\documentclass[12pt]{book}\usepackage{livre}\usetikz

\newcommand{\Syst}[2]{\left\{\begin{array}{ccccc} #1\\ #2 \end{array}\right.}
\begin{document}%\nocolor


\chapitre{7}{Équations de droites}{2nd}
\begin{center}\today\end{center}
\begin{minipage}{15cm}\tableofcontents\end{minipage}
\newpage

\section{Équations cartésiennes de droites dans le plan}

\subsection{Forme générale}
\defi{Equation cartésienne}
{Soit $M$ un point quelconque du plan, de coordonnées $(x;y)$.
On appelle \defin{équation cartésienne} de la droite $(AB)$ toute
égalité faisant intervenir $x$ et $y$ qui soit vraie si et seulement
si le point $M$ est sur la droite.}

\theo{Equation d'une droite}
{Toute droite du plan admet une équation de la forme $ax+by+c=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels.}

\eng{General form}{In a plane coordinate system, any line has an infinity of equations in the general form $ax+by+c=0$.}

\dem{Soient $\Delta$ une droite du plan, $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ deux points distincts sur $\Delta$ et leurs coordonnées dans le plan. 
\begin{eqnarray*}
M\coor{x}{y}\in \Delta &\ssi &\vect{AM}\coor{x-x_A}{y-y_A} \textrm{ et } \vect{AB}\coor{x_B-x_A}{y_B-y_A} \textrm{ sont colinéaires}\\
    & \ssi & (x-x_A)(y_B-y_A) - (y-y_A)(x_B-x_A) = 0 \\
    & \ssi & x(y_B-y_A)-y(x_B-x_A)-x_A(y_B-y_A)+y_A(x_B-x_A) = 0 
\end{eqnarray*}
En posant $a=(y_B-y_A)$, $b=-(x_B-x_A)$ et $c=-x_A(y_B-y_A)+y_A(x_B-x_A)$, on obtient bien une équation $$ ax+by+c=0 \qquad(1) $$ }

\rem{Toute droite du plan admet une infinité d'équations
cartésiennes. En effet, si $ax+by+c=0$ est une équation cartésienne
d'une droite $\Delta$, pour tout réel $k$, l'équation
$(ka)x+(kb)y+(kc)=0$ en est une autre. On peut aussi modifier
l'écriture de l'équation. Par exemple, l'équation cartésienne $2y-2x=0$ s'écrit aussi $y=x$ ou
encore $\frac{y}2-\frac{x}2+3=3$.}

\cadre{Méthode}{}
{Deux méthodes sont à retenir de l'activité préparatoire :
\begin{enumerate}
\item Déterminer la forme générale de l'équation cartésienne d'une droite à partir de la donnée de deux points.
\item Déterminer par le calcul, si un point donné appartient ou non à une droite dont l'équation est donnée.
\end{enumerate}}




\subsection{Equation réduite}
La forme générale de l'équation d'une droite donne peu de renseignements sur celle-ci. Nous allons voir une autre façon d'écrire l'équation d'une droite qui fournit plus d'indications sur les caractéristiques de celle-ci.\\

\theo{Equation d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées}
{Toute droite du plan parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation cartésienne de la forme $x=k$.}

\dem{On sait que la droite admet une équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$ avec $b=-(x_B-x_A)$. Comme la droite est parallèle à l'axe $(Oy)$, on a $x_A=x_B$ donc $b=0$ et la relation $(1)$ s'écrit alors $ax+c=0$. Les points $A$ et $B$ étant distincts, $a=y_B-y_A\neq 0$ donc une autre équation cartésienne est $x=-\frac{c}{a}$, qui est bien de la forme annoncée.}

\illus{}{$$\psset{unit=0.7cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
\def\xmin{-6}\def\ymin{-1}\def\xmax{6}\def\ymax{4}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psline[linewidth=0.1](2,\ymin)(2,\ymax)
\end{pspicture*}$$
L'équation de la droite ci-dessus est $x=2$.}

