\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[Aymar]{ammaths}
\usepackage{alterqcm}

\begin{document}\nocouleur

\livreteuro{7}{Équations de droites}{Line equations}

\vfill







\begin{center}
\includegraphics[height=13cm]{calvin.eps}\\ \smallskip
\textsf{\small \emph{Calvin and Hobbes}, by Bill Waterson}
\end{center}

\vfill


\begin{center}
\fbox{\parbox{12cm}{\sf\small \`A la fin de ce chapitre, vous devez être capable :
\begin{itemize}
\itemb de déterminer par le calcul l'équation cartésienne ou réduite d'une droite.
\itemb de prouver qu'un point appartient à une droite.
\itemb de tracer une droite dont l'équation est donnée.
\itemb de déterminer graphiquement l'équation réduite d'une droite.
\itemb de prouver ou d'infirmer le parallélisme de deux droites.
\end{itemize}
}}
\end{center}

\begin{flushright}
\sf\small Aymar de Saint-Seine et Mickaël Védrine\\ Année scolaire 2010/2011
\end{flushright}

\newpage\null\thispagestyle{empty}\newpage%insertion page blange


\partie{Activité préparatoire}

Soit $A\coor{1}{4}$ et $B\coor{2}{6}$ deux points du plan. On considère un point $M\coor{x}{y}$ du plan.\\
Le but de cette activité est de trouver une condition portant sur $x$ et $y$ telle que:
\begin{itemize}
\item si la condition est vérifiée par $x$ et $y$ alors le point $M$ est sur la droite $(AB)$ ;
\item si la condition n'est pas vérifiée par $x$ et $y$ alors le point $M$ n'est pas sur la droite $(AB)$ ;
\end{itemize}

\probpart{ : Etablissement de la propriété}
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées de $\vect{AB}$, puis celle de $\vect{AM}$ en fonction de $x$ et de $y$.
\item Compléter :\\
\textit{Le point $M$ est sur $(AB)$ si et seulement si $\vect{AM}\coor{\cdots}{\cdots}$  et $\vect{AB}\coor{\cdots}{\cdots}$ sont \dots\dots}
\item En déduire une équation que doivent vérifier $x$ et $y$.
\item Vérifier que cette équation est équivalente à $2x-y+2=0$
\end{enumerate}

\probpart{ : Utilisation de l'équation} 
Dans la première partie, nous avons établi une équation. Le raisonnement conduit aboutit à l'équivalence :
\begin{center}
\emph{$M\coor{x}{y}$ est sur $(AB)$ $\ssi$  le couple $(x;y)$ est une solution de l'équation $2x-y+2=0$.}\end{center}
Pour mieux comprendre cette équivalence, nous allons étudier quelques exemples.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Dans un repère, placer les points $A$ et $B$ définis ci-dessus puis tracer la droite $(AB)$.
	\item Placer un point $M$ sur cette droite et lire ses coordonnées $\coor{x_M}{y_M}$.
	\item Calculer $2x_M-y_M +2$.
	\item Les coordonnées du point $M$ vérifient-elles l'équation de la droite ?
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Placer un point $N$ non situé sur $(AB)$ et lire ses coordonnées $\coor{x_N}{y_N}$.
	\item Calculer $2x_N-y_N +2$.
	\item Les coordonnées du point $N$ vérifient-elles l'équation de la droite ?
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Choisir une valeur quelconque de $x$.
	\item Déterminer la valeur de $y$ telle que $2x-y+2=0$.
	\item Placer le point dont l'abscisse est $x$ et l'ordonnée $y$. Ce point est-il sur la droite $(AB)$ ?
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Choisir une autre valeur quelconque de $x$.
	\item Déterminer une valeur de $y$ telle que $2x-y+2 \neq 0$.
	\item Placer le point dont l'abscisse est $x$ et l'ordonnée $y$. Ce point est-il sur la droite $(AB)$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage




\exocpart{Forme générale}
\exoc{Déterminer à l'aide de la méthode vue dans l'activité préparatoire (partie A), une équation de chacune des droites suivantes :
\begin{enumerate}
\item $(\mathscr{D}_1)$ passant par $A(0 ; 1)$ et $B(2 ; 3)$ ;
\item $(\mathscr{D}_2)$ passant par $A(1 ; -1)$ et $B(3 ; -7)$ ;
\item $(\mathscr{D}_3)$ passant par $A(1 ; 4)$ et $B(1 ; 7)$ ;
\item $(\mathscr{D}_4)$ passant par $A(2 ; 3)$ et $B(5 ; 3)$.
\end{enumerate}}



\exoc{Dans le tableau ci-dessous, indiquer quels points appartiennent à quelle(s) droite(s).
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline
			&$A(-6;4)$ & $B(1;4)$ & $C(2;\frac52)$ & $D(2;0)$ & $E(-\frac72;\frac52)$ & $F(-3;-2)$ \\ \hline
$\Delta_1 : 3x-2y+5=0$  & & & & & &\\ \hline
$\Delta_2 : y=-\frac12x+1$ & & & & & &\\ \hline
$\Delta_3 : x=2$ & & & & & &\\ \hline
$\Delta_4 : y=4$ & & & & & &\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
}

\exoc{Dans cet exercice, nous allons étudier deux méthodes pour tracer une droite à partir de son équation. Dans chaque
cas, il s'agira de trouver les coordonnées de deux points de la droite. 

