\documentclass[12pt]{article}\usepackage[Mickael]{ammaths}\fr
\usealgorithms
\usepackage{pst-eucl}



\begin{document}%\nocolor

\livreteuro{3}{Vecteurs}{Vectors}

\vfill

\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{fractale.png.ps}\\ \smallskip
\textsf{\small \emph{Pavage du plan par translation de la fractale du dragon}}\\ \vfill
\end{center}

\vfill

\begin{center}
\fbox{\parbox{14cm}{\sf\small A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
\begin{itemize}
\itemb représenter une combinaison linéaire de deux vecteurs ;
\itemb utiliser la relation de Chasles ;
\itemb utiliser la colinéarité pour prouver le parrallélisme ou l'alignement ;
\end{itemize}}}
\end{center}

\begin{flushright}
\sf\small Aymar de Saint-Seine et Mickaël Védrine\\ Année scolaire 2011/2012
\end{flushright}

\newpage\null\thispagestyle{empty}\newpage%insertion page blange





\exocpart{Translation et vecteurs}

\exoc{En mathématiques, une \emph{translation} est une transformation géométrique qui correspond à l'idée intuitive de
<<~glissement~>> d'un objet, sans rotation, retournement, ni déformation de cet objet.
\begin{enumerate}
\item Sur la figure ci-dessous, on a construit l'image $C'$ du point $C$ par la \emph{translation} qui transforme $A$ en
$B$. En observant la figure, proposer une construction simple du point $C'$.
\item En utilisant la méthode précédente, construire les images de $D$, $E$ et $F$ par la même translation.
\item Construire de même l'image de la cocotte par la translation qui transforme $A$ en $B$.
%\item Quelle est l'image de la cocotte par la translation qui transforme $B$ en $A$.
\end{enumerate}
\psset{dotstyle=x}
\begin{center}\begin{pspicture*}(-3,-1)(12,5.5)
%\psgrid(-3,-1)(12,5.5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gris](0,0)(2,0)(3,1)(4,0)(4,2)(3,3)(4,4)(2,4)(2,2)
\psdots(3,1)\uput[d](3,1){$C$}
\psdots(5,2)\uput[d](5,2){$C'$}
\psdots(4,0)\uput[d](4,0){$D$}
\psdots(4,2)\uput[ur](4,2){$E$}
\psdots(3,3)\uput[l](3,3){$F$}
\psdots(4,4)\uput[u](4,4){$G$}
\psdots(7,1)\uput[d](7,1){$A$}
\psdots(9,2)\uput[d](9,2){$B$}
\psline[linestyle=dashed](3,1)(5,2)
\psline[linestyle=dashed](7,1)(9,2)
\end{pspicture*}
\end{center}
}

\exoc{On s'intéresse à l'algorithme ci-dessous :
\begin{center}
\begin{minipage}[t]{13cm}
\IncMargin{1em}
\begin{algorithm}[H]
\Begin{\KwIn{$(x_A,y_A)$, $(x_B,y_B)$, $(x_C,y_C)$ coordinates of three points\;}
$\dfrac{x_A+x_C}{2}\rightarrow x_I$ \;
$\dfrac{y_A+y_C}{2}\rightarrow y_I$ \;
$2x_I-x_B \rightarrow x_D$ \;
$2y_I-y_B \rightarrow y_D$ \;
\KwOut{$(x_D,y_D)$ \;}}
\end{algorithm}
\DecMargin{1em}
\end{minipage}\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Appliquer cet algorithme dans chacun des cas suivants : 
 $$A(2;-1) \quad ; \quad B(-3;1) \quad ; \quad C(5;4)$$
 $$A(2;2) \quad ; \quad B(-4;6) \quad ; \quad C(-1;3)$$
 \item Tracer un repère orthonormé et placer dans chacun des cas les points $A$, $B$, $C$ et $D$.
 \item Quel semble être le rôle de cet algorithme ?
\end{enumerate}
}

\exoc{Construire à l'aide du quadrillage les points $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$, et $M_5$, images respectives de $M$ par
les translations de vecteurs $\vect{v_1}$, $\vect{v_2}$, $\vect{v_3}$, $\vect{v_4}$, et $\vect{v_5}$.
$$\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt
2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-5)(18,9)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(0,-5)(17,9)
\psline{->}(1,8)(5,8)\psline{->}(0,7)(0,2)\psline{->}(0,1)(3,-2)\psline{->}(17,5)(13,4)\psline{->}(17,0)(16,-4)
\psdot(8,1)\rput[bl](8.1,1.1){$M$}
\rput[bl](3,8.07){$\vect{v_1}$}\rput[bl](0.5,5){$\vect{v_2}$}\rput[bl](1.5,0){$\vect{v_3}$}\rput[bl](16,-1.5){$\vect{v_4
}$}\rput[bl](15,5){$\vect{v_5}$}
\end{pspicture*}$$}


\exoc{On considère la figure suivante, composée de triangles isométriques :
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(10,5)
\multido{\i=0+1}{6}{ \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4\pslinewidth](0,\i)(10,\i) }
\multido{\n=0+2}{5}{ \pstGeonode[PointSymbol=+,PosAngle=-90](\n,0){A_\n} }
\multido{\n=1+2}{5}{ \pstGeonode[PointSymbol=+,PosAngle=-90](\n,1){B_\n} }
\multido{\n=0+2}{5}{ \pstGeonode[PointSymbol=+,PosAngle=-90](\n,2){C_\n} }
\multido{\n=1+2}{5}{ \pstGeonode[PointSymbol=+,PosAngle=-90](\n,3){D_\n} }
\multido{\n=0+2}{5}{ \pstGeonode[PointSymbol=+,PosAngle=-90](\n,4){E_\n} }
\multido{\n=1+2}{5}{ \pstGeonode[PointSymbol=+,PosAngle=-90](\n,5){F_\n} }
\pstLineAB[linestyle=dashed,linewidth=0.4\pslinewidth]{A_6}{F_1}
\pstLineAB[linestyle=dashed,linewidth=0.4\pslinewidth]{A_8}{F_3}
\pstLineAB[linestyle=dashed,linewidth=0.4\pslinewidth]{B_9}{F_5}
\pstLineAB[linestyle=dashed,linewidth=0.4\pslinewidth]{D_9}{F_7}
\pstLineAB[linestyle=dashed,linewidth=0.4\pslinewidth]{F_9}{A_4}
\pstLineAB[linestyle=dashed,linewidth=0.4\pslinewidth]{D_9}{A_6}
\pstLineAB[linestyle=dashed,linewidth=0.4\pslinewidth]{A_2}{F_7}
\pstLineAB[linestyle=dashed,linewidth=0.4\pslinewidth]{A_0}{F_5}
\pstLineAB[linestyle=dashed,linewidth=0.4\pslinewidth]{F_3}{C_0}
\pstLineAB[linestyle=dashed,linewidth=0.4\pslinewidth]{E_0}{F_1}
\pstLineAB[linestyle=dashed,linewidth=0.4\pslinewidth]{E_0}{A_4}
\pstLineAB[linestyle=dashed,linewidth=0.4\pslinewidth]{C_0}{A_2}
\pstLineAB[linestyle=dashed,linewidth=0.4\pslinewidth]{B_9}{A_8}
\pcline[linewidth=2.5\pslinewidth]{->}(1,5)(3,5)
\pcline[linewidth=2.5\pslinewidth]{->}(5,5)(8,4)
\pcline[linewidth=2.5\pslinewidth]{->}(6,4)(4,2)
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Par la translation qui transforme $F_1$ en $F_3$ :
	\begin{enumerate}
	\item Quelle est l'image du point $E_2$ ? du point $D_5$ ?
	\item Quel est l'antécédent du point $F_5$ ? du point $C_6$ ?
	\end{enumerate}
\item Par la translation qui transforme $E_6$ en $C_4$ :
	\begin{enumerate}
	\item Quelle est l'image du point $E_2$ ? du point $D_5$ ?
	\item Quel est l'antécédent du point $A_0$ ? du point $C_6$ ?
	\end{enumerate}
\item Par la translation qui transforme $F_5$ en $E_8$ :
	\begin{enumerate}
	\item Quelle est l'image du point $E_4$ ? du point $D_5$ ?
	\item Quel est l'antécédent du point $D_3$ ? du point $A_8$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\pagebreak