\theo{Equation d'une droite non parallèle à l'axes des ordonnées}
{Toute droite du plan non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation de la forme $y=mx+p$, où $m$ et $p$ sont deux nombres. Une telle écriture est appelée \defin{équation réduite} et est unique pour chaque droite.}

\eng{Slope-intercept form}{Any line not parallel to the $y$-axis has a unique equation of the form $y=mx+p$. The number
$m$ is called the \emph{slope} of the line and the number $p$ its \emph{intercept}, or more precisely
the \emph{$y$-intercept}.}



\dem{On sait que la droite admet une équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$ soit $by = -ax-c$. Puisqu'elle n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées et que $A$ et $B$ sont distincts, on a que $b=-(x_B-x_A)\neq 0$. La droite admet donc aussi pour équations $y = -\frac{a}{b}x- \frac{c}{b}$.\\
En posant $m=-\frac{a}{b}$ et $p=-\frac{c}{b}$, la dernière équation est bien de la forme annoncée.\\
L'unicité est admise.}

\eng{Intercept form}{An interesting form of equation is used in English. It's called
the \emph{intercept} form. If we modify the general equation of a
line to get an equation of the form $\frac{x}{q}+\frac{y}{p}=1$ then
the real numbers $q$ and $p$ are respectively the $x$-intercept and
the $y$-intercept of the line.}


\exosol{Soit $\Dr$ la droite d'équation cartésienne $-4x+2y+2=0$. Donner l'équation réduite de $\Dr$.}
{$-4x+2y+2=0$ donc $2y=4x-2$ d'ou $y=2x-1$.}

\defi{Ordonnée à l'origine - Coefficient directeur}
{Dans les conditions du théorème précédent, le nombre $p$ est appelé \defin{ordonnée à l'origine.} C'est l'ordonnée du point de la droite dont l'abscisse est nulle.\\
Le nombre $m$ est appelé \defin{coefficient directeur} de la droite. Il indique la ``pente'' de la droite. Plus précisément, si deux points de la droite ont des abscisses dont la différence est égale à 1, la différence de leurs ordonnées est $m$.}

\illus{}{\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm}
\pspicture(-3,-4)(3,6)
\psaxes[labels=none](0,0)(-3,-4)(3,6)
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(1,0)(0,0)(0,1)
\uput[dl](0,0){$O$}
\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$}
\psplot{-2.5}{2.2}{x 2 mul 1.5 add}
\psdot(0,1.5)
\uput[l](0,1.5){$p$}
\psline[linestyle=dashed](1,3.5)(2,3.5)(2,5.5)
\uput[d](1.5,3.5){$1$}
\uput[r](2,4.5){$m$}
\psline[linestyle=dashed](-2,-2.5)(-1,-2.5)(-1,-0.5)
\uput[d](-1.5,-2.5){$1$}
\uput[r](-1,-1.5){$m$}
\endpspicture
\end{center}}


\exosol{Sur le graphique ci-dessous :
\begin{enumerate}
\item Tracer la droite d'équation $y=3x+1$
\item Déterminer graphiquement l'équation de la droite tracée.
\end{enumerate}
$$\psset{unit=0.7cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
\def\xmin{-5}\def\ymin{-5}\def\xmax{5}\def\ymax{5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psplot[linecolor=rouge]{-5}{5}{-2*x+5}
\psdots(0,1)\rput[br](-.2,1.2){$A$}
\psline[linecolor=bleu,linestyle=dashed]{->}(0,1)(1,1)(1,4)
\psplot[linecolor=bleu]{-5}{5}{3*x+1}
\end{pspicture*}$$}
{\begin{enumerate}
 \item  L'ordonnée à l'origine est $1$ donc la droite passe par $A(0;1)$.\\
	Le coefficient directeur est de $3$, donc si on avance d'une unité en abscisse, on augmente de trois unités en ordonnées. On effectue ce déplacement à partir du point $A$ pour obtenir un deuxième point.
\item   L'ordonnée à l'origine est de $5$ donc $b=5$.\\
	Si on se déplace d'une unité en abscisse, la droite descend de 2 unités donc $a=-2$.\\
	L'équation de la droite est donc $y=-2x+5$.
\end{enumerate}}


