\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[Mickael]{ammaths}
%\usepackage{alterqcm}

\begin{document}\nocolor

\livreteuro{8}{Équations de droites}{Line equations}

\vfill







\begin{center}
\includegraphics[height=13cm]{calvin.eps}\\ \smallskip
\textsf{\small \emph{Calvin and Hobbes}, by Bill Waterson}
\end{center}

\vfill


\begin{center}
\fbox{\parbox{12cm}{\sf\small \`A la fin de ce chapitre, vous devez être capable :
\begin{itemize}
\itemb de déterminer par le calcul l'équation cartésienne ou réduite d'une droite.
\itemb de prouver qu'un point appartient à une droite.
\itemb de tracer une droite dont l'équation est donnée.
\itemb de déterminer graphiquement l'équation réduite d'une droite.
\itemb de prouver ou d'infirmer le parallélisme de deux droites.
\end{itemize}
}}
\end{center}

\begin{flushright}
\sf\small Aymar de Saint-Seine et Mickaël Védrine\\ Année scolaire 2011/2012
\end{flushright}

\newpage\null\thispagestyle{empty}\newpage%insertion page blange

%\partie{Activité préparatoire}
 
\exoc{Soient $A(1;4)$ et $B(2;6)$ deux points du plan. On considère un point $M(x;y)$ du plan.\\
Le but de cette activité est de trouver une condition portant sur $x$ et $y$ telle que:
\begin{itemize}
\item si la condition est vérifiée par $x$ et $y$ alors le point $M$ est sur la droite $(AB)$ ;
\item si la condition n'est pas vérifiée par $x$ et $y$ alors le point $M$ n'est pas sur la droite $(AB)$.
\end{itemize}

\probpart{ -- Établissement de la propriété}
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées de $\vect{AB}$, puis celle de $\vect{AM}$ en fonction de $x$ et de $y$.
\item Recopier et compléter la phrase :\\
\textit{Le point $M$ est sur $(AB)$ si et seulement si $\vect{AM}\coor{\cdots}{\cdots}$  et
$\vect{AB}\coor{\cdots}{\cdots}$ sont\ \dots}
\item En déduire une équation que doivent vérifier $x$ et $y$.
\item Vérifier que cette équation est équivalente à $2x-y+2=0$
\end{enumerate}

\probpart{ : Utilisation de l'équation} 
Dans la première partie, nous avons établi une équation. Le raisonnement conduit aboutit à l'équivalence :
\begin{center}
\emph{Le point $M(x;y)$ est sur $(AB)$ si et seulement si\\ le couple $(x;y)$ est une solution de l'équation
$2x-y+2=0$.}\end{center}
Pour mieux comprendre cette équivalence, nous allons étudier quelques exemples.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Dans un repère, placer les points $A$ et $B$ puis tracer la droite $(AB)$.
	\item Placer un point $M$ sur cette droite et lire ses coordonnées $(x_M;y_M)$.
	\item Calculer $2x_M-y_M +2$.
	\item Les coordonnées du point $M$ vérifient-elles l'équation de la droite ?
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Placer un point $N$ non situé sur $(AB)$ et lire ses coordonnées $(x_N;y_N)$.
	\item Calculer $2x_N-y_N +2$.
	\item Les coordonnées du point $N$ vérifient-elles l'équation de la droite ?
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Choisir une valeur quelconque de $x$.
	\item Déterminer la valeur de $y$ telle que $2x-y+2=0$.
	\item Placer le point dont l'abscisse est $x$ et l'ordonnée $y$.\\ Ce point est-il sur la droite $(AB)$ ?
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Choisir une autre valeur quelconque de $x$.
	\item Déterminer une valeur de $y$ telle que $2x-y+2 \neq 0$.
	\item Placer le point dont l'abscisse est $x$ et l'ordonnée $y$.\\ Ce point est-il sur la droite $(AB)$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\newpage




\exocpart{Forme générale}

\exoc{Déterminer à l'aide de la méthode vue dans l'activité préparatoire (partie A), une équation de chacune des droites suivantes :
\begin{enumerate}
\item $(\mathscr{D}_1)$ passant par $A(0 ; 1)$ et $B(2 ; 3)$ ;
\item $(\mathscr{D}_2)$ passant par $A(1 ; -1)$ et $B(3 ; -7)$ ;
\item $(\mathscr{D}_3)$ passant par $A(1 ; 4)$ et $B(1 ; 7)$ ;
\item $(\mathscr{D}_4)$ passant par $A(2 ; 3)$ et $B(5 ; 3)$.
\end{enumerate}}



\exoc{Dans le tableau ci-dessous, indiquer quels points appartiennent à quelle(s) droite(s).
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline
			&$A(-6;4)$ & $B(1;4)$ & $C(2;\frac52)$ & $D(2;0)$ & $E(-\frac72;\frac52)$ & $F(-3;-2)$ \\ \hline
$\Delta_1 : 3x-2y+5=0$  & & & & & &\\ \hline
$\Delta_2 : y=-\frac12x+1$ & & & & & &\\ \hline
$\Delta_3 : x=2$ & & & & & &\\ \hline
$\Delta_4 : y=4$ & & & & & &\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
}

\en
\exoc{In this exercise, we will look at two different ways to use the equation of a line to draw it. In each case, we
must find the coordinates of two points on the line.

