item Prove that the lines $IJ$ and $DC$ are parallel.
\item Prove that the planes $IJK$ and $ABC$ are parallel.
\item Deduce from the previous question that the lines $KK'$ et $DC$ are parallel.
\item Find out the intersections of the plane $IJK$ with the plane $CDE$ and the lines $DE$.
\end{enumerate} }




\exoc{%geospace cube1.g3w\\
$ABCDEFGH$ est un cube. $I$, $J$, $K$ et $L$ sont les milieux respectifs des segments $[AE]$, $[AB]$, $[BC]$, et $[CG]$.
\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item \begin{enumerate}
      \item Montrer que le quadrilatère $AILC$ est un parallélogramme.
      \item Montrer que les droites $(JK)$ et $(AC)$ sont parallèles.
      \item En déduire que les droites $(JK)$ et $(IL)$ sont parallèles.
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item Déduire de 2. que les droites $(IJ)$ et $(KL)$ sont coplanaires.
      \item Peuvent-elles être parallèles ? Expliquer.
      \item On note $M$ leur point d'intersection.\\
      Montrer que $M$ appartient à la droite $(BF)$.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}}


\exoc{$SABCD$ est une pyramide de sommet $S$ à base rectangulaire. Les points $M$ et $N$ sont respectivement sur les arêtes $[SA]$ et $[SB]$ tels que $(MN)$ et $(AB)$ sont parallèles.
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que $(CD)$ et $(MN)$ sont parallèles.
 \item Dans le plan $(MNCD)$, les droites $(DM)$ et $(CN)$ se coupent en $P$.
		\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi $P$ appartient à la fois au plan $(SAD)$ et au plan $(SBC)$.
		\item Quelle est la droite d'intersection de $(SAD)$ et $(SBC)$ ?
		\item En déduire que $(SP)$ est parallèle à $(BC)$ et à $(AD)$.
		 \end{enumerate}
\end{enumerate}}

\pagebreak
\exoc{%geospace tetra.g3w\\
Soit un tétraèdre $ABCD$.\\
On note $I$, $J$, $L$ et $K$ les milieux respectifs des segments $[AB]$, $[AC]$, $[AD]$ et $[AL]$.
\begin{enumerate}
	\item Démontrer que la droite $(IJ)$ est parallèle au plan $(BCD)$.
	\item Démontrer que les plans $(IJL)$ et $(BCD)$ sont parallèles.
	\item Déterminer le point d'intersection de la droite $(JK)$ et du plan $(BCD)$.
	\item Dessiner la droite $\Dr$ intersection des plans $(IJK)$ et $(BCD)$ puis démontrer que les droites $(IJ)$ et $\Dr$ sont parallèles.
	\item On note $\P$ le plan contenant la droite $\Dr$ et le point $L$ et on note $\Drp$ la droite d'intersection
des plans $\P$ et $(IJL)$.
	Démontrer que les droites $\Dr$ et $\Drp$ sont parallèles.
\end{enumerate}}



\exoc{Let $ABCD$ be a regular tetrahedron with $I$, $J$, $K$, $L$, $M$ and $N$ the respective midpoints
of the edges $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, $AC$ and $DB$.
\begin{enumerate}
\item Draw a precise picture.
\item Prove that the lines $IL$ and $KJ$ are parallel to the same line. Deduce the incidence relation between these two lines. 
\item Find out the nature of the quadrilateral $IJKL$.
\item Prove that $IN=\frac12AD$ and find out the nature of the triangle $IJN$.
\item How many faces does the solid $IJKLMN$ have ? Is it regular ? What can you deduce about the nature of this solid.
\end{enumerate}
}


%\emph{Notes :} 1 dm$^3$=1L.

% \partie{Devoir Maison}
% \exoc{It seems obvious that the volume of a pyramid should depend on
% the area of its base and its height. We suppose in this exercise
% that we don't know the actual formula, only that there is a number
% $k$ such that the volume of a pyramid of base of area $\mathscr A$
% and of height $h$ is $k\times {\mathscr A}\times h$. The aim of this exercise is to find the value of $k$.
% 
% {\sl Reminder :} A tetrahedron is a triangle-based pyramid.
% 
% \bigskip
% 
% Let $ABCDEFGH$ a cube of side $a$ cm, with edges $AE]$, $BF]$,
% $CG]$ and $DH]$. We call $O$ the center of the face $EFGH$ and
% $P$, $Q$, $R$, $S$ the respective midpoints of the edges $EF]$,
% $FG]$, $GH]$ and $HE]$. We will admit in this exercise that the
% point $O$ is the midpoint of the segments $PR]$ and $QS]$.
% \begin{enumerate}
% \item Draw the cube with $ABCD$ as the bottom face. Place the points
% $O$, $P$, $Q$, $R$, $T$.
% \item Prove that the lines $(QS)$ and $(AB)$ are parallel. Deduce
% the five points in the figure that are on the plane $(ABO)$.
% \item Prove that $ABCDSQ$ is a right prism. Compute its volume.
% \item Draw in a new figure the prism $ABCDSQ$.
% \item What is the nature of the solids $ABCDO$, $BCQO$ and $ADSO$ ?
% \item Compute the volumes of the solids $ABCDO$, $BCQO$ and $ADSO$
% using the formula given in the text (with the unknown $k$).
% \item Explain why $\frac{a^3}{2}=k\frac{a^3}{4}+ka^3+k\frac{a^3}{4}.$
% \item Deduce from the previous formula the value of $k$.
% \end{enumerate}
% }
% 

\en
\partie{Homework \#10 -- The greatest area}

Consider a square $ABCD$, with side $8$cm. The point $B'$ is on the segment $[AB]$ and the points $C'$ and $D'$ form a smaller square $AB'C'D'$ inside of $ABCD$, with $D'$ on $[AD]$. 

Consider now the triangle $BB'C'$ and the trapezium $DCC'D'$.

\begin{quote}\em
Find the position of $B'$ for which the sum of the areas of the triangle and the trapezium is maximal.  
\end{quote}


Your method must be precisely explained, and can include graphs, tables or other elements, done with paper and pen or with a computer. Special care should be given to the quality of the language, which may be evaluated separately.


\end{document}