\probpart{-- Méthode 1}

\begin{enumerate}
\item On considère la droite d'équation $2x+3y-6=0$. 
	\begin{enumerate}
	\item Si $x=0$, quelle doit être la valeur de $y$ pour que l'équation soit vérifiée ?\\
	En déduire les coordonnées d'un point de la droite.
	\item Si $y=0$, quelle doit être la valeur de $x$ pour que l'équation soit vérifiée ?\\
	En déduire les coordonnées d'un autre point de la droite.
	\item Tracer la droite.
	\end{enumerate}
\item Utiliser la même méthode pour tracer dans un même repère les droites d'équations 
\begin{center}
\begin{tabular}{cccc}
$3x+2y-6=0.$ &  $y=2x+1$ & $y=-x+3.2$ & $y=4.7$ \\
$y=2-\frac{11}{3}x$ & $y=-4x$ & $x=2.9$ & \\
\end{tabular}
\end{center}  

\end{enumerate}


\probpart{-- Méthode 2}

Tous les tracés de cette seconde partie seront faits dans un nouveau repère.

\begin{enumerate}
\item On considère à nouveau la droite d'équation $2x+3y-6=0$. 
	\begin{enumerate}
	\item Si $x=0$, quelle est la valeur de $y$ vérifiant l'équation de la droite ?\\
	En déduire les coordonnées d'un point de la droite.
	\item Choisir une autre valeur pour $x$ et calculer la valeur de $y$ correspondant à cette nouvelle valeur.\\
	En déduire les coordonnées d'un autre point de la droite.
	\item Tracer la droite.
	\end{enumerate}
\item Utiliser la même méthode pour tracer dans un même repère les droites d'équations 
\begin{center}
\begin{tabular}{cccc}
$3x+2y-6=0.$ &  $y=2x+1$ & $y=-x+3.2$ & $y=4.7$ \\
$y=2-\frac{11}{3}x$ & $y=-4x$ & $x=2.9$ & \\
\end{tabular}
\end{center}  
\item Les droites tracées dans les deux parties sont-elles bien les mêmes ?
\end{enumerate}}

% \exoc{On considère la droite d'équation $2x+3y-6=0$. On cherche à tracer cette droite dans un repère. Pour cela, on va déterminer les coordonnées de deux points de cette droite.
% \begin{enumerate}
% \item \begin{enumerate}
% 	\item Si $x=0$, quelle doit être la valeur de $y$ pour que l'équation soit vérifiée ?\\
% 	En déduire les coordonnées d'un point de la droite.
% 	\item Si $y=0$, quelle doit être la valeur de $x$ pour que l'équation soit vérifiée ?\\
% 	En déduire les coordonnées d'un autre point de la droite.
% 	\item Tracer la droite.
% 	\end{enumerate}
% \item Utiliser la même méthode pour tracer la droite d'équation $3x+2y-6=0.$ 
% \end{enumerate}}
\pagebreak
\exoc{Tracer chacune des droites suivantes.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item  $\mathscr{D}_1$ d'équation $x-2y+4=0$ ;
 \item  $\mathscr{D}_2$ d'équation $2x-2y-6=0$ ;
 \item  $\mathscr{D}_3$ d'équation $-2y+4=0$ ;
 \item  $\mathscr{D}_4$ d'équation $\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{3}=1$ ;
 \item  $\mathscr{D}_5$ d'équation $x+y=0$ ;
 \item  $\mathscr{D}_6$ d'équation $2x+4=0$ ;
 \item  $\mathscr{D}_7$ d'équation $6x+2y+1=0$ ;
 \item  $\mathscr{D}_8$ d'équation $5x-y-7=0$.
\end{enumerate}
\end{multicols}}

% \exoc{Dans cet exercice, nous allons observer différents types d'équations.
% \begin{enumerate}
% \item Trouver trois points dont les coordonnées sont telles que $x^2+y^2-1=0$. Ces points sont-ils alignés ?
% \item Trouver trois points dont les coordonnées sont telles que $3x-y+2=0$. Ces points sont-ils alignés ?
% \item Trouver trois points dont les coordonnées sont telles que $xy=6$. Ces points sont-ils alignés ?
% \item Trouver trois points dont les coordonnées sont telles que $x+y=7$. Ces points sont-ils alignés ?
% \item D'après les questions précédentes, quelle semble être la forme d'une équation représentant une droite ?
% \end{enumerate}}








\exocpart{Equations réduites}
%
%\pagebreak

\exoc{Associer chacune des droites tracées ci-dessous avec son équation.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
    \item $y=0.5x+1.8$ ;
    \item $y=-0.5x+1.8$ ;
    \item $y=0.5$ ;
    \item $y=0.5x+0.9$ ;
    \item $x=0.5$ ;
    \item $y=-0.5x-1.8$.
\end{enumerate}
\end{multicols}

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm} \pspicture(-4,-4)(4,4.5)
    \psline(-4,0)(4,0)
    \psline(0,-4)(0,4)
    \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(0,1)
    \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,0)
    \psplot[linestyle=dashed]{-4}{4}{x 0.5 mul 1.8 add}
    \psplot[linestyle=dotted]{-4}{4}{0.5 neg x mul 1.8 add}
    \psplot[linecolor=gray]{-4}{4}{0.5}
    \psplot[linestyle=dashed,linecolor=gray]{-4}{4}{x 0.5 mul 0.9 add}
    \psplot{-4}{4}{x 0.5 neg mul 1.8 neg add}
    \psline[linestyle=dashed](0.5,-4)(0.5,4)
    \uput[l](3,3.5){$d_4$}
    \uput[r](-3,3.5){$d_5$}
    \uput[r](0.5,3.5){$d_3$}
    \uput[r](3.5,2.5){$d_1$}
    \uput[r](3.5,-3.3){$d_2$}
    \uput[u](3.5,0.5){$d_6$}
\endpspicture
\end{center}
}


\exoc{Déterminer graphiquement l'ordonnée à l'origine, le
coefficient directeur et l'équation réduite de chacune des droites
tracées dans le repère ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\def\xmin{-6}\def\ymin{-6}\def\xmax{6}\def\ymax{6}
\pspicture(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psplot{-1.5}{4.5}{x 2 mul 3 neg add} \psplot{-4}{6}{x neg 2 add}
\psplot{-6}{6}{x 3 div 1 neg add} \psplot{-3.3333}{0.6666}{x 3 neg mul 4 neg add} \psline(-6,3.5)(6,3.5) \uput[r](4.2,5.4){$d_1$}
\uput[u](5.5,3.45){$d_2$} \uput[u](5.5,0.9){$d_5$}
\uput[u](5.5,-3.3){$d_4$} \uput[r](0.5,-5.5){$d_3$}
\endpspicture
\end{center}}



