\documentclass[12pt]{book}\usepackage[Aymar]{ammaths}\begin{document}\nocolor

\chapitre{3}{Généralités sur les fonctions}{2nd}
\begin{center}\today\end{center}
\begin{minipage}{15cm}\tableofcontents\end{minipage}

\vspace{2cm}

\emph{Le mot fonction est emprunté sous la forme simplifiée funcion (1370) au latin functio "accomplissement, exécution" , en français courant.\\
 Au 18ème Euler (1707-1783) propose l'idée qu'une suite de courbes, donc d'expressions, représentait une fonction.\\
 C'est Leibniz (1646-1716) qui utilise le mot fonction pour la première fois en mathématiques en 1673, mais la première définition fut donnée par J.Bernouilli (1654-1705).\\
 Pour le symbole $f(.)$, il a été introduit par Euler en 1734 dans Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae.\\}
\newpage


\section{Notions de fonctions}
\subsection{Définition}
\defi{Fonction}
{Une \defin{fonction $f$ d'un ensemble $I$ dans un ensemble $J$} est un objet mathématique qui
à tout élément de $I$ associe un unique élément de $J$, noté $f(x)$.
\begin{itemize}
\item L'ensemble $I$ est \defin{l'ensemble de définition} de $f$.
\item Le nombre $f(x)$ est \defin{l'image} de $x$ par la fonction $f$. C'est un élément de $J$.
\item Le nombre $x$ est \defin{un antécédent} de $f(x)$ par $f$.
\end{itemize}}

\textsl{Notation : }{Pour expliciter l'expression de la fonction ainsi que les
ensembles qu'elle lie, on utilise la notation
$$\begin{array}{ccrcl}
    f & : & I & \longrightarrow & J \\
      &   & x & \longmapsto     & f(x)
\end{array}$$}

\exes{
\begin{enumerate}
    \item Associer à tout élève de la classe sa pointure de chaussures définit une fonction $p$ de
    l'ensemble des élèves de la classe dans l'intervalle $[30;50]$.\\
    L'image de {\scriptsize \dots\dots} par $p$ est la pointure 40. Réciproquement, {\scriptsize \dots\dots} et {\scriptsize \dots\dots} sont deux antécédents de 40 par $f$.
    \item Associer à tout nombre réel $x$  son carré définit une fonction $g$ de l'ensemble des nombres, noté $\R$ dans l'ensemble des nombres positifs, noté $\R^+$.
    Le nombre 16 est l'image de $-4$ par $g$, $4$ et $-4$ sont deux antécédents de 16 par $f$.
    \item Associer à tout nombre entier $n$ un de ses diviseurs n'est pas une fonction. En effet, un entier peut avoir plusieurs diviseurs et donc plusieurs images par cette opération.\\
    Par contre, associer à tout nombre entier positif le nombre de ses diviseurs positifs définit
    une fonction bien connue en arithmétique, appelée $\varphi$.
    Son ensemble de définition est l'ensembles des entiers positifs, noté $\N$.
    Par exemple, l'image de $6$ par $\varphi$ est $4$ car $6$ a 4 diviseurs qui sont $1,2,3,6$.%Le nombre 4 est l'image de 6 par $\varphi$ ; 6, 8, 21 et 235 sont des antécédents de 4 par $f$.
\end{enumerate}}

\exosol{On considère la fonction $f$ définie par 
$$\begin{array}{ccrcl}
    f & : & \R & \longrightarrow & \R^+ \\
      &   & x & \longmapsto     & 2x^2+4
\end{array}$$
\begin{enumerate}
	\item Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?
	\item Calculer l'image de $6$ par $f$.
	\item Déterminer un (ou les) antécédent(s) de $6$ par $f$.
\end{enumerate}}
{\begin{enumerate}
	\item D'après la notation $f: \R  \longrightarrow  \R^+$, on a donc $\Df_f=\R$, ensemble de tous les nombres.
	\item $f(6)=2\times 6^2 + 4=76$.\\
	      L'image de $6$ par $f$ est $76$.
\end{enumerate}	
}\par\suitesol{
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{2}
	\item On cherche $x$ tel que $f(x)=6 $.\\
		$f(x)=6 \ssi 2x^2+4=6 \ssi 2x^2=2 \ssi x^2=1 \ssi x=\pm 1$.\\
		Les antécédents de $6$ par $f$ est $1$ et $-1$.
\end{enumerate}}