\exoc{On s'intéresse à l'algorithme ci-dessous : \\
\begin{minipage}{5.5cm}
\IncMargin{1em}
\begin{algorithm}[H]
%\caption{ }
%\Variable{deux nombres $x$ et $y$}
\Begin{\KwIn{$(x_M,y_M)$ coordinates of a point \;}
$x_M+2\rightarrow x_{M'}$ \;
$y_M+3\rightarrow y_{M'}$ \;
\KwOut{$(x_{M'},y_{M'})$ \;}
}
\end{algorithm}
\DecMargin{1em}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{enumerate}
 \item Appliquer cet algorithme à chacun des points suivants : 
	$$A(1;2) \quad ; \quad B(-2;2) \quad ; \quad C(2;-3)$$
\item Placer les points $A$, $B$, $C$ ainsi que les points $A'$, $B'$, $C'$ dans un repère orthonormé.
 \item Quel semble être le rôle de cet algorithme ?
\end{enumerate}
\end{minipage}}


%\exocpart{Notions de vecteurs}
\begin{multicols}{2}
\exoc{Use the graph to check if the following answers are true or false.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $\vect{AB}=\vect{EF}$
    \item $\vect{CD}=-\vect{AB}$
    \item $\vect{DA}=\vect{DB}$
    \item $\vect{ED}=\vect{BD}$
    \item $\vect{AE}=\vect{BF}$
    \item $\vect{EF}=-\vect{DC}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


\exoc{With the same picture :
\begin{enumerate}
\item Give two vectors equal to  $\vect{DB}$.
\item Give three vectors opposite to $\vect{AB}$.
\item Plot the point $G$ such that $\vect{DG}=\vect{0}$.
\end{enumerate}}

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(10,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](10,8)
\pstGeonode(2,7){A}(7,7){B}(9,4){C}(4,4){D}(1,1){E}(6,1){F}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{multicols}


%\begin{multicols}{2}
% \exoc{Utiliser le quadrillage pour déterminer si les égalités ci-dessous sont vraies ou fausses.
% \begin{multicols}{2}
% \begin{enumerate}
%     \item $\vect{AB}=\vect{EF}$
%     \item $\vect{CD}=-\vect{AB}$
%     \item $\vect{DA}=\vect{DB}$
%     \item $\vect{ED}=\vect{BD}$
%     \item $\vect{AE}=\vect{BF}$
%     \item $\vect{EF}=-\vect{DC}$
% \end{enumerate}
% \end{multicols}
% }
% 
% 
% \exoc{Avec la même figure :
% \begin{enumerate}
% \item Citer deux vecteurs égaux à $\vect{DB}$.
% \item Citer trois vecteurs opposés à $\vect{AB}$.
% \item Placer le point $G$ tel que $\vect{DG}=\vect{0}$.
% \end{enumerate}}
% 
% \begin{center}
% \psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm}
% \begin{pspicture}(0,-2)(10,10)
% \psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](10,8)
% \pstGeonode(2,7){A}(7,7){B}(9,4){C}(4,4){D}(1,1){E}(6,1){F}
% \end{pspicture}
% \end{center}
% 
% 
% \end{multicols}


\exoc{Let $ACKI$ be a rectangle where $B$, $G$, $J$ are $E$ are the midpoints of segments $AC$, $CK$, $KI$ and
$IA$.
\begin{multicols}{2}
Give (without any explanation) : 
\begin{enumerate}
\item all the vectors equal to $\vect{AB}$ ;
\item all the vectors equal to  $\vect{FK}$ ;
\item all the vectors equal to  $\vect{CD}$ ;
\item all the vectors equal to  $\vect{IE}$ ;
\item all the vectors equal to  $\vect{HC}$.
\end{enumerate}

\begin{center}\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt
2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.8,0.8)(5.5,3.4)
\psline(1,3)(3,3)\psline(3,3)(5,3)\psline(5,3)(5,2)\psline(5,2)(5,1)\psline(5,1)(3,1)\psline(3,1)(1,1)\psline(1,1)(1,2)
\psline(1,2)(1,3)\psline(1,2)(3,2)\psline(5,3)(1,1)\psline(3,2)(5,2)\psline(1,3)(5,1)\psline(3,3)(5,2)\psline(1,2)(3,1)
\rput[bl](1.08,3.12){$A$}\rput[bl](3.08,3.12){$B$}\rput[bl](5.08,3.12){$C$}\rput[bl](5.08,2.12){$G$}
\rput[bl](5.08,1.12){$K$}\rput[bl](3.08,1.12){$J$}\rput[bl](1.08,1.12){$I$}\rput[bl](1.08,2.12){$E$}
\rput[bl](3.08,2.12){$F$}\rput[bl](4.08,2.62){$D$}\rput[bl](2.08,1.62){$H$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

}


% \exoc{Soit $ACKI$ un rectangle où $B$, $G$, $J$ et $E$ sont les milieux respectifs de $[AC]$, $[CK]$, $[KI]$ et
% $[IA]$.
% \begin{multicols}{2}
% Citer sans justifier : 
% \begin{enumerate}
% \item Tous les vecteurs égaux à $\vect{AB}$.
% \item Tous les vecteurs égaux à $\vect{FK}$.
% \item Tous les vecteurs égaux à $\vect{CD}$.
% \item Tous les vecteurs égaux à $\vect{IE}$.
% \item Tous les vecteurs égaux à $\vect{HC}$.
% \end{enumerate}
% 
% $$\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt
% 2,arrowinset=0.25}
% \begin{pspicture*}(0.8,0.8)(5.5,3.4)
% \psline(1,3)(3,3)\psline(3,3)(5,3)\psline(5,3)(5,2)\psline(5,2)(5,1)\psline(5,1)(3,1)\psline(3,1)(1,1)\psline(1,1)(1,2)
% \psline(1,2)(1,3)\psline(1,2)(3,2)\psline(5,3)(1,1)\psline(3,2)(5,2)\psline(1,3)(5,1)\psline(3,3)(5,2)\psline(1,2)(3,1)
% \rput[bl](1.08,3.12){$A$}\rput[bl](3.08,3.12){$B$}\rput[bl](5.08,3.12){$C$}\rput[bl](5.08,2.12){$G$}
% \rput[bl](5.08,1.12){$K$}\rput[bl](3.08,1.12){$J$}\rput[bl](1.08,1.12){$I$}\rput[bl](1.08,2.12){$E$}
% \rput[bl](3.08,2.12){$F$}\rput[bl](4.08,2.62){$D$}\rput[bl](2.08,1.62){$H$}
% \end{pspicture*}$$
% \end{multicols}
% }


\exoc{Soient $A$ et $B$ deux points quelconques.
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des points $M$ tels
que $||\vect{AM}||=3$.
\item Déterminer l'ensemble des points $M$  tels que
$||\vect{AM}||=||\vect{MB}||$.
\item Déterminer l'ensemble des points $M$  tels que
$||\vect{AM}||^2+||\vect{MB}||^2=||\vect{AB}||^2$ .
\end{enumerate} }

