\documentclass[12pt]{article}\usepackage[Mickael]{ammaths}\fr



\begin{document}%\nocolor


\enteteseconde{4}{Variations d'une fonction}{Fonctions 2}

\begin{center}
\fbox{\parbox{14cm}{\sf\small A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
\begin{itemize}
\item décrire, avec un vocabulaire adapté ou un tableau de variations, le comportement d'une fonction définie par une courbe ;
\item dessiner une représentation graphique compatible avec un tableau de variations ; 
\item dresser le tableau de variations d'une fonction à partir de sa représentation graphique ; 
\item lorsque le sens de variation est donné, par une phrase ou un tableau de variations :
	\begin{itemize}
	\item comparer les images de deux nombres d'un intervalle ;
	\item déterminer tous les nombres dont l'image est supérieure (ou inférieure) à une image donnée.                              \end{itemize}
\end{itemize}}}
\end{center}



\exoc{La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ sur l'intervalle $[-3;4]$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(4,2)
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridlabels=0pt,subgriddiv=1,subgriddots=1,subgridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgridcolor=gray]
(-3,-2)(4,2)
\psaxes[labelFontSize=\footnotesize,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,labels=all,labelsep=1pt]{->}(0,0)(-3,-2)(4,2)
\pscurve[showpoints=false](-3,2)(-2,0)(-1,-2)(0,-1)(1,0)(2.5,-1)(4,1)
\rput[cc](4,1.5){$\Co_f$}
\end{pspicture}
\end{center}
Décrire le comportement de $f$ en utilisant les mots <<~croissante~>>, <<~décroissante~>>, <<~minimum~>>, <<~maximum~>>.}

%\pagebreak

\exoc{Donner le tableau de variations de chacune des fonctions représentées graphiquement ci-dessous.\\
\begin{center}\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-1)(3,4)
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridlabels=0pt,subgriddiv=1,subgriddots=1,subgridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgridcolor=gray]
\psaxes[labelFontSize=\footnotesize,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,labels=all,labelsep=1pt]{->}(0,0)(-4,-1)(3,4)
\pscurve[showpoints=false](-4,3.5)(-2,-1)(0,2)(1,0)(3,4)
\end{pspicture}
\hspace{30pt}
\begin{pspicture}(-4,-2)(4,3)
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridlabels=0pt,subgriddiv=1,subgriddots=1,subgridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgridcolor=gray]
\psaxes[labelFontSize=\footnotesize,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,labels=all,labelsep=1pt]{->}(0,0)(-4,-2)(4,3)
\pscurve[showpoints=false](-4,-2)(-2.5,-1)(-1,1)(0,0)(2,-1)(4,2.5)
\end{pspicture}
\hspace{30pt}
\begin{pspicture}(-4,0)(2,4)
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridlabels=0pt,subgriddiv=1,subgriddots=1,subgridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgridcolor=gray]
\psaxes[labelFontSize=\footnotesize,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,labels=all,labelsep=1pt]{->}(0,0)(-4,0)(2,4)
\pscurve[showpoints=false](-4,2)(-3,3)(-1,1)(2,4)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(4,4)
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridlabels=0pt,subgriddiv=0,subgriddots=0,subgridwidth=0pt,gridcolor=gray,subgridcolor=gray]
\psaxes[labelFontSize=\footnotesize,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,labels=all,labelsep=1pt]{->}(0,0)(-3,-1)(4,4)
\psline(-3,-1)(-2,-1)
\psline(-2,-1)(-2,1)
\psline(-2,1)(1,1)
\psline(1,1)(1,3)
\psline(1,3)(4,3)
\end{pspicture}
\hspace{30pt}
\begin{pspicture}(-1,0)(7,6)
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridlabels=0pt,subgriddiv=0,subgriddots=0,subgridwidth=0pt,gridcolor=gray,subgridcolor=gray]
\psaxes[labelFontSize=\footnotesize,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,labels=all,labelsep=1pt]{->}(0,0)(-1,0)(7,6)
\psline(-1,1)(1,6)
\psline(1,6)(3,2)
\psline(3,2)(5,2)
\psline(5,2)(7,4)
\end{pspicture}
\end{center}}