\pagebreak
\exoc{On donne ci-dessous les équations réduites de six droites du plan.
\begin{center}
\begin{tabular}{lllllll}
    $y=2x+1$ & $y=-x+3,2$ & 
    $y=4,7$ & $y=2-\frac{11}{3}x$ & $y=-4x$ &
    $x=2,9$ \\
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Pour chacune de ces équations de droites, donner l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur.
\item Sans faire de calcul, tracer les droites dans un même repère orthonormé $\OIJ$.
\end{enumerate}}

\exoc{On considère des droites dont les équations sont données ci-dessous.
\begin{multicols}{3}
\begin{description}
\item[$\mathscr{D}_1$ :] $-2x+y+1=0$
\item[$\mathscr{D}_2$ :] $x+y=-5$
\item[$\mathscr{D}_3$ :] $3x+3y+15=0$
\item[$\mathscr{D}_4$ :] $2x-6=0$
\item[$\mathscr{D}_5$ :] $6x=3y+3$
\item[$\mathscr{D}_6$ :] $1-\frac13x=0$
\item[$\mathscr{D}_7$ :] $-y-x-5=0$
\item[$\mathscr{D}_8$ :] $4x-2y=-2$
\item[$\mathscr{D}_9$ :] $3y-6x=-3$
\end{description}
\end{multicols}
\begin{enumerate}
\item Donner l'équation réduite de chacune de ces droites.
\item Regrouper les équations qui représentent une même droite.
\item Pour chacun des groupes trouvés à la question précédente, déterminer l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur de la droite.
\end{enumerate}}



% 
% \exoc{Dans cet exercice, on va étudier une nouvelle méthode pour tracer une droite donnée par son équation réduite.
% \begin{enumerate}
% \item On considère la droite d'équation $y=2x+1$. Pour tracer cette droite dans un repère, on va déterminer les coordonnées de deux points de cette droite.
% 	\begin{enumerate}
% 	\item Si $x=0$, quelle est la valeur de $y$ vérifiant l'équation de la droite ?\\
% 	En déduire les coordonnées d'un point de la droite.
% 	\item Choisir une autre valeur pour $x$ et calculer la valeur de $y$ correspondante à cette nouvelle valeur.\\
% 	En déduire les coordonnées d'un autre point de la droite.
% 	\item Tracer la droite.
% 	\end{enumerate}
% \item On donne ci-dessous les équations réduites de cinq droites du plan.
% 	\begin{center}	\begin{tabular}{llllll}
% 	$y=-x+3.2$ & $y=4.7$ & $y=2-\frac{11}{3}x$ & $y=-4x$ & $x=2.9$ \\
% 	\end{tabular}	\end{center}
% 	\begin{enumerate}
% 	\item Par le calcul, déterminer les coordonnées de 3 points sur chacune de ces droites.
% 	\item A l'aide des points déterminés à la question précédente, tracer les droites dans un même repère orthonormé $\OIJ$.
% 	\end{enumerate}
% \item Vérifier que les droites tracées sont les mêmes que celle obtenue à l'exercice 6.
% \end{enumerate}}



\exoc{Déterminer une équation réduite de chacune des droites définies ci-dessous. Dans chaque cas, $A$ et $B$ sont des points de
la droite, $m$ est son coefficient directeur et $p$ son ordonnée. 
\begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
    \item $A(2;7)$ et $B(-1;-2)$
    \item $A(4;-1)$ et $B(-6.2;-6.1)$
    \item $A(11;-3)$ et $B(11;5)$
    \item $A(1;-2)$ et $B(7;-2)$
    \item $A(\frac{7}{2};\frac{17}{2})$ et $B(-4;1)$
    \item $m=-5$ et $A(-1;10)$ ;
    \item $m=\frac23$ et $A(2;3)$ ;
    \item $p=-8$ et $A(\frac23;0)$ ;
    \item $p=-\frac57$ et $A(-3;-\frac{20}{7})$ ;
    \end{enumerate}
\end{multicols}
}



\exocpart{Parallélisme}
\exoc{Tracer les droites dont les équations sont données ci-dessous, puis déterminer leurs coefficients directeurs. Quel semble être le lien entre ces nombres et le parallélisme ?
\begin{multicols}{2}
$d_1 : y=2x+3$ ;\\
$d_2 : y=-3x-1$ ;\\
$d_3 : y=-0.5x+2$ ;\\
$d_4 : 2x-y-1=0$ ;\\
$d_5 : 2y+6x+6=0$ ;\\
$d_6 : 1.5x+3y+3=0$.
\end{multicols}}


\exoc{Sans les tracer, regrouper toutes les droites dont les
équations sont données ci-dessous en familles de droites parallèles.
\begin{multicols}{4}
$d_1:y=-2x+1$ \\
$d_2:y=\frac{1}{4}x-3$\\
$d_3:y=-3x-2$ \\
$d_4:y=2x-1$ \\
$d_5:y=-2x-2$ \\
$d_6:y=-3x+\frac{1}{2}$ \\
$d_7:y=2x$ \\
$d_8:y=5$ \\
$d_9:y=-3x-4$ \\
$d_{10}:y=\frac{1}{4}x+1.5$ \\
$d_{11}:x=5$ \\
$d_{12}:y=\frac{1}{4}x+6$
\end{multicols}
}

\pagebreak
\exoc{En déterminant leurs coefficients directeurs, reconnaître dans
la liste ci-dessous les droites parallèles.\par
\begin{multicols}{2}
$\Delta_1 : y=\frac{1}{3}x+2$ ; \\
$\Delta_2 : y=-5x-1$ ; \\
$\Delta_3 : 7y=-4x+5$ ; \\
$\Delta_4 : x-3y-2=0$ ; \\
$\Delta_5 : 4y+20x+8=0$ ; \\
$\Delta_6 : -3.5y-2x+7=0$ ; \\
$\Delta_7 : \frac{3}{2}y-\frac{1}{2}x+7=0$ ; \\
$\Delta_8 : 35y+20x=12$.
\end{multicols}