\eng{Function}{In mathematics a \defin{function} is a relation between a given set of elements (the \defin{domain}) and another
set of elements (the \defin{codomain}), which associates each element in the domain with exactly one element in the codomain.
The elements so related can be any kind of thing (words, objects, qualities) but are typically mathematical quantities,
such as real numbers.}

\eng{Image and preimage under a function}{If $f$ is a function and $x$ an element of its domain, then $y=f(x)$ is the
\defin{image} of $x$ under $f$. Conversely, the number $x$ is know as the \defin{preimage} of $y$ under function $f$.}



\subsection{Représentation graphique}
\defi{représentation graphique}
{Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $I$ et $\OIJ$ un repère du plan.\\
La \defin{représentation graphique de la fonction f} est l'ensemble des points  M du plan de coordonnées $(x,y)$ avec $x \in I$ et $y=f(x)$. Cet ensemble est souvent noté $\Co_f$.}

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\pspicture(-4,-4)(4,4)
\psline(-4,0)(4,0)
\psline(0,-4)(0,4)
\psline[linewidth=1.5pt](1,-0.1)(1,0.1)\psline[linewidth=1.5pt](-0.1,1)(0.1,1)
\uput[d](1,0){$I$}
\uput[l](0,1){$J$}
\uput[dl](0,0){$O$}
%\uput[u](3,0){abscisses : $x$}
\psplot{-3.5}{3.5}{x 2 add x 2 neg add mul x mul 8 div}
\psdot(3,1.875)
\uput[r](3,1.875){$\Bigl(x;f(x)\Bigr)$}
\psline[linestyle=dashed](3,1.875)(0,1.875)
\psline[linestyle=dashed](3,1.875)(3,0)
\uput[d](3,0){$x$}
\uput[l](0,1.875){$f(x)$}
%\rput[d]{90}(-0.35,3){ordonnées : $f(x)$}
\uput[d](-3,0){antécédents}
\rput[d]{90}(0.35,3){images}
\endpspicture
\end{center}

\eng{Graph of a function}{The graph of a function $f$ is the collection of all ordered pairs $\left(x,f(x)\right)$. In
particular, if $x$ is a real number, graph means the graphical representation of this collection, in the form of a curve
on a Cartesian plane. Graphing on a Cartesian plane is sometimes referred to as \defin{curve sketching}.}

\defi{Tableau de valeurs d'une fonction}
{Pour tracer la représentation graphique d'une fonction, on établit un \defin{tableau de valeur} de la fonction.}

\rem{L'utilisation de la calculatrice permet de gagner beaucoup de temps. Voir module.}

\exosol{Soit \begin{array}[t]{cccc}  f  : & $[-2;3]$ &\longrightarrow &\R \\
					 & x &\longmapsto &x^2-x-1 \end{array}
\begin{enumerate}
	\item Dresser un tableau de valeur de la fonction f de \defin{pas} 1 sur $[ -2 ; 3 ]$.
	\item Tracer la représentation graphique de $f$. (Unité 1 carreau sur chaque axe)
	\item Déterminer graphiquement l'(les) antécédent(s) de $3$?
	\item Le point $A$ de coordonnées $(5, 18)$ appartient-il à $\Co_f$ ?
\end{enumerate}}
{\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(-2)=(-2)^2-(-2)-1=5$ ;\\
	$f(-1)=(-1)^2-(-1)-1=1$, \dots \\
	On obtient le tableau de valeurs :\\[5pt]
	\begin{tabular}{|*{7}{c|}} \hline
	$x$   & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\\hline
	$f(x)$& 5  & 1  & -1&-1 & 1 & 5 \\\hline 
	\end{tabular}\setcounter{enumi}{2}
\item \textbf{Graphiquement :} On trace la droite d'équation $y=3$. Elle coupe $\Co_f$ en deux points dont les abscisses sont $\approx -1.5$ et $\approx2.5$.\\
			Les antécédents de 3 sont $\approx -1.5$ et $\approx2.5$.
\item $f(5)=5^2-5-1=19$.\\
			Les coordonnées $(5;18)$ ne vérifient pas l'équation de la courbe donc le point $A$ n'appartient pas à $\Co_f$.
\end{enumerate}
	
