\documentclass[12pt]{article}\usepackage[Mickael]{ammaths}


\begin{document}\nocolor

\enteteseconde{3}{Statistique -- représentations et moyenne}{Statistique et probabilités 1}

\begin{center}
\fbox{\parbox{13cm}{\sf\small A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
\begin{itemize}
\item passer des effectifs aux fréquences, calculer la moyenne d'une série définie par effectifs ou fréquences ;
\item représenter une série statistique graphiquement (nuage de points, histogramme, courbe des fréquences cumulées). 
\end{itemize}}}
\end{center}


\exocpart{Vocabulaire et concepts}

\exoc{Indiquer la  population, les individus et la variable étudiée dans chacun des cas suivants : 
\begin{enumerate}
	\item Étude statistique du diamètre des billes fabriquées par une machine outil.
	\item Étude statistique de la couleur des yeux des stars de cinéma américaines.
	\item Étude statistique sur la marque du rouge à lèvres des françaises de 25 à 35 ans.
	\item Étude statistique sur le bénéfice annuel des magazines télévisuels.
	\item Étude statistique sur l'audimat du journal télévisé de 20h00.
\end{enumerate}}

\exoc{Donner le type de chacune des variables suivantes (quantitatives discrètes, quantitatives continues ou qualitatives) :
\begin{enumerate}
	\item la marque des voitures garées sur un parking de supermarché ;
	\item la nationalité des touristes se rendant au festival de Bayreuth ;  
	\item l'âge des auditeurs de Radio rap ;
	\item la température relevée chaque matin sous abri à Annecy ;
	\item la hauteur de précipitations tombées chaque mois à Lyon ;
	\item la note sur 20 obtenue en biologie par chaque élève d'une classe.
\end{enumerate}}

\exocpart{Études de séries statistiques simples}

\exoc{Calculer l'étendue et la moyenne de chacune des séries statistiques suivantes:
\begin{enumerate}
	\item $11$ ; $22$ ; $33$ ; $44$ ; $55$ ; $66$ ; $77$.
	\item $12$ ; $25$ ; $8$ ; $13$ ; $15$ ; $5$.
	\item \begin{tabular}{|*{7}{c|}} \hline 
	Données		&2	&3	&4	&5	&6	 &7	 \\ \hline 
	Effectifs	&5	&43	&152&217&531 &851\\ \hline 
	\end{tabular}
	\item \begin{tabular}{|*{5}{c|}}
	\hline 
	Classes &  $[0;2[$ & $[2;4[$ & $[4;6[$ & $[6;8[$ \\  \hline
	Effectifs &  17	&	25 &	9 & 2 \\  \hline
	\end{tabular}
\end{enumerate}}

\pagebreak

\exoc{\tice~On s'intéresse à l'algorithme ci-contre : 
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item Appliquer cet algorithme avec $a=13$ et $b=16$.
 \item Que fait cet algorithme ?
 \item Quelle modification faudrait-il apporter à l'algorithme pour qu'il calcule la moyenne de deux notes l'une coefficient 2, l'autre coefficient 1 ?
\end{enumerate}
\begin{center}\vspace*{-15pt}
\begin{minipage}[t]{7cm}
\IncMargin{1em}
\begin{algorithm}[H]
\Begin{\KwIn{$a$, $b$ two numbers between 0 and 20 \;}
$a+b \rightarrow c$ \;
$\frac{c}{2} \rightarrow m$ \;
\KwOut{$m$ \;}
}
\end{algorithm}
\DecMargin{1em}
\end{minipage}
\end{center}
\end{multicols}
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{2}
 \item Quelle modification faudrait-il apporter à l'algorithme pour qu'il calcule la moyenne de deux notes, avec des coefficients saisis par l'utilisateur ?
\end{enumerate}
}