}

\exoc{Soit $(d_0)$ la droite d'équation $y=3x-2$. Trouver les
équations des droites suivantes :
\begin{enumerate}
\item $(d_1)$ parallèle à $(d_0)$ et d'ordonnée à l'origine 4.
\item $(d_2)$ parallèle à $(d_0)$ et passant par le point de coordonnées $(-1;0)$.
\item $(d_3)$ de coefficient directeur 2 et croisant $(d_0)$ au point de coordonnées $(7;19)$.
\item $(d_4)$ parallèle à l'axe des abscisses et ayant la même ordonnée à l'origine que $(d_0)$.
\item $(d_5)$ ne croisant jamais $(d_0)$ et passant par l'origine.
\end{enumerate}
}


\exocpart{Intersections de droites}
% \exoc{Déterminer, par le calcul, le point d'intersection de chacun des couples de droites suivants.
% \begin{multicols}{3}
% \begin{enumerate}
% \item $\Dr : y=2x+1$\\
%       $\Drp : y=-x+4 $\\%1,3
% \item $\Dr : y=x+3 $\\
%       $\Drp : y=-x+3 $\\%0,3
% \item $\Dr : x+y-3=0 $\\
%       $\Drp : 3x+y-5=0$\\%1,2
% \end{enumerate}
% \end{multicols}}



\exoc{On considère le système : $\S \syst{-2x+y}{-1}{-5x+y}{2}$.\\
\begin{enumerate}
	%\item Justifiez le nombre de solutions du système.
	\item Donnez les équations réduites des droites associées à ce système.
	\item A l'aide de la calculatrice graphique, tracez les droites et déduisez-en une approximation de la solution.
	\item Vérifiez par le calcul que le couple obtenu est bien la solution exacte du système.
\end{enumerate}}

\exoc{Déterminer à l'aide de la calculatrice une approximation des solutions de chacun des sytèmes suivants puis vérifier  par le calcul les couples de solutions obtenus.\par
\begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
    \item $\syst{y}{-2x-1}{y}{\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}}$ ;
    \item $\syst{y}{5x-10}{y}{x}$ ;
    \item $\syst{y}{-41x+3}{x}{-1}$ ;
    %\item $\syst{y}{-12x-23}{y=-x+98}$ ;
    \item $\syst{y}{5x-1}{y}{5x-2}$ ;
    \end{enumerate}
\end{multicols}
}

\exoc{Déterminer une équation de chacune des droites tracées ci-dessous, puis en déduire la résolution graphique de chacun des systèmes donnés.\\
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
\psset{unit=0.75cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
\def\xmin{-4}\def\ymin{-4}\def\xmax{8}\def\ymax{5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,5.5)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray,
subgriddiv=2](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psplot[linecolor=rouge]{-4}{5}{2/5*x+3}\rput(3,4.5){$(d_1)$}
\psline[linecolor=bleu](-2.5,-4)(-2.5,5)\rput(-3.5,4.5){$(d_2)$}
\psline[linecolor=rouge](-4,4)(8,4)\rput(7,4.5){$(d_3)$}
\psplot[linecolor=rouge]{-4}{8}{1/2.5*x-1.5}\rput(-3.5,-2.5){$(d_4)$}
\psplot[linecolor=rouge]{-4}{8}{-1/9*x+31/18}\rput(-3.5,2.5){$(d_5)$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{enumerate}
 \item $\syst{y}{\frac{2}{5}x+3}{2x+5}{0}$
 \item $\syst{4x-10y}{15}{2x+18y}{31}$
 \item $\syst{y}{4}{2x+5}{0}$
 \item $\syst{y}{\frac{2}{5}x-\frac{3}{2}}{2x-5y}{-15}$
\end{enumerate}
\end{minipage}
}

\exocpart{Applications}
\exoc{$ABCD$ est un carré de côté $1$. Les points $I$ et $J$ sont les milieux respectifs des côtés $[AB]$ et $[AD]$. Soit $K$ le point d'intersection des droites $(AC)$ et $(BJ)$.\\
Le but de cet exercice est de montrer que les points $D$, $K$ et $I$ sont alignés.

\probpart{-- Première méthode}
	On considère le repère $(A,B,D)$.
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer les coordonnées de chacun des points $A$, $B$, $C$, $D$, $I$ et $J$ dans ce repère.
	\item Déterminer une équation de le droite $(AC)$ puis celle de la droite $(BJ)$.
	\item Déterminer les coordonnées de $K$, point d'intersection de ces deux droites.
	\item Démontrer que les points $D$, $K$ et $I$ sont alignés.
	\end{enumerate}

\probpart{-- Deuxième méthode}
	\begin{enumerate}
        \item Que représente les droites $(AC)$ et $(BJ)$ pour le triangle $ABD$ ?
        \item Conclure sur l'alignement recherché.
       \end{enumerate}
}

\exoc{Dans un repère, on considère quatre points
$A(-4;1)$, $B(2;4)$, $C(1;0)$, $D(-5;-3)$.
\begin{enumerate}
\item Tracer une figure et prouver que $ABCD$ est un parallélogramme.
\item Soit $I$ et $J$ les milieu respectifs des côtés $[BC]$ et $[AD]$.
Déterminer les coordonées de ces points et placer les dans le repère.
\item La droite $(AD)$ admet-elle une équation réduite  ?
\item Déterminer les équations réduites des droites $(AC)$ et $(BD)$.
\item Déterminer les coordonnées du point $K$, intersection des droites $(AC)$ et $(BD)$.
\item En utilisant les vecteurs; prouver que les points $I$, $J$ et $K$ sont alignés.
\item Prouver à nouveau cette propriété en utilisant l'équation réduite de la droite $(IJ)$.
\item En utlisant les équations réduites, prouver que les droites $(AB)$, $(CD)$, $(IK)$ et $(JK)$ sont parallèles. En déduire une nouvelle preuve de l'alignement des points $I$, $J$ et $K$.
\end{enumerate} }




\exoc{Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\oij$, on considère
les quatre points suivants : $A(-2;1)$, $B(4;3)$, $C(5,0)$ et
$D(-1;-2)$. Le but de ce problème est d'étudier la nature du
quadrilatère $ABCD$. On pourra faire une figure pour illustrer la
situation.