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}
\item $$\psset{unit=0.8cm}
	\begin{pspicture*}(-2,-2)(3,6)
	\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-2)(3,6)
	\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](-2,-2)(3,6)
	\psplot[linecolor=black,linestyle=solid]{-2}{3}{x x mul x sub 1 sub}
	\psline[linecolor=rouge](-2,3)(3,3)
	\psline[linecolor=rouge,linestyle=dashed](-1.56,3)(-1.56,0)
	\psline[linecolor=rouge,linestyle=dashed](2.56,3)(2.56,0)
	\end{pspicture*}$$
\end{enumerate}
\end{multicols}}


\rem{la recherche d'antécédents par la méthode graphique ne permet pas d'obtenir des valeurs exactes mais seulement des approximations. Dans l'exemple ci-dessus, les valeurs exactes des antécédents de $3$ par $f$ sont $\cfrac{1+\sqrt{17}}{2}$ et $\cfrac{1-\sqrt{17}}{2}$.}



% \subsection{Ensemble de définition}
% \defi{Ensemble de définition}
% {\defin{L'ensemble de définition} d'une fonction $f$ est l'ensemble des
% valeurs de $x$ pour lesquelles il est possible de déterminer $f(x)$. On note souvent cet ensemble $\Df_f$.}
% 
% \rem{Pour déterminer cet ensemble, il faut souvent se poser la question
% contraire : ``Pour quelles valeurs de $x$ est-il impossible de
% calculer $f(x)$.''\\
% A notre niveau deux cas peuvent se présenter :
% \begin{itemize}
% 	\item La fonction est définie par une fraction et dans ce cas, il faut enlever toutes les valeurs qui annulent le dénominateur.
% 	\item La fonction est définie avec une racine carrée et dans ce cas, il ne faut conserver que les valeurs pour lesquelles l'expression sous le radical est positive.
% \end{itemize}
% }
% 
% \exosol{Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes:
% \begin{enumerate}
% 	\item $f(x)=\frac{2x^2-5x+7}{x-5}$
% 	\item $g(x)=\sqrt{3x+2}$
% \end{enumerate}}
% {\begin{enumerate}
% \item $f(x)$ est définie si et seulement si $x-5\neq 0$ soit $x\neq5$.\\
% 			L'ensemble de définition de $f$ est l'ensemble des nombres réels différents de 5, ce que l'on note $\Df_f=\R-\{5\}$.
% \item $g(x)$ est définie si ets eulement si $3x+2\geq0$. Or $3x+2\geq0$ quand $x\geq-\frac{2}{3}$.\\
% 			L'ensemble de définition de $g$ est l'ensemble des nombres plus grands que
% $-\frac{2}{3}$, ce que l'on note $\Df_f=[-\frac{2}{3};+\infty[$.
% \end{enumerate}}
% 
% 
% 
% \eng{Domain of a function}{The \defin{domain} of a given function is the set of ``input``
% values for which the function is defined. For instance, the domain of the square root would be only numbers greater than
% or equal to 0.}


\section{Applications aux équations}
\subsection{Résolution algébrique d'équation}
\rap{On sait déjà résoudre trois types d'équations par le calcul :
\begin{itemize}
\item Les équations du premier degré. Ce sont toutes les équations du type $ax+b$ et celles qui s'y ramènent après développement, réduction ou transposition.

\exosol{Résoudre l'équation $3x+1=2x+3-5(x+4)$.}{\vspace{-20pt}
\begin{eqnarray*}
3x+1&=&2x+3-5(x+4)\\
3x+1&=&2x+3-5x-20\\
3x-2x+5x&=&3-20-1\\
6x&=&-18\\
x&=&-\frac{18}{6}=-3
\end{eqnarray*}}
\item Les équations produits : Ce sont les équations du type $p\times q=0$ et toutes les équations s'y ramenant après transposition ou factorisation.

\exosol{Résoudre l'équation $(3x+1)(2x+2)=(2x+2)(5x+4)$.}{\vspace{-20pt}
\begin{eqnarray*}
(3x+1)(2x+2)&=&(2x+2)(5x+4)\\
(3x+1)(2x+2)-(2x+2)(5x+4)&=&0\\
(2x+2)[(3x+1)-(5x+4)]&=&0\\
(2x+2)(-2x-3)&=&0
\end{eqnarray*}
Un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul.\vspace{-10pt}
$$\begin{array}{ccc}
2x+2=0 & \textrm{ OU } &-2x-3=0 \\
2x=-2 & & -2x=3\\
x=-1 & & x=-\frac32\\
\end{array}$$}
\item Les équations du type $x^2=a$ dont les solutions sont $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.