\probpart{-- Method 1}

\begin{enumerate}
\item Consider the line of equation $2x+3y-6=0$. 
	\begin{enumerate}
	\item Find the value of $y$ when $x=0$. Deduce the coordinates of a point on the line.
	\item Find the value of $x$ when $y=0$. Deduce the coordinates of another point on the line.
	\item Draw the line.
	\end{enumerate}
\item Use this method to draw the line whose equations are given below.
\begin{center}
\begin{tabular}{cccc}
$3x+2y-6=0.$ &  $y=2x+1$ & $y=-x+3.2$ & $y=-4x$ \\
%$y=2-\frac{11}{3}x$ & $y=4.7$ & $x=2.9$ & \\
\end{tabular}
\end{center}  

\end{enumerate}


\probpart{-- Method 2}

A new figure will be done for this part.

\begin{enumerate}
\item Consider again the line of equation $2x+3y-6=0$. 
	\begin{enumerate}
	\item Recall the value of $y$ when $x=0$. Deduce the coordinates of a point on the line.
	\item Choose another value of $x$, not too close to $x=0$, and compute the corresponding value of $y$. Deduce
the coordinates of another point on the line.
	\item Draw the line
	\end{enumerate}
\item Use this method to draw the line whose equations are given below.
\begin{center}
\begin{tabular}{cccc}
$3x+2y-6=0.$ &  $y=2x+1$ & $y=-x+3.2$ & $y=-4x$ \\
%$y=2-\frac{11}{3}x$ & $y=4.7$ & $x=2.9$ & \\
\end{tabular}
\end{center} 
\item Check that the lines drawn with the two methods are the same.
\end{enumerate}}
\fr

% \exoc{Dans cet exercice, nous allons étudier deux méthodes pour tracer une droite à partir de son équation. Dans
%chaque
% cas, il s'agira de trouver les coordonnées de deux points de la droite. 
% 
% \probpart{-- Méthode 1}
% 
% \begin{enumerate}
% \item On considère la droite d'équation $2x+3y-6=0$. 
% 	\begin{enumerate}
% 	\item Si $x=0$, quelle doit être la valeur de $y$ pour que l'équation soit vérifiée ?\\
% 	En déduire les coordonnées d'un point de la droite.
% 	\item Si $y=0$, quelle doit être la valeur de $x$ pour que l'équation soit vérifiée ?\\
% 	En déduire les coordonnées d'un autre point de la droite.
% 	\item Tracer la droite.
% 	\end{enumerate}
% \item Utiliser la même méthode pour tracer dans un même repère les droites d'équations 
% \begin{center}
% \begin{tabular}{cccc}
% $3x+2y-6=0.$ &  $y=2x+1$ & $y=-x+3.2$ & $y=4.7$ \\
% $y=2-\frac{11}{3}x$ & $y=-4x$ & $x=2.9$ & \\
% \end{tabular}
% \end{center}  
% 
% \end{enumerate}
% 
% 
% \probpart{-- Méthode 2}
% 
% Tous les tracés de cette seconde partie seront faits dans un nouveau repère.
% 
% \begin{enumerate}
% \item On considère à nouveau la droite d'équation $2x+3y-6=0$. 
% 	\begin{enumerate}
% 	\item Si $x=0$, quelle est la valeur de $y$ vérifiant l'équation de la droite ?\\
% 	En déduire les coordonnées d'un point de la droite.
% 	\item Choisir une autre valeur pour $x$ et calculer la valeur de $y$ correspondant à cette nouvelle valeur.\\
% 	En déduire les coordonnées d'un autre point de la droite.
% 	\item Tracer la droite.
% 	\end{enumerate}
% \item Utiliser la même méthode pour tracer dans un même repère les droites d'équations 
% \begin{center}
% \begin{tabular}{cccc}
% $3x+2y-6=0.$ &  $y=2x+1$ & $y=-x+3.2$ & $y=4.7$ \\
% $y=2-\frac{11}{3}x$ & $y=-4x$ & $x=2.9$ & \\
% \end{tabular}
% \end{center}  
% \item Les droites tracées dans les deux parties sont-elles bien les mêmes ?
% \end{enumerate}}