%
\exoc{On donne ci dessous le tableau de variations d'une fonction $f$.
$$\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1, $f$/{1.5}}{$-6$,$-1$,$4$,$6$}
\tkzTabVar{+/$10$/,-/$-1$/,+/$0$/,-/$-4$/}
\end{tikzpicture}$$
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les images de $-1$, de $4$, et de $6$ par la fonction $f$.
\item Donner l'encadrement entre deux entiers consécutifs de l'image de $0$.
\item Donner un antécédent de $-1$ par $f$. Existe-t-il d'autres antécédents de $-1$ dans l'intervalle $[-6 ; 6]$ ?
\item Combien $0$ a-t-il d'antécédents ?
\item Combien $2$ a-t-il d'antécédents ?
\item Ordonner, si possible, les couples de nombres suivants. Justifier.
      \begin{multicols}{3}
       \begin{enumerate}
	\item $f(2)$ et $f(3)$ ; 
	\item $f(-3)$ et $f(-2)$ ;
	\item $f(1)$ et $f(5)$.
	\end{enumerate}
	\end{multicols}
\end{enumerate}}


\exoc{A l'aide du tableau de variations donné ci-dessous, indiquer si les égalités ou inégalités proposées sont vraies,
fausses ou si le tableau ne permet pas de conclure.
$$\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1, $f$/1.5}{$-5$,$-2$,$0$,$3$}
\tkzTabVar{+/$4$/,-/$1$/,+/$3$/,-/$-1$/}
\end{tikzpicture}$$
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(-1)=0$
\item $f(-4)>f(-2)$
\item $f(1)>f(2)$
\item $f(-1)=2$
\item $f(-3)>1$
\item $f(-1)<f(-5)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\exoc{Cet exercice est un vrai ou faux. Justifier pour chacune des propositions suivantes si elle est vraie ou fausse
puis rectifier les propositions fausses.
%Une réponse correcte et justifiée rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse ou réponse correcte non justifiée ne rapporte ni n'enlève de points.

\medskip
Le tableau de variations ci-dessous est celui d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3 ; 3]$.
$$\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1, $f$/2}{$-3$,$-1$,$3$}
\tkzTabVar{-/$-5$/,+/$2$/,-/$-2$/}
\end{tikzpicture}$$ 
%\begin{minipage}{9cm}
\begin{enumerate}
\item Il existe un nombre réel de l'intervalle $[-3 ; 3]$ qui a une image par $f$ égale à $-4$.
\item Il existe un nombre réel de l'intervalle $[-3 ; 3]$ qui a une image négative par $f$.
\item Tous les nombres réels de l'intervalle $[-3 ; 3]$ ont une image négative par $f$.
\item Tous les nombres réels de l'intervalle $[-3 ; 3]$ ont une image par $f$ strictement inférieure à 3.
\item Tous les nombres réels de l'intervalle $[-5 ; 2]$ ont une image par $f$.
\item Tous les nombres réels de l'intervalle $[-2 ; 2]$ ont leur antécédent dans l'intervalle $[-1;3]$.
\end{enumerate}
%\end{minipage}
%\begin{minipage}{7cm}
% $$\begin{tikzpicture}
% \tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$x$/1, $f(x)$/2}{$-3$,$-1$,$3$}
% \tkzTabVar{-/$-5$/,+/$2$/,-/$-2$/}
% \end{tikzpicture}$$ 
% \end{minipage}
}




\exoc{Voici le tableau de variations d'une fonction f :
$$\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1, $f$/2}{$-10$,$-6$,$-1$,$4$}
\tkzTabVar{+/$5$/,-/$-1$/,+/$3$/,-/$-5$/}
\end{tikzpicture}$$
Voici son tableau de signes :
$$\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$ /1,$f(x)$/1}{$-10$,$-7$, $-3$ ,$1$,$4$}
\tkzTabLine{,$+$,0,$-$,0,$+$,0,$-$,}
\end{tikzpicture}$$
Tracer une représentation graphique possible de cette fonction.}