\eng{How to draw a line}{To draw a line, use its equation to find the coordinates of two points. Finding the
coordinates of a third point is a good method to check.}

\theo{Coefficient directeur par le calcul}
{Soit $A\coor{x_A}{y_A}$ et $B\coor{x_B}{y_B}$ deux points distincts d'une même droite $\Dr$ non parallèle à $(0y)$. On a 
$$m=\cfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$}

\dem{Selon la démonstration précédente $m=-\frac{a}{b}$, avec $a=(y_B-y_A)$, $b=-(x_B-x_A)$ (voir première démonstration de ce cours) d'où le résultat énoncé.}

\illus{}{\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm}
\pspicture(-3,-4)(3,6)
\psaxes[labels=none](0,0)(-3,-4)(3,6)
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(1,0)(0,0)(0,1)
\uput[dl](0,0){$O$}
\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$}
\psplot{-2.5}{2.2}{x 2 mul 1.5 add}
\psdots(1,3.5)\uput[l](1,3.5){$A$}\psdots(0,3.5)\uput[l](0,3.5){$y_A$}\rput[t](1,-0.5){$x_A$}
\psdots(2,5.5)\uput[l](2,5.5){$B$}\psdots(0,5.5)\uput[l](0,5.5){$y_B$}\rput[t](2,-0.5){$x_B$}
\psline[linestyle=dashed](1,3.5)(2,3.5)(2,5.5)
\uput[d](1.5,3.5){$x_B-x_A$}
\uput[r](2,4.5){$y_B-y_A$}
\endpspicture
\end{center}
$m=\textrm{ pente } = \dfrac{\textrm{ variation verticale }}{\textrm{ variation horizontale}}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
}

\exosol{Déterminer l'équation réduite de la droite $\Dr$ passant par $A\coor{2}{-1}$ et $B\coor{-1}{5}$}
{$x_A\neq x_B$ donc la droite $\Dr$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées. Elle a donc pour équation $y=mx+p$.\\
\begin{tabular}{lll}
Calcul de $m$ : & $m=\cfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\cfrac{5+1}{-1-2}=-2$\\
Calcul de $p$ : & $\Dr$ passe par le point $A(2;-1)$ &$\ssi y_A=mx_A+p$\\
						&&$\ssi y_A=-2x_A+p$\\
						&&$\ssi -1=-2\times2+p$\\
						&&$\ssi p=3$\\
\end{tabular}\\
la droite $\Dr$ a pour équation réduite $y= -2x+3$.
}


\cadre{Méthode}{}{
Trois méthodes sont à retenir du module 1:
\begin{enumerate}
\item Comment tracer la représentation graphique d'une droite à partir de son équation ;
\item Comment tracer la représentation graphique d'une droite à partir de l'ordonnée à l'origine et de son coefficient directeur.
\item Comment déterminer l'équation réduite d'une droite $\mathcal{D}$ passant par deux points de coordonnées données ;
\end{enumerate}}








\section{Positions relatives et équations de droites}

\subsection{Parralélisme}
\theo{droites parallèles}
{Deux droites $\Dr$ et $\Drp$ sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficients directeurs.}

\eng{Parallel lines}{Two lines are parallel when they have the same slope.}

\dem{Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont même direction donc si et seulement elles ont même coefficient directeur.}



\subsection{Intersection de deux droites}
Soient $\Dr$ et $\Drp$ deux droites d'équations respectives $y=ax+b$ et $y=a'x+b'$.\\
Un point $M(x ; y)$ est à l'intersection de deux droites $\Dr$ et $\Drp$ si et seulement si ses coordonnées vérifient simultanément les équations de $\Dr$ et $\Drp$, autrement dit si et seulement si $(x ; y)$ est solution du système $\syst{y}{ax+b}{y}{a'x+b'}$.