\pagebreak
\exoc{Tracer chacune des droites suivantes.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item  $\mathscr{D}_1$ d'équation $x-2y+4=0$ ;
 \item  $\mathscr{D}_2$ d'équation $2x-2y-6=0$ ;
 \item  $\mathscr{D}_3$ d'équation $-2y+4=0$ ;
 \item  $\mathscr{D}_4$ d'équation $\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{3}=1$ ;
 \item  $\mathscr{D}_5$ d'équation $x+y=0$ ;
 \item  $\mathscr{D}_6$ d'équation $2x+4=0$ ;
 \item  $\mathscr{D}_7$ d'équation $6x+2y+1=0$ ;
 \item  $\mathscr{D}_8$ d'équation $5x-y-7=0$.
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\exocpart{Équations réduites}

\exoc{Associer chacune des droites tracées ci-dessous avec son équation.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
    \item $y=0.5x+1.8$ ;
    \item $y=-0.5x+1.8$ ;
    \item $y=0.5$ ;
    \item $y=0.5x+0.9$ ;
    \item $x=0.5$ ;
    \item $y=-0.5x-1.8$.
\end{enumerate}
\end{multicols}

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm} \pspicture(-4,-4)(4,4.5)
    \psline(-4,0)(4,0)
    \psline(0,-4)(0,4)
    \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(0,1)
    \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,0)
    \psplot[linestyle=dashed]{-4}{4}{x 0.5 mul 1.8 add}
    \psplot[linestyle=dotted]{-4}{4}{0.5 neg x mul 1.8 add}
    \psplot[linecolor=gray]{-4}{4}{0.5}
    \psplot[linestyle=dashed,linecolor=gray]{-4}{4}{x 0.5 mul 0.9 add}
    \psplot{-4}{4}{x 0.5 neg mul 1.8 neg add}
    \psline[linestyle=dashed](0.5,-4)(0.5,4)
    \uput[l](3,3.5){$d_4$}
    \uput[r](-3,3.5){$d_5$}
    \uput[r](0.5,3.5){$d_3$}
    \uput[r](3.5,2.5){$d_1$}
    \uput[r](3.5,-3.3){$d_2$}
    \uput[u](3.5,0.5){$d_6$}
\endpspicture
\end{center}
}


\exoc{Déterminer graphiquement l'ordonnée à l'origine, le
coefficient directeur et l'équation réduite de chacune des droites
tracées dans le repère ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\def\xmin{-6}\def\ymin{-6}\def\xmax{6}\def\ymax{6}
\pspicture(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psplot{-1.5}{4.5}{x 2 mul 3 neg add} \psplot{-4}{6}{x neg 2 add}
\psplot{-6}{6}{x 3 div 1 neg add} \psplot{-3.3333}{0.6666}{x 3 neg mul 4 neg add} \psline(-6,3.5)(6,3.5) \uput[r](4.2,5.4){$d_1$}
\uput[u](5.5,3.45){$d_2$} \uput[u](5.5,0.9){$d_5$}
\uput[u](5.5,-3.3){$d_4$} \uput[r](0.5,-5.5){$d_3$}
\endpspicture
\end{center}}



\pagebreak
\exoc{On donne ci-dessous les équations réduites de six droites du plan.
\begin{center}
\begin{tabular}{lllllll}
    $y=2x+1$ & $y=-x+3,2$ & 
    $y=4,7$ & $y=2-\frac{11}{3}x$ & $y=-4x$ &
    $x=2,9$ \\
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Pour chacune de ces équations de droites, donner l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur.
\item Sans faire de calcul, tracer les droites dans un même repère orthonormé $\OIJ$.
\end{enumerate}}

\exoc{Consider the lines whose equations are given below.
\begin{multicols}{3}
\begin{description}
\item[$\mathscr{D}_1$ :] $-2x+y+1=0$
\item[$\mathscr{D}_2$ :] $x+y=-5$
\item[$\mathscr{D}_3$ :] $3x+3y+15=0$
\item[$\mathscr{D}_4$ :] $2x-6=0$
\item[$\mathscr{D}_5$ :] $6x=3y+3$
\item[$\mathscr{D}_6$ :] $1-\frac13x=0$
\item[$\mathscr{D}_7$ :] $-y-x-5=0$
\item[$\mathscr{D}_8$ :] $4x-2y=-2$
\item[$\mathscr{D}_9$ :] $3y-6x=-3$
\end{description}
\end{multicols}
\begin{enumerate}
\item Give the slope-intercept equation of each line.
\item Find out what equations represent the same line.
\item For each group of equations found in the previous questions, give the slope and the intercept of the line.
\end{enumerate}}