\pagebreak


\exoc{Soit $ABCD$ un parallélogramme et $M$ un point sur la diagonale $[BD]$.
\begin{enumerate}
\item Construire les points $E$ et $F$  tels que $\vect{DE}=\vect{AM}$ et $\vect{BF}=\vect{AM}$.
\item Trouver deux vecteurs égaux à $\vect{AD}$ et justifier ces égalités. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère
$MBCE$ ?
\item Trouver deux vecteurs égaux à $\vect{AB}$ et justifier ces égalités. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère
$MDCF$ ?
\item Démontrer que les points $E$, $C$ et $F$ sont alignés.
\end{enumerate}}


\exoc{Soient $ABC$ et $EFG$ deux triangles quelconques.
\begin{enumerate}
\item Construire le triangle $A'B'C'$, image de $ABC$ par la translation de vecteur $\vect{EF}$.
\item Construire le triangle $A''B''C''$, image de $A'B'C'$ par la translation de vecteur $\vect{FG}$.
\item Par quelle transformation le triangle $A''B''C''$ est-il l'image de $ABC$ ?
\item Par quelle transformation le triangle $ABC$ est-il l'image de $A'B'C'$ ?
\item Par quelle transformation le triangle $ABC$ est-il l'image de $A''B''C''$ ?
\end{enumerate}
}







\exocpart{Opérations sur les vecteurs}
%tracé de somme et multiplication avec quadrillage
\exoc{En utilisant le quadrillage, construire :
\begin{multicols}{2}
	\begin{enumerate}
	\item Le point $A'$ tel que $\vect{AA'}=\vect{u}$
	\item Le point $B'$ tel que $\vect{BB'}=\vect{v}+\vect{w}$
	\item Le point $C'$ tel que $\vect{CC'}=\vect{u}+\vect{v}$
	\item Le point $D'$ tel que $\vect{DD'}=\vect{w}-\vect{v}$
	\item Le point $E'$ tel que $\vect{EE'}=\vect{u}+\vect{v}+\vect{w}$
	\item Le point $F$ tel que $\vect{AF}=\vect{CD}+\vect{DE}$
	\item Le point $G$ tel que $\vect{BG}=\vect{BD}+\vect{AE}$
	\item Le point $H$ tel que $\vect{CH}=\vect{EA}+\vect{BA}$
	\item Le point $I$ tel que $\vect{DI}=\vect{CA}-\vect{BC}$
	\item Le point $J$ tel que \mbox{$\vect{EJ}=\vect{BA}+\vect{AC}+\vect{CD}+\vect{DB}$}
	\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(12,12)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](12,12)
\pstGeonode(4,8){A}(7,7){B}(5,4){C}(10,2){D}(2,6){E}
\psline{->}(1,9)(5,10)\uput[90](3,9.5){$\vect{u}$}
\psline{->}(4,11)(1,12)\uput[90](2,10.5){$\vect{w}$}
\psline{->}(6,11)(7,10)\uput[90](6.5,10.5){$\vect{v}$}
\end{pspicture}
\end{center}\end{multicols}
}


\exoc{Let $ABC$ be a scalene triangle.
\begin{enumerate}
\item Place the point $E$ such that $\vect{AE}=\vect{BC}+\vect{CA}$.
\item Place the point $F$ such that  $\vect{BF}=\vect{BA}+\vect{AC}$.
\item Place the point $G$ such that $\vect{BG}=\vect{BA}+\vect{CA}$.
\item Let $H$ be the point such that $\vect{HA}=\vect{CB}+\vect{BA}$.
    \begin{enumerate}
      \item Transform the definition of $\vect{HA}$ to find a known vector equal to $\vect{AH}$.
      \item Place the point $H$.
    \end{enumerate}
\pagebreak
\item Let $I$ be the point such that $\vect{IA}=\vect{BA}+\vect{CA}$.
    \begin{enumerate}
      \item Transform the definition of $\vect{IA}$ to express $\vect{AI}$ as a sum of two known vectors.
      \item Place the point $I$.
    \end{enumerate}
\item Let $J$ be the point such that $\vect{JA}=\vect{BA}+\vect{BC}$.
    \begin{enumerate}
      \item Transform the definition of $\vect{JA}$ to express $\vect{AJ}$ as a sum of two known vectors.
      \item Place the point $J$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}}

% \exoc{Soit $ABC$ un triangle scalène.
% \begin{enumerate}
% \item Placer le point $E$ tel que $\vect{AE}=\vect{BC}+\vect{CA}$.
% \item Placer le point $F$ tel que $\vect{BF}=\vect{BA}+\vect{AC}$.
% \item Placer le point $G$ tel que $\vect{BG}=\vect{BA}+\vect{CA}$.
% \item Soit $H$ le point tel que $\vect{HA}=\vect{CB}+\vect{BA}$.
%     \begin{enumerate}
%       \item Déduire de l'égalité précédente une égalité concernant $\vect{AH}$.
%       \item Placer le point $H$.
%     \end{enumerate}
% \pagebreak
% \item Soit $I$ le point tel que $\vect{IA}=\vect{BA}+\vect{CA}$.
%     \begin{enumerate}
%       \item Déduire de l'égalité précédente une égalité concernant $\vect{AI}$.
%       \item Placer le point $I$.
%     \end{enumerate}
% \item Soit $J$ le point tel que $\vect{JA}=\vect{BA}+\vect{BC}$.
%     \begin{enumerate}
%       \item Déduire de l'égalité précédente une égalité concernant $\vect{AJ}$.
%       \item Placer le point $J$.
%     \end{enumerate}
% \end{enumerate}}
% 

\exoc{Let $A$ and $B$ two points such that $AB=6$cm.
\begin{enumerate}
\item Place the points defined below :
\begin{multicols}{2} 
	\begin{enumerate}
    \item $E$ such that  $\vect{AE}=\frac13\vect{AB}$ ;
    \item $F$ such that $\vect{AF}=\frac13\vect{BA}$ ;
    \item $G$ such that $\vect{AG}=-\vect{AB}$ ;
    \item $H$ such that $\vect{BH}=-\frac32\vect{AB}$ ;
    \item $I$ such that $\vect{AI}=\frac16\vect{AE}$.
    \end{enumerate}
\end{multicols}
\item Give the magnitudes of the vectors $\vect{AE}$, $\vect{AF}$, $\vect{AG}$, $\vect{AH}$, $\vect{AI}$.
\end{enumerate}}

% \exoc{Soient $A$ et $B$ deux points tels que $AB=6$cm.
% \begin{enumerate}
% \item Placer les points définis ci-dessous :
% \begin{multicols}{2} 
% 	\begin{enumerate}
%     \item $E$ tel que $\vect{AE}=\frac13\vect{AB}$ ;
%     \item $F$ tel que $\vect{AF}=\frac13\vect{BA}$ ;
%     \item $G$ tel que $\vect{AG}=-\vect{AB}$ ;
%     \item $H$ tel que $\vect{BH}=-\frac32\vect{AB}$ ;
%     \item $I$ tel que $\vect{AI}=\frac16\vect{AE}$ ;
%     \end{enumerate}
% \end{multicols}
% \item Donner la norme de chacun des vecteurs $\vect{AE}$, $\vect{AF}$, $\vect{AG}$, $\vect{AH}$, $\vect{AI}$.
% \end{enumerate}}

\exoc{Construire un carré $ABCD$ de côté 5cm au centre d'une feuille
puis placer les points définis ci-dessous :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $E$ tel que $\vect{AE}=\vect{AC}+\vect{AB}$ ;
\item $F$ tel que $\vect{AF}=2\vect{AB}$ ;
\item $G$ tel que $\vect{CG}=\vect{CB}-\vect{AC}$ ;
\item $H$ tel que $\vect{DH}=2\vect{DC}+2\vect{EF}$ ;
\item $I$ tel que $\vect{GI}=\frac12\vect{GH}$ ;
\item $J$ tel que $\vect{AJ}=\frac12\vect{AI}-\frac12\vect{DC}$ ;
\item $K$ tel que $\vect{JB}=\vect{BK}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