\medskip

\probpart{-- Première méthode}

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $A$ et $B$ sont bien sur la droite
d'équation $y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$.
\item On admet que la droite $(CD)$ a un coefficient directeur égal à
$\frac{1}{3}$ et une ordonnée à l'origine égale à $-\frac{5}{3}$. En
déduire son équation réduite.
\item Déterminer les équations réduites des droites $(AD)$ et $(BC)$.
\item Déduire des questions précédentes que le quadrilatère $ABCD$ a ses côtés opposés
parallèles. En déduire une première information sur sa nature.
\item En calculant les longueurs utiles, préciser la nature du prallélogramme $ABCD$.
\end{enumerate}

\probpart{-- Deuxième méthode}

On admet que l'équation réduite de la droite $(AC)$ est $y=-\dfrac{1}{7}x+\dfrac{5}{7}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite $(BD)$. En déduire son équation réduite.
\item Calculer les coordonnées de l'intersection des droites $(AC)$ et
$(BD)$.
\item Calculer les coordonnées des milieux des segments $[AC]$ et $[BD]$.
\item Déduire des questions précédentes une première information concernant
le quadrilatère $ABCD$.
\item Calculer les longueurs $AC$ et $BD$ et en déduire la nature du quadrilatère
$ABCD$.
\end{enumerate}

\probpart{-- Questions complémentaires}

Soit $M$ de coordonnées $(x;y)$ un point du cercle $\cal C$ de
diamètre $[AC]$.
\begin{enumerate}
\item Calculer le rayon et les coordonnées du centre du cercle $\cal C$.
\item Exprimer la longueur $IM$ en fonction de $x$ et $y$.
\item Puisque $M$ est sur le cercle, à quoi est égal $IM^2$ ?\\
En déduire une égalité concernant $x$ et~$y$.
\item Mettre l'égalité précédente sous la forme $ax^2+by^2+cx+dy+e=0.$
Cette égalité est appelée équation du cercle $\cal C$.
\end{enumerate}
}


\exoc{Un transporteur doit véhiculer $960$ personnes. Il dispose de bus de $40$ places et de bus de $60$ places.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
	\item Si le transporteur n'utilise que des bus de $40$ places, combien de bus doit-il prévoir ?
 	\item Si le transporteur n'utilise que des bus de $60$ places, combien de bus doit-il prévoir ?
 	\end{enumerate}
 \item Le transporteur utilise $x$ bus de $40$ places et $y$ bus de $60$ places.
 	\begin{enumerate}
 	 %\item À quel ensemble de nombres appartiennent $x$ et $y$ ?
 	 \item Déterminer une équation vérifiée par $x$ et $y$.
 	 \item Tracer la droite correspondante dans un repère orthonormé d'unité graphique $1$ cm.
 	 \item Combien de bus de chaque sorte le transporteur doit-il prévoir ? Indiquer toutes les possibilités.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}}


\exoc{Deux sociétés louent une camionette aux conditions suivantes :
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{2.5cm}||*{2}{c|}}\hline
&Forfait journalier & Prix du km parcouru\\\hline
Société A & 92 \euro & 0,14 \euro \\\hline
Société B & 50 \euro & 0,40 \euro \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Un client a 300 km à parcourir en trois jours. Quel est le tarif le plus avantageux?\\
	Même question s'il a 600 km à parcourir en trois jours.
\item Soit $x$ le nombre de kilomètres parcourus en trois jours et $y$ le prix payé par le client.
	\begin{enumerate}
	\item On appelle respectivement $f(x)$ et $g(x)$ les prix payés par le client s'il choisit les sociétés A et B.
	Exprimer $f(x)$ et $g(x)$ en fonction de $x$.
	\item Représenter graphiquement les deux fonctions $f$ et $g$. (unités : 50 km/euros pour 1 cm sur chaque axe)
	\end{enumerate}
\item Soit $M$ le point de d'intersection des deux droites.
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer graphiquement les coordonnées du point $M$.
	\item Vérifier algébriquement.
	\item Interpréter le résultat obtenu.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% devoir maison droite de Mayer
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\en
\partie{Homework \#9}

\exoc{The height (in cm) and weight (in kg) of 21 young girls are given in the table below.

\begin{center}
\begin{tabular}{| p{2cm} | *{11}{| c} |}\hline
Height $x$ & 166 & 160 & 163 & 165 & 155 & 169 & 171 & 160 & 162 & 165 & 153 \\ \hline
Weight $y$  & 59  & 57  & 56  & 58  & 54  & 60  & 61  & 53  & 54  & 56 & 51\\ \hline 
\hline
Height $x$ & 158 & 176 & 168 & 150 & 167 & 164 & 166 & 161 & 158 & 170 &\\ \hline
Weight $y$  & 56  & 62  & 57  & 49  & 58  & 57  & 56  & 56  & 55  & 64 &\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}