\exoc{Déterminer une équation réduite de chacune des droites définies ci-dessous. Dans chaque cas, $A$ et $B$ sont des points de
la droite, $m$ est son coefficient directeur et $p$ son ordonnée. 
\begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
    \item $A(2;7)$ et $B(-1;-2)$
    \item $A(4;-1)$ et $B(-6.2;-6.1)$
    \item $A(11;-3)$ et $B(11;5)$
    \item $A(1;-2)$ et $B(7;-2)$
    \item $A(\frac{7}{2};\frac{17}{2})$ et $B(-4;1)$
    \item $m=-5$ et $A(-1;10)$ ;
    \item $m=\frac23$ et $A(2;3)$ ;
    \item $p=-8$ et $A(\frac23;0)$ ;
    \item $p=-\frac57$ et $A(-3;-\frac{20}{7})$ ;
    \end{enumerate}
\end{multicols}
}



\exocpart{Parallélisme}

\exoc{Draw the lines whose equations are given below, then find out their slopes. What seems to be the link between
these numbers and parallelism ?
\begin{multicols}{3}
$d_1 : y=2x+3$ ;\\
$d_2 : y=-3x-1$ ;\\
$d_3 : y=-0.5x+2$ ;\\
$d_4 : 2x-y-1=0$ ;\\
$d_5 : 2y+6x+6=0$ ;\\
$d_6 : 1.5x+3y+3=0$.
\end{multicols}}


\exoc{Sans les tracer, regrouper toutes les droites dont les
équations sont données ci-dessous en familles de droites parallèles.
\begin{multicols}{4}
$d_1:y=-2x+1$ \\
$d_2:y=\frac{1}{4}x-3$\\
$d_3:y=-3x-2$ \\
$d_4:y=2x-1$ \\
$d_5:y=-2x-2$ \\
$d_6:y=-3x+\frac{1}{2}$ \\
$d_7:y=2x$ \\
$d_8:y=5$ \\
$d_9:y=-3x-4$ \\
$d_{10}:y=\frac{1}{4}x+1.5$ \\
$d_{11}:x=5$ \\
$d_{12}:y=\frac{1}{4}x+6$
\end{multicols}
}

\pagebreak
\exoc{En déterminant leurs coefficients directeurs, reconnaître dans
la liste ci-dessous les droites parallèles.\par
\begin{multicols}{2}
$\Delta_1 : y=\frac{1}{3}x+2$ ; \\
$\Delta_2 : y=-5x-1$ ; \\
$\Delta_3 : 7y=-4x+5$ ; \\
$\Delta_4 : x-3y-2=0$ ; \\
$\Delta_5 : 4y+20x+8=0$ ; \\
$\Delta_6 : -3.5y-2x+7=0$ ; \\
$\Delta_7 : \frac{3}{2}y-\frac{1}{2}x+7=0$ ; \\
$\Delta_8 : 35y+20x=12$.
\end{multicols}

}

\exoc{Let $d_0$ be the line of equation $y=3x-2$. Find the equations of the lines described below.
\begin{enumerate}
\item $d_1$ is parallel to $d_0$ and has intercept $4$.
\item $d_2$ is parallel to $d_0$ and passes through the point $(-1;0)$.
\item $d_3$ has slope $2$ and meets $d_0$ at point $(7;19)$.
\item $d_4$ is parallel to the $x$-axis and has the same intercept as $d_0$.
\item $d_5$ never meets $d_0$ and is passing though the origin.
\end{enumerate}
}


\exocpart{Intersections de droites}
% \exoc{Déterminer, par le calcul, le point d'intersection de chacun des couples de droites suivants.
% \begin{multicols}{3}
% \begin{enumerate}
% \item $\Dr : y=2x+1$\\
%       $\Drp : y=-x+4 $\\%1,3
% \item $\Dr : y=x+3 $\\
%       $\Drp : y=-x+3 $\\%0,3
% \item $\Dr : x+y-3=0 $\\
%       $\Drp : 3x+y-5=0$\\%1,2
% \end{enumerate}
% \end{multicols}}



\exoc{On considère le système : $\S \syst{-2x+y}{-1}{-5x+y}{2}$.\\
\begin{enumerate}
	%\item Justifiez le nombre de solutions du système.
	\item Donnez les équations réduites des droites associées à ce système.
	\item A l'aide de la calculatrice graphique, tracez les droites et déduisez-en une approximation de la solution.
	\item Vérifiez par le calcul que le couple obtenu est bien la solution exacte du système.
\end{enumerate}}

\exoc{Déterminer à l'aide de la calculatrice une approximation des solutions de chacun des sytèmes suivants puis vérifier  par le calcul les couples de solutions obtenus.\par
\begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
    \item $\syst{y}{-2x-1}{y}{\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}}$ ;
    \item $\syst{y}{5x-10}{y}{x}$ ;
    \item $\syst{y}{-41x+3}{x}{-1}$ ;
    %\item $\syst{y}{-12x-23}{y=-x+98}$ ;
    \item $\syst{y}{5x-1}{y}{5x-2}$ ;
    \end{enumerate}
\end{multicols}
}