\exoc{Soit $[OA]$ un segment de longueur 6 cm. On fera une figure en plaçant $[OA]$ au centre de la page.
% $$\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
% \begin{pspicture}(16,2)
% \pstGeonode[PosAngle={90}](5,1){O}(11,1){A}
% \psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](16,2)
% \end{pspicture}
% $$
\begin{enumerate}
\item Reproduire la figure et placer les points définis par :
$$\vect{OB}=-\frac{1}{2}\vect{OA} \quad ; \quad \vect{BC}=\frac{2}{3}\vect{BA} \quad ; \quad
\vect{AD}=-\frac{1}{3}\vect{OA}\quad ; \quad \vect{CE}=\frac{1}{6}\vect{CB}$$
\item Déterminer les nombres réels, $x$, $y$, $z$ tels que :
$$\vect{BC}=x\vect{ED} \quad ; \quad \vect{CB}=y\vect{CA} \quad ; \quad \vect{AE}=z\vect{BD}$$
\end{enumerate}}


\exoc{On considère la figure suivante.
$$\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(16,2)
\pstGeonode[PosAngle={90}](1,1){A}(5,1){C}(8,1){O}(10,1){I}(12,1){B}(15,1){D}
\psline{->}(0,1)(16,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](16,2)
\end{pspicture}
$$
\begin{enumerate}
\item Exprimer les vecteurs $\vect{AB}$, $\vect{CA}$, $\vect{OD}$, $\vect{DB}$ en fonction du vecteur $\vect{OI}$.
\item Déterminer les nombres réels, $x$, $y$, $z$ tels que :
$$\vect{BC}=x\vect{BD} \quad ; \quad \vect{CD}=y\vect{AC} \quad ; \quad \vect{DA}=z\vect{OB}$$
\end{enumerate}}

%retrouver exos avec triangle et donner le coeff de colinéarité






%tracé sans quadrillage
\exoc{Sans utiliser de quadrillage, reproduire la figure et construire dans chaque cas, un représentant du vecteur
$\vect{u}+\vect{v}$ à partir du point $M$.
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\pspicture*(8.5,6)
%\psgrid[gridcolor=gray,gridwidth=0.2pt,gridlabels=0,subgriddiv=2,subgridcolor=lightgray,subgridwidth=0.1pt](7,6)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotsize=3pt 3.5](1.5,2) \uput[0](1.5,2){$M$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(1,3.5)(4.5,3.5) \uput[90](2.75,3.5){$\vec{u}$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(6,3)(6,1.5) \uput[0](6,2.25){$\vec{v}$}
\psline(8.45,0)(8.45,6)%\psline(0,0)(0,6)
\endpspicture  \hspace{1cm}
\psset{unit=0.8cm}
\pspicture*(7,6)
%\psgrid[gridcolor=gray,gridwidth=0.2pt,gridlabels=0,subgriddiv=2,subgridcolor=lightgray,subgridwidth=0.1pt](7,6)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotsize=3pt 3.5](6,2) \uput[90](6,2){$M$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(6.5,3.5)(4.5,3.5) \uput[-90](5.5,3.5){$\vec{u}$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(0.5,2)(4,0.5) \uput[-113](2.25,1.25){$\vec{v}$}
\endpspicture

\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(20,5)
\pstGeonode[PosAngle={180,270}](0,2){M}(17,1){M}
\psline{->}(0,2)(2,0)\uput[90](1,1){$\vect{u}$}
\psline{->}(0,3)(3,4)\uput[90](2,3.5){$\vect{v}$}
\psline{-}(10,0)(10,5)
\psline{->}(15,3)(17,1)\uput[90](16,3){$\vect{u}$}
\psline{->}(20,2)(17,1)\uput[90](18.5,2){$\vect{v}$}
\end{pspicture}
\end{center}
}


\exoc{Sans utiliser de quadrillage, reproduire la figure ci-dessous et construire : 
\begin{enumerate}
 \item le représentant de $2\vect{u}$ d'origine $A$ ;
 \item le représentant de $\frac12\vect{u}$ d'origine $B$ ;
 \item le représentant de $-\frac12\vect{u}$ d'origine $C$.
\end{enumerate}
$$\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=5pt
2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.32,-0.26)(5.24,4.52)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt
%0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.32,-0.26)(5.24,4.52)
\psline{->}(1,3)(3,4)
\psdots[linecolor=blue](1,1)\rput[bl](1.08,1.12){$A$}
\psdots[linecolor=blue](4,1)\rput[bl](4.08,1.12){$B$}
\psdots[linecolor=blue](4,3)\rput[bl](4.08,3.12){$C$}
\rput[bl](1.96,3.58){$\vect{u}$}
\end{pspicture*}$$
}

\exoc{On considère deux vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ non colinéaires tels que $||\vect{u}||=2$ et
$||\vect{v}||=3$.
\begin{enumerate}
\item Construire les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ au centre d'un espace de 100
cm$^2$.
\item Construire les vecteurs suivants en utilisant des couleurs différentes.
\begin{center}$\vect{u}+\vect{v}$
\ \ ;\ \  $2\vect{u}$\ \  ;\ \  $-\frac{2}{3}\vect{v}$\ \  ;\ \
$-3\vect{u}+\vect{v}$\ \  ;\ \ $2\vect{v}+0,5\vect{u}$\ \  ;\ \
$1,5\vect{u}-\frac{1}{3}\vect{v}$.\end{center}
\end{enumerate}}









% \exoc{Soit $ABD$ un triangle tel que $AB=6$cm, $AD=4$cm et
% $\widehat{BAD}=45^\circ$.
% \begin{enumerate}
% \item \begin{enumerate}
%     \item Construire le point $C_1$ tel que $\vect{AC_1}=\vect{AB}+\vect{AD}$.
%     \item Que peut-on dire du quadrilatère $ABC_1D$ ?
%     \item Prouver que $AC_1>AB$ et que $\widehat{C_1AD}<\widehat{BAD}$.
%     \end{enumerate}
% \item \begin{enumerate}
%     \item Construire le point $C_2$ tel que $\vect{AC_2}=\vect{AC_1}+\vect{AD}$.
%     \item Que peut-on dire du quadrilatère $ABC_2D$ ?
%     \item Prouver que $AC_2>AC_1$ et que $\widehat{C_2AD}<\widehat{C_1AD}$
%     \end{enumerate}
% \item \begin{enumerate}
%     \item Construire le point $C_3$ tel que $\vect{AC_3}=\vect{AC_2}+\vect{AD}$.
%     \item Que peut-on dire du quadrilatère $ABC_3D$ ?
%     \item Prouver que $AC_3>AC_2$ et que $\widehat{C_3AD}<\widehat{C_2AD}$
%     \end{enumerate}
% \item En réitérant ce procédé, on construit une suite de
% quadrilatères $ABC_nD$.
%     \begin{enumerate}
%     \item Que peut-on dire des distances $AC_n$ ?
%     \item Que peut-on dire des angles $\widehat{C_nAD}$ ?
%     \item De quelle configuration les points $A$, $C_n$ et $D$
%     se rapprochent-ils ? Cette situation extrême sera-t-elle
%     effectivement atteinte ?
%     \end{enumerate}
% \end{enumerate}
% }











