\documentclass[12pt]{article}\usepackage{ammaths}\fr
\usealgorithms



\begin{document}\nocouleur

\livreteuro{4}{Probabilités}{Probabilities}


\vfill

\begin{center}
\includegraphics[height=8cm]{probacartoon.eps}\\ \smallskip
%\textsf{\small \emph{Calvin and Hobbes}, by Bill Waterson}

\end{center}

\vfill

\begin{center}
\fbox{\parbox{14cm}{\sf\small A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
\begin{itemize}
\itemb modéliser une situation par un arbre, un tableau ou un diagramme de Venn ;
\itemb calculer des probabilités d'événements simples, notamment dans les cas d'équiprobabilité ;
\itemb faire le lien entre un événement et son écriture mathématique, notamment concernant les symboles $\cap$ and
$\cup$ ;
\itemb appliquer les formules pour calculer $p(A\cup B)$ ou $p(\bar{A})$.
\end{itemize}}}
\end{center}

\begin{flushright}
\sf\small Aymar de Saint-Seine et Mickaël Védrine\\ Année scolaire 2010/2011
\end{flushright}

\newpage\null\thispagestyle{empty}\newpage%insertion page blange







%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exocpart{Fréquences -- probabilités}
\exoc{On procède à l'expérience aléatoire suivante : lancer deux dés à six faces et noter la somme des chiffres figurant sur les faces supérieures.
\probpart{-- Étude statistique}
\begin{enumerate}
\item Peut-on prévoir avec certitude l'issue de l'expérience ?
\item Quels sont les résultats qu'il est possible d'obtenir ?
\item \begin{enumerate}
      \item A votre avis, chacune de ces issues a-t-elle les mêmes chances de se réaliser ?
      \item Conjecturer, s'il y en a une, l'issue la plus probable.
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item Construire un \textbf{échantillon de taille 10} de l'expérience et compléter le tableau ci-dessous pour cet échantillon.
      \begin{center}
      \begin{tabular}{|*{12}{c|}} \hline
      somme     &\;2\;&\;3\;&\;4\;&\;5\;&\;6\;&\;7\;&\;8\;&\;9\;&\;10\;&\;11\;&\;12\;   \\\hline
      effectif & & & & & & & & &  &  &   \rule{0pt}{15pt} \\[5pt] \hline
      fréquence& & & & & & & & &  &  &  \rule{0pt}{15pt}\\[5pt] \hline
      \end{tabular}
      \end{center}
      \item D'après ce tableau, quelle semble être l'issue la plus probable ?
      \item Toute la classe a-t-elle obtenu la même distribution des fréquences ? Pourquoi ?
      \end{enumerate}
%\end{enumerate}


%\probpart{-- Échantillons de taille plus grande}
\item 
On souhaite obtenir des échantillons de taille plus importante. Pour cela, on utilise un ordinateur pour simuler l'expérience.
Voici un exemple d'échantillon de taille $100\ 000$ ainsi obtenu :
	\begin{center}\vspace{-5pt}\hspace*{-1.5cm}
	\begin{tabular}{|*{12}{c|}} \hline
	Somme     &2   &3   &4   &5    &6    &7    &8    &    9&10  &11  &12   \\\hline
	Eff. &2893&5447&8270&11189&13809&16702&13903&11195&8348&5530&2714  \\\hline
	Fréqu. & & & & & & & & &  &  &  \\\hline
	\end{tabular}
	\end{center}
\begin{enumerate}
\item Calculer la fréquence d'apparition de chacune des sommes.
\item D'après ce tableau, quelle semble être l'issue la plus probable ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\probpart{-- Étude probabiliste}
Les résultats des expériences étant tous différents, on souhaite modéliser la situation pour avoir des résultats théoriques.
\begin{enumerate}
\item La première ligne du tableau suivant indique les valeurs possibles pour le premier dé et la première colonne les
valeurs possibles pour le second dé. Compléter le tableau en indiquant la somme des deux dés dans chaque cas.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
 &\;\;$1$\;\; &\;\; $2$\;\; &\;\; $3$\;\; &\;\; $4$\;\; &\;\; $5$\;\; &\;\; $6$\;\; \\
\hline
$1$ & & & & & & \rule{0pt}{15pt} \\[5pt]
\hline
$2$ & & & & & & \rule{0pt}{15pt} \\[5pt]
\hline
$3$ & & & & & & \rule{0pt}{15pt} \\[5pt]
\hline
$4$ & & & & & & \rule{0pt}{15pt} \\[5pt]
\hline
$5$ & & & & & & \rule{0pt}{15pt} \\[5pt]
\hline
$6$ & & & & & & \rule{0pt}{15pt} \\[5pt]
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Sachant que les cases du tableau précédent ont toutes la même chance d'apparaître, indiquer dans un tableau la
probabilité de chacun des résultats possibles. On donnera les probabilités sous forme de fractions dans une ligne, et
leurs valeurs approchées à $10^{-3}$ dans une autre.
\item Comparer les résultats obtenus aux fréquences calculées lors de la simulation de $100\ 000$ lancers.
\end{enumerate}}


\exoc{Dans les grands casinos américains où de nombreux jeux de dés sont pratiqués, les dés sont changés très souvent  afin d'éviter l'usure et les irrégularités que cela pourrait entrainer. Un casino reçoit un jeu de dés (tous identiques) d'un nouveau fabricant et charge un de ses employés d'en vérifier un au hasard.