\exoc{Déterminer une équation de chacune des droites tracées ci-dessous, puis en déduire la résolution graphique de chacun des systèmes donnés.\\
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
\psset{unit=0.75cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
\def\xmin{-4}\def\ymin{-4}\def\xmax{8}\def\ymax{5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,5.5)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray,
subgriddiv=2](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psplot[linecolor=rouge]{-4}{5}{2/5*x+3}\rput(3,4.5){$(d_1)$}
\psline[linecolor=bleu](-2.5,-4)(-2.5,5)\rput(-2,-3.5){$(d_2)$}
\psline[linecolor=rouge](-4,4)(8,4)\rput(7,4.5){$(d_3)$}
\psplot[linecolor=rouge]{-4}{8}{1/2.5*x-1.5}\rput(-3.5,-2.5){$(d_4)$}
\psplot[linecolor=rouge]{-4}{8}{-1/9*x+31/18}\rput(-3.5,2.5){$(d_5)$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{enumerate}
 \item $\syst{y}{\frac{2}{5}x+3}{2x+5}{0}$
 \item $\syst{4x-10y}{15}{2x+18y}{31}$
 \item $\syst{y}{4}{2x+5}{0}$
 \item $\syst{y}{\frac{2}{5}x-\frac{3}{2}}{2x-5y}{-15}$
\end{enumerate}
\end{minipage}
}

\exocpart{Applications}

\en
\exoc{Let $ABCD$ be a square with side $1$. The points $I$ and $J$ are the respective midpoints of the sides $AB$ and
$AD$. Let $K$ be the intersection of the lines $AC$ and $BJ$.\\
The aim of this exercise is to prove that the points $D$, $K$, $I$ are collinear.

\probpart{-- First method}

Consider the coordinate system $(A;B,D)$.
\begin{enumerate}
\item Give the coordinates of the points $A$, $B$, $C$, $D$, $I$, $J$.
\item Find equations for the lines $AC$ and $BJ$.
\item Compute the coordinates of the point $K$, intersection of lines $AC$ and $BJ$.
\item Prove that the points $D$, $K$ and $I$ are collinear.
\end{enumerate}

\probpart{-- Second method}

\begin{enumerate}
\item What are the lines $AC$ and $BJ$ in triangle $ABD$ ?
\item Deduce that the points $D$, $K$ and $I$ are collinear.
\end{enumerate}
}
\fr

% \exoc{$ABCD$ est un carré de côté $1$. Les points $I$ et $J$ sont les milieux respectifs des côtés $[AB]$ et $[AD]$.
% Soit $K$ le point d'intersection des droites $(AC)$ et $(BJ)$.\\
% Le but de cet exercice est de montrer que les points $D$, $K$ et $I$ sont alignés.
% 
% \probpart{-- Première méthode}
% 	On considère le repère $(A;B,D)$.
% 	\begin{enumerate}
% 	\item Déterminer les coordonnées de chacun des points $A$, $B$, $C$, $D$, $I$ et $J$ dans ce repère.
% 	\item Déterminer une équation de la droite $(AC)$ puis celle de la droite $(BJ)$.
% 	\item Déterminer les coordonnées de $K$, point d'intersection de ces deux droites.
% 	\item Démontrer que les points $D$, $K$ et $I$ sont alignés.
% 	\end{enumerate}
% 
% \probpart{-- Deuxième méthode}
% 	\begin{enumerate}
%         \item Que représente les droites $(AC)$ et $(BJ)$ pour le triangle $ABD$ ?
%         \item Conclure sur l'alignement recherché.
%        \end{enumerate}
% }

\exoc{Dans un repère, on considère quatre points
$A(-4;1)$, $B(2;4)$, $C(1;0)$, $D(-5;-3)$.
\begin{enumerate}
\item Tracer une figure et prouver que $ABCD$ est un parallélogramme.
\item Soit $I$ et $J$ les milieu respectifs des côtés $[BC]$ et $[AD]$.
Déterminer les coordonnées de ces points et placer les dans le repère.
\item La droite $(AD)$ admet-elle une équation réduite  ?
\item Déterminer les équations réduites des droites $(AC)$ et $(BD)$.
\item Déterminer les coordonnées du point $K$, intersection des droites $(AC)$ et $(BD)$.
\item En utilisant les vecteurs; prouver que les points $I$, $J$ et $K$ sont alignés.
\item Prouver à nouveau cette propriété en utilisant l'équation réduite de la droite $(IJ)$.
\item En utilisant les équations réduites, prouver que les droites $(AB)$, $(CD)$, $(IK)$ et $(JK)$ sont parallèles. En déduire une nouvelle preuve de l'alignement des points $I$, $J$ et $K$.
\end{enumerate} }