\exosol{Déterminer les coordonnées du point d'intersection des droites $\Dr$ et $\Drp$ d'équations respectives $y=3x+2$ et $y=6x+1$.}
{$M(x_M ; y_M)$ est à l'intersection de deux droites $\Dr$ et $\Drp$ si et seulement si $\syst{y_M}{3x_M+2}{y_M}{6x_M+1}$.\\
Par soustraction des lignes, on obtient $0=(3x_M+2)-(6x_M+1)$ soit $0=-3x_M+1$ donc $x_M=\frac13$.\\
On remplace $x_M$ par sa valeur dans une des deux équations pour obtenir la valeur de $y_M$. On obtient $y_M=3\times\frac13+2=3$.\\
Le point $M$ a pour coordonnées $(\frac13 ; 3)$.}

\rem{On a utilisé un sytème pour trouver le point d'intersection. On procède parfois à l'envers, c'est à dire que l'on détermine par lecture graphique les coordonnées des points d'intersection pour avoir une approximation du système d'équation correspondant.}


\exosol{Résoudre le système : $\syst{-3x+2y}{4}{2x+2y}{9}$.}
{Le système est équivalent à $\syst{y}{\frac{3}{2}x+2}{y}{-x+\frac92}$.\\
On trace donc les droites d'équations respectives : $y=\frac{3}{2}x+2$ et $y=-x+\frac92$.\\
$$\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2,-1)(3,6)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-1)(3,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](-2,-1)(3,6)
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid]{-2}{3}{3 2 div x mul 2 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid]{-2}{3}{0 1 sub x mul 9 2 div add}
\end{pspicture*}
$$
Par lecture graphique, le couple $(1;\frac72)$ \textbf{semble être} la solution du système.\\
On vérifie en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $\frac72$ dans le système.
$$\syst{-3x+2y}{-3\times1+2\times\frac72 =4}{2x+2y}{2\times1+2\times\frac72 =9}$$
Les deux équations étant vérifiées, le couple $(1;\frac72)$ \textbf{est} la solution du système.}




\subsection{Droite et demi-plans}

\txt{Par définition, dire que $ax+by+c=0$ est une équation d'une
droite $\Delta$ signifie que
\begin{itemize}
\itemb un point est sur $\Delta$ si et seulement si ses
coordonnées vérifient l'équation;
\itemb un point n'est pas sur $\Delta$ si et seulement si ses
coordonnées ne vérifient pas l'équation.
\end{itemize}
Les points qui ne sont pas sur la droite peuvent de plus être
séparés en deux parties du plan distinctes, grâce à la propriété
suivante.}

\prop{}{Une droite $\Delta$ sépare le plan en deux demi-plans, dont la
droite elle-même est la frontière. Si $ax+by+c=0$ est une équation
cartésienne de la droite, alors pour tous points situés du même côté
de la droite, l'expression $ax+by+c$ est du même signe. Elle est
positive d'un côté de la droite, s'annule sur la droite et est
négative de l'autre côté.}

\begin{multicols}{2}
\exe{La droite d'équation $-3x-y+1=0$ sépare le plan en deux
demi-plans. Pour tout point de coordonnées $(x;y)$ situé du même
côté que $O$, $-3x-y+1>0$ et pour tout point situé de l'autre côté,
$-3x-y+1<0$. La frontière entre ces deux zones est la droite,
l'ensemble des points tels que $-3x-y+1=0$.

\ \bigskip

\ \bigskip

\ \bigskip

\illus{}{\begin{center} \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.5cm}
\pspicture(-3,-5)(3,4)
\pspolygon[linewidth=0pt,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-3,-3)(-3,4)(-1,4)(1.3333,-3)
\pspolygon[linewidth=0pt,fillstyle=hlines,hatchcolor=lightgray](-1,4)(1.3333,-3)(3,-3)(3,4)
\psaxes[labels=none](0,0)(-3,-3)(3,4)
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(1,0)(0,0)(0,1) \uput[dl](0,0){$O$}
\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$}
\psplot{-1}{1.3333}{x 3 neg mul 1 add}
\psline[linewidth=1.5pt](-2,1.5)(-2,2.5)
\psline[linewidth=1.5pt](-1.65,2)(-2.35,2)
\psline[linewidth=1.5pt](1.15,2)(1.85,2)
\endpspicture
\end{center}}

}
\end{multicols}

\vspace{-2cm}





\end{document}