\begin{enumerate}
\item Dans un premier temps, l'employé lance le dé 10 fois et note dans un tableau le nombre d'occurences de chaque face :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Face & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\
\hline
Effectif & $3$ & $1$ & $1$ & $2$ & $1$ & $2$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item Calculer les fréquences de chaque face et donner les résultats dans un tableau qui sera complété par 3
autres lignes par la suite. On indiquera en étiquette de cette ligne <<~10 lancers~>>.
	\item L'employé a l'impression que le dé est bien équilibré. Qu'en pensez-vous ?
	\end{enumerate}
\item L'employé continue son expérience en jetant à nouveau 90 fois le dé, obtenant ainsi un total de 100 lancers. Les résultats de ces 100 tirages sont donnés ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Face & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\
\hline
Effectif & $15$ & $11$ & $14$ & $15$ & $19$ & $26$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item Indiquer les fréquences dans une nouvelle ligne du tableau de la question 1.
	\item L'employé commence à avoir des doutes sur l'équilibre du dé. Quelle hypothèse peut-il logiquement faire à
ce stade ?
	\end{enumerate}
\item L'employé continue son expérience en jetant à nouveau 900 fois le dé, obtenant ainsi un total de 1000 lancers dont les résultats sont donnés ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Face & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\
\hline
Effectif & $170$ & $79$ & $167$ & $176$ & $238$ & $170$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item Indiquer les fréquences dans une nouvelle ligne du tableau de la question 1.
	\item Les doutes émis par l'employé au vu des 100 premiers lancers sont-ils confirmés ? Si non, que peut-il dire
maintenant de l'équilibrage de ce dé ?
	\end{enumerate}
\item Pour en avoir le coeur net, l'employé appelle quelques collègues qui l'aident à atteindre un total de 5000 lancers dont les résultats sont donnés ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Face & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\
\hline
Effectif & $855$ & $396$ & $818$ & $859$ & $1223$ & $849$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item Indiquer les fréquences dans une nouvelle ligne du tableau de la question 1.
	\item Ce nouvel échantillon confirme-t-il les soupçons émis au vu des 1000 premiers lancers ? Quel semble alors être la bonne décision à prendre par l'employé ?
	\end{enumerate}
\item Les probabilités de chacune des faces de ce dé sont en fait des fractions simples. Conjecturer leurs valeurs.
\end{enumerate}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exocpart{Modélisation de situation}

\exoc{On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité de tirer un trèfle ?
\item Quelle est la probabilité de tirer une carte noire ?
\item Quelle est la probabilité de ne pas tirer un carreau ?
\item Quelle est la probabilité de tirer une figure (roi, dame ou valet) ?
\item Quelle est la probabilité de tirer un as ?
\item Quelle est la probabilité de ne pas tirer un 7 ?
\item Quelle est la probabilité de tirer un valet noir ?
\item Quelle est la probabilité de tirer la dame de coeur ?
\end{enumerate}
}

\exoc{Le Loto est un célèbre jeu de hasard français, dans lequel il faut choisir 6 numéros parmi une grille de 49
numéros (les entiers de 1 à 49). Dans cet exercice, on s'intéresse à l'expérience aléatoire plus simple qui consiste à
choisir au hasard un numéro parmi les 49 proposés.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité de choisir un nombre pair ?
\item Quelle est la probabilité de choisir un nombre impair ?
\item Quelle est la probabilité de choisir un multiple de 5 ?
\item Quelle est la probabilité de choisir un entier divisible par 7 ?
\item Quelle est la probabilité de choisir un nombre pair multiple de 5 ?
\item Quelle est la probabilité de choisir un nombre impair mutiple de 5 ?
\end{enumerate}
}





\exoc{La porte d'entrée d'un immeuble est munie d'un clavier de trois touches marquées par les lettres $A,B$ et $C$.
Le code qui déclenche l'ouverture de la porte est formé d'une série de deux lettres, pas forcément distinctes.

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre suivant qui dénombre l'ensemble des codes possibles :
	\begin{center}
	\pstree[treemode=R,nodesep=5pt]{\Tdot}
	{\pstree{\Tr{A}}{\Tr{A} \Tr{B} \Tr{C}}
	 \pstree{\Tr{B}}{\Tr{$\cdots$}\Tr{$\cdots$}\Tr{$\cdots$}}
	 \pstree{\Tr{$\cdots$}}{}
	}
	\end{center}
\item Déterminer le nombre de codes différents possibles.
\item Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants.
\begin{description}
\item[$T$ :] Le code se termine par $A$.
\item[$I$ :] Le code est formé de deux lettres identiques.
\item[$C$ :] Le code commence par $A$.
\end{description}
\end{enumerate}
}

\exoc{Une urne contient quatre boules numérotées de 1 à 4. On tire au hasard une première boule de l'urne puis, sans la
remettre, on tire une seconde boule. Enfin, on multiplie les numéros obtenus.
\begin{enumerate}
 \item Utiliser un arbre pour modéliser la situation.
 \item Établir la loi de probabilité de l'expérience.
\end{enumerate}
}

\exoc{Au menu du self aujourd'hui, il y a :
\begin{itemize}
\item Une entrée au choix : carottes râpées, pâté ou friand.
\item Un plat au choix : poulet -- frites ou rôti de porc -- petit pois
\item Un dessert au choix : fromage, glace ou orange. 
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Utiliser un arbre pour dénombrer le nombre de menus possibles.
\item Combien de menus contiennent une glace ?
\item Combien de menus contiennent des carottes et un poulet -- frites ?
\item Combien de menus contiennent des carottes ou un poulet -- frites ?
\end{enumerate}}