\en
\exoc{In a plane coordinate system $\OIJ$, consider the points $A(-2,1)$, $B(4,3)$, $C(5,0)$ and
$D(-1,-2)$. The aim of this exercise is to study the quadrilateral $ABCD$. A figure will be drawn and completed all
along the exercise

% \probpart{-- First method}

\begin{enumerate}
\item Check that $A$ and $B$ are on the line of equation $y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$.
\item We admit that the slope of the line $CD$ is $\frac{1}{3}$ and that its intercept is $-\frac{5}{3}$. Deduce its
slope-intercept equation.
\item Find the slope-intercept equations of the lines $AD$ and $BC$.
\item Deduce from the previous questions that the opposite sides in quadrilateral $ABCD$ are parallel. What does it
mean about the quadrilateral itself ?
\item Compute some lengths to find out the nature of $ABCD$.
\end{enumerate}
% 
% \probpart{-- Second method}
% 
% We admit that the slope-intercept equation of line $AC$ is $y=-\dfrac{1}{7}x+\dfrac{5}{7}$.
% \begin{enumerate}
% \item Find the slope-intercept equation of the line $BD$.
% \item Compute the coordinates of the intersection of the lines $AC$ and $BD$.
% \item Compute the coordinates of the midpoints of the segments $AC$ and $BD$.
% \item Deduce from the previous questions something about the quadrilateral $ABCD$.
% \item Compute the lengths $AC$ an $BD$ and deduce the nature of $ABCD$.
% \end{enumerate}
}
\fr


%\exoc{Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\OIJ$, on considère
% les quatre points suivants : $A(-2;1)$, $B(4;3)$, $C(5;0)$ et
% $D(-1;-2)$. Le but de ce problème est d'étudier la nature du
% quadrilatère $ABCD$. On pourra faire une figure pour illustrer la
% situation.
% 
% \medskip
% 
% \probpart{-- Première méthode}
% 
% \begin{enumerate}
% \item Vérifier que $A$ et $B$ sont bien sur la droite
% d'équation $y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$.
% \item On admet que la droite $(CD)$ a un coefficient directeur égal à
% $\frac{1}{3}$ et une ordonnée à l'origine égale à $-\frac{5}{3}$. En
% déduire son équation réduite.
% \item Déterminer les équations réduites des droites $(AD)$ et $(BC)$.
% \item Déduire des questions précédentes que le quadrilatère $ABCD$ a ses côtés opposés
% parallèles. En déduire une première information sur sa nature.
% \item En calculant les longueurs utiles, préciser la nature du prallélogramme $ABCD$.
% \end{enumerate}
% 
% \probpart{-- Deuxième méthode}
% 
% On admet que l'équation réduite de la droite $(AC)$ est $y=-\dfrac{1}{7}x+\dfrac{5}{7}$.
% \begin{enumerate}
% \item Déterminer une équation cartésienne de la droite $(BD)$. En déduire son équation réduite.
% \item Calculer les coordonnées de l'intersection des droites $(AC)$ et
% $(BD)$.
% \item Calculer les coordonnées des milieux des segments $[AC]$ et $[BD]$.
% \item Déduire des questions précédentes une première information concernant
% le quadrilatère $ABCD$.
% \item Calculer les longueurs $AC$ et $BD$ et en déduire la nature du quadrilatère
% $ABCD$.
% \end{enumerate}
% 
% \probpart{-- Questions complémentaires}
% 
% Soit $M$ de coordonnées $(x;y)$ un point du cercle $\cal C$ de
% diamètre $[AC]$.
% \begin{enumerate}
% \item Calculer le rayon et les coordonnées du centre du cercle $\cal C$.
% \item Exprimer la longueur $IM$ en fonction de $x$ et $y$.
% \item Puisque $M$ est sur le cercle, à quoi est égal $IM^2$ ?\\
% En déduire une égalité concernant $x$ et~$y$.
% \item Mettre l'égalité précédente sous la forme $ax^2+by^2+cx+dy+e=0.$
% Cette égalité est appelée équation du cercle $\cal C$.
% \end{enumerate}
% }

\pagebreak
\exoc{Un transporteur doit véhiculer $960$ personnes. Il dispose de bus de $40$ places et de bus de $60$ places.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
	\item Si le transporteur n'utilise que des bus de $40$ places, combien de bus doit-il prévoir ?
 	\item Si le transporteur n'utilise que des bus de $60$ places, combien de bus doit-il prévoir ?
 	\end{enumerate}
 \item Le transporteur utilise $x$ bus de $40$ places et $y$ bus de $60$ places.
 	\begin{enumerate}
 	 %\item À quel ensemble de nombres appartiennent $x$ et $y$ ?
 	 \item Déterminer une équation vérifiée par $x$ et $y$.
 	 \item Tracer la droite correspondante dans un repère orthonormé d'unité graphique $1$ cm.
 	 \item Combien de bus de chaque sorte le transporteur doit-il prévoir ? Indiquer toutes les possibilités.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}}


