\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[Mickael]{ammaths}
%\usepackage{alterqcm}

\begin{document}\nocolor


\enteteseconde{13}{Droites parallèles et sécantes}{Géométrie plane 5}




\begin{center}
\fbox{\parbox{12cm}{\sf\small A la fin de ce chapitre, vous devez être capable :
\begin{itemize}
\itemb reconnaître que deux droites sont parallèles, sécantes ;
\itemb déterminer les coordonnées du point d'intersection de deux droites sécantes.
\end{itemize}
}}
\end{center}




\exocpart{Parallélisme}

\exoc{Draw the lines whose equations are given below, then find out their slopes. What seems to be the link between
these numbers and parallelism ?
\begin{multicols}{3}
$d_1 : y=2x+3$ ;\\
$d_2 : y=-3x-1$ ;\\
$d_3 : y=-0.5x+2$ ;\\
$d_4 : 2x-y-1=0$ ;\\
$d_5 : 2y+6x+6=0$ ;\\
$d_6 : 1.5x+3y+3=0$.
\end{multicols}}


\exoc{Sans les tracer, regrouper toutes les droites dont les
équations sont données ci-dessous en familles de droites parallèles.
\begin{multicols}{4}
$d_1:y=-2x+1$ \\
$d_2:y=\frac{1}{4}x-3$\\
$d_3:y=-3x-2$ \\
$d_4:y=2x-1$ \\
$d_5:y=-2x-2$ \\
$d_6:y=-3x+\frac{1}{2}$ \\
$d_7:y=2x$ \\
$d_8:y=5$ \\
$d_9:y=-3x-4$ \\
$d_{10}:y=\frac{1}{4}x+1.5$ \\
$d_{11}:x=5$ \\
$d_{12}:y=\frac{1}{4}x+6$
\end{multicols}
}


\exoc{En déterminant leurs coefficients directeurs, reconnaître dans
la liste ci-dessous les droites parallèles.
\begin{multicols}{2}
$\Delta_1 : y=\frac{1}{3}x+2$ ; \\
$\Delta_2 : y=-5x-1$ ; \\
$\Delta_3 : 7y=-4x+5$ ; \\
$\Delta_4 : x-3y-2=0$ ; \\
$\Delta_5 : 4y+20x+8=0$ ; \\
$\Delta_6 : -3.5y-2x+7=0$ ; \\
$\Delta_7 : \frac{3}{2}y-\frac{1}{2}x+7=0$ ; \\
$\Delta_8 : 35y+20x=12$.
\end{multicols}
}

\exoc{Let $d_0$ be the line of equation $y=3x-2$. Find the equations of the lines described below.
\begin{enumerate}
\item $d_1$ is parallel to $d_0$ and has intercept $4$.
\item $d_2$ is parallel to $d_0$ and passes through the point $(-1;0)$.
\item $d_3$ has slope $2$ and meets $d_0$ at point $(7;19)$.
\item $d_4$ is parallel to the $x$-axis and has the same intercept as $d_0$.
\item $d_5$ never meets $d_0$ and is passing though the origin.
\end{enumerate}
}


\pagebreak

\exocpart{Intersections de droites}


\exoc{On considère le système : $\S \syst{-2x+y}{-1}{-5x+y}{2}$.\\
\begin{enumerate}
	\item Donnez les équations réduites des droites associées à ce système.
	\item A l'aide de la calculatrice graphique, tracez les droites et déduisez-en une approximation de la solution.
	\item Vérifiez par le calcul que le couple obtenu est bien la solution exacte du système.
\end{enumerate}}

\exoc{Déterminer à l'aide de la calculatrice une approximation des solutions de chacun des sytèmes suivants puis vérifier  par le calcul les couples de solutions obtenus.\par
\begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
    \item $\syst{y}{-2x-1}{y}{\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}}$ ;
    \item $\syst{y}{5x-10}{y}{x}$ ;
    \item $\syst{y}{-41x+3}{x}{-1}$ ;
    %\item $\syst{y}{-12x-23}{y=-x+98}$ ;
    \item $\syst{y}{5x-1}{y}{5x-2}$ ;
    \end{enumerate}
\end{multicols}
}


