\documentclass[12pt]{article}\usepackage[Mickael]{ammaths}\fr
\usepackage{alterqcm}

\begin{document}\nocolor

\enteteseconde{14}{Fonctions inverse et homographique}{Fonctions 5}

\begin{center}
\fbox{\parbox{14cm}{\sf\small A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
\begin{itemize}
\item connaître la représentation graphique et les variations de la fonction inverse ;
\item identifier l'ensemble de définition d'une fonction homographique ;
\item transformer des expressions rationnelles simples ;
\item résoudre une inéquation à partir de l'étude du signe d'une expression quotient de facteurs du premier degré. 
\end{itemize}
}}
\end{center}


\exoc{Soit $h$ la fonction définie par $$h(x)=\frac{1}{x}.$$ Cette
fonction est appelée fonction <<~inverse~>>.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Dans un tableau de valeurs, donner sous forme de puissance de $10$ les images par la fonction $h$ des
nombres suivants : $1$ ; $10^{-1}$ ; $10^{-3}$ ; $10^{-5}$. 
	\item Que semble-t-il se passer pour $h(x)$ quand $x$ s'approche de $0$ ?
	\item Que peut-on alors dire l'image de $0$ par la fonction $h$ ?
	\end{enumerate}
\item Donner l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $h(x)$ existe, c'est à dire l'\emph{ensemble de définition}
de $h$.
\item Dans cette question, nous allons déterminer le sens de variation de $h$ sur $]0;+\infty[$. Pour cela, on
considère deux réels $a$ et $b$ strictement positifs tels que $a<b$.
	\begin{enumerate}
	\item Quelles sont les images de $a$ et $b$ par la fonction $h$ ?
	\item Vérifier que $h(a)-h(b)=\frac{b-a}{ab}$.
	\item D'après la définition de $a$ et $b$, que peut-on dire du signe de $b-a$ et de celui de $ab$ ? En déduire
le signe de $h(a)-h(b)$.
	\item Grâce à la question précédente, ordonner $h(a)$ et $h(b)$. En déduire le sens de variation de $h$ sur
$]0;+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item Utiliser la méthode de la question précédente pour déterminer le sens de variation de $h$ sur $]-\infty;0[$.
\item Dresser le tableau de variation de $h$ sur $\R$. On fera apparaître clairement la valeur interdite.
\item La fonction $h$ admet-elle un maximum et/ou un minimum. Si oui, lequel et pour quelle
valeur de $x$.
\item Effectuer la représentation graphique de $h$ sur l'intervalle $[-5;5]$.
\item Résoudre graphiquement les équations et inéquations suivantes.\par
\begin{tabular}{cccccccc}
    $\frac{1}{x}=1.2$ ; & $\frac{1}{x}=7$ ; & $\frac{1}{x}=-1$ ; & $\frac{1}{x}=0$ ;
    & $\frac{1}{x}>3$ ; & $\frac{1}{x}\leq -5$ ; $2.5>\frac{1}{x}$ ; & $-1<\frac{1}{x}\leq 1$. \\
\end{tabular}
\end{enumerate}}

\pagebreak
\exoc{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou non. Si elle est fausse, expliquer l'erreur
commise.
\begin{enumerate}
\item La fonction inverse est décroissante et $-3<-2$, donc $-\frac{1}{3}>-\frac{1}{2}$.
\item La fonction inverse est décroissante et $-3<2$, donc $\frac{1}{-3}>\frac{1}{2}$.
\item La fonction inverse est décroissante donc si $x<4$, alors $\frac{1}{x}>\frac{1}{4}$.
\item La fonction inverse est décroissante donc si $x<-4$, alors $\frac{1}{x}>-\frac{1}{4}$.
\end{enumerate}}


\exoc{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est exacte.
% Une seule réponse par question est acceptée et aucune justification n'est demandée.\\
% Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Questions & A & B & C 
\\ \hline
si $x\in[1;3]$ alors & $\dfrac{1}{x}\in[3;1]$ &$\dfrac{1}{x}\in [\dfrac{1}{3};1]$&$\dfrac{1}{x}\in [1;\dfrac{1}{3}]$
\rule{0pt}{20pt}\\[10pt] \hline
si $\dfrac{1}{x}=4$ alors & $x=0,25$ & $x=-4$& $x=-0,25$
\rule{0pt}{20pt}\\[10pt] \hline
si $\dfrac{1}{x}\geq10$ alors & $x\in[10;+\infty[$&$x\in[\dfrac{1}{10};+\infty[$&$x\in]0;0,1]$
\rule{0pt}{20pt}\\[10pt] \hline
si $a<b<0$ alors &$\dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{b}<0$&$\dfrac{1}{b}<\dfrac{1}{a}<0$&$0<\dfrac{1}{b}<\dfrac{1}{a}$
\rule{0pt}{20pt}\\[10pt] \hline
$g:x\mapsto \dfrac{-2x+5}{2x}$ est définie sur &$\R-\{0\}$&$\R-\{-2\}$&$\R-\{2,5\}$
\rule{0pt}{20pt}\\[10pt] \hline
\parbox{5cm}{La fonction inverse est décroissante sur}&$]0;+\infty[$&$]-\infty;0[$&$]-\infty;+\infty[$
\rule{0pt}{20pt}\\[10pt] \hline
\parbox{5cm}{Laquelle de ces fonctions est homographiques ?}&$h_1(x)=\dfrac{2x-4}{x^2+1}$&$h_2(x)=1+\dfrac{2x}{x+2}$&$h_3(x)=\dfrac{2x+3}{4x+6}$
\rule{0pt}{20pt}\\[10pt] \hline
$2$ est l'unique solution de &$x^2-4=0$&$\dfrac{4x+1}{x+1}=3$&$\dfrac{x+1}{x-2}=3$
\rule{0pt}{20pt}\\[10pt] \hline
\end{tabular}
\end{center}
}