\exosol{Résoudre l'équation $3x^2+2=5$.}{\vspace{-20pt}
\begin{eqnarray*}
3x^2+2&=&5\\
3x^2&=&3\\
x^2&=&1\\
x&=&\pm1
\end{eqnarray*}}
\end{itemize}}
		
\subsection{Résolution graphique d'équation}
Il y a des équations que l'on ne sait pas (encore) résoudre par le calcul. On utilise alors une méthode graphique pour avoir une approximation d'une solution.
Nous traiterons des exemples pour  \^etre plus clair.

\begin{small}%\pagebreak
\begin{multicols}{2}\setlength{\columnseprule}{1pt}
Exemple 1 : Résoudre l'équation: $$x^2-2x-3=5$$
On trace la représentation graphique de la fonction $f(x)=x^2-2x-3$.
$$   \psset{xunit=0.8,yunit=0.3}
   \begin{pspicture}(-3,-5)(6,6)
      \psaxes[ticksize=2pt]{->}(0,0)(-3,-5)(5,6)
      \psgrid[subgriddiv=1,subgriddots=10,griddots=5,gridlabels=0](-3,-5)(5,6)
      \psplot[linecolor=red]{-2.15}{4.15}{x -1 add x -1 add mul -4 add}
       \psline[linestyle=dashed](-3,5)(5,5)
      \rput(-2.5,4){\textcolor{red}{$\Co_f$}}
      \rput(5,5.5){$y=5$}
   \end{pspicture}$$
Résoudre l'équation $f(x)=x^2-2x-3=5$ revient à chercher les points qui ont pour image $5$ par $f$.\\
%Graphiquement, cela revient à chercher l'abscisse des points d'intersection de la courbe avec la droite
%d'équation $y = 1$.\\
Graphiquement, les solutions semblent être $-2$ et $4$. On note :  $\S=\{-2;4\}$.\\

\columnbreak

Exemple 2 : Résoudre l'inéquation $$x^2-2x-3\leq-3$$
On trace la représentation graphique de la fonction $f(x)=x^2-2x-3$.
$$   \psset{xunit=0.8,yunit=0.3}
   \begin{pspicture}(-3,-5)(6,6)
      \psaxes[ticksize=2pt]{->}(0,0)(-3,-5)(5,6)
      \psgrid[subgriddiv=1,subgriddots=10,griddots=5,gridlabels=0](-3,-5)(5,6)
      \psplot[linecolor=red]{-2.15}{4.15}{x -1 add x -1 add mul -4 add}
      \psplot[linecolor=red,linewidth=1pt]{-2.15}{4.15}{x -1 add x -1 add mul -4 add}
       \psline[linestyle=dashed](-3,-3)(5,-3)
      \rput(-2.5,4){\textcolor{red}{$\Co_f$}}
     \rput(5,-2.5){$y=-3$}
   \end{pspicture}$$
Résoudre l'inéquation $f(x)=x^2-2x-3\leq-3$ revient à chercher les points qui ont une image inférieure à $-3$.\\
%Graphiquement, cela revient à chercher l'abscisse des points de la courbe situés « en dessous » de la
%droite d'équation y = -3.\\
Graphiquement, les solutions semblent être tous les nombres compris entre $0$ et $2$ inclus. On note : $\S=[0;2]$.\\
\end{multicols}
\vspace{0.5cm}