\exoc{On donne ci-dessous la répartition du nombre d'heures que consacrent 36 collégiens à faire du sport durant une semaine.\\
\begin{minipage}{5.5cm}
   \psset{unit=0.7}
   \begin{pspicture}(-3,-3.5)(5,3.5)
      \pscircle(0,0){3}
      \pswedge[fillstyle=solid, fillcolor=gris](0,0){3}{0}{40}
      \pswedge[fillstyle=vlines](0,0){3}{40}{120}
      \pswedge[fillstyle=hlines](0,0){3}{120}{180}
      \pswedge[fillstyle=crosshatch](0,0){3}{180}{260}
      \pswedge[fillstyle=none](0,0){3}{260}{340}
      \pswedge[fillstyle=solid, fillcolor=black](0,0){3}{340}{360}
      \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gris](3.5,-3)(4.5,-2.5)\rput(5,-2.75){\small 2h }
      \psframe[fillstyle=vlines](3.5,-2)(4.5,-1.5)\rput(5,-1.75){\small 3h }
      \psframe[fillstyle=hlines](3.5,-1)(4.5,-0.5)\rput(5,-0.75){\small 4h }
      \psframe[fillstyle=crosshatch](3.5,0)(4.5,0.5)\rput(5,0.25){\small 5h }
      \psframe[fillstyle=none](3.5,1)(4.5,1.5)\rput(5,1.25){\small 7h }
      \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black](3.5,2)(4.5,2.5)\rput(5,2.25){\small 9h }
   \end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Déterminer le nombre d'élèves dont la pratique hebdomadaire est de 2h00.
	\item Dresser le tableau des effectifs associé à ce graphique.
	\end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
	\item Déterminer la moyenne de cette série.
	\item Que signifie ce résultat ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}}



\exoc{Une étude statistique portant sur les salaires mensuels des ouvriers d'une entreprise, a permis d'établir l'histogramme suivant:
\begin{center}
\psset{unit=0.714cm} %à enlever si le doc final est au format A4 ; à laisser si on utilise psnup
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(16,8.5)
\psline{->}(-1,0)(14,0)
\scriptsize \rput(0,-0.3){$800$}
\rput(2,-0.3){$1000$}
\rput(3,-0.3){$1100$}
\rput(4,-0.3){$1200$}
\rput(5,-0.3){$1300$}
\rput(9,-0.3){$1700$}
\rput(13,-0.3){$2100$}
\rput(15,0.2){Salaires}
\rput(15,-0.2){en euros}
\normalsize
\psset{fillstyle=solid,fillcolor=gray,linewidth=0.5pt}
\psframe[dimen=middle](0,0)(2,2)
\psframe[dimen=middle](2,0)(3,5)
\psframe[dimen=middle](3,0)(4,8)
\psframe[dimen=middle](4,0)(5,6)
\psframe[dimen=middle](5,0)(9,2)
\psframe[dimen=middle](9,0)(13,1)
\psframe[dimen=middle](7,5)(8,6)
\rput[l](8.5,5.25){représente un individu}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Exprimer, en $cm^2$, l'aire du carré représentant un individu.
\item Recopier et compléter le tableau suivant:
\footnotesize
\begin{center}\hspace*{-1cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Classe &$[800;1000[$&$[1000;1100[$ & $[1100;1200[$ & $[1200;1300[$& $[1300;1700[$ &$[1700
;2100[$\\
\hline
Aire ($cm^2$) & & & & & & \\
\hline
Effectif & & & & & & \\
\hline
Fréquence & & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\normalsize
 \item \begin{enumerate}
	\item Déterminer la moyenne de cette série.
	\item Que signifie ce résultat ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\exoc{In a class, the marks of a test are as shown below :%Dans une classe de première, les résultats d'un devoir sont
%les suivants:
\begin{center}
$3$ - $12$ - $10$ - $5$ - $7$ - $9$ - $7$ - $12$ - $18$ - $9$ - $8$ - $10$ - $15$ - $3$ - $15$ -
$7$ - $12$ - $9$ - $10$ - $5$
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Gather the data in a frequency table, then build the bar graph of the statistical data (units 1cm for 1 unit on both axes)
\item Compute the range of the data.
\item Compute the average, first using the unsorted data, second using the absolute frequencies table and third using
the relative frequencies table. Are the results consistent ? 
\end{enumerate}}


\exoc{En 2005, il y avait en France 8 729 milliers de ménages avec enfants de 0 à 24 ans. Le tableau ci-dessous détaille
le nombre d'enfants par ménage (effectifs en milliers). Pour la dernière catégorie, on utilisera 4 comme nombre
d'enfants pour les calculs. 