\exoc{Déterminer une équation de chacune des droites tracées ci-dessous, puis en déduire la résolution graphique de chacun des systèmes donnés.\\
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
\psset{unit=0.75cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
\def\xmin{-4}\def\ymin{-4}\def\xmax{8}\def\ymax{5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,5.5)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray,
subgriddiv=2](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psplot[linecolor=rouge]{-4}{5}{2/5*x+3}\rput(3,4.5){$(d_1)$}
\psline[linecolor=bleu](-2.5,-4)(-2.5,5)\rput(-2,-3.5){$(d_2)$}
\psline[linecolor=rouge](-4,4)(8,4)\rput(7,4.5){$(d_3)$}
\psplot[linecolor=rouge]{-4}{8}{1/2.5*x-1.5}\rput(-3.5,-2.5){$(d_4)$}
\psplot[linecolor=rouge]{-4}{8}{-1/9*x+31/18}\rput(-3.5,2.5){$(d_5)$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{enumerate}
 \item $\syst{y}{\frac{2}{5}x+3}{2x+5}{0}$
 \item $\syst{4x-10y}{15}{2x+18y}{31}$
 \item $\syst{y}{4}{2x+5}{0}$
 \item $\syst{y}{\frac{2}{5}x-\frac{3}{2}}{2x-5y}{-15}$
\end{enumerate}
\end{minipage}
}


\exoc{\tice~The algorithm below is about a system of the form $\syst{ax+b}{c}{a'x+b'y}{c'}$ where $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$ and $c'$ and six real numbers, $x$ and $y$ being the unknows.
\begin{center}
\begin{minipage}[t]{14cm}
\IncMargin{1em}
\begin{algorithm}[H]
\Begin{\KwIn{$a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$, $c'$, six real numbers \;}
$ad-bc\rightarrow u$ \;
\If{$\alpha \neq 0$}{$\dfrac{cb'-c'b}{\alpha}\rightarrow v$ \;
		      $\dfrac{ca'-c'a}{\alpha}\rightarrow w$ \;		      
		      \KwOut{u,v \;}
		     } 
}
\end{algorithm}
\DecMargin{1em}
\end{minipage}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
       \item Apply the algorithm to the system $\syst{2x+3y}{7}{3x+2y}{8}$.
       \item Try and find the aim of this algorithm. Check your answer.                                                                                                                                              \end{enumerate}
 \item Same questions with the system $\syst{x+y}{9}{x-y}{-1}$.
 \item Explain the necessity of the condition $ad-bc=0$. What happens for the system in this case ? To answer this question, you could find out a system in which $ad-bc=0$ then draw the lines corresponding to it.
\end{enumerate}
}

\exocpart{Applications}

\en
\exoc{Let $ABCD$ be a square with side $1$. The points $I$ and $J$ are the respective midpoints of the sides $AB$ and
$AD$. Let $K$ be the intersection of the lines $AC$ and $BJ$.\\
The aim of this exercise is to prove that the points $D$, $K$, $I$ are collinear.

\probpart{-- First method}

Consider the coordinate system $(A;B,D)$.
\begin{enumerate}
\item Give the coordinates of the points $A$, $B$, $C$, $D$, $I$, $J$.
\item Find equations for the lines $AC$ and $BJ$.
\item Compute the coordinates of the point $K$, intersection of lines $AC$ and $BJ$.
\item Prove that the points $D$, $K$ and $I$ are collinear.
\end{enumerate}

\probpart{-- Second method}

\begin{enumerate}
\item What are the lines $AC$ and $BJ$ in triangle $ABD$ ?
\item Deduce that the points $D$, $K$ and $I$ are collinear.
\end{enumerate}
}
\fr


\exoc{Dans un repère, on considère quatre points
$A(-4;1)$, $B(2;4)$, $C(1;0)$, $D(-5;-3)$.
\begin{enumerate}
\item Tracer une figure et prouver que $ABCD$ est un parallélogramme.
\item Soit $I$ et $J$ les milieu respectifs des côtés $[BC]$ et $[AD]$.
Déterminer les coordonnées de ces points et placer les dans le repère.
\item La droite $(AD)$ admet-elle une équation réduite  ?
\item Déterminer les équations réduites des droites $(AC)$ et $(BD)$.
\item Déterminer les coordonnées du point $K$, intersection des droites $(AC)$ et $(BD)$.
\item En utilisant les vecteurs; prouver que les points $I$, $J$ et $K$ sont alignés.
\item Prouver à nouveau cette propriété en utilisant l'équation réduite de la droite $(IJ)$.
\item En utilisant les équations réduites, prouver que les droites $(AB)$, $(CD)$, $(IK)$ et $(JK)$ sont parallèles. En déduire une nouvelle preuve de l'alignement des points $I$, $J$ et $K$.
\end{enumerate} }