\begin{multicols}{2}\setlength{\columnseprule}{1pt}
Exemple 3 : Résoudre l'équation : $$x^2-2x-3=x-3$$
On trace la représentation graphique de la fonction $f(x)=x^2-2x-3$ et de $g(x)=x-3$.
$$   \psset{xunit=0.8,yunit=0.3}
   \begin{pspicture}(-3,-5)(6,6)
      \psaxes[ticksize=2pt]{->}(0,0)(-3,-5)(5,6)
      \psgrid[subgriddiv=1,subgriddots=10,griddots=5,gridlabels=0](-3,-5)(5,6)
      \psplot[linecolor=red]{-2.15}{4.15}{x -1 add x -1 add mul -4 add}
      \psplot[linecolor=blue]{-3}{5}{3 -1 mul x add}
      \rput(-2.5,4){\textcolor{red}{$\Co_f$}}
      \rput(-2.5,-4.5){\textcolor{blue}{$\Co_g$}}
   \end{pspicture}$$
Résoudre l'équation $$f(x)=x^2-2x-3=x-3=g(x)$$ revient à chercher les points qui ont la même image par $f$ et par $g$.\\
Graphiquement, cela revient à chercher les abscisses des points d'intersection de la courbe $\Co_f$ et de la courbe $\Co_g$. $\S=\{0;3\}$.

\columnbreak

Exemple 4 : Résoudre l'inéquation : $$x^2-2x-3> x-3$$
On trace la représentation graphique de la fonction $f(x)=x^2-2x-3$ et de $g(x)=x-3$.
$$   \psset{xunit=0.8,yunit=0.3}
   \begin{pspicture}(-3,-5)(6,6)
      \psaxes[ticksize=2pt]{->}(0,0)(-3,-5)(5,6)
      \psgrid[subgriddiv=1,subgriddots=10,griddots=5,gridlabels=0](-3,-5)(5,6)
      \psplot[linecolor=red]{-2.15}{4.15}{x -1 add x -1 add mul -4 add}
       \psplot[linecolor=blue]{-3}{5}{3 -1 mul x add}
      \rput(-2.5,4){\textcolor{red}{$\Co_f$}}
       \rput(-2.5,-4.5){\textcolor{blue}{$\Co_g$}}
      \psplot[linecolor=red,linewidth=1pt]{-2.15}{0}{x -1 add x -1 add mul -4 add}
      \psplot[linecolor=red,linewidth=1pt]{3}{4.15}{x -1 add x -1 add mul -4 add}
   \end{pspicture}$$
Résoudre l'inéquation $$f(x)=x^2-2x-3>x-3=g(x)$$ revient à chercher les points dont l'image par $f$ est supérieure à l'image
par $g$, c'est à dire les abscisses pour lesquels la courbe $\Co_f$ est situé au dessus de la courbe $\Co_g$.
Graphiquement, les solutions semblent être tous les nombres avant $0$ exclus et après $3$ exclus. On note $\S=]-\infty;0[\cup]3;+\infty[$
\end{multicols}\end{small}

% \begin{multicols}{2}
% \exosol{Résoudre l'équation $x^2-2x-3=x-3$.}
% {On trace la représentation graphique de la fonction $f(x)=x^2-2x-3$ et de $g(x)=x-3$.\\
% Résoudre l'équation $f(x)=x^2-2x-3=x-3=g(x)$ revient à chercher les points qui ont la même image par $f$ et $g$.\\
% Graphiquement, cela revient à chercher l'abscisse des points d'intersection de la courbe $\Co_f$ et de la courbe $\Co_g$.\\
% On lit graphiquement : $\S={0;3}$}
% 
% \exosol{Résoudre l'équation $x^2-2x-3>x-3$.}
% {On trace la représentation graphique de la fonction $f(x)=x^2-2x-3$ et de $g(x)=x-3$.\\
% Résoudre l'équation $f(x)=x^2-2x-3>x-3=g(x)$ revient à chercher les points dont l'image par $f$ est supérieure à l'image
% par $g$.\\
% Graphiquement, cela revient à chercher l'abscisse des points de la courbe $\Co_f$ situé au dessus de la courbe $\Co_g$.\\
% On lit graphiquement : $\S=]-\infty;0[\cup]3;+\infty[$}
% \end{multicols}