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Nombre d'enfants & Effectif \\
\hline\hline
1 enfant & 3 714 \\
\hline
2 enfants & 3 369 \\
\hline
3 enfants & 1 236 \\
\hline
4 enfants et plus & 410\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{flushright}
{\sl Source : INSEE}
\end{flushright}

\begin{enumerate}
\item Préciser la population étudiée, le caractère et sa nature.
\item Représenter cette série par un diagramme en bâtons.
\item Indiquer dans un tableau la distribution des fréquences.
\item Déterminer l'étendue de cette série.
\item Calculer le nombre moyen d'enfants par ménage.
\item On comptait d'autre part, toujours en 2005, 17 001 ménages sans enfant de moins de 24 ans. En prenant en compte
cette nouvelle catégorie, recalculer le nombre moyen d'enfants par ménage.
\end{enumerate}
}



\exoc{Un producteur propose 15 spectacles différents, dont les prix en euros sont indiqués ci-dessous : 10 ; 12 ; 20 ; 22 ; 25 ; 30 ; 32 ; 33 ; 38 ; 40 ; 42 ; 43 ; 45 ; 45 ; 51.
\begin{enumerate}
\item Quelle est le caractère observé dans cette étude ? Est-il quantitatif ou qualitatif ? Quelle est la population étudiée ?
\item Le polygone des fréquences est-il un bon outil pour cette situation ? Pourquoi ?
\item \begin{enumerate}
    \item Regrouper les prix par intervalle d'amplitude 5 euros et donner les effectifs dans un tableau. On commencera
le premier intervalle à 9,50 euros.
    \item Représenter ces données par un histogramme à l'échelle 2cm$^2$ pour 1 spectacle.
    \item Calculer les aires des rectangles de l'histogramme et vérifier qu'elles sont proportionnelles aux effectifs.
    \end{enumerate}
\item Calculer le prix moyen d'un spectacle. Interpréter ce résultat.
\end{enumerate}
}



\exoc{The table below shows the yearly cost, in euros, per pupil in secondary education in some countries in 2004. To analyze them, we will gather them into classes.
\begin{center}
\begin{tabular}{l|c}
\bf Country & \bf Yearly cost\\
\hline
Germany & 7 576 \\
Austria & 9 446 \\
Belgium & 7 751 \\
Denmark & 8 849 \\
Spain & 6 701 \\
USA & 9 938 \\
Finland & 7 441 \\
France & 8 737 \\
Greece & 5 213 \\
Hungary & 3 692 \\
Ireland & 7 110 \\
Italy & 7 843 \\
Japan & 7 615 \\
Netherlands & 7 541 \\
Poland & 2 889 \\
Portugal & 6 168 \\
Czech Republic & 4 779 \\
United Kingdom & 7 090 \\
Slovakia & 2 744 \\
Sweden & 8 039 \\
\end{tabular}
\end{center}

\begin{flushright}
\sl From OCDE, Regards sur l'Éducation 2007. 
\end{flushright}
%Le tableau ci-dessous indique la dépense moyenne par élève de l'enseignement secondaire dans quelques pays du monde. Ces données datent de 2004 et sont exprimées en Euros. Pour les analyser, nous allons les regrouper par classe. 
% \begin{center}
% \begin{tabular}{l|c}
% \bf Pays & \bf Dépense\\
% \hline
% Allemagne & 7 576 \\
% Autriche & 9 446 \\
% Belgique & 7 751 \\
% Danemark & 8 849 \\
% Espagne & 6 701 \\
% États-Unis & 9 938 \\
% Finlande & 7 441 \\
% France & 8 737 \\
% Grèce & 5 213 \\
% Hongrie & 3 692 \\
% Irlande & 7 110 \\
% Italie & 7 843 \\
% Japon & 7 615 \\
% Pays-Bas & 7 541 \\
% Pologne & 2 889 \\
% Portugal & 6 168 \\
% République tchèque & 4 779 \\
% Royaume-Uni & 7 090 \\
% Slovaquie & 2 744 \\
% Suède & 8 039 \\
% \end{tabular}
% \end{center}
% 
% \begin{flushright}
% \sl Source : OCDE, Regards sur l'Éducation 2007. 
% \end{flushright}



\begin{enumerate}
%\item %Préciser la population et le caractère étudiés.
\item Copy and fill out the following table.%Recopier et compléter le tableau ci-dessous. 
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Expenditure & Frequency \\
\hline
$[0;4000[$ & \\
\hline
$[4000;6000[$ & \\
\hline
$[6000;7000[$ & \\
\hline
$[7000;8000[$ & \\
\hline
$[8000;10000[$& \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item In which class is France ?%.Dans quelle classe se situe la France ?
\item What is the class with the greatest frequency ?%Déterminer la classe ayant le plus grand effectif.
\item Could use this table to compute the range ?%Peut-on déterminer l'étendue de cette série en utilisant le regroupement par classe ?
\item Compute the average of the data, first using the center of each class, then using the initial data. Is there a
notable difference between the two values ? %Calculer la moyenne en utilisant les centres des classes, puis à partir
%des données initiales. La différence entre ces deux valeurs est-elle notable ?
\item Represent this series with a histogram (scale : 1cm$^2$ for 1 unit)%Représenter cette série par un histogramme à l'échelle 1cm$^2$ pour 1 unité.
\end{enumerate}
}