\exocpart{Relation de Chasles}
%Chasles et placement de points
\exoc{Recopier et compléter chaque égalité en utilisant la relation de Chasles.
\begin{multicols}{2} 
\begin{enumerate}
\item $\vect{A\dots}=\vect{AI}+\vect{\dots B}$
\item $\dots=\vect{OB}+\vect{\dots M}$
\item $\vect{TS}=\vect{\dots A}+\vect{\dots B}+\dots$
\item $\vect{AP}=\vect{AB}+\dots$
\item $\vect{0}=\vect{BI}+\vect{\dots C}+\vect{C\dots}$
\item $\dots=\vect{U\dots}+\vect{KB}+\vect{\dots S}$
\item $\vect{A\dots}=\vect{\dots P}+\dots+\vect{TB}$
\item $\vect{EF}=\vect{\dots C}+\vect{\dots B}+\dots$
\end{enumerate}
\end{multicols}}


\exoc{Consider the following vectors :
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\itemb $\vect{u_1}=2\vect{AB}-3\vect{AC}+\vect{BC}$
\itemb $\vect{u_2}=\vect{CA}+\vect{BC}+3(\vect{AC}-\vect{AB})$
\itemb $\vect{u_3}=2\vect{CA}-\vect{BC}+3\vect{AC}-\vect{AB}$
\itemb $\vect{u_4}=\vect{BA}-\pa{\vect{AC}-\vect{BC}}-\vect{AB}$
\itemb $\vect{u_5}=\vect{BC}-2\pa{\vect{AB}+\cfrac{1}{2}\vect{CA}}$
\end{itemize}
\end{multicols}
\begin{enumerate}
\item Write each of the previous vectors as a linear combination of vectors $\vect{AB}$ and $\vect{AC}$.
\item Write each of the previous vectors as a linear combination of vectors $\vect{AB}$ and $\vect{BC}$.  
\item Write each of the previous vectors as a linear combination of vectors $\vect{BC}$ and $\vect{AC}$.
\end{enumerate}
}

% \exoc{On considère les vecteurs suivants :
% \begin{itemize}
% \itemb $\vect{u_1}=2\vect{AB}-3\vect{AC}+\vect{BC}$
% \itemb $\vect{u_2}=\vect{CA}+\vect{BC}+3(\vect{AC}-\vect{AB})$
% \itemb $\vect{u_3}=2\vect{CA}-\vect{BC}+3\vect{AC}-\vect{AB}$
% \itemb $\vect{u_4}=\vect{BA}-\pa{\vect{AC}-\vect{BC}}-\vect{AB}$
% \itemb $\vect{u_5}=\vect{BC}-2\pa{\vect{AB}+\cfrac{1}{2}\vect{CA}}$
% \end{itemize}
% \begin{enumerate}
% \item Exprimer chacun des vecteurs en fonction de $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$.                                           
% \item Exprimer chacun des vecteurs en fonction de $\vect{AB}$ et $\vect{BC}$.                                           
% \item Exprimer chacun des vecteurs en fonction de $\vect{BC}$ et $\vect{AC}$.                                           
%  \end{enumerate}
% }


%Chasles et géométrie
\exoc{Soit $ABCD$ un parallélogramme. Soit $P$, $Q$, $R$ et $S$ les points définis par :
$$\vect{AP}=2\vect{AB}\textrm{ ; }\vect{BQ}=2\vect{BC}\textrm{ ; }\vect{CR}=2\vect{CD}\textrm{ et
}\vect{DS}=2\vect{DA}.$$
\begin{enumerate}
	\item Faire une figure.
	\item Exprimer $\vect{PQ}$ en fonction de $\vect{AB}$ et $\vect{BC}$.
	\item Exprimer $\vect{SR}$ en fonction de $\vect{AD}$ et $\vect{DC}$.
	\item En déduire la nature du quadrilatère $PQRS$.
\end{enumerate}
}

\exoc{Soit $ABC$ un triangle.
\begin{enumerate}
	\item Placer le point $E$ tel que $\vect{AE}=2\vect{BC}+\vect{CA}$.
	\item Placer le point $F$ tel que $\vect{BF}=2\vect{BA}+\vect{AC}$.
	\item Placer le point $G$ tel que $\vect{BG}=\vect{BA}+\frac12\vect{AC}$.
	\item Exprimer les vecteurs $\vect{AE}$, $\vect{AF}$ et $\vect{AG}$ en fonction de $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$.
	\item Soit $D$ le point tel que $3\vect{AD}+2\vect{BD}=\vect{CD}$.
	      \begin{enumerate}
	      \item Exprimer le vecteur $\vect{AD}$ en fonction de $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$.
	      \item Placer le point $D$.
	      \end{enumerate}
\end{enumerate}}

\exoc{Soit $ABC$ un triangle scalène.
\begin{enumerate}
\item Soit $M$ le point tel que $\vect{MA}-2\vect{MB}=\vect{AB}$.
      \begin{enumerate}
      \item Exprimer $\vect{AM}$ en fonction de $\vect{AB}$.
      \item Placer le point $M$.
      \end{enumerate}
\item Soit $N$ le point tel que $\vect{NA}+\vect{NB}=2\vect{BC}$.
      \begin{enumerate}
      \item Exprimer $\vect{AN}$ en fonction de $\vect{AB}$ et $\vect{BC}$.
      \item Placer le point $N$.
      \end{enumerate}
\item Soit $P$ le point tel que $\vect{PA}+\vect{PB}+\vect{PC}=\vect{0}$.
      \begin{enumerate}
      \item Exprimer $\vect{PA}$ en fonction de $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$.
      \item Placer le point $P$.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
}









% \exoc{Soit $ABCD$ un parallélogramme. Soit $I$ le milieu de $[DC]$, $J$ le milieu de $[AD]$ et $K$ le milieu de
%$[AJ]$.
% \begin{enumerate}
% 	\item Faire une figure.
% 	\item Exprimer le vecteur $\vect{BI}$ en fonction de $\vect{BA}$ et $\vect{BC}$. Justifier.
% 	\item Exprimer le vecteur $\vect{BJ}$ en fonction de $\vect{BA}$ et $\vect{BC}$. Justifier.
% 	\item Exprimer le vecteur $\vect{BK}$ en fonction de $\vect{BA}$ et $\vect{BC}$. Justifier.
% 	\item Exprimer les vecteurs $\vect{JI}$ et $\vect{JK}$ en fonction de $\vect{BA}$ et $\vect{BC}$. Ne pas
%justifier.
% \end{enumerate}}
% 
% 
% 
% 
% 







\pagebreak

\exoc{On se place dans un triangle quelconque $ABC$. On fera une figure différente pour chaque partie de cet exercice.

\probpart{-- Un cas particulier}
Soient $M$ et $N$ les points tels que $\vect{AM}=\cfrac{3}{4}\vect{AB}$ et $\vect{CN}=-\cfrac{1}{4}\vect{AC}$.
\begin{enumerate}
\item Placer les points $M$ et $N$.
\item Exprimer le vecteur $\vect{AN}$ en fonction de $\vect{AC}$.
\item Exprimer les vecteurs $\vect{BC}$ et $\vect{MN}$ en fonction de $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$.
\item Que peut-on en déduire pour les droites $(MN)$ et $(BC)$ ?
\end{enumerate}


\probpart{-- Le cas général}

Considérons maintenant un nombre réel positif $k$, $M$ un point de la droite $(AB)$ tel que $\frac{AM}{AB}=k$ et $N$ le
point de $(AC)$ tel que $\frac{AN}{AC}=k$. On suppose que  $A$, $B$, $M$ et $A$, $C$, $N$ sont dans le même ordre.

\begin{enumerate}
\item Exprimer le vecteur $\vect{AM}$ en fonction $\vect{AB}$.
\item Exprimer le vecteur $\vect{AN}$ en fonction de $\vect{AC}$.
\item En déduire une relation entre $\vect{MN}$ et $\vect{BC}$.
\item Que peut-on en déduire :
      \begin{enumerate}
      \item pour les droites $(MN)$ et $(BC)$ ?
      \item pour le rapport $\frac{MN}{BC}$ ?
      \end{enumerate}
\item Quel célèbre théorème vient-on de démontrer ?
\end{enumerate}}










\exocpart{Colinéarité}
\exoc{On s'intéresse à la figure ci-dessous, composée d'un carré
$ABCD$ de côté 2 unités et du carré formé par les milieux de ses
côtés.