% On donne ci-dessous la représentation graphique $\Co_f$ associée à la fonction $f$. 
% $$
% \psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
% \begin{pspicture}(-5,-3)(5,4)
% \psgrid[gridwidth=0.2pt,gridlabels=4pt,subgriddiv=1,subgriddots=1,subgridwidth=0.1pt]
% \psline{->}(-5,0)(5,0)
% \psline{->}(0,-3)(0,4)
% \psline[linestyle=dashed, linecolor=rouge](-5,3)(5,3)
% \psline[linestyle=dashed, linecolor=rouge](-2,0)(-2,3)
% \psline[linestyle=dashed, linecolor=rouge](4,0)(4,3)
% \pscurve[showpoints=false](-4,-3)(-2,3)(1,0)(3,-1)(4,3)(4.2,3.7)(5,4)
% \rput[br](-4,-1){$\Co_f$}
% \end{pspicture}$$ 
% 
% En utilisant la représentation graphique de $f$, on peut alors approximer les solutions des équations et inéquations suivantes liées à $f$.\\[10pt]
% \begin{tabular}{|c|>\centering p{11cm} <\centering |c|}
% \hline
% équation & rédaction  & solutions \tabularnewline \hline
% $f(x)=3$ &Les solutions de l'équations $f(x) = 3$ sont les abscisses des points d'intersection de $\Co_f$  et la droite d'équation $y = 3$. & $ \S = \{ -2;4 \}$ \tabularnewline  \hline
% $f(x)\le 3$ &Les solutions de l'équations $f(x)\leq 3$ sont les abscisses des points de $\Co_f$ situés en dessous de la droite d'équation $y = 3$. & $ \S = [-2;4]$ \tabularnewline \hline
% \end{tabular}\\[20pt]
% 
% De même, si on connait les représentations graphiques $\Co_f$ et $\Co_g$ associées aux fonctions $f$ et $g$.
% $$
% \psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
% \begin{pspicture}(-5,-3)(5,4)
% \psgrid[gridwidth=0.2pt,gridlabels=4pt,subgriddiv=1,subgriddots=1,subgridwidth=0.1pt]
% \psline{->}(-5,0)(5,0)
% \psline{->}(0,-3)(0,4)
% \psline(-2,-3)(5,4)
% \pscurve[showpoints=false](-4,-3)(-2,3)(1,0)(3,-1)(4,3)(4.2,3.7)(5,4)
% \pscurve[showpoints=false,linecolor=rouge](1,0)(3,-1)(4,3)
% \rput[br](-4,-1){$\Co_f$}
% \rput(-2,-2){$\Co_g$}
% \end{pspicture} $$
% On peut alors approximer les solutions des équations suivantes : \\[10pt]
% \begin{tabular}{|c|>\centering p{11cm} <\centering|c|}
% \hline
% équation & rédaction  & solution \tabularnewline \hline
% $f(x)=g(x)$ &Les solutions de l'équations $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection de $\Co_f$  et de $C_g$ & $ \S = \{1 ;4 \}$ \tabularnewline  \hline
% $f(x)\le g(x)$ &Les solutions de l'équations $f(x)\le g(x)$ sont les abscisses des points de $\Co_f$ situés en dessous de $\Co_g$. & $ \S = [1 ;4]$ \tabularnewline \hline
% \end{tabular}
% \\[20pt]
\rems{La méthode présente deux inconvénients :
\begin{itemize}
	\item La valeur obtenue par lecture graphique n'est qu'une approximation de la solution cherchée. Pour savoir si c'est la valeur exacte, il faut faire une vérification.
	\item La méthode ne donne que les solutions visibles dans la fenêtre affichée. Ainsi, on ne peut pas savoir si on a trouvé toutes les solutions où s'il en existe d'autres.
	\end{itemize}
	Cependant elle a un énorme avantage : il y a des équations que l'on ne sait pas (encore) résoudre par le calcul. On utilise alors une méthode graphique pour avoir une approximation d'une solution.}

\defi{Tableau de signe}
{Lorsque l'on résout l'équation $f(x) \le 0$ ; on donne la solution sous la forme d'un tableau appelé \defin{tableau de signe de la fonction} $f$.}
\exosol{Dresser le tableau de signe de la fonction dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.
$$
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-5.1,-2.1)(4.1,3.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-5,-2)(4,3)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(-5,-2)(4,3)
\pscurve[showpoints=false](-5,-2)(-4,0)(-1,2)(0,1)(1,0)(3,-1)(4,2)(5,3)
\end{pspicture*} $$}
{$$\begin{tikzpicture}[anchor=center]
\tkzTabInit{$x$ /1,$f(x)$/1}{$-5$,$-4$, $1$ ,${3,5}$,$4$}
\tkzTabLine{,$-$,0,$+$,0,$-$,0,$+$,}
\end{tikzpicture}$$}


\eng{Solve by graphing}{Equations and inequations involving one or more functions can be \defin{solved by graphing}. The
solutions found under that method are most of the time approximate values.}