\exoc{Roger zappe au hasard deux fois de suite sur deux chaînes différentes.
Son téléviseur peut recevoir cinq chaînes différentes et trois de ces chaines diffusent une émission de sport ce
soir-là.
\begin{enumerate}
 \item À l'aide d'un tableau, déterminer le nombre de possibilités pour les deux chaînes regardées.
 \item Déterminer la probabilité pour qu'il zappe sur :
	\begin{enumerate}
	\item aucune émission de sport ;
	\item au moins une émission de sport ; 
	\item exactement une émission de sport ;
	\item deux émissions de sport.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}



\exoc{On lance deux dés cubiques équilibrés numérotés de 1 à 6. L'issue de l'expérience est le plus grand des deux numéros sortis.
\begin{enumerate}
 \item Utiliser un tableau à double entrée pour modéliser la situation.
 \item Établir la loi de probabilité de l'expérience.
\end{enumerate}
}

\exoc{Un centre de loisirs accueille 100 enfants. Deux sports sont proposés : le football et le tennis.
Parmi ces 100 enfants, 60 aiment le football, 45 aiment le tennis et 18 aiment le football et le tennis.
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un tableau à double entrée.
\item \begin{enumerate}
      \item Combien d'enfants n'aiment aucun des deux sports proposés ? 
      \item Combien d'enfants aiment seulement le football ?
      \item Combien d'enfants aiment seulement le tennis ?
      \item Combien d'enfants aiment au moins un des deux sports ?
      \end{enumerate}
\end{enumerate}}

\pagebreak

\exoc{Une campagne de prévention routiere s'intéresse aux défauts constatés sur le freinage des véhicules et sur leur
éclairage. Au total, 400 véhicules sont examinés. Le responsable du test de freinage a noté que 60 des 400 véhicules
présentaient un défaut de freinage. Le responsable du test d'éclairage a noté que 140 des 400 véhicules présentaient un
défaut d'éclairage. Une récapitulation permet de constater que 45 véhicules présentaient à la fois un défaut de freinage
et un défaut d'éclairage. 
\begin{enumerate}
\item Compléter le diagramme de Venn ci-dessous pour représenter la situation.
	\begin{center}
	\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.65cm,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
	\begin{pspicture*}(-3.14,-1)(4.5,2.92)
	\rput{-0.21}(0.71,0.99){\psellipse(0,0)(3.29,1.87)}
	\rput{0.9}(-0.28,0.98){\psellipse(0,0)(1.54,0.86)}
	\rput{1.11}(1.63,0.94){\psellipse(0,0)(1.37,0.91)}
	\uput[dl](-0.5,1.5){F}
	\uput[dl](2,1.5){E}
	\end{pspicture*}
	\end{center}
\item On choisit un véhicule au hasard parmi ceux qui ont été examinés. Calculer la probabilité de chacun des
événements suivants.
	\begin{enumerate}
      \item Le véhicule présente un défaut de freinage mais pas de défaut d'éclairage.
      \item Le véhicule présente un défaut d'éclairage mais pas de défaut de freinage.
      \item Le véhicule ne présente aucun des deux défauts.
      \item Le véhicule présente au moins un des deux défauts.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\exoc{Plusieurs amis veulent choisir une activité. Il s'avère que 60\% d'entre eux veulent voir un film, 50\% veulent
aller à la piscine, 10\% n'aiment aucune de ces deux activités.
\begin{enumerate}
\item Dessiner le diagramme de Venn correspondant.
\item Quelle est la part des amis qui veulent voir un film et aller à la piscine ?
\item Quelle est la part des amis qui veulent voir un film ou aller à la piscine ?
\end{enumerate}
}

	
\begin{multicols}{2}
\exoc{On interroge un groupe d'adolescents pour organiser un repas.
On observe que 56 acceptent d'aller dans une pizzeria, 55 dans une crèperie, et 50 dans un fast-food.
De plus, 19 refusent d'aller dans un fast food, mais acceptent les deux autres propositions et 12 acceptent les trois.
Enfin, 15 refusent la pizzeria et le fast-food alors que 7 refusent uniquement la crèperie.
\begin{enumerate}
\item Compléter le diagramme de Venn ci-contre pour traduire la situation.
\item On choisit au hasard un adolescent. Quelle est la probabilité qu'il ne choisisse que le fast food?
\end{enumerate}}
	\begin{center}
	\psset{unit=1.3cm} \pspicture(0,-1)(6,3.5)
	%\pspolygon[linewidth=1.5pt,fillstyle=solid,fillcolor=white](0,-2)(6,-2)(6,4)(0,4)
	%\uput[dr](6,4){$\Omega$}
	\pscircle[linewidth=1.5pt,fillstyle=solid,fillcolor=white](4,2){1.5}
	\uput[u](4.2,2.5){Fast food}
	\pscircle[linewidth=1.5pt,linecolor=gray](2,2){1.5}
	\uput[u](2,2.7){Pizzéria}
	\pscircle[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](3,0.5){1.5}
	\uput[u](3,-0.75){Crèperie} 
% 	\uput[ur](0.5,-1.5){$1$}
% 	\uput[u](1.3,1.7){$2$} \uput[u](3,2.1){$3$} \uput[u](4.7,1.7){$4$}
% 	\uput[u](2.2,0.7){$5$} \uput[u](3,1.2){$6$} \uput[u](3.8,0.7){$7$}
% 	\uput[u](3,0){$8$}
	\endpspicture
	\end{center}
\end{multicols}