\exoc{Tracer une courbe susceptible de représenter la fonction $f$ sachant que :
\begin{itemize}
	\itemb $f$ est définie sur l'intervalle $[-3;4]$ ;
	\itemb $f$ admet un minimum en $-1$ et un maximum en 2 ;
	\itemb les images de $-3$ et de 4 sont respectivement 2 et 1 ;
	\itemb 0 a deux antécédents : $-2$ et 1.
\end{itemize}}

%\pagebreak


\exoc{A function $f$, defined over the interval $[-5,5]$ and whose formula is not known, follows the variations
described below :
:\begin{itemize}
\itemb $f$ is increasing over the interval $[-5,-2]$ ;
\itemb $f$ is decreasing over the interval $[-2,1]$ ;
\itemb $f$ is increasing over the interval $[1,5]$.
\end{itemize}
Also, the graph of $f$ is passing through the points $(-5,-2)$, $(-4,0)$, $(-2,2)$, $(0,0)$, $(1,-1)$, $(5,0)$.
Use this information to answer the following questions, \emph{without ever trying to draw the graph of $f$}.

\begin{enumerate}
\item Give the minimum and the maximum of $f$ over the interval $[-5,5]$.
\item Order the following couples of numbers.
	\begin{multicols}{2}
	\begin{enumerate}
	\item $f(-4)$ and $f(-3)$ ;
	\item $f(-1)$ and $f(-0.5)$ ;
	\item $f(2)$ and $f(3)$ ;
	\item $f(-2)$ and $f(2)$.
	\end{enumerate}
	\end{multicols}
\item List all the values of $x$ such that $f(x)=0$.
\item Solve the inequation $f(x)\geq 0$.
\item Find two numbers such that $f(x)<-1$.
\item Find a possible solution interval for the inequation $f(x)<-1$.
\end{enumerate}
}

\exoc{Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f:x\mapsto 8-2x^2.$
\begin{enumerate}
\item Calculer les images des nombres suivants et donner les résultats dans un tableau.
 $-2,5$ \ ; \ $-1,5$ \ ; \  $-0,5$ \ ; \  $0$ \ ; \  $0,5$ \ ; \  $1,5$ \ ; \  $2,5$.
\item Dessiner la représentation graphique de la fonction $f$ à l'échelle 2cm pour une unité sur l'axe des abscisses et
1cm
pour une unité sur l'axe des ordonnées.
\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[-2,5;2,5]$.
\item Ci-dessous sont proposés les tableaux de variations de deux fonctions $u$ et $v$. Dans le même repère
que celle de $f$, dessiner une représentation graphique de chaque fonction et en déduire le nombre de solutions
des équations $f(x)=u(x)$ puis \mbox{$f(x)=v(x)$.}

\begin{multicols}{2}
\begin{center}

\begin{tabular}{c|lp{0.7cm}cp{0.7cm}r}
$x$ & $-2,5$ && $0$ && $2,5$ \\
\hline
 & \rnode{A}{$5$} && && \rnode{C}{$5$} \\
$u$ & && &&  \\
 & && \rnode{B}{$-2$} &&  \\
\end{tabular}
\psset{nodesep=3pt} \ncline{->}{A}{B} \ncline{->}{B}{C}
\begin{tabular}{c|lp{0.3cm}cp{0.3cm}cp{0.3cm}r}
$x$ & $-2,5$ && $-1$ && $1$ && $2,5$\\
\hline
 & \rnode{A}{$5$} && && \rnode{C}{$2$} && \\
$v$ & && && && \\
 & && \rnode{B}{$-7$} && && \rnode{D}{$-5$}\\
\end{tabular}
\psset{nodesep=3pt} \ncline{->}{A}{B} \ncline{->}{B}{C}
\ncline{->}{C}{D}

% \begin{tabular}{c|lp{2cm}r}
% $x$ & $-2.5$ && $2.5$ \\
% \hline
%  & \rnode{A}{$12$} &&  \\
% $v(x)$ & &&   \\
%  &  && \rnode{B}{$13$} \\
% \end{tabular}
% \psset{nodesep=3pt} \ncline{->}{A}{B}
% 
% \begin{tabular}{c|lp{1cm}cp{1cm}r}
% $x$ & $-2.5$ && $0$ && $2.5$ \\
% \hline
%  &  && \rnode{B}{$7$} && \\
% $z(x)$ & && &&  \\
%  & \rnode{A}{$-2$} && && \rnode{C}{$-2$} \\
% \end{tabular}
% \psset{nodesep=3pt} \ncline{->}{A}{B} \ncline{->}{B}{C}