\section{Variations d'une fonction}
\subsection{Définitions}

\eng{Increasing and decreasing functions}
{A function $f$ is called \emph{increasing}, if for all $x$ and $y$ such that $x\leq y$ one has $f(x)\leq f(y)$, so $f$ preserves the order. Likewise, a function is called \emph{decreasing} if, whenever $x\leq y$, then $f(x)\geq f(y)$, so it reverses the order.\\
Graphically, the curve of an increasing function grows right upward (and right downward for an decreasing function.)}




% \defi{fonction croissante}
% {Dire qu'une fonction est \defin{croissante} sur un intervalle $I$ signifie que les réels de cet intervalle et leur image sont rangés dans le même ordre.\\
% Pour tout réels $x_1$ et $x_2$ de $I$  tel que $x_1 > x_2$ , on a $f(x_1)>f(x_2)$.\\
% Graphiquement, la courbe " monte "  de la gauche vers la droite.}
% 
% \defi{fonction décroissante}
% {Dire qu'une fonction est \defin{décroissante} sur un intervalle $I$ signifie que les réels de cet intervalle et leur images sont rangés dans l'ordre contraire.\\
% Pour tout réels $x_1$ et $x_2$ de $I$  tel que $x_1>x_2$ , on a $f(x_1)<f(x_2)$.\\
% Graphiquement, la courbe " descend "  de la gauche vers la droite.}
% 
% \defi{fonction monotone}
% {On dit que f est \defin{monotone} sur un intervalle $I$ lorsqu'elle est soit croissante, soit décroissante sur cet intervalle.}



\subsection{Tableau de variation}
\defi{Tableau de variation}
{Le \defin{tableau de variation} d'une fonction $f$ résume les variations de la fonction en partageant l'ensemble de définition de la fonction en intervalles sur lesquels la fonction est monotone.}

\eng{Variations table}{The \defin{variations table} is a typically French method, so the term doesn't really exist in
English. We will still use it, as it's a very efficient tool in many situations.}



\subsection{Extremums}
\defi{Maximum-Minimum}
{Le \defin{maximum} d'une fonction sur un intervalle $I$  est la plus grande valeur de $f(x)$ quand $x$ décrit $I$ .\\
Le \defin{minimum} d'une fonction sur un intervalle $I$  est la plus petite valeur de $f(x)$ quand $x$ décrit $I$ .}


\eng{Extrema}{The \defin{maximum} and \defin{minimum} of a function are the largest and smallest
value the function takes within a given interval (local extremum) or on the function domain in its entirety (global
extremum).}


\exosol{On donne ci-dessous la représentation graphique d'une fonction $f$. Décrire les varaitions de $f$.
$$\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-5,-3)(6,5)
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridlabels=4pt,subgriddiv=1,subgriddots=1,subgridwidth=0.1pt]
\psline{->}(-5,0)(6,0)
\psline{->}(0,-3)(0,5)
\pscurve[showpoints=false](-5,2)(-3,4)(1.5,-2)(6,3)
\rput[br](6,3){$\Co_f$}
\end{pspicture}$$
}
{$f$ est définie sur [$-5;6$]\\
$f$ est croissante sur [$-5;-3] \cup [1.5;6$]\\
$f$ est décroissante sur [$-3;1.5$] \\
Le maximum de $f$ sur [$-5;6$] est $4$ obtenue pour $x = -3$.\\
Le maximum de $f$ sur [$-1;6$ ] est $3$ obtenue pour $x = 6$.\\
Le minimum de $f$ sur [$-5;6$] est $-2$ obtenue pour $x = 1.5$.}
\par\suitesol{
Le tableau de variation de la fonction f est :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[anchor=center]
\tkzTabInit{$x$/1, $f$/2}{$-5$,$-3$,${1,5}$,$6$}
\tkzTabVar{-/$2$/,+/$4$/,-/$-2$/,+/$3$/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
}



\section{Programmes}


\begin{center}
\begin{tabularx}{\textwidth}{X} 
\rowcolor{black}\centering\large\bf \textsf{\white Rappel des notions vues lors des années précédentes}\rule{0pt}{15pt}
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{c} 
\rowcolor{lightgray}\bf \textsf{Classe de cinquième}\\

\parbox{13cm}{\sf \textbf{Repérage dans le plan.}

Dans le plan muni d'un repère orthogonal :
\begin{itemize}
\item lire les coordonnées d'un point donné ;
\item placer un point de coordonnées données.
\end{itemize}
Connaître et utiliser le vocabulaire : origine,
coordonnées, abscisse, ordonnée.