\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\psset{unit=1cm} \pspicture(-0.5,-0.5)(4.5,4.5)
\pspolygon(0,0)(4,0)(4,4)(0,4) \pspolygon(2,0)(4,2)(2,4)(0,2)
\uput[ul](0,4){$A$} \uput[ur](4,4){$B$} \uput[dr](4,0){$C$}
\uput[dl](0,0){$D$} \uput[l](0,2){$E$} \uput[u](2,4){$F$}
\uput[r](4,2){$G$} \uput[d](2,0){$H$}
\endpspicture
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{enumerate}
\item Déterminer les normes des vecteurs suivants : $\vect{AF}$, $\vect{DC}$,
$\vect{EF}$, $\vect{BD}$, $\vect{EB}$, $\vect{FH}$.
\item Trouver et nommer deux vecteurs opposés à chacun des vecteurs précédents.
\item Dans chacun des cas suivants, préciser si les deux vecteurs sont colinéaires ou non.
S'ils le sont, écrire les deux égalités qui les unit. Par
exemple, les vecteurs $\vect{AF}$ et $\vect{AB}$ sont colinéaires et
vérifient $\vect{AB}=2\vect{AF}$ et
$\vect{AF}=\frac{1}{2}\vect{AB}$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\smallskip
\begin{center}
\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
    \itemb $\vect{AE}$ et $\vect{BC}$ ;
    \itemb $\vect{BC}$ et $\vect{DA}$ ;
    \itemb $\vect{DB}$ et $\vect{FE}$ ;
    \itemb $\vect{AG}$ et $\vect{EH}$ ;
    \itemb $3\vect{FG}$ et $2\vect{EH}$ ;
    \itemb $-\vect{BE}$ et $\vect{AG}$.
\end{itemize}
\end{multicols}
\end{center}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\item Dresser la liste exhaustive de tous les vecteurs construits avec les points de la figure
colinéaires à $\vect{HC}$. Même question pour $\vect{EF}$ puis pour $\vect{GD}$.
\end{enumerate}}


\exoc{Soient $ABC$ un triangle; $M$ et $N$ les points tels que 
$$\vect{AM}=-\cfrac{1}{2}\vect{AC} \quad ; \quad \vect{CN}=3\vect{AB}$$
\begin{enumerate}
\item Placer les points $M$ et $N$.
\item \begin{enumerate}
			\item Exprimer $\vect{MB}$ en fonction de $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$.
			\item Exprimer $\vect{MN}$ en fonction de $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$.
			\end{enumerate}
\item Conclure sur l'alignement des points $M$, $B$ et $N$.
\end{enumerate}}





\exoc{Soient $ABCD$ un parallélogramme et $I$ est le milieu de $[DC]$.
\begin{enumerate}
\item Construire les points $M$ et $N$ tels que $\vect{AM}=\frac32\vect{AB}$ et $\vect{AN}=3\vect{AD}$.
\item \begin{enumerate}
      \item Exprimer $\vect{MN}$ en fonction de $\vect{AB}$ et $\vect{AD}$.
      \item Exprimer $\vect{BI}$ en fonction de $\vect{AB}$ et $\vect{AD}$.
      \item En déduire que $(MN)$ et $(BI)$ sont parallèles.
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item Exprimer $\vect{CM}$ en fonction de $\vect{AC}$ et $\vect{AD}$.
      \item Exprimer $\vect{CN}$ en fonction de $\vect{AC}$ et $\vect{AD}$.
      \item En déduire que les points $C$, $M$ et $N$ sont alignés.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\exoc{Let $ABCD$ be a parallelogram. 
\begin{enumerate}
\item Place the points $H$, $K$ and $E$ such that $\vect{AH}=\frac34\vect{AB}$, $\vect{AK}=-\frac34\vect{AD}$
et $\vect{BE}=\frac18\vect{BD}$.
\item \begin{enumerate}
      \item Write $\vect{AC}$ as a linear combination of vectors $\vect{AB}$ and $\vect{AD}$.
      \item Write $\vect{KH}$ as a linear combination of vectors $\vect{AB}$ et $\vect{AD}$.
      \item Deduce that the lines $KH$ are $AC$ parallel one to another.
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item Write $\vect{KE}$ as a linear combination of vectors$\vect{AB}$ and $\vect{AD}$.
      \item Deduce that the points $E$, $K$ and $H$ are collinear.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

% \exoc{Soit $ABCD$ un parallélogramme. 
% \begin{enumerate}
% 	\item Construire les points $H$, $K$ et $E$ tels que $\vect{AH}=\frac34\vect{AB}$, $\vect{AK}=-\frac34\vect{AD}$
% et $\vect{BE}=\frac18\vect{BD}$
% 	\item \begin{enumerate}
% 				\item Exprimer $\vect{AC}$ en fonction de $\vect{AB}$ et $\vect{AD}$.
% 				\item Exprimer $\vect{KH}$ en fonction de $\vect{AB}$ et $\vect{AD}$.
% 				\item En déduire que $(KH)$ et $(AC)$ sont parallèles.
% 				\end{enumerate}
% 	\item \begin{enumerate}
% 				\item Exprimer $\vect{KE}$ en fonction de $\vect{AB}$ et $\vect{AD}$.
% 				\item En déduire que les points $E$, $K$ et $H$ sont alignés.
% 				\end{enumerate}
% \end{enumerate}
% }

\exoc{Let $ABC$ be a triangle and $k$ a number. The points $M$ and $N$ are defined by the equalities :
$\vect{AM}=\cfrac12\vect{AB}+(k+1)\vect{AC}$ et $\vect{AN}=(k+1)\vect{AB}+\cfrac12\vect{AC}$.
\begin{enumerate}
\item First, let consider $k=-2$. Draw a figure and prove that the line $MN$ is parallel to the line $BC$.
\item Now, let $k$ be any number. Using the letter $k$, find the relation between $\vect{MN}$ and
$\vect{BC}$. What can you deduce :
      \begin{enumerate}
      \item about the lines $MN$ and $BC$ ;
      \item about the ratio $\frac{MN}{BC}$ ?
      \end{enumerate}
\item For what value of $k$ is $BCNM$ a parallelogram ? Draw a figure for that particular value of $k$.
\end{enumerate}}


% \exoc{Soient $ABC$ est un triangle et $k$ est un nombre réel. Les points $M$ et $N$ sont définis par les relations :
% $\vect{AM}=\cfrac12\vect{AB}+(k+1)\vect{AC}$ et $\vect{AN}=(k+1)\vect{AB}+\cfrac12\vect{AC}$.
% \begin{enumerate}
% \item Posons tout d'abord $k=-2$. Faire la figure et démontrer que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
% \item Considérons maintent $k$ quelconque. Exprimer $\vect{MN}$ en fonction de $\vect{BC}$. Que peut-on en conclure ?
%       \begin{enumerate}
%       \item pour les droites $(MN)$ et $(BC)$ ?
%       \item pour le rapport $\frac{MN}{BC}$ ?
%       \end{enumerate}
% \item Pour quelle valeur de $k$, $BCNM$ est-il un parallélogramme ? Faire une figure pour la valeur de $k$ ainsi
% trouvée.
% \end{enumerate}}