\pagebreak

\en
\exoc{In a plane coordinate system $\OIJ$, consider the points $A(-2,1)$, $B(4,3)$, $C(5,0)$ and
$D(-1,-2)$. The aim of this exercise is to study the quadrilateral $ABCD$. A figure will be drawn and completed all
along the exercise



\begin{enumerate}
\item Check that $A$ and $B$ are on the line of equation $y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$.
\item We admit that the slope of the line $CD$ is $\frac{1}{3}$ and that its intercept is $-\frac{5}{3}$. Deduce its
slope-intercept equation.
\item Find the slope-intercept equations of the lines $AD$ and $BC$.
\item Deduce from the previous questions that the opposite sides in quadrilateral $ABCD$ are parallel. What does it
mean about the quadrilateral itself ?
\item Compute some lengths to find out the nature of $ABCD$.
\end{enumerate}
}
\fr



\exoc{Un transporteur doit véhiculer $960$ personnes. Il dispose de bus de $40$ places et de bus de $60$ places.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
	\item Si le transporteur n'utilise que des bus de $40$ places, combien de bus doit-il prévoir ?
 	\item Si le transporteur n'utilise que des bus de $60$ places, combien de bus doit-il prévoir ?
 	\end{enumerate}
 \item Le transporteur utilise $x$ bus de $40$ places et $y$ bus de $60$ places.
 	\begin{enumerate}
 	 %\item À quel ensemble de nombres appartiennent $x$ et $y$ ?
 	 \item Déterminer une équation vérifiée par $x$ et $y$.
 	 \item Tracer la droite correspondante dans un repère orthonormé d'unité graphique $1$ cm.
 	 \item Combien de bus de chaque sorte le transporteur doit-il prévoir ? Indiquer toutes les possibilités.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}}


\exoc{Deux sociétés louent une camionette aux conditions suivantes :
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{2.5cm}||*{2}{c|}}\hline
&Forfait journalier & Prix du km parcouru\\\hline
Société A & 92 \euro & 0,14 \euro \\\hline
Société B & 50 \euro & 0,40 \euro \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Un client a 300 km à parcourir en trois jours. Quel est le tarif le plus avantageux?\\
	Même question s'il a 600 km à parcourir en trois jours.
\item Soit $x$ le nombre de kilomètres parcourus en trois jours et $y$ le prix payé par le client.
	\begin{enumerate}
	\item On appelle respectivement $f(x)$ et $g(x)$ les prix payés par le client s'il choisit les sociétés A et B.
	Exprimer $f(x)$ et $g(x)$ en fonction de $x$.
	\item Représenter graphiquement les deux fonctions $f$ et $g$. (unités : 50 km/euros pour 1 cm sur chaque axe)
	\end{enumerate}
\item Soit $M$ le point de d'intersection des deux droites.
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer graphiquement les coordonnées du point $M$.
	\item Vérifier algébriquement.
	\item Interpréter le résultat obtenu.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\en
\partie{Homework \#9 -- Randomness of a table of digits}

There are many different tests to check the randomness of a table of digits. In this exercise we will discover two
of them and use them to study whether the digits of $\pi$ can be considered random or not.

\probpart{-- The maximal blocks test}

For this test, the digits are grouped in three-digits blocks. A block of three consecutive digits in the table is said
to be maximal when the middle digit is strictly greater then the two other digits. For example, blocks $142, 486, 053$
are maximal whereas blocks $426$ and $663$ aren't.

\begin{enumerate}
\item How many different three-digits blocks are there ?
\item \begin{enumerate}
      \item If a block is maximal and its tens digit is $6$, what are the possible values for the units digit and the
hundreds digit.
      \item Deduce the number of maximal blocks with the tens digit equal to $6$.
      \end{enumerate}
\item Use the same method to fill out the table below .
	  $$\begin{tabular}{|*{11}{c|}} \hline 
	  Tens digit		& 0	& 1	& 2	& 3	& 4	 & 5	& 6	& 7	 & 8 & 9	 \\
\hline
	  \#\ of maximal blocks	&   &	  &   &   &    &    &36 &    &  &     \\ \hline
	  \end{tabular}$$
    \item Deduce the probability of occurence of a maximal block in a random table of digits.
\end{enumerate}