\textbf{Initiation à la notion d'équation.}

\begin{itemize}
\item Tester si une égalité comportant un ou deux nombres indéterminés est vraie lorsqu'on leur attribue des valeurs
numériques. \end{itemize}

} \\

\end{tabular}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}
\begin{tabular}{c} 
\rowcolor{lightgray}\bf \textsf{Classe de quatrième}\\

\parbox{13cm}{\sf \textbf{Calcul littéral}

\begin{itemize}
\item Calculer la valeur d'une expression littérale en donnant aux variables des valeurs numériques. 
\item Développement : \begin{itemize}
	\item Réduire une expression littérale à une variable, du type : $3x-(4x-2)$, $2x^2-3x+x^2$\ldots
	\item Développer une expression de la forme $(a+b)(c+d)$.
	\end{itemize}
\end{itemize}

\textbf{Résolution de problèmes conduisant à une équation du premier degré à une inconnue.}

\begin{itemize}
 \item Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une inconnue. 
\end{itemize}
} \\

\end{tabular}
\end{center}


\bigskip

\begin{center}
\begin{tabular}{c} 
\rowcolor{lightgray}\bf \textsf{Classe de troisième}\\

\parbox{13cm}{\sf \textbf{Notion de fonction}

Image, antécédent, notations $f(x)$, $x\mapsto f(x)$.

\begin{itemize}
\item Déterminer l'image d'un nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de données ou une formule.
\item Déterminer un antécédent par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation graphique.
\end{itemize}

Toute définition générale de la notion de fonction et la notion d'ensemble de définition sont hors programme.

\textbf{Fonctions affines et linéaires}

\begin{itemize}
\item Calculs d'images et d'antécédents.
\item Représentations graphiques.
\item Coefficient directeur et ordonnée à l'origine.
\end{itemize}

} \\

\end{tabular}
\end{center}
\bigskip


\begin{center}
\begin{tabularx}{\textwidth}{X} 
\rowcolor{black}\centering\large\bf \textsf{\white Programme de seconde}\rule{0pt}{15pt}
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}
\begin{minipage}{13cm}\sf \textbf{Images, antécédents, courbes représentatives :} reprise et approfondissement des
notions vues
au collège.

\bigskip
\textbf{Étude qualitative de fonctions :} 

Fonction croissante, fonction décroissante, maximum, minimum d'une fonction
sur un intervalle.
\begin{itemize}
\item Décrire, avec un vocabulaire adapté ou un tableau de variations, le comportement d'une fonction définie  par une
courbe.
\item Dessiner une représentation graphique compatible avec un tableau de variations.
\item Lorsque le sens de variation est donné, par une phrase ou un tableau de variations :
	\begin{itemize}
	\item comparer les images de deux nombres d'un intervalle ;
	\item déterminer tous les nombres dont l'image est supérieure (ou inférieure) à une image donnée.
	\end{itemize}
\end{itemize}

\bigskip
\textbf{Fonctions de référence :}

Fonctions affines et fonctions linéaires.
\begin{itemize}
\item Donner le sens de variation d'une fonction affine.
\item Donner le tableau de signes de $ax+b$ pour des valeurs numériques données de $a$ et $b$.
\end{itemize}

Variations de la fonction carré, de la fonction inverse.

\begin{itemize}
\item Connaître les variations des fonctions carré et inverse.
\item Représenter graphiquement les fonctions carré et inverse.
\end{itemize}

\bigskip
\textbf{Études de fonctions :}

Fonctions polynômes de degré 2.
\begin{itemize}
\item Connaître les variations des fonctions polynômes de degré 2 (monotonie, extremum) et la propriété de symétrie de
leurs courbes.
\end{itemize}

Fonctions homographiques.
\begin{itemize}
\item Identifier l'ensemble de définition d'une fonction homographique.
\end{itemize}

\bigskip
\textbf{Résolutions graphiques et algébriques d'équations et d'inéquations.}
 
\end{minipage}
\end{center}
\end{document}