\pagebreak


\exocpart{Analyse critique de données statistiques}

\exoc{Une étude statistique a prouvé que l'espérance de vie d'un français est de 73 ans. Cette même étude a montré que
l'espérance de vie d'un médecin en France est de 79 ans. La personne ayant mené l'étude en a conclu que les médecins
savaient mieux se soigner que les autres catégories de personnes et qu'ils faisaient probablement plus attention que les
autres à leur santé.\\
Pour mieux comprendre et interpréter les résultats de cette étude, on décide de relever l'âge
de décès d'un grand nombre de personnes nées en 1895 et on obtient le tableau ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{7}{c|}} \hline
Age décès &[0;10[ &[10;20[ &[20;30[ &[30;40[ &[40;50[& [50;60[  \\ \hline
Effectif &50     &20      &20      &20      &40     &80  \\ \hline
\end{tabular}
\\[10pt]
\begin{tabular}{|*{6}{c|}} \hline
Age décès &[60;70[& [70;80[& [80;90[& [90;100[& [100;110] \\ \hline
Effectif &120    &150     &250     &150      &100\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Pour une personne âgée de $x$ années, on appelle \emph{espérance de vie} l'âge moyen de
décès des personnes dont l'âge est supérieur à $x$. Calculer à partir du tableau ci-dessus l'espérance de vie à la
naissance d'un français.
	\item Calculer également l'espérance de vie d'une personne de 30 ans.
	\item Même question à 70 ans.
	\item Que penser de la conclusion de l'étude, selon laquelle les médecins savent mieux se soigner que les autres
catégories de personnes ?
\end{enumerate}}



\exoc{Dans un lycée, des statistiques ont été réalisées sur la réussite au bac d'élèves d'une section :
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{4}{c|}}
\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{}& \multicolumn{2}{c|}{2005}& \multicolumn{2}{c|}{2006} \\ \cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{}&	Présentés & Reçus & Présentés & Reçus	\\ \hline 
Non-redoublants & 22 & 12 & 15 & 8 \\ \hline
Redoublants & 3	& 3 & 10 & 9 \\ \hline
Total &	& & & \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
Le proviseur commente les résultats ainsi : "L'année 2006 marque une progression dans la réussite au bac. Je félicite les professeurs de la classe."\\
Le délégué de classe n'est pas d'accord et affirme : "Qu'on soit redoublant ou non, en 2006, ça a moins bien marché ; je ne félicite pas les professeurs de la classe."\\
Qui a raison ? Proposer une explication à ce paradoxe.}

\pagebreak

\exoc{Le tableau ci-dessous indique les salaires moyens annuels des salariés de la fonction publique en 2006. Ces données sont issues d'un document publié par l'INSEE. Les effectifs y sont exprimés en milliers et les salaires en euros.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|}
\hline
\bf Catégorie & \bf Salaire & \bf Effectif \\
\hline
\multicolumn{3}{|c|}{\bf Cadres} \\
\hline
Cadres de la Police  & 37 357& $14,5$ \\
\hline
Cadres administratifs et techniques & 42 943 & $121,0$ \\
\hline
Enseignants catégorie A & 28 240 & $927,0$ \\
\hline
\multicolumn{3}{|c|}{\bf Professions intermédiaires} \\
\hline
Enseignants catégorie B & 18 449 & $90,6$ \\
\hline
Personnels de l'administration & 25 011 & $108,6$ \\
\hline
Personnels de la police et des prisons & 24 805 & $102,4$ \\
\hline
Techniciens & 23 084 & $68,8$ \\
\hline
\multicolumn{3}{|c|}{\bf Employés et ouvriers} \\
\hline
Employés administratifs & 19 553 & $181,4$ \\
\hline
Personnels de la police et des prisons & 22 954 & $21,1$ \\
\hline
Ouvriers, agents de service & 16 483 & $142,0$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Préciser la population étudiée, le caractère et sa nature.
\item Calculer l'effectif total des salariés de la fonction publique.
\item Déterminer le maximum et le minimum de cette série et les catégories correspondantes.
\item Déterminer le salaire annuel moyen des salariés de la fonction publique.
\item Nous nous intéressont maintenant à un regroupement par catégories plus larges.
	\begin{enumerate}
	\item Calculer les effectifs totaux des catégories ``Cadres'', ``Professions intermédiaires'' et ``Employés et ouvriers''.
	\item Calculer le salaire moyen de chacune de ces catégories.
	\item Regrouper les résultats des trois questions précédentes dans un tableau.
	\item Est-il possible de retrouver grâce à ces données le salaire moyen des salariés de la fonction publique ?
	\end{enumerate}
\item Nous nous intéressons maintenant à un second regroupement.
	\begin{enumerate}
	\item Calculer les effectifs totaux des catégories ``Salariés de la police et des prisons'', ``Enseignants'', ``Personnels administratifs'' et ``Techniciens, ouvriers et agents''.
	\item Calculer le salaire moyen de chacune de ces catégories.
	\item Regrouper les résultats des trois questions précédentes dans un tableau.
	\item Retrouver grâce à ces données le salaire moyen des salariés de la fonction publique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\en
\partie{Homework \#2 -  The Koch snowflake}

