%\documentclass[12pt]{book}\usepackage[Mickael]{ammaths}\usepackage{pst-eucl}\begin{document}%\nocolor
\documentclass[12pt]{book}\usepackage{livre}\usetikz\usepackage{pst-eucl}\begin{document}%\nocolor




\chapitre{6}{Vecteurs et coordonnées\\ Vectors and coordinates}{Seconde européenne}


\section{Vecteurs et coordonnées}

\begin{multicols}{2}



\prop{Coordonnées de $\vect{AB}$}{Soient $A$ et $B$ deux points de coordonnées respectives $(x_A;y_A)$ et
$(x_B;y_B)$ dans un repère $\OIJ$. Le
vecteur $\vect{AB}$ a pour coordonnées
$$\vect{AB}\coor{x_B-x_A}{y_B-y_A}$$}

\illus{ $\vect{AB}$}{\begin{center}
\psset{unit=0.6cm,arrowsize=6pt}
\begin{pspicture}(0,-1)(6,4)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=10,gridcolor=gray](0,-1)(6,4)
\psdots(1,0)(5,3)
\psline{|->}(1,0)(5,3)
\uput[dl](1,0){$A$}
\uput[dr](4,1){$B$}
\psline[linestyle=dashed](1,0)(5,0)(5,3)
\uput[d](3,0){$x_B-x_A$}
\uput[r](5,1.5){$y_B-y_A$}
\end{pspicture}
\end{center}}
 
\end{multicols}

\exosol{Lire les coordonnées des vecteurs de la figure suivante :
      \begin{center}
         \begin{pspicture}(-3,-2)(4,4)
            \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=10](-3,-2)(4,4)
            \psaxes{->}(0,0)(-3,-2)(4,4)
            \psline[linecolor=blue]{|->}(1,1)(4,3)
            \rput(2.4,2.4){\textcolor{blue}{$\vect{u}$}}
            \psline[linecolor=blue]{|->}(0,0)(-2,3)
            \rput(-1.5,1.5){\textcolor{blue}{$\vect{v}$}}
            \psline[linecolor=blue]{|->}(1,-1)(3,-2)
            \rput(2,-1){\textcolor{blue}{$\vect{w}$}}
            \end{pspicture}
      \end{center}}
  {   $\vect{u}$ a pour origine $A(1;1)$ et pour extrémité $B(4;3)$ donc ses coordonnées sont $\vect{u}\coor{4-1}{3-1}$ soit $\coor{3}{2}$, ce qui pouvait se lire directement sur le graphique.
      En faisant de même, on trouve $\vect{v}\coor{-2}{3}$ et $\vect{w}\coor{2}{-1}$.
  }

\prop{Opérations et coordonnées}{Soient $\vect{u}\coor{x}{y}$, $\vect{v}\coor{x'}{y'}$ deux vecteurs et leurs coordonnées dans un repère et $k$ un réel
  \begin{itemize}
      \item \defin{Egalité de deux vecteurs :} \\
              Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales\\
              $$\vect{u}=\vect{v} \Longleftrightarrow \syst{x}{x'}{y}{y'}$$
      \item \defin{Somme de deux vecteurs :}\\
              Le vecteur $\vect{w}=\vect{u}+\vect{v}$ a pour coordonnées \vect{w}\coor{x+x'}{y+y'}
      \item \defin{Produit d'un vecteur par un réel :}\\
              Le vecteur $\vect{w}=k\vect{u}$ a pour coordonnées \vect{w}\coor{kx}{ky}
  \end{itemize}}