\pagebreak

\exoc{Dans une école de danse, 48 élèves sont répartis dans trois cours: hip hop (25 élèves), jazz (18 élèves) et
classique (22 élèves). Trois d'entre eux participent aux trois cours, cinq ont choisi uniquement jazz et quatre ont pris
à la fois classique et jazz mais pas hip hop.
\begin{enumerate}
 \item Construire un diagramme de Venn pour représenter la situation.
 \item On choisit un élève au hasard. Quel est la probabilité qu'il suive les cours classique et hip hop mais pas jazz ?
\end{enumerate}}
	




\exoc{Un nouveau logiciel permet de filtrer les messages sur une messagerie électronique.
Les concepteurs l'ont testé pour 1000 messages et voici leurs conclusions :
\begin{itemize}
\item  70 \% des messages entrants sont indésirables ;
\item  95 \% des messages indésirables sont éliminés ;
\item  2 \% des messages bienvenus sont éliminés.
 \end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
& Indésirables & Bienvenus & Total\\ \hline
Éliminés &&&\\ \hline
Conservés &&&\\ \hline
Total&&& 1000\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item On considère que cet échantillon de taille 1000 est représentatif de l'ensemble des messages reçus. Dans la suite de l'exercice, on utilisera donc les fréquences de l'énoncé comme probabilités.
	\begin{enumerate}
	\item Donner les valeurs approchées à $10^{-3}$ des probabilités des événements suivants :
	  \begin{enumerate}
	   \item Un message reçu est indésirable et conservé.
	   \item Un message reçu est bienvenu et supprimé.
	   \item Logiciel fait une erreur de traitement.
	   \end{enumerate}
	\item Calculer la probabilité pour qu'un message éliminé soit indésirable.
	\item Calculer la probabilité pour qu'un message conservé soit bienvenu.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}



\exoc{On jette 3 fois un dé non truqué à 4 faces numérotées de 1 à 4.
On obtient ainsi un nombre à 3 chiffres.

\begin{enumerate}
\item Construire l'arbre de probabilité correspondant à la situation.
\item Déterminer le nombre de résultats différents possibles.
\item Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants.
\begin{description}
\item[$A$ :] Le nombre obtenu commence par 1.
\item[$B$ :] Le nombre obtenu est un multiple de 3.
\item[$C$ :] Le nombre obtenu est pair.
\item[$D$ :] Le nombre obtenu est strictement supérieur à 320.
\end{description}
\item Une personne souhaitant gagner de l'argent propose dans
la rue aux passants la règle suivante :
On gagne 10 euros si une même face est apparue trois fois, 5 euros si une
même face est apparue deux fois, et 1 euro dans les autres cas.
Déterminer la probabilité de chacun de ces gains.
\item Calculer le gain moyen que peut espérer un joueur.
\item L'organisateur fixe le prix d'une partie à 3 euros.
Peut-il ainsi espérer gagner de l'argent facilement ?
\end{enumerate}
}

\exoc{Un établissement est composé de deux sas, notés 1 et 2, et de six salles de travail, otées A, B, C, D, E et F. Les
communications entre ces différentes salles se font par $12$~portes représentées surr le schéma suivant :

\begin{center}
\psset{yunit=1cm}
\begin{pspicture}(9,5)
\psframe(9,5)
\psline(0,1.25)(1.5,1.25) \psline(2,1.25)(4.25,1.25) \psline(4.75,1.25)(7.25,1.25)\psline(7.75,1.25)(9,1.25)
\psline(0,2.5)(1.5,2.5)\psline(2,2.5)(7.25,2.5)\psline(7.75,2.5)(9,2.5)
\psline(0,3.75)(1.5,3.75)\psline(2,3.75)(4.25,3.75)\psline(4.75,3.75)(7.25,3.75)\psline(7.75,3.75)(9,3.75)
\psline(2,1.05)(2,1.45) \psline(1.5,2.3)(1.5,2.7)\psline(1.5,3.55)(1.5,3.95)
\psline(1.5,1.05)(1.5,1.45) \psline(2,3.55)(2,3.95)
\psline(7.25,1.05)(7.25,1.45) \psline(7.75,1.05)(7.75,1.45) \psline(2,2.3)(2,2.7)
\psline(4.25,1.05)(4.25,1.45) \psline(4.75,1.05)(4.75,1.45) 
\psline(7.25,2.3)(7.25,2.7)\psline(7.75,2.3)(7.75,2.7)
\psline(4.25,3.55)(4.25,3.95)\psline(4.75,3.55)(4.75,3.95)
\psline(7.25,3.55)(7.25,3.95)\psline(7.75,3.55)(7.75,3.95)
\psline(3,1.25)(3,1.75) \psline(2.8,1.75)(3.2,1.75)
\psline(6,1.25)(6,1.75) \psline(5.8,1.75)(6.2,1.75)
\psline(3,2.5)(3,3) \psline(2.8,3)(3.2,3)
\psline(6,2.5)(6,3) \psline(5.8,3)(6.2,3)
\psline(3,3.75)(3,3.25) \psline(2.8,3.25)(3.2,3.25)
\psline(6,3.75)(6,3.25) \psline(5.8,3.25)(6.2,3.25)
\psline(3,2.5)(3,2) \psline(2.8,2)(3.2,2)
\psline(6,2.5)(6,2) \psline(5.8,2)(6.2,2)
\rput(4.5,4.3){Sas 2} \rput(4.5,0.6){Sas 1} 
\rput(1.75,1.8){A} \rput(4.5,1.8){B} \rput(7.5,1.8){C} 
\rput(7.5,3.1){D} \rput(4.5,3.1){E} \rput(1.75,3.1){F} 
\end{pspicture}
\end{center}