\exoc{Déterminer l'ensemble de définition de chacun des fonctions homographiques ci-dessous.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $h_1(x)=\dfrac{2x+1}{2x-1}$ ;
\item $h_2(x)=\dfrac{x}{-x+7}$ ;
\item $h_3(x)=\dfrac{7x-1}{3x+9}$ ;
\item $h_4(x)=\dfrac{x+3}{5x-1}$ ;
\item $h_5(x)=\dfrac{3x+5}{8x-12}$ ;
\item $h_6(x)=\dfrac{2x+9}{-5x-15}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\pagebreak

\exoc{Dans cet exercice, on considère la fonction homographique définie par $$f(x)=\dfrac{3x+10}{x+5}.$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$.
\item \begin{enumerate}
      \item Calculer $f(0)$.
      \item En déduire les coordonnées du point d'intersection de la courbe de $f$ avec l'axe des ordonnées.
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item Résoudre l'équation $f(x)=0$.
      \item En déduire les coordonnées du point d'intersection de la courbe de $f$ avec l'axe des abscisses.
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item Dresser le tableau de signes de la fonction $f$.
      \item En déduire les valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction $f$ est positive.
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item Utiliser l'ensemble des informations précédentes pour proposer une allure générale de la courbe de $f$. Les
valeurs particulières seront à préciser.
      \item Utiliser la calculatrice pour vérifier votre tracé.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

% \exoc{\tice~
% \begin{enumerate}
%  \item Draw the graph of the functions $h_1(x)=\dfrac{2x+4}{6x-3}$ and $h_2(x)=\dfrac{5x+1}{4x+2}$.
%  \item Used the previous question to fill the dots out in the following algorithm.
% 	\begin{center}\vspace*{-15pt}
% 	\begin{minipage}[t]{14.5cm}
% 	\IncMargin{1em}
% 	\begin{algorithm}[H]
% 	%\KwData{$x$, $a$ and $b$ three real numbers \;}
% 	\Begin{\KwIn{$a$, $b$, $c$, $d$ coefficients of a homographic function \;}
% 	$-\dfrac{d}{c} \rightarrow v$ \;
% 	$ad-bc \rightarrow u$ \;
% 	\eIf{$u \geq 0$}{\KwOut{``The function is decreasing over \dots ''\;}}
% 			{\KwOut{``The function is increasing over \dots ''\;}}
% 	}
% 	\end{algorithm}
% 	\DecMargin{1em}
% 	\end{minipage}
% 	\end{center}
%  \item Apply the algorithm with the function $h(x)= $ ? What happens ? Amend the algorithm to avoid this problem ?
% \end{enumerate}
% }

\en

\exoc{\tice~Write, implement and test an algotrithm that returns the forbidden value and the zero of a homographic function} 

\exoc{In this exercise, we consider the two functions $f$ and $g$ defined by 
$$f(x)=\frac{x+1}{x}\textrm{ and }g(x)=\frac{x}{x+1}.$$

\probpart{-- About function $\boldsymbol{f}$}

\begin{enumerate}
\item What is the domain of function $f$ ?
\item What are the solutions of the equation $f(x)=0$ ?
\item \begin{enumerate}
	\item Check that $f(x)=\frac{1}{x}+1$.
	\item Deduce from the variations of the reciprocal function the variations table of $f$.
	\end{enumerate}
\item Draw the graph of $f$ over the interval $[-5;5]$.
\end{enumerate}

\probpart{-- About function $\boldsymbol{g}$}

\begin{enumerate}
\item What is the domain of function $g$ ?
\item What are the solutions of the equation  $g(x)=0$ ? 
\item Draw the graph of $g$ over the interval $[-5;5]$ on the same graph paper as the graph of $f$.
\item Build the variations table of $g$.
\end{enumerate}

\probpart{-- The intersection point}

\begin{enumerate}
\item Graphically, find the coordinates of the intersection between the two graphs.
\item Solve the equation $f(x)=g(x)$. How is this result related to the previous one ?
\end{enumerate}
}


% \begin{quote}
% \sl I believe that numbers and functions of Analysis are not the arbitrary result of our minds; I think that they exist
% outside of us, with the same character of necessity as the things of objective reality, and we meet them or discover
% them, and study them, as do the physicists, the chemists and the zoologists.
% \end{quote}
% 
% \begin{flushright}
% Charles Hermite
% \end{flushright}
% 
% \begin{quote}
% \sl Analysis is the art of taming infinity.
% \end{quote}
% 
% \begin{flushright}
% Neil Falkner
% \end{flushright}
% 
% \begin{quote}
% \sl A lot of mathematicians are a little bit strange in one way or another. It goes with creativity.
% \end{quote}
% 
% \begin{flushright}
% Peter Duren
% \end{flushright}

\pagebreak


\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{math-dance-moves.eps}
\end{center}

\end{document}