\probpart{-- The poker test}

One of the best tests to check the randomness of a table of digits is the poker test.\\
Digits are grouped in five-digits blocks, divided into 7 categories, or hands :
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
	\itemb busts : $abcde$ (exemple : 03251) ;
	\itemb pairs : $aabcd$ (exemple : 80919) ;
	\itemb two pairs : $aabbc$ (exemple : 08608) ;
	\itemb threes : $aaabc$ (exemple : 12151) ;
	\itemb full house : $aaabb$ ;
	\itemb fours : $aaaab$ ;
	\itemb fives : $aaaaa$.
\end{itemize}
\end{multicols}
The order of the digits inside the block is not considered. For example, the blocks $12345$ and $13542$ are the same.
The table below gives the probability of each type of hand.
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{3cm}*{7}{|c}|}\hline
Hand	& $abcde$ & $ aabcd$ & $aabbc$ & $aaabc$ & $aaabb$ & $aaaab$ & $aaaaa$ \\ \hline
Probability  & $0.3024$ &  $0.5040$  & $0.1080$  & $0.0720$  &  $0.0090$ & $0.0045$  & $0.0001$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item How many different five-digits block are there ?
\item In a busts hand, how many possible values are there for $a$, for $b$, for $c$, for $d$ and for $e$ ? Deduce the
number of possible hands of this kind and check the probability given in the table above.
\item Explain the probability given for the fives.
\end{enumerate}



\pagebreak

\probpart{-- The digits of  $\pi$}

In this part, we will use the two tests to study the randomness of the digits of $\pi$ appearing after the decimal
point.
Here are the first 1005 digits of $\pi$. \label{decimalespi}.
	{\small\begin{align}
	3,&141\;\;592\;653\;589\;793\;238\;462\;643\;383\;279\; 
	502\;884\;197\;169\;399\;375\;105\;820\;974\;944\; \\
	&592\;307\;816\;406\;286\;208\;998\;628\;034\;825\; 
	342\;117\;067\;982\;148\;086\;513\;282\;306\;647\; \\
	&093\;844\;609\;550\;582\;231\;725\;359\;408\;128\; 
	481\;117\;450\;284\;102\;701\;938\;521\;105\;559\; \\
	&644\;622\;948\;954\;930\;381\;964\;428\;810\;975\; 
	665\;933\;446\;128\;475\;648\;233\;786\;783\;165\; \\
	&271\;201\;909\;145\;648\;566\;923\;460\;348\;610\;
	454\;326\;648\;213\;393\;607\;260\;249\;141\;273\;\\
	&724\;587\;006\;606\;315\;588\;174\;881\;520\;920\;
	962\;829\;254\;091\;715\;364\;367\;892\;590\;360\;\\
	&011\;330\;530\;548\;820\;466\;521\;384\;146\;951\;
	941\;511\;609\;433\;057\;270\;365\;759\;591\;953\;\\
	&092\;186\;117\;381\;932\;611\;793\;105\;118\;548\;
	074\;462\;379\;962\;749\;567\;351\;885\;752\;724\;\\
	&891\;227\;938\;183\;011\;949\;129\;833\;673\;362\;
	440\;656\;643\;086\;021\;394\;946\;395\;224\;737\;\\
	&190\;702\;179\;860\;943\;702\;770\;539\;217\;176\;
	293\;176\;752\;384\;674\;818\;467\;669\;405\;132\;\\%600
	&000\;568\;127\;145\;263\;560\;827\;785\;771\;342\;
	757\;789\;609\;173\;637\;178\;721\;468\;440\;901\;\\%660
	&224\;953\;430\;146\;549\;585\;371\;050\;792\;279\;
	689\;258\;923\;542\;019\;956\;112\;129\;021\;960\;\\%720
	&864\;034\;418\;159\;813\;629\;774\;771\;309\;960\;
	518\;707\;211\;349\;999\;998\;372\;978\;049\;951\;\\%780
	&059\;731\;732\;816\;096\;318\;595\;024\;459\;455\;
	346\;908\;302\;642\;522\;308\;253\;344\;685\;035\;\\%840
	&261\;931\;188\;171\;010\;003\;137\;838\;752\;886\;
	587\;533\;208\;381\;420\;617\;177\;669\;147\;303\;\\%900
	&598\;253\;490\;428\;755\;468\;731\;159\;562\;863\;
	882\;353\;787\;593\;751\;957\;781\;857\;780\;532\;\\%960
	&171\;226\;806\;613\;001\;927\;876\;611\;195\;909\;%990
	216\;420\;198\;938\;095\;\;\;\;\;\;%1005
	\end{align}}
%257 201065485 863278865 936153381 827968230 301952035 301852968 995773622 599413891 249721775 283479131 515574857
%242454150 695950829 533116861 727855889 075098381 754637464 939319255 060400927 701671139 009848824 012858361
\begin{enumerate}
\item Apply the maximal blocks test on this table and give clearly the result.
\item Apply the poker test on this table and give clearly the results.
\item Do you think that this table of digits can be considered as random ?
\item Why did we choose to study $1005$ digits, and not just $1000$ ?
\end{enumerate}

\end{document}