On remarquera que les salles B et E ne communiquent pas directement.\\

\begin{itemize}
\itemb Un robot, rangé dans le sas 1, est programmé pour nettoyer exactement trois salles différentes parmi les salles
A, B, C, D, E et F.
\itemb Le robot commence toujours son parcours par l'une des salles A, B ou C.
\itemb Dès que le robot entre dans une salle, il la nettoie systématiquement.
\itemb Il lui est impossible de franchir la même porte plus d'une fois ou de nettoyer deux fois la même salle.
\itemb Une fois les trois salles nettoyées, le robot ressort :
	\begin{itemize}
	\item Soit par le sas 1,
	\item  Soit par le sas 2. Dans ce cas, il retourne plus tard dans le sas 1 par un couloir non représenté sur le schéma.
	\end{itemize}
\end{itemize}
\bigskip
On appelle \emph{trajet} une suite ordonnée de 3 salles constituant un parcours possible.
\bigskip

\textbf{Exemples :}
	\begin{itemize}
	\itemb ABC et BCD sont des trajets.
	\itemb CBA et ABC sont deux trajets différents.
	\itemb ABE n'est pas un trajet (les salles B et E ne communiquent pas directement).
	\itemb DEF n'est pas un trajet (le robot ne peut pas commencer par la salle D).
	\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Déterminer les six trajets possibles (on pourra s'aider d'un arbre).\\
Dans toute la suite, on admet que les six trajets obtenus sont équiprobables.
\item \begin{enumerate}
	\item Calculer la probabilité $p_{1}$ de l'évènement <<~la salle E est la troisième salle nettoyée par le robot~>>.
	\item Calculer la probabilité $p_{2}$ de l'évènement <<~le robot sort par le sas 2~>>.
	\end{enumerate}
\pagebreak
\item Le tableau suivant donne le temps de nettoyage du robot dans chacune des salles en minutes :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Salles & A&B&C&D&E&F\\ \hline
Temps&20 min		&24 min&30 min&14 min&22 min &14 min\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Déterminer le temps de nettoyage exprimé en minutes de chacun des trajets.
	\item Calculer le temps de nettoyage moyen.
	\item Calculer la probabilité $p_{3}$ de l'évènement <<~le robot effectue le nettoyage des $3$ salles en moins de $60$~minutes~>>?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exocpart{Calculs de probabilités}

\exoc{
Voici les résultats d'un sondage effectué au début de l'année 1998 auprès de 1000 personnes, à propos d'Internet :
\begin{list}{$\bullet$}{}
\item 60\% des personnes interrogées déclarent ne pas être intéressées par Internet ;
\item 35\% des personnes interrogées ont moins de 25 ans et, parmi celles-ci, 80\% déclarent être
intéressées par Internet ;
\item 30\% des personnes interrogées ont plus de 50 ans et, parmi celles-ci, 85\% ne sont pas 
intéressées par Internet.
\end{list}

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant :\\
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{|c|*{2}{>{\centering}m{4.5cm}|}>{\centering}m{2.5cm}|}
\hline
& Intéressés par Internet & Non intéressés par Internet & Total \tabularnewline\hline
Moins de 25 ans & &  & \tabularnewline\hline
De 25 à 50 ans & & & \tabularnewline\hline
Plus de 50 ans & & & \tabularnewline\hline
Total & & & 1\,000 \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\item  On choisit au hasard une personne parmi les 1000 interrogées.
On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies.\\
On considère les événements :

$A$ : \og la personne interrogée est intéressée par Internet \fg

$B$ : \og la personne interrogée a moins de 25 ans \fg.

\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités $p(A)$ et $p(B)$.
\item Définir par une phrase l'événement $\bar{B}$, puis calculer $p(\bar{B})$.
\item Définir par une phrase l'événement A$\cap$B, puis calculer $p(A\cap B)$.
\item Définir par une phrase l'événement A$\cup$B, puis calculer $p(A\cup B)$.
\item On sait maintenant que la personne interrogée n'est pas intéressée par Internet. Quelle est
la probabilité qu'elle ait moins de 50 ans ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\pagebreak

\exoc{On place dans un sac quatre jetons marqués A, B, C et D. On tire au hasard, l'un après l'autre, sans les remettre, trois jetons du sac.
\begin{enumerate}
\item \`A l'aide d'un arbre, décrire  toutes les situations possibles.
\item On s'intéresse aux événements suivants :
      \begin{itemize}
      \itemb E : << Le premier jeton tiré porte la lettre B >> ;
      \itemb F : << Le jeton marqué C n'a pas été tiré >>.
      \end{itemize}
      Déterminer la probabilité de chacun des événements E et F.
\item\begin{enumerate}
      \item Quelles sont les issues qui réalisent l'événement $E \cap F$ ?
      \item Déterminer la probabilité de l'événement $E \cap F$. 
      \end{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'événement $E \cup F$. 
\end{enumerate} 
}