\end{center}
\end{multicols}
\end{enumerate}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exoc{Let $ABCD$ be a square with side 4.\\
A point $M$ moves along the perimeter of the square, (the segments $AB$, $BC$, $CD$ and $DA$), in alphabetical
order. Let $x$ be the distance traveled by $M$, from $A$.
\begin{enumerate}
\item What are the values of $x$ when $M$ is at $A$, at $B$, at $C$, at $D$ and at $A$ after one complete perimeter ?
\item Let $O$ be the center of the square $ABCD$ and $f$ the function given the straight line distance $OM$, depending
on $x$. We will not try to find a general formula for $f(x)$ in this exercise.
     \begin{enumerate}
	\item What is the definition interval of $f$ ?
	\item Compute $f(x)$ when $x$ is equal $0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14$.
	\item Give the variations table of $f$ using only some geometrical properties.
	\item What is the minimum of $f$ ? For what values of $x$ is it reached ?
	\item What is the maximum of $f$ ? For what values of $x$ is it reached ?
	\item How many preimages does the number $3$ have ?
	\end{enumerate}                                  
  \end{enumerate}
% Soit $ABCD$ un carré de côté 4.\\
% Un point $M$ décrit le contour constitué des segments $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$ dans le sens $A \mapsto B
%\mapsto
% C \mapsto D \mapsto A$.\\
% On appelle $x$ la distance parcourue par $M$ (depuis le point $A$).
% \begin{enumerate}
% \item Que vaut $x$ quand $M$ est en $A$ ? en $B$ ? en $C$ ? en $D$ ? en $A$ (à la fin du trajet) ?
% \item Soit $O$ le centre du carré $ABCD$ et $f$ la fonction donnant $OM$ en fonction de $x$.
%      \begin{enumerate}
% 	\item Quel est l'intervalle d'étude de $f$ ?
% 	\item  Calculer $f(x)$ quand $x$ vaut $0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14$.
% 	\item Sans calculer $f(x)$ dans le cas général, former le tableau de variations de $f$ en utilisant les
% propriétés
% 		géométriques de la figure.
% 	\item Quel est le minimum de $f$ ? Pour quelles valeurs de $x$ est-il atteint ?
% 	\item Quel est le maximum de $f$ ? Pour quelles valeurs de $x$ est-il atteint ?
% 	\item Donner le nombre d'antécédents de $3$.
% 	\end{enumerate}                                  
%   \end{enumerate}
}

%\pagebreak

\begin{multicols}{2}
\exoc{\tice\ L'objectif de l'algorithme ci-dessous est de tester si une fonction donnée prend des valeurs négatives sur un intervalle donné.
 \begin{enumerate}
 \item Appliquer l'algorithme avec $f(x)=x^2-2x-3$, $a=-5$ et $b=5$. Vérifier le résultat à l'aide de la calculatrice.
 \item Appliquer l'algorithme avec $f(x)=x^2-x$, $a=-5$ et $b=5$. Vérifier le résultat à l'aide de la calculatrice.
 \item Modifier l'algorithme pour que le pas, c'est-à-dire la différence entre deux valeurs successives dans la boucle While, soit saisi par l'utilisateur.
 \item Comment pourrait-on modifier l'algorithme pour éviter le problème relevé dans la question 2 ?
\end{enumerate}
}
\vspace*{-0.5cm}
\begin{minipage}[t]{9cm}
\IncMargin{1em}
\begin{algorithm}[H]
\Begin{\KwIn{$f$ a function, $a$ and $b$ two real numbers\;}
$0\rightarrow neg$ \;
$a\rightarrow x$ \;
\While{$x\leq b$ and $neg=0$}{
	\If{$f(x)<0$}{$1\rightarrow neg$ \;}
	$x+1\rightarrow x$ \;
}
\eIf{$neg=0$}{\KwOut{``$f(x)$ is never negative over the interval $[a,b]$'' \;}}
{\KwOut{``$f(x)$ is sometimes negative over the interval $[a,b]$'' \;}}
}
\end{algorithm}
\DecMargin{1em}
\end{minipage}