\exoc{Deux sociétés louent une camionette aux conditions suivantes :
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{2.5cm}||*{2}{c|}}\hline
&Forfait journalier & Prix du km parcouru\\\hline
Société A & 92 \euro & 0,14 \euro \\\hline
Société B & 50 \euro & 0,40 \euro \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Un client a 300 km à parcourir en trois jours. Quel est le tarif le plus avantageux?\\
	Même question s'il a 600 km à parcourir en trois jours.
\item Soit $x$ le nombre de kilomètres parcourus en trois jours et $y$ le prix payé par le client.
	\begin{enumerate}
	\item On appelle respectivement $f(x)$ et $g(x)$ les prix payés par le client s'il choisit les sociétés A et B.
	Exprimer $f(x)$ et $g(x)$ en fonction de $x$.
	\item Représenter graphiquement les deux fonctions $f$ et $g$. (unités : 50 km/euros pour 1 cm sur chaque axe)
	\end{enumerate}
\item Soit $M$ le point de d'intersection des deux droites.
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer graphiquement les coordonnées du point $M$.
	\item Vérifier algébriquement.
	\item Interpréter le résultat obtenu.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

%\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Homework : Supply and demand
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\en\raz
\partie{Homework \#10}

Some Euro students want to raise money for a school trip. Their idea it to sell buttons commemorating the school trip. 

\bigskip

The number of buttons they can buy (the \emph{supply}) and the number of buttons they can sell (the \emph{demand})
depend on the price they sell each button. Indeed, if they sell the buttons at a low price, many people will want to
buy them (high demand), but they won't be able to have a huge stock (low supply). On the contrary, if they sell the
buttons at a high price, they will collect enough money to have a huge stock (high supply), but not many people will
want to buy (low demand).


\bigskip

We admit that the supply and the demand are both affine functions of the selling price. One of the ways to solve this
problem is to find the selling price for which the demand is exactly equal to the supply.

The values in the table below  are known. The supply is computed from the button the Euro students have to pay
themselves for the buttons, while the demand was estimated after a survey at their school.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Selling price of each button & Number of buttons & Number of buttons \\
of each button & in stock (Supply) & students will buy (Demand) \\
\hline
$\pounds 1.00$ & $35$ & $530$ \\
\hline
$\pounds 2.00$ & $130$ & $400$ \\
\hline
$\pounds 4.00$ & $320$ & $140$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\probpart{-- Using graphs}

\begin{enumerate}
\item On a graph, with 1.5cm for 1 unit on the $x$-axis and 1.5cm for 100 units on the $y$-axis, plot points
representing supply for each price in the table. Draw the line through the data points, and write \emph{Supply} on this
line.
\item Plot points representing the number of buttons requested (demand) for each selling price on
the same graph. Draw the line through these points. Label this line \emph{Demand}.
\item If the Euro students set the price at $\pounds 2.50$ per button, how many disappointed customers can they
expect to have? Explain how you got your answer.
\item If the Euro students set the price at $\pounds 3.80$ per button, how many unsold buttons can they expect to have
left over? Explain how you got your answer.
\item If they gave the buttons away at no charge, how many buttons would they need? How
does the graph help you determine your answer?
\item What price would make the button supply so low that the number of available buttons
would be zero? How does the graph help you determine your answer?
\item Estimate the price at which supply and demand will be in equilibrium. What is this price and
how many buttons can they expect to sell? How does the graph help you determine your
answer?
\end{enumerate}

%\pagebreak

\probpart{-- Using equations}

\begin{enumerate}
\item Use the values in the table to find the equation for supply $S$ as a function of price~$p$.
\item In the same way, find the equation for demand $D$ as a function of price~$p$.
\item Use the supply and demand equations to find the price and the number of
buttons that the Euro students should order for supply and demand to be in exact equilibrium. How
does this price compare with your answer in last question of part A?
\end{enumerate}