\exoc{Une expérience aléatoire consiste à lancer un dé à 6 faces puis une pièce de 1 euro, les deux objets étant bien
équilibrés. A pile on associe le nombre 1 et à face le nombre 2. Le résultat est le produit du numéro obtenu sur le dé
et du nombre obtenu avec la pièce.
\begin{enumerate}
\item Représenter cette expérience par un arbre.
\item Indiquer au bout de chaque branche de l'arbre le résultat ainsi obtenu.
\item Donner dans un tableau la loi de probabilité des résultats.
\item Déterminer les probabilités des événements suivants :
	\begin{description}
	\item[$A$ :] le produit est pair ;
	\item[$B$ :] le produit est multiple de 3 ;
	\item[$C$ :] le produit n'est ni 6, ni 5 ;
	\item[$D$ :] le produit est supérieur ou égale à 4 ;
	\item[$E$ :] le produit est strictement inférieur à 6. 
	\end{description}
\item \begin{enumerate}
	\item Lister tous les cas constituant l'événement $A\cap B$.
	\item En déduire la probabilité de l'événement $A\cap B$.
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Lister tous les cas constituant l'événement $A\cup B$.
	\item En déduire la probabilité de l'événement $A\cup B$.
	\item Est-il vrai que $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ ? Si oui, le prouver. Sinon, corriger la formule.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\exoc{On lance un dé équilibré à six faces. On s'intéresse aux événements suivants:
\begin{itemize}
 \itemb $A$ : << Obtenir le numéro 1. >>
 \itemb $B$ : << Obtenir un nombre strictement supérieur à 2. >>
 \itemb $C$ : << Obtenir un nombre pair. >>
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Écrire les évènements $A$, $B$ et $C$ sous forme ensembliste. Représenter l'ensemble $E$ de toutes les issues,
ainsi que $A$, $B$ et $C$ à l'aide d'un schéma.
\item Déterminer les évènements $A\cup B$ et $A\cap B$.
\item Déterminer la probabilité de chacun des évènements $A$, $B$, $C$, $A\cup B$ et $A\cap B$.
\end{enumerate}
}

\exoc{Une chaîne de production industrielle est constituée de deux machines appelées dans cet exercice M1 et M2. Des
études statistiques ont montré que
\begin{itemize}
\itemb la probabilité de l'évènement $A$ : << la machine M1 fonctionne >> est $96,7$ \% ;
\itemb la probabilité de l'évènement $B$ : << la machine M2 fontionne >> est $98,2$ \%.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item La probabilité que les deux machines fonctionnent à un
même moment donné est $97,5$ \%. Traduire cette phrase par
une égalité mathématique.
\item Traduire chacun des évènements suivants par une phrase en
français et calculer leurs probabilités en justifiant brièvement.
$$A, B, \overline{A}, \overline{B}, A\cup B, \overline{A\cup B}.$$
\end{enumerate}
}



\exoc{Un marchand de voiture a constaté que 70\% de ses clients avaient achetés des voitures neuves et que 80\% de ceux-ci avaient choisis une marque française. Il constate aussi que 75\% de ses ventes sont des véhicules français. On note : 
\begin{itemize}
\itemb $N$ l'évènement << le client achète une voiture neuve >> ;
\itemb $F$ l'évènement << le client achète une marque française >>.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé par un tableau ou un diagramme.
\item Traduire chacun des évènements suivants par une phrase en
français et calculer leurs probabilités.
$$N, F, \overline{N}, \overline{F}, N\cap F, \overline{N\cap F}, N\cup F, \overline{N\cup F}.$$
\end{enumerate}
}



\exoc{Une entreprise fabrique des calculatrices de poche en grandes séries. Elles peuvent présenter deux types de défaut
: le défaut A ou le défaut B. Une étude statistique portant sur un lot de 800 calculatrices a fait apparaître les
résultats suivants :
\begin{itemize}
\itemb  15\% des calculatrices présentent le défaut A.
\itemb  Parmi les calculatrices présentant le défaut A, 95 \% ne présentent pas le défaut B.
\itemb  Parmi les calculatrices ne présentant pas le défaut A, 5 \% présentent le défaut B.
\end{itemize} 
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau d'effectifs ci-dessous:
      \begin{center}
      \begin{tabular}{|l|*{2}{p{3cm}|}c|}\hline
      \rule[-3mm]{0cm}{8mm} & Défaut A & Pas le défaut A &Total  \\\hline
      \rule[-3mm]{0cm}{8mm}Défaut B       &         &               &          \\\hline
      \rule[-3mm]{0cm}{8mm}Pas le défaut B&         & 				 &          \\\hline
      \rule[-3mm]{0cm}{8mm}Total & & &800 \\\hline
      \end{tabular}
      \end{center}
\item On choisit au hasard une de ces 800 calculatrices, chacune ayant la même probabilité d'être choisie.
      \begin{enumerate}
      \item Déterminer la probabilité de l'événement A: << la calculatrice choisie présente le défaut A >>.
      \item Déterminer la probabilité de l'événement B: << la calculatrice choisie présente le défaut B >>.
      \item Définir chacun des événements $A \cap B$ et $A \cup B $ par une phrase, puis calculer leurs probabilités. 
      \item Déterminer la probabilité de l'événement:  << obtenir une calculatrice sans défaut >>.
      \end{enumerate}
\item On choisit une calculatrice parmi celles qui présentent le défaut A. Déterminer la probabilité qu'elle ne présente pas le défaut B.
\end{enumerate}
}