\begin{enumerate}
\item Show these data as a scatter plot with height on the $x$-axis and weight on the $y$-axis. The scale will be 2cm
for 5 units on both axes and the origin point will be $(145,40)$.
\item Compute independently the median height $h_0$ and the median weight $w_0$ of the 21 girls. Then, place the point
$G$ with coordinates $(h_0;w_0)$.
\item The points on the scatter plot seem to be roughly collinear. In this question, we will find the formula of a
linear function whose graph is a good approximation of the scatter plot. This is the \emph{median-median line}, also
referred to as the \emph{median fit line}.
	\begin{enumerate}
	\item To fit a median-median line to the points, divide the points into three groups. Do this by taking the set
of one-third of the points consisting of those with the smallest $x$-values, a middle group and a set of one-third of
the points with the largest $x$-values. 
	\item Consider each group of data separately and order the values of both variables.  Ignore the data pairings
at this point.
	\item Now create a summary point for each group of the data by using the median $x$-value and the median
$y$-value, and combining them to create an ordered pair.  We have three summary points: $G_L$ for the leftmost data,
$G_M$ for the middle group, and $G_R$ for the right hand group.  These summary points may, or may not, be actual data
points.
	\item Now use the two outer summary points to determine the slope-intercept equation of the line $(G_LG_R)$. 
	\item Construct the line parallel to this line that is one-third of the way to the middle summary point.  This
is the \emph{median-median line} $\mathscr{M}$. To do this:
	\begin{itemize}
	\itemb Find the $y$-coordinate of the point $P$ on the line with the same $x$-coordinate as the middle
summary point $G_M$.
	\itemb Find the vertical distance between the middle summary point and the line by subtracting
$y$-values.
	\itemb Find the coordinates of the point $Q$, one third of the way from the line to the middle summary
point.
	\itemb Find the slope-intercept equation of the line parallel to $(G_LG_R)$ passing through $Q$.
	\end{itemize}
	\end{enumerate}
\item Is the point $G$ on the line $\mathscr{M}$ ? Answer the question graphically and with a computation.
\item In this question, we use the median-median line to estimate some values.
	\begin{enumerate}
	\item What should be the weight of a girl whose height is 1.80m ?
	\item What should be the height of a girl whose weight is 55 kg ?
	\end{enumerate}
\item The Lorenz law establishes a relation between the weight $W$ and the height $H$ for women : 	
$$\displaystyle{W=H-100-\frac{H-150}{2}}$$
	\begin{enumerate}
	\item Draw the line representing this function.
	\item What do you notice about this line compared to $\mathscr{M}$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% devoir maison droite d'Euler
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie{Homework \# 10}

\exoc{The aim of this homework is to study the famous Euler line on an example..\\
Consider an orthonormal coordinate graph $\oij$ with the points $A(-3,1)$, $B(5,1)$ and $C(-2,8)$.
We call $A'$ the midpoint of $[BC]$ and $B'$ the midpoint of $[AC]$.
\begin{enumerate}
\item For the following questions, you will need to find information on the internet or in maths books.\begin{enumerate}
	\item Who was Euler ? When did he live ?
	\item What is the Euler line of a triangle ?
	\item Draw the triangle $ABC$ and its Euler line.
	\end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Compute the coordinates of $A'$ and $B'$.
        \item Find out equations of the medians through $A$ and $B$ in triangle $ABC$.
        \item Deduce the coordinates of $G$, the centroid of $ABC$.
       \end{enumerate}
\item Consider the point $R(1,4)$.
	\begin{enumerate}
	\item Compute the lengths $RA$, $RB$ and $RC$. 
	\item What is the point $R$ in the triangle $ABC$? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
We now admit that two lines $\Delta$ and $\Delta'$ with respective slope-intercept equations $y=mx+p$ and $y=m'x+p'$ are
perpendicular if and only if $m\times m'=-1$.
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{3}
\item \begin{enumerate}
	\item What is the slope of any line perpendicular to $(BC)$.
	\item Deduce the slope-intercept equation of the altitude through $A$ in $ABC$.
	\item Find out the simplest equation of the altitude through $C$ in triangle $ABC$.
	\item Deduce the coordinates of $H$, the orthocenter of the triangle $ABC$.
	\end{enumerate}
\item Use vectors to check that the points $G$, $R$ and $H$ are collinear.
\item The Euler line passes through a fourth important point in the triangle. Find the name and definition of this
point.
\end{enumerate}}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% devoir année précédente
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\partie{Test of the last year}



\exods{6}{
For every question below, there are four answers, of which more than one maybe true. Tick the right answers. Every
question is worth 1 point. An incomplete but correct answer is worth 0.5 points and a bad answer (completely or
partially) costs 0.25 points.

\begin{alterqcm}[tone=\sf QUESTIONS,ttwo=\sf ANSWERS,symb=\dingsquare,corsymb=\dingchecksquare,numbreak=0]
\AQquestion{The line of equation $3x-7y+2=0$ passes through the points}{
{$A(2,1)$}, {$B(4,2)$}, {$C(-1,0)$}, {$D(-3,-1)$.}}
\AQquestion{The line of equation $y=-\frac15x+\frac{23}{5}$ passes through the points}{
{$A(0,\frac{9}{2})$}, {$B(3,4)$}, {$C(8,3)$}, {$D(-2,5)$.}}
\AQquestion{If its slope is $5$ and  its intercept is $1$ then the slope-intercept equation of a line is}{
{$2y-10x=2$}, {$x=5y+1$}, {$y=5x+1$}, {$y=x+5$.}}
\AQquestion{Other valid equations of the line of equation $x-y+2=0$ are}{
{$y=x+2$}, {$y=-x-2$}, {$5x-5y=-10$}, {$3x-3y-6=0$.}} 
\AQquestion{Other valid equations of the line of equation $\frac{x}{3}+\frac{y}{5}=1$ are}{
{$y=-x+3$}, {$y=-\frac{1}{15}x+\frac{1}{5}$}, {$5x+3y-15=0$}, {$x+y=15$.}}
\AQquestion{The lines of equation $y=7x-3$ and $14x-2y+6=0$ are
}{
 {the same line ;},
 {perpendicular ;},
 {secant ;},
 {parallel.}}
\end{alterqcm}}