\end{multicols}

\partie{Homework \#3 -- Kepler Formula}
\en
There exist formulas to compute the volumes of prisms, pyramids, cones and spheres. Unfortunately, these formulas don't
apply to usual and practical solids such as oil tanks and barrels.
The German mathematician Kepler devised a formula to get an approximate value of the volume of such a solid. This
formula is $$\V=\cfrac{h(\A_0+4\A_1+\A_2)}{6}$$ where $h$ is the height of the solid, $\A_0$, $\A_1$ and $\A_2$
are the areas at the bottom, the middle and the top of the solid.

\setcounter{probpart}{0}
\probpart{-- Some situations where the formula is exact}
\begin{enumerate}
\item A cuboid with dimensions $L, l$ et $h$.
\begin{enumerate}
	\item Draw a cuboid in cavalier perspective.
	\item Draw in red the bottom plane, the middle plane and the top plane.
	\item Compute the area of each section.
	\item Use Kepler's formula to deduce the volume of the cuboid.
	\item Compare the answer of the previous question to the usual formula for the volume of a cuboid.
	\end{enumerate}
\item A sphere with radius $r$ : Follow the same questions as in the previous part to find the volume of the sphere
according to Kepler's formula.
\item A pyramid with height $h$ and base area $\A_{0}$ (not necessarily a square).
	\begin{enumerate}
	\item Deduce the area of the middle plan from the area of the base.
	\item Use Kepler's formula to find the volume of the pyramid.
	\item Compare the answer of the previous question to the usual formula for the volume of a pyramid.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

It can also be proven that the formula is exact for a cone, a barrel and some other solids.

\bigskip

\begin{minipage}{10cm}
\probpart{-- Limits to the formula}

The solid on the right is made of three prisms. The unit is the meter.

\begin{enumerate}
	\item Compute the exact volume of each prism and decude the volume of the solid.
	\item Apply Kepler's formula to this solid.
	\item What is the percentage of error when using Kepler's formula ?
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(0,-1.5)(6,9)
\psgrid[linestyle=dashed, gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray,
subgriddiv=1](0,-1.5)(6,9)
\pspolygon(2,0)(3,0)(4,3)(4,4)(3,7)(2,7)(1,4)(1,3)
\psline(3,0)(4,1)\psline(4,3)(5,4)\psline(4,4)(5,5)\psline(3,7)(4,8)\psline(2,7)(3,8)
\psline(4,1)(5,4)\psline(5,4)(5,5)\psline(5,5)(4,8)\psline(4,8)(3,8)
\psline(1,3)(4,3)\psline(4,4)(1,4)
\psline{<->}(6,0)(6,7)\rput[l](6.5,4){7}
\psline{<->}(2,-1)(3,-1)\rput[t](2.5,-1.2){1}
\psline{<->}(0,7)(1,8)\rput[r](0,7.7){2}
\psline[linestyle=dashed](2,0)(3,1)\psline[linestyle=dashed](4,1)(3,1)\psline[linestyle=dashed](3,1)(2,4)
\psline[linestyle=dashed](1,3)(2,4)\psline[linestyle=dashed](1,4)(2,5)\psline[linestyle=dashed](2,4)(2,5)
\psline[linestyle=dashed](2,5)(5,5)\psline[linestyle=dashed](2,5)(3,8)\psline[linestyle=dashed](4,4)(5,4)
\end{pspicture}
\end{center}

\end{minipage}



\probpart{-- Practical use of the formula}

Roger has three identical barrels in his basement. Their dimensions are given below :
$$h=70  \textrm{ cm} \qquad \P_0=155 \textrm{ cm}   \qquad \P_1=176  \textrm{ cm}  \qquad \P_2=155  \textrm{ cm} $$

To make cider, apple juice must be left to ferment in a barrel. Then, the cider is put in bottles
(75cl). What is the maximum number of bottles of cider that Roger can fill ?\\


\end{document}