\pagebreak




\exoc{Une classe est constituée de 24 élèves, dont 9 garçons. Parmi les garçons, 7 sont demi-pensionnaires, et aucun n'est interne. Il y a en tout dans la classe deux fois moins d'externes que d'internes et demi-pensionnaires réunis et une seule interne.

\begin{enumerate}
\item Résumer les informations données dans l'énoncé par un tableau croisé, où l'on n'oubliera pas de faire apparaitre les totaux pour chaque catégorie.
\end{enumerate}

On choisit au hasard un élève dans la classe et on définit les événements suivants :
\begin{description}
\item[F :] l'élève choisit au hasard est une fille ;
\item[G :] l'élève choisit au hasard est un garçon ;
\item[I :] l'élève choisit au hasard est interne ;
\item[DP :] l'élève choisit au hasard est demi-pensionnaire ;
\item[E :] l'élève choisit au hasard est externe.
\end{description}

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}
\item Traduire par une phrase les événements suivants :
	\begin{multicols}{4}
	\begin{enumerate}
	\item $I\cup DP$ ;
	\item $DP\cup E$ ;
	\item $F\cap E$ ;
	\item $G\cap DP$ ;
	\item $F\cap G$ ;
	\item $\bar{F}$ ;
	\item $\bar{I}$.
	\end{enumerate}
	\end{multicols}
\item En utilisant le tableau croisé, déterminer les probabilités de chacun des événements précédents.
\end{enumerate}
}













%\newpage

\en
\partie{Homework \#5}

There are many different tests to check the randomness of a table of digits. In this exercise we will discover two
of them and use them to study whether the digits of $\pi$ can be considered random or not.

\probpart{-- The maximal blocks test}

For this test, the digits are grouped in three-digits blocks. A block of three consecutive digits in the table is said
to be maximal when the middle digit is strictly greater then the two other digits. For example, blocks $142, 486, 053$
are maximal whereas blocks $426$ and $663$ aren't.

\begin{enumerate}
\item How many different three-digits blocks are there ?
\item \begin{enumerate}
      \item If a block is maximal and its tens digit is $6$, what are the possible values for the units digit and the
hundreds digit.
      \item Deduce the number of maximal blocks with the tens digit equal to $6$.
      \end{enumerate}
\item Use the same method to fill out the table below .
	  $$\begin{tabular}{|*{11}{c|}} \hline 
	  Tens digit		& 0	& 1	& 2	& 3	& 4	 & 5	& 6	& 7	 & 8 & 9	 \\
\hline
	  \#\ of maximal blocks	&   &	  &   &   &    &    &36 &    &  &     \\ \hline
	  \end{tabular}$$
    \item Deduce the probability of occurence of a maximal block in a random table of digits.
\end{enumerate}

\probpart{-- The poker test}

One of the best tests to check the randomness of a table of digits is the poker test.\\
Digits are grouped in five-digits blocks, divided into 7 categories, or hands :
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
	\itemb busts : $abcde$ (exemple : 03251) ;
	\itemb pairs : $aabcd$ (exemple : 80919) ;
	\itemb two pairs : $aabbc$ (exemple : 08608) ;
	\itemb threes : $aaabc$ (exemple : 12151) ;
	\itemb full house : $aaabb$ ;
	\itemb fours : $aaaab$ ;
	\itemb fives : $aaaaa$.
\end{itemize}
\end{multicols}
The order of the digits inside the block is not considered. For example, the blocks $12345$ and $13542$ are the same.
The table below gives the probability of each type of hand.
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{3cm}*{7}{|c}|}\hline
Hand	& $abcde$ & $ aabcd$ & $aabbc$ & $aaabc$ & $aaabb$ & $aaaab$ & $aaaaa$ \\ \hline
Probability  & $0.3024$ &  $0.5040$  & $0.1080$  & $0.0720$  &  $0.0090$ & $0.0045$  & $0.0001$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item How many different five-digits block are there ?
\item In a no-pair hand, how many possible values are there for $a$, for $b$, for $c$, for $d$ and for $e$ ? Deduce the
number of possible hands of this kind and check the probability given in the table above.
\item Explain the probability given for the fives.
\end{enumerate}