% 
% 
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% % Last year's test
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 
% \raz\fr
% \partie{Last year's test}
% 
% Dans cet exercice, nous allons étudier deux familles de droites symétriques et les positions de leurs points
% d'intersections, tout d'abord sur des cas particuliers, puis dans le cas général.
% 
% \probpart{-- Premier cas particulier}
% 
% Soient $\mathscr{D}_{\frac12}$ la droite de coefficient directeur $-0.5$ et d'ordonnée à l'origine $0.5$,
% $\Delta_{\frac12}$ la droite de coefficient directeur $-2$ et d'ordonnée à l'origine $1$.
% 
% \begin{enumerate}
% \item Donner les équations réduites des droites $\mathscr{D}_{\frac12}$ et $\Delta_{\frac12}$.
% \item Tracer les droites $\mathscr{D}_{\frac12}$ et $\Delta_{\frac12}$ dans le repère fourni.
% \item Déterminer graphiquement les coordonnées du point $A_{\frac12}$, intersection des droites $\mathscr{D}_{\frac12}$
% et $\Delta_{\frac12}$, puis retrouver cette solution en résolvant un système. Commenter la différence entre les
% solutions trouvées graphiquement et par le calcul.
% \end{enumerate}
% 
% \en
% \probpart{-- Second special case}
% 
% Let $\mathscr{D}_2$ be the line parallel to $\Delta_{\frac12}$ passing through $(-1,4)$  and $\Delta_2$ the
% line parallel to $\mathscr{D}_{\frac12}$ with the same intercept as $\Delta_{\frac12}$.
% 
% \begin{enumerate}
% \item Find out the slope-intercept equations of the lines $\mathscr{D}_2$ et $\Delta_2$.
% \item Draw $\mathscr{D}_2$ and $\Delta_2$ on the coordinate graph.
% \item Solve a system to compute the coordinates of the intersection $A_2$ of $\mathscr{D}_2$ and $\Delta_2$.
% \end{enumerate}
% 
% \fr
% \probpart{-- Troisième cas particulier}
% 
% Soient $\mathscr{D}_3$ et $\Delta_3$ les droites d'équations respectives $3x+y-3=0$ et $2x+6y-6=0$.
% 
% \begin{enumerate}
% \item Donner les équations réduites des droites $\mathscr{D}_3$ et $\Delta_3$.
% \item Indiquer le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de chacune des droites $\mathscr{D}_3$ et $\Delta_3$.
% \item Les droites $\mathscr{D}_{\frac12}$ et $\mathscr{D}_3$ sont-elles parallèles ? On justifiera clairement la
% réponse.
% \item Justifier que les droites $\mathscr{D}_3$ et $\Delta_{\frac12}$ se croisent sur l'axe des ordonnées.
% \item Tracer les droites $\mathscr{D}_3$ et $\Delta_3$ dans le repère fourni.
% \item Déterminer graphiquement les coordonnées de l'intersection $A_3$ des droites $\mathscr{D}_3$ et~$\Delta_3$.
% \end{enumerate}
% 
% \en
% \probpart{-- A general property}
% 
% In this part, $m$ is a non-negative real number, different from 1.
% Let $\mathscr{D}_m$ and $\Delta_m$ be the lines with respective equations $mx+y=m$ and $x+my=m$. The point $A_m$ is the
% intersection of these two lines.
% 
% \begin{enumerate}
% \item Give the slope-intercept equations of the lines $\mathscr{D}_m$ and $\Delta_m$ (involving the number $m$).
% Explain how we can be sure that these two lines are not parallel.
% \item \emph{Bonus question : If you don't succeed, admit the result and go to the next question.}\\
% Check that the coordinates of the point $A_m$ are
% given by the formulas :
% $$\left(\frac{m}{m+1},\frac{m}{m+1}\right).$$
% \item Check that these formulas give the right results for the points $A_{\frac12}$, $A_2$ and $A_3$ studied in parts
% A, B and C.
% \item All the points $A_m$ are on the same line. Find out an equation of that line.
% \end{enumerate}
% 
% \begin{center}
% \psset{unit=2cm}
% \begin{pspicture}(-1,-1)(4,4)
% \psgrid[gridlabels=0,gridcolor=gray,subgridcolor=gray](-1,-1)(4,4)
% \psaxes[linewidth=2pt,labels=none](0,0)(-1,-1)(4,4)
% \psline[linewidth=2pt](1,-0.1)(1,0.1)
% \psline[linewidth=2pt](-0.1,1)(0.1,1)
% \uput[dl](0,0){\Large $O$}
% \uput[d](1,-0.1){\Large $I$}
% \uput[l](-0.1,1){\Large $J$}
% \end{pspicture}
% \end{center}
% 
% 
% \newpage\null\pagestyle{empty}\newpage

\lastpage{\episode{Line equations}{18}
\episode{Different types of line equations}{19}
\episode{Jungle speed}{20}
\episode{Solve a system by elimination}{AP12}
\episode{Solve a system graphically}{AP13}
\episode{Problems and systems}{AP14}

\vfill\vfill


\begin{quote}
\sl Yes, we have to divide up our time like that, between our politics and our equations. But to me our equations are
far more important, for politics are only a matter of present concern. A mathematical equation stands forever.
\end{quote}

\begin{flushright}
Albert Einstein
\end{flushright}

\begin{quote}
\sl Someone told me that each equation I included in the book would halve the sales.
\end{quote}

\begin{flushright}
Stephen Hawking
\end{flushright}

\begin{quote}
\sl It seems that if one is working from the point of view of getting beauty in one's equations, and if one has really a
sound insight, one is on a sure line of progress.
\end{quote}

\begin{flushright}
Paul Dirac 
\end{flushright}


}




\end{document}