\pagebreak


\exoc{Let $ABCD$ be a rectangle with $AB=7$cm and $BC=3$cm.
\begin{enumerate}
\item Place the points $E$, $F$, $G$ et $H$ such that :
\begin{center}
    $\vect{AE}=\frac{1}{3}\vect{AB}$\ \  ;\ \
    $\vect{BF}=\frac{3}{2}\vect{BC}$\ \  ;\ \
    $\vect{DG}=-\frac{1}{2}\vect{DA}$\ \  ;\ \
    $\vect{GB}=2\vect{HB}$.
\end{center}
\item What can you say about $\vect{AB}$ and $\vect{DC}$ first, and then about $\vect{AD}$ and $\vect{BC}$ ?
\item Find the relations between $\vect{EB}$ and $\vect{AB}$, then between $\vect{BC}$ and $\vect{BF}$.
\item Use the previous equalities to prove that $\vect{EC}$ are $\vect{AF}$ collinear.
\item Find the relations between $\vect{GD}$ and $\vect{DA}$, then between $\vect{CF}$ and $\vect{BC}$.
\item Prove that $\vect{GF}=\vect{DC}$.
\item Deduce the nature of the quadrilateral $ABFG$.
\item Prove that $H$, $A$, $F$ are collinear.
\end{enumerate}
}

% \exoc{Soit $ABCD$ un rectangle tel que $AB=7$cm et $BC=3$cm.
% \begin{enumerate}
% \item Placer les points $E$, $F$, $G$ et $H$ tels que
% \begin{center}
%     $\vect{AE}=\frac{1}{3}\vect{AB}$\ \  ;\ \
%     $\vect{BF}=\frac{3}{2}\vect{BC}$\ \  ;\ \
%     $\vect{DG}=-\frac{1}{2}\vect{DA}$\ \  ;\ \
%     $\vect{GB}=2\vect{HB}$.
% \end{center}
% \item Que peut-on dire des vecteurs $\vect{AB}$ et
% $\vect{DC}$ d'une part, $\vect{AD}$ et $\vect{BC}$ d'autre part ?
% \item Exprimer $\vect{EB}$ en fonction de $\vect{AB}$ et $\vect{BC}$
% en fonction de $\vect{BF}$.
% \item En utilisant la relation de Chasles et les égalités
% précédentes, prouver que les vecteurs $\vect{EC}$ et $\vect{AF}$
% sont colinéaires.
% \item Exprimer $\vect{GD}$ en fonction de $\vect{DA}$ et
% $\vect{CF}$ en fonction de $\vect{BC}$.
% \item Prouver que $\vect{GF}=\vect{DC}$.
% \item En déduire la nature du quadrilatère $ABFG$.
% \item Prouver que le point $H$ est aligné avec $A$ et $F$.
% \end{enumerate}
% 
% }

\partie{Homework \#4 -- Barycentre of two points}

Let $[AB]$ be a segment with length 6 cm. All the points in this exercise will be
placed on the same figure.
\begin{enumerate}
\item Let $G$ be the point defined by the equality
$2\vect{GA}+3\vect{GB}=\vect{0}$
    \begin{enumerate}
    \item Prove that $5\vect{GA}+3\vect{AB}=\vect{0}$ and deduce a simple relation between $\vect{AG}$~and~$\vect{AB}$.
    \item Is there more than one position for the point $G$ ? Show it on the figure.
    \end{enumerate}
\item Let $H$ the point such that $B$ is the midpoint of $[AH]$.
    \begin{enumerate}
    \item Build the point $H$ on the figure.
    \item What can you say about the vectors $\vect{AH}$ and $\vect{HB}$ ?
    \item Find two numbers $\alpha$ and $\beta$ such that $\alpha\vect{HA}+\beta\vect{HB}=\vect{0}$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

The point $G$ defined in question $1$ by the equality
$\vect{GA}+2\vect{GB}=\vect{0}$ is called the \emph{barycentre of
the points $A$ and $B$ with respective coefficients $2$ and $3$}.
More generally, any point $K$ defined by an equality
$\alpha\vect{KA}+\beta\vect{KB}=\vect{0}$ where $\alpha$ and $\beta$
are two real numbers such that $\alpha+\beta\neq 0$ is called the
\emph{barycentre of the points $A$ and $B$ with respective
coefficients $\alpha$ and~$\beta$}.

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{2}
\item What can you say about the point $H$ ?
\item Let $P$ be the barycentre of $A$ and $B$ with respective coefficients $2$ and $1$.
    \begin{enumerate}
    \item What equality defines the point $P$ ?
    \item Deduce from this equality a relation between the vectors $\vect{AP}$ and $\vect{AB}$.
    \item Place the point $P$.
    \end{enumerate}
\item Let $Q$ be the barycentre of $A$ and $B$ with respective coefficients $-2$ and $1$.
    \begin{enumerate}
    \item What equality defines the point $Q$ ?
    \item Deduce from this equality a relation between the vectors $\vect{AQ}$ and $\vect{AB}$.
    \item Place the point $Q$.
    \end{enumerate}
\item Let $R$ be the barycentre of $A$ and $B$ with respective coefficients $-2$ and $2$.
    \begin{enumerate}
    \item What equality defines the point $R$ ?
    \item Deduce from this equality a relation between the vectors $\vect{AR}$ and $\vect{AB}$.
    \item Could you place the point $R$ ? What is the problem ?
    \end{enumerate}
\item Let $S$ be the point such that $\vect{AS}=\dfrac{1}{4}\vect{AB}$.
     \begin{enumerate}
      \item Place the point $S$.
      \item Prove that $4\vect{AS}=\vect{AS}+\vect{SB}$.
      \item Deduce two numbers $m$ and $n$ such that $m\vect{SA}+n\vect{SB}=\vect{0}$.
      \item Give a definition of $S$ using barycentre.
     \end{enumerate}
%\item Find on the Internet some uses of barycentres.
\end{enumerate}


\partie{Devoir de l'année précédente}

\exods{5}{This exercise is an MCQ. In each situation, one or more equalities is true. You must tick the true
ones. A good answer is worth 1 point, an incomplete but correct one 0.5 points, and a partially or completely wrong
answer 0 points.

\begin{enumerate}
\item A quadrilateral $ABCD$ is a parallelogram if and only if 
	\begin{itemize}
	\item[$\square$] $\vect{AB}=\vect{CD}$ ;
	\item[$\square$] $\vect{AD}=\vect{BC}$ ;
	\item[$\square$] $\vect{AB}=\vect{DC}$ ;
	\item[$\square$] $\vect{AC}=\vect{BD}$.
	\end{itemize}
\item If $I$ is the midpoint of a segment $[AB]$, then
	\begin{itemize}
	\item[$\square$] $\vect{AI}=\vect{IB}$ ;
	\item[$\square$] $\vect{AI}+\vect{BI}=\vect{0}$ ;
	\item[$\square$] $\vect{AI}+\vect{IB}=\vect{AB}$ ;
	\item[$\square$] $\vect{AI}=\vect{BI}$.
	\end{itemize}
\item Let $ABC$ be a triangle with $I$ and $J$ the midpoints of the sides $[AB]$ and $[AC]$. Then
	\begin{itemize}
	\item[$\square$] $\vect{BC}$ and $\vect{IJ}$ are collinear ;
	\item[$\square$] $\vect{BC}$ and $\vect{IJ}$ are equal ;
	\item[$\square$] $\vect{BC}$ and $\vect{JI}$ have the same direction ;
	\item[$\square$] $\vect{IJ}=2\vect{BC}$.
	\end{itemize}
\item If $ABCD$ is a parallelogram, then 
	\begin{itemize}
	\item[$\square$] $\vect{BD}+\vect{AB}=\vect{AD}$ ;
	\item[$\square$] $\vect{AB}+\vect{AC}=\vect{AD}$ ;
	\item[$\square$] $\vect{AB}+\vect{AD}=\vect{AC}$ ;
	\item[$\square$] $\vect{AC}+\vect{DA}=\vect{AB}$.
	\end{itemize}
\item Let $A$, $B$, $C$ be three points such that $\vect{AB}+\vect{BC}=\vect{AC}$. Then
	\begin{itemize}
	\item[$\square$] the points $A$, $B$, $C$ are collinear ;
	\item[$\square$] the points $A$, $B$, $C$ have no special property ;
	\item[$\square$] the point $B$ is the midpoint of $[AC]$ ;
	\item[$\square$] the triangle $ABC$ is isosceles.
	\end{itemize}
\end{enumerate}