\probpart{-- The digits of  $\pi$}

In this part, we will use the two tests to study the randomness of the digits of $\pi$ appearing after the decimal
point.
Here are the first 1005 digits of $\pi$. \label{decimalespi}.
	{\small\begin{align}
	3,&141\;\;592\;653\;589\;793\;238\;462\;643\;383\;279\; 
	502\;884\;197\;169\;399\;375\;105\;820\;974\;944\; \\
	&592\;307\;816\;406\;286\;208\;998\;628\;034\;825\; 
	342\;117\;067\;982\;148\;086\;513\;282\;306\;647\; \\
	&093\;844\;609\;550\;582\;231\;725\;359\;408\;128\; 
	481\;117\;450\;284\;102\;701\;938\;521\;105\;559\; \\
	&644\;622\;948\;954\;930\;381\;964\;428\;810\;975\; 
	665\;933\;446\;128\;475\;648\;233\;786\;783\;165\; \\
	&271\;201\;909\;145\;648\;566\;923\;460\;348\;610\;
	454\;326\;648\;213\;393\;607\;260\;249\;141\;273\;\\
	&724\;587\;006\;606\;315\;588\;174\;881\;520\;920\;
	962\;829\;254\;091\;715\;364\;367\;892\;590\;360\;\\
	&011\;330\;530\;548\;820\;466\;521\;384\;146\;951\;
	941\;511\;609\;433\;057\;270\;365\;759\;591\;953\;\\
	&092\;186\;117\;381\;932\;611\;793\;105\;118\;548\;
	074\;462\;379\;962\;749\;567\;351\;885\;752\;724\;\\
	&891\;227\;938\;183\;011\;949\;129\;833\;673\;362\;
	440\;656\;643\;086\;021\;394\;946\;395\;224\;737\;\\
	&190\;702\;179\;860\;943\;702\;770\;539\;217\;176\;
	293\;176\;752\;384\;674\;818\;467\;669\;405\;132\;\\%600
	&000\;568\;127\;145\;263\;560\;827\;785\;771\;342\;
	757\;789\;609\;173\;637\;178\;721\;468\;440\;901\;\\%660
	&224\;953\;430\;146\;549\;585\;371\;050\;792\;279\;
	689\;258\;923\;542\;019\;956\;112\;129\;021\;960\;\\%720
	&864\;034\;418\;159\;813\;629\;774\;771\;309\;960\;
	518\;707\;211\;349\;999\;998\;372\;978\;049\;951\;\\%780
	&059\;731\;732\;816\;096\;318\;595\;024\;459\;455\;
	346\;908\;302\;642\;522\;308\;253\;344\;685\;035\;\\%840
	&261\;931\;188\;171\;010\;003\;137\;838\;752\;886\;
	587\;533\;208\;381\;420\;617\;177\;669\;147\;303\;\\%900
	&598\;253\;490\;428\;755\;468\;731\;159\;562\;863\;
	882\;353\;787\;593\;751\;957\;781\;857\;780\;532\;\\%960
	&171\;226\;806\;613\;001\;927\;876\;611\;195\;909\;%990
	216\;420\;198\;938\;095\;\;\;\;\;\;%1005
	\end{align}}
%257 201065485 863278865 936153381 827968230 301952035 301852968 995773622 599413891 249721775 283479131 515574857
%242454150 695950829 533116861 727855889 075098381 754637464 939319255 060400927 701671139 009848824 012858361
\begin{enumerate}
\item Apply the maximal blocks test on this table and give clearly the result.
\item Apply the poker test on this table and give clearly the results.
\item Do you think that this table of digits can be considered as random ?
\item Why did we choose to study $1005$ digits, and not just $1000$ ?
\end{enumerate}



% \newpage
% \raz
% \partie{Devoir année précédente}
% 
% \probpart{-- Clothes}
% 
% To dress his child, a father can choose between 3 pairs of trousers, (red, yellow or brown), 4 T-shirts (white, brown,
% grey or blue) and 3 sweaters (Spiderman, Winny or Scooby-Doo). 
% 
% 
% \begin{enumerate}
% \item \begin{enumerate}
%     \item Modelize the situation with a probability tree.
%     \item How many ways does the father have to dress his child ?
%     \end{enumerate}
% \item \begin{enumerate}
%     \item What is the probability of the child wearing the Scooby-Doo sweater ?
%     \item What is the probability of the child wearing the Scooby-Doo sweater and a green T-shirt ?
%     \item What is the probability of the child wearing the Scooby-Doo sweater or a green T-shirt ?
%     \item The Spiderman outfit is made of the red trousers and the Spiderman sweater, the Winnie outfit of the yellow
% trousers and the Winnie sweater and the Scooby-Doo outfit of the brown trousers and the Scooby-Doo sweater.\\ What is
% the probability of the child wearing one of these outfits ?
%   \end{enumerate}
% \end{enumerate}
% 
% 
% \probpart{-- Tooth brushing and face washing}
% 
% Every morning, the father has to help his child brushing his teeth and washing his face. Most of the time, precisely
% ninety times over one hundred, he does both. But five times over one hundred he forgets the teeth and six times
%over one
% hundred he forgets the face.\\
% We define the events $T$ `` the teeth have been brushed'' and $F$ ``the face has been washed''.
% \begin{enumerate}
% \item Translate the following events into English : $\bar{T}$ ; $F\cap T$ ; $F\cup T$ ; $\bar{F}\cap \bar{T}$.
% \item Gather the information in a double entry table, with ``Teeth brushed'' and ``Teeth not brushed'' in the first
% line, ``Face washed'' and ``Face not washed'' in the first column. Don't forget the line and column for totals.
% \item Deduce from the table the probabilities of the events in question 1.
% \item Use some formulas from the lesson to compute the probabilities of the events $\bar{T}$ and $T\cup F$. In this
% question the method is more important than the result.
% \end{enumerate}
% 
% \probpart{-- Breakfast}
% 
% Before brushing his teeth and washing his face, the child eats his breakfast. It consists of one bowl of warm milk,
% one
% buttered slice of bread, and half-apple and a chocolate bar. These elements can be taken in any order and the child
% decides of the order randomly every morning.
% 
% \begin{enumerate}
% \item How many possible arrangements of these elements are there ?
% \item What is the probability of the chocolate bar being eaten first ?
% \item What is the probability of the milk being drunk before the half-apple is eaten ?
% \end{enumerate}
% 




\lastpage{\episode{Repetitive throws of a fair die}{10}
\episode{Translations and probabilities}{11}
\episode{Combinatorics}{12}}



\end{document}