In this exercise, we study the \emph{Koch snowflake}, a figure with surprising properties.

\probpart{-- Construction of the figure}

This construction can be done by hand or using a software such as Geogebra. Draw each new figure as a new one, and not on the previous
one.

To create a Koch snowflake, start with an equilateral triangle of side $9$cm, then recursively alter each line segment as follows:

\begin{enumerate}
\item Divide the line segment into three segments of equal length.
\item Draw an equilateral triangle that has the middle segment from step 1 as its base and points outward.
\item Remove the line segment that is the base of the triangle from step 2.
\end{enumerate}

This process can theoretically go on ad infinitum, but you will stop after two replacement steps. In this way, you should end up with
$3$ different figures, including the initial triangle.

\probpart{-- Study of the perimeter}

\renewcommand{\P}{\mathscr{P}}
\renewcommand{\A}{\mathscr{A}}

We call $\P(n)$ the perimeter of the figure after $n$ steps. For example, $\P(0)$ is the perimeter of the initial triangle, and
$\P(2)$ is the perimeter of the figure after $2$ steps, the last one you drew.

\begin{enumerate}
\item Compute $\P(0)$, the perimeter of the initial triangle. Explain your computation.
\item Compute $\P(1)$ justifying every part of your computation.
\item Compute $\P(2)$ justifying every part of your computation.
\item Compute the ratios $\frac{\P(1)}{\P(0)}$ and $\frac{\P(2)}{\P(1)}$. What do you notice ?
\item Prove that each replacement step multiplies the perimeter of the figure by $\frac43$.
\item Deduce the perimeters of $\P(3)$, $\P(4)$, $\P(5)$ and $\P(6)$. Give the answers as exact values and rounded values to 3 DP.
\item Use your calculator to find a value of $n$ such that $\P(n)>250$.
\item What can you say about $\P(n)$ when $n$ gets greater and greater ? Do you think there is a maximum value for $\P(n)$ ?
\end{enumerate}


\probpart{-- Study of the area}

We call $\A(n)$ the area of the figure after $n$ steps. For example, $\A(0)$ is the area of the initial triangle, and $\A(2)$ is the area of the figure after $2$ steps, the last one you drew.

\begin{enumerate}
\item Find the formula for the area of an equilateral triangle of side $s$ cm. Explain your method.
\item Use the formula to compute $\A(0)$, the area of the initial triangle. Give the exact value and a rounded value to 3 DP.
\item Use the formula to compute the area of an equilateral triangle of side $3$ cm and deduce the value of $\A(1)$. Give the exact value
and a rounded value to 3 DP.
\item Use the formula to compute the area of an equilateral triangle of side $1$ cm and deduce the value of $\A(2)$. Give the exact values
and rounded values to 3 DP.
\item Compute the differences $\A(1)-\A(0)$ and $\A(2)-\A(1)$. Give the exact value and a rounded value to 3 DP. What do you notice ?
\item Do you think the area of the figure will grow like its perimeter ?
\item Find on the internet a proof of the fact that the area of the figure stays finite.
\item What is the most surprising feature of about Koch's snowflake ?
\end{enumerate}

\vspace{3cm}

\begin{center}
 \includegraphics[width=12cm]{Images/changestat.eps}
\end{center}



\end{document}