\exosol{\begin{multicols}{2}
Soient $\vect{u}\coor{1}{-3}$, $\vect{v}\coor{5}{3}$ et $\vect{w}\coor{5x}{x+y}$.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer les coordonées de $\vect{u}+\vect{v}$ ;
	\item Déterminer les coordonées de $-\vect{u}$ ;
	\item Déterminer les coordonées de $5\vect{v}$ ;
	\item Déterminer les coordonées de $-\vect{u}+5\vect{v}$ ;
	\item Déterminer $x$ et $y$ pour que $\vect{v}=\vect{w}$.
\end{enumerate}
\columnbreak}
{\begin{enumerate}
      \item $\vect{u}+\vect{v}\coor{1+5}{-3+3}=\coor{6}{0}$
      \item $-\vect{u}\coor{-1}{3}$
      \item $5\vect{v}\coor{5\times 5}{5\times 3}=\coor{25}{15}$
      \item $-\vect{u}+5\vect{v}\coor{-1+25}{3+15}=\coor{24}{18}$
      \item $\vect{v}=\vect{w}\leftrightarrow\syst{5x}{5}{x+y}{3}\leftrightarrow\syst{x}{1}{y}{2}$
\end{enumerate}\end{multicols}}



\theo{Colinéarité}{Soient $\vect{u}\coor{x}{y}$ et $\vect{v}\coor{x'}{y'}$. \\
$\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont colinéaires si et seulement si $xy' - x'y = 0$.}

\dem{On démontrera seulement $\vect{u}$ et $\vect{v}$ colinéaire implique $x'y-y'x=0$.\\
Soient $\vect{u}$ et $\vect{v}$ deuc vecteurs colinéaires.\\
Il existe un réel $k$ tel que $\vect{u}=k\vect{v}$ donc $\vect{u}$ et $k\vect{v} $ ont les mêmes coordonnées.\\
Or $k\vect{v}$ a pour coordonnées $(kx';ky')$ donc $x=kx'$ et $y=ky'$.\\
On en déduit que $xy'-yx'=x(ky)-y(kx)=kxy-kxy=0$.}

\defi{Déterminant}{La quantité $xy'-yx'$ est appellé le \defin{déterminant} des vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v} $}

\exosol{\begin{enumerate}
	\item Les vecteurs $\vect{u}\coor{6}{-9}$ et $\vect{v}\coor{-8}{12}$ sont-ils colinéaires ?
	\item Les vecteurs $\vect{a}\coor{2}{-6}$ et $\vect{b}\coor{-3}{7}$ sont-ils colinéaires ?
				\end{enumerate}}
{\begin{enumerate}
	\item $6\times12 - (-8)\times(-9) = 72 - 72 = 0$ donc $\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont colinéaires.
	\item $2\times7 - (-3)\times(-6) = 14 - 18 = -4\neq0$ donc $\vect{a}$ et $\vect{b}$ ne sont pas colinéaires.
\end{enumerate}}

%\exolivre{68-69-70 p 324}

\exosol{Dans un repère \OIJ~, on a $A(4;2) , B(3;\cfrac72), C(1;\cfrac52)$ et $D(1;\cfrac12)$.\\
Démontrer que ABCD est un trapèze.}
{$\vect{AD}\coor{x_D-x_A}{y_D-y_A} \coor{-3}{-\frac32}$ \hspace{2cm}
$\vect{BC}\coor{x_C-x_B}{y_C-y_B} \coor{-2}{-1}$\\
$-3\times(-1) - (-2) \times (-\frac32)= 3 - 3 = 0$. Les vecteurs $\vect{AD}$ et $\vect{BC}$ sont donc colinéaires.
Ainsi les droites $(AD)$ et $(BC)$ sont parallèles donc ABCD est un trapèze.}



\exosol{Dans le repère \OIJ, on considère les points $A(-1;5)$, $B(0;3)$ et $C(2;-1)$.\\
Montrer que les points $A,B$ et $C$ sont alignés.}
{$\vect{AB}\coor{x_B-x_A}{y_B-y_A} \coor{1}{-2}$ \hspace{2cm}
$\vect{AC}\coor{x_C-x_A}{y_C-y_A} \coor{3}{-6}$\\
On remarque que $\vect{AC}=3\vect{AB}$ (ou on calcule le déterminant :$1\times(-6) - 3\times(-2)=0)$\\
Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AB}$ sont colinéaires donc les points $A,B$ et $C$ sont alignés.}

\end{document}