}

%\pagebreak
%
\exods{7}{Dans cet exercice, plusieurs tracés sont à réaliser. Ils devront l'être directement sur le sujet, en laissant
 apparents les traits de construction.
% 
% \begin{enumerate}
% \item Construire avec précision l'image du carré $ABCD$ par la translation de vecteur $\vect{EF}$.
% \begin{center}
% \newrgbcolor{qrqrqr}{0 0 0}
% \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=6pt 2,arrowinset=0.25}
% \begin{pspicture*}(-3.5,-1.1)(8,6.74)
% \psline[linecolor=qrqrqr](-2,0)(1,-0)
% \psline[linecolor=qrqrqr](1,-0)(1,3)
% \psline[linecolor=qrqrqr](1,3)(-2,3)
% \psline[linecolor=qrqrqr](-2,3)(-2,-0)
% \psline[linecolor=qrqrqr]{->}(-1,5)(4,6)
% \psdots[linecolor=qrqrqr](-2,0)
% \uput[dl](-2,0){$A$}
% \psdots[linecolor=qrqrqr](1,0)
% \uput[dr](1,0){$B$}
% \psdots[linecolor=qrqrqr](1,3)
% \uput[ur](1,3){$C$}
% \psdots[linecolor=qrqrqr](-2,3)
% \uput[ul](-2,3){$D$}
% \psdots[linecolor=qrqrqr](-1,5)
% \uput[ul](-1,5){$E$}
% \psdots[linecolor=qrqrqr](4,6)
% \uput[ur](2,6){$F$}
% \end{pspicture*}
% \end{center}
% \item Sur le quadrillage ci-dessous (que l'on pourra utiliser), construire l'image $A_1B_1C_1D_1E_1F_1G_1$ du polygone
% $ABCDEFG$ par la translation de vecteur $\vect{DB}$, puis l'image $A_2B_2C_2D_2E_2F_2G_2$ de $ABCDEFG$ par la
% translation de vecteur $4\vect{FG}$.
% \begin{center}
% \psset{unit=0.8cm}
% \begin{pspicture}(-3,-1)(9,6)
% \psgrid[gridlabels=0,gridcolor=gray,subgriddiv=1,arrowsize=6pt 2](-3,-1)(9,6)
% \pspolygon[linewidth=1.5pt](1.5,3)(-1,2)(0,2)(0,0)(3,0)(3,2)(4,2)
% \psdots(1.5,3)(-1,2)(0,2)(0,0)(3,0)(3,2)(4,2)
% \uput[u](1.5,3){$A$}
% \uput[ul](-1,2){$B$}
% \uput[dl](0,2){$C$}
% \uput[dl](0,0){$D$}
% \uput[dr](3,0){$E$}
% \uput[dr](3,2){$F$}
% \uput[dr](4,2){$G$}
% \end{pspicture}
% \end{center}
% 
% \item Sur la figure précédente,  quelle translation transforme
% 	\begin{enumerate}
% 	\item $A_1B_1C_1D_1E_1F_1G_1$ en $ABCDEFG$ ? 
% 	\item $A_1B_1C_1D_1E_1F_1G_1$ en $A_2B_2C_2D_2E_2F_2G_2$ ? 
% 	\item $A_2B_2C_2D_2E_2F_2G_2$ en $A_1B_1C_1D_1E_1F_1G_1$ ? 
% 	\end{enumerate}
%\item 
On donne deux vecteurs $\vect{a}$ et $\vect{b}$. Construire, pour chacune des figures, les points $M$, $N$, $P$ et
$Q$ définis par :
      $$\vect{AM}=\vect{a}+\vect{b} \quad ; \quad \vect{BN}=-3\vect{b} \quad ; \quad \vect{CP}=\vect{b}-\vect{a} \quad ;
\quad \vect{DQ}=\vect{a}+3\vect{b}$$
      \begin{multicols}{2}
      \psset{unit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=6pt 2,arrowinset=0.25}
      \begin{pspicture*}(-0.02,-0.02)(7.3,7.02)
      \psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.02,-0.02)(7.02,7.02)
      \psdots(1,1)\rput[bl](1.08,1.12){$A$}
      \psdots(6,1)\rput[bl](6.08,1.12){$B$}
      \psdots(6,4)\rput[bl](6.08,4.12){$C$}
      \psdots(1,4)\rput[bl](1.08,4.12){$D$}
      \psline{->}(1,5)(4,6)\rput[bl](2.46,5.58){$\vect{a}$}
      \psline{->}(5,6)(6,5)\rput[bl](5.54,5.56){$\vect{b}$}
	\psdot(5,1)\uput[dr](5,1){$M$}
	\psdot(3,4)\uput[ur](3,4){$N$}
	\psdot(4,2)\uput[ur](4,2){$P$}
	\psdot(7,2)\uput[ul](7,2){$Q$}
      \end{pspicture*}

      \psset{unit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=6pt 2,arrowinset=0.25}
      \begin{pspicture*}(-0.02,-0.02)(7.3,7.02)
      %\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.02,-0.02)(7.02,7.02)
      \psdots(3,6)      \uput[ul](3,6){$A$}
      \psdots(6,1)      \rput[bl](6.08,1.12){$B$}
      \psdots(4,4)      \rput[bl](4.08,4.12){$C$}
      \psdots(1,5)      \rput[bl](1.08,5.12){$D$}
      \psline{->}(3,3)(2,2)       \rput[bl](2.34,2.66){$\vect{a}$}
      \psline{->}(5,3)(6,2)      \rput[bl](5.54,2.56){$\vect{b}$}
% 	\psdot(3,4)\uput[ul](3,4){$M$}
% 	\psdot(3,4)\uput[dr](3,4){$N$}
% 	\psdot(6,4)\uput[dr](6,4){$P$}
% 	\psdot(3,1)\uput[dr](3,1){$Q$}
      \end{pspicture*}
\end{multicols}
% \end{enumerate}
}


\exods{8}{Let $ABCD$ be a quadrilateral, with $I$, $J$, $K$ and $L$ the midpoints of the sides $AB$, $BC$, $CD$
and $DA$. The aim of this exercise is to study the nature of the quadrilateral $IJKL$.
\begin{enumerate}
\item Draw a quick sketch of the situation and conjecture the nature of $IJKL$.
\item What vector equality must you prove so that your conjecture is true ?
\item What relation between the vectors $\vect{IB}$ and $\vect{AB}$ comes from the definition of the point $I$ ? Same
question for the vectors $\vect{BJ}$ and $\vect{BC}$.
\item Decompose the vectors $\vect{IJ}$ and $\vect{AC}$ through point $B$.
\item Deduce from the two previous questions a simple relation between the vectors $\vect{IJ}$ and $\vect{AC}