\pagebreak

\exods{14}{Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\OIJ$, on considère les points $A(2;0)$, $B(0;2)$, $C(0,4)$ et
$D(2,-2)$.
\begin{enumerate}
\item Faire une figure qui sera complétée tout au long de l'exercice.
\item Déterminer par le calcul les coordonnées du point $K$, milieu de $[AB]$. En cas d'échec à cette question, pour
pourra lire les coordonnées graphiquement.
\item \begin{enumerate}
	\item Déterminer l'équation réduite de la droite $(DC)$.
	\item Préciser l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur de cette droite.
	\item Prouver, en utilisant l'équation réduite, que le point $K$ est sur la droite $(DC)$.
	\end{enumerate}
\item On admet dans la suite que le coefficient directeur de la droite $(DC)$ est $-3$. On note
$\mathscr{D}$ la droite parallèle à $(CD)$ passant par $B$.
	\begin{enumerate}
	\item Quel est le coefficient directeur de $\mathscr{D}$ ? On justifiera clairement.
	\item Déterminer l'équation réduite de la droite $\mathscr{D}$.
	\item Déterminer par le calcul les coordonnées du point $E$, intersection des droites $\mathscr{D}$ et $(AD)$.
	\end{enumerate}
\item On note $\mathscr{D}'$ la droite parallèle à $(CD)$ passant par $O$.
	\begin{enumerate}
	\item Quelle est l'ordonnée à l'origine de la droite $\mathscr{D}'$ ? On justifiera clairement.
	\item Donner, sans aucun calcul, l'équation réduite de la droite $\mathscr{D}'$.
	\item Déterminer l'équation réduite de la droite $(AB)$.
	\item Déterminer par le calcul les coordonnées du point $F$, intersection des droites $\mathscr{D}'$ et $(AB)$.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,gridcolor=lightgray](-5,-5)(5,5)
\psaxes[labels=none](0,0)(-5,-5)(5,5)
\uput[dl](0,0){$O$}
\uput[d](1,0){$I$}
\uput[l](0,1){$J$}
\end{pspicture}
\end{center}
}


\newpage\null\pagestyle{empty}\newpage

\lastpage{\episode{Line equations}{17}
\episode{Different types of line equations}{18}
\episode{Jungle speed}{19}

\begin{quote}
\sl Yes, we have to divide up our time like that, between our politics and our equations. But to me our equations are
far more important, for politics are only a matter of present concern. A mathematical equation stands forever.
\end{quote}

\begin{flushright}
Albert Einstein
\end{flushright}

\begin{quote}
\sl Someone told me that each equation I included in the book would halve the sales.
\end{quote}

\begin{flushright}
Stephen Hawking
\end{flushright}


\begin{quote}
\sl Love and you shall be loved. All love is mathematically just, as much as the two sides of an algebraic equation.
\end{quote}

\begin{flushright}
Ralph Waldo Emerson
\end{flushright}

\begin{quote}
\sl It seems that if one is working from the point of view of getting beauty in one's equations, and if one has really a
sound insight, one is on a sure line of progress.
\end{quote}

\begin{flushright}
Paul Dirac 
\end{flushright}


}




%dm 09-10
% \newpage
% \partie{Devoir maison}
% Les gaz d'échappement d'une voiture libèrent du dioxyde de carbone ($CO_2$),
% non toxique et du monoxyde de carbone ($CO$), toxique.
% Lors d'un contrôle anti-pollution, on mesure le taux $T_1$ de $CO_2$,
% le taux $T_2$ de $CO$, puis l'on détermine le taux~$T$ de $CO$ corrigé :
% $$T=\frac{15T_2}{T_1+T_2}$$
% La réglementation exige que $T$ soit inférieur à 4,5.
% 
% \begin{enumerate}
% \item Recopier et, à l'aide de la calculatrice, compléter le tableau suivant:
% 
% \begin{center}
% \begin{tabular}{|p{4cm}|*{6}{c|}}\hline
% Voitures & A & B & C & D & E & F \\ \hline\hline
% Taux $T_1$ & 12,5 & 6,5 & 10 & 7 & & 11 \\ \hline
% Taux $T_2$ & 3 & 5 & & 4,5 & 2 & 1,5 \\ \hline
% Taux $T$ & & & 3 & & 3 & \\ \hline
% Satisfaisant (oui -- non) &&&&&& \\ \hline
% \end{tabular}
% \end{center}
% 
% Quelles voitures ne satisfont pas à la réglementation ?
% 
% \item Le technicien chargé du contrôle dispose d'un graphique (voir ci-dessous), appelé abaque.
% 
% \begin{itemize}
% \item Le taux de $CO_2$ est repéré en abscisse.
% \item Celui de $CO$ est repéré en ordonnée.
% \item Le taux $T$ de $CO$ corrigé correspondant au couple $(T_1;T_2)$ est
% repéré à l'aide des demi-droites d'origine $O$ cotées de $T=0,5$ à $T=10$.
% \end{itemize}
% 
% \begin{enumerate}
% \item Si $T_1=7$ et $T_2=3$, le point de coordonnées $(7;3)$ est sur
% la demi-droite cotée 4,5.
% 
% Vérifier par le calcul que c'est le taux de $CO$ corrigé
% correspondant.
% 
% \item Lire le taux de CO corrigé indiqué sur le graphique pour
% les cas suivants:
% \begin{multicols}{2}
% \begin{enumerate}
% \item $T_1=6$ et $T_2=2$
% \item $T_1=10$ et $T_2=4$
% \end{enumerate}
% \end{multicols}
% 
% \item Que représente la zone grisée sur le graphique ?
% 
% \item Démontrer que $T=4,5$ si et seulement si
% $T_2=\cfrac{3}{7}T_1$.
% 
% Vérifier que la demi-droite cotée 4,5 à pour coefficient directeur $\cfrac{3}{7}$.
% 
% \item En déduire une méthode pour construire la demi-droite cotée $T$.
% 
% Vérifier cette méthode en l'appliquant pour les demi-droites cotées
% $2$, $3$ et $8$.
% 
% \end{enumerate}
% 
% \end{enumerate}
% 
% 
% 
% 
% 
% \begin{center}
% \psset{xunit=0.5cm,yunit=1cm}
% \begin{pspicture}(0,0)(19,9.5)
% \psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=2](16,8)
% \psset{xunit=1}
% \pspolygon[linestyle=none,fillcolor=gray,fillstyle=solid](0,0)(16,0)(16,6.857)
% \psaxes[Dx=2](0,0)(17,8.5)
% \psset{linewidth=.25pt}
% \psline(0,0)(16,0.552) %
% \psline(0,0)(17,1.214) % 1
% \psline(0,0)(16,1.778) %
% \psline(0,0)(17,2.615) % 2
% \psline(0,0)(16,3.200) %
% \psline(0,0)(17,4.250) % 3
% \psline(0,0)(16,4.870) %
% \psline(0,0)(17,6.182) % 4
% \psline(0,0)(16,6.857) %
% \psline(0,0)(17,8.5) % 5
% \psline(0,0)(13.818,8) %
% \psline(0,0)(12.75,8.5) % 6
% \psline(0,0)(10.462,8) %
% \psline(0,0)(9.714,8.5) % 7
% \psline(0,0)(8,8) %
% \psline(0,0)(7.438,8.5) % 8
% \psline(0,0)(6.118,8) %
% \psline(0,0)(5.667,8.5) % 9
% \psline(0,0)(4.632,8) %
% \psline(0,0)(4.25,8.5) % 10
% 
% {\footnotesize\bf
% \uput{.2cm}[0](17,1.214){$1$} % 1
% \uput{.2cm}[0](17,2.615){$2$} % 2
% \uput{.2cm}[0](17,4.250){$3$} % 3
% \uput{.2cm}[0](17,6.182){$4$} % 4
% \uput{.2cm}[45](17,8.5){$5$} % 5
% \uput{.2cm}[90](12.75,8.5){$6$} % 6
% \uput{.2cm}[90](9.714,8.5){$7$} % 7
% \uput{.2cm}[90](7.438,8.5){$8$} % 8
% \uput{.2cm}[90](5.667,8.5){$9$} % 9
% \uput{.2cm}[90](4.25,8.5){$10$}} % 10
% 
% \uput{.2cm}[315](17,0){Taux de CO$_2$}
% \uput{.2cm}[90](0,8.5){Taux de CO}
% \uput{.2cm}[90](16,9){Taux de CO corrigé}
% 
% \end{pspicture}
% \end{center}



\end{document}



% 
% 
% 
% 
% \exoc{Après avoir vérifié qu'il admet bien des solutions, résoudre
% chacun des systèmes suivants par le calcul.
% \begin{center}
% \begin{tabular}{ccc}
% $\left\{\begin{array}{ll}
% y=-2x+1\\
% y=2x-1\end{array}\right.$ & $\left\{\begin{array}{ll}
% y=\frac{1}{4}x-3\\
% y=-3x-2\end{array}\right.$ & $\left\{\begin{array}{ll}
% y=-3x-4\\
% y=\frac{1}{4}x+1.5\end{array}\right.$
% \\[18pt]
% $\left\{\begin{array}{ll}
% y=\frac{1}{4}x+1.5\\
% y=\frac{1}{4}x+6\end{array}\right.$ & $\left\{\begin{array}{ll}
% y=5\\
% y=2x\end{array}\right.$ & $\left\{\begin{array}{ll}
% y=-2x-2\\
% y=-3x-2\end{array}\right.$ \\[15pt]
% $\left\{\begin{array}{rcl}
% -3x+5y & = & 1 \\
% 3x+7y & = & -13 \\
% \end{array}\right.$ &
% $\left\{\begin{array}{rcl}
% 2x+\frac13y & = & -9 \\
% 3x+2y & = & -9 \\
% \end{array}\right.$ &
% $\left\{\begin{array}{rcl}
% x+\frac32y & = & 18 \\
% \frac23x+y & = & 12 \\
% \end{array}\right.$ \\[15pt]
% $\left\{\begin{array}{rcl}
% 7y+3x & = & 8 \\
% 9x-4y & = & -1 \\
% \end{array}\right.$ &
% $\left\{\begin{array}{rcl}
% 8x-3y & = & 9 \\
% -\frac{4}{3}x+\frac{1}{2}y & = & -7 \\
% \end{array}\right.$ &
% $\left\{\begin{array}{rcl}
% 6x-8y & = & -13 \\
% 8x-6y & = & -\frac{37}{2} \\
% \end{array}\right.$ \\
% \end{tabular}
% \end{center}
% }
% 
% 
% 
% 
% 
% 
% 
% 
% 
% 
% 
% 
% 
% 
% 
% 
% 
% 
% 
% 
% 
% \exoc{exos a revoir
% \begin{enumerate}
% 	\item Déterminer une équation de chacunes des droites suivantes:\\
% 	$$\psset{unit=0.75 cm}
% 	\begin{pspicture}(-3.5,-4)(8.5,5)
% 	\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-3.5,-4)(8.5,5)
% 	\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0pt, gridcolor=gray, subgridwidth=0pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=2](-3.5,-4)(8.5,5)
% 	\psline(-3.5,4)(8.5,4)
% 	\psline(-2.5,-4)(-2.5,5)
% 	\psplot[linecolor=black,linestyle=solid]{-3.5}{5}{2 5 div x mul 3 add}
% 	\psplot[linecolor=black,linestyle=solid]{-3.5}{8.5}{2 5 div x mul 3 2 div sub}
% 	\psplot[linecolor=black,linestyle=solid]{-3.5}{8.5}{0 1 9 div sub x mul 31 18 div add}
% 	\end{pspicture}$$
% 	
% 	\item En déduire la résolution graphique de chacun des systèmes suivants :
% 	$$\syst{y}{\frac25 x+3}{x}{-\frac52} \qquad \syst{y}{4}{y}{-\frac19 x+\frac{31}{18}}$$ 
% 	$$\syst{y}{\frac25 x-\frac32}{2x-5y}{-15} \qquad \syst{4x-10y}{15}{2x+18y}{31}$$
% \end{enumerate}}
% 
% 
% 
% 
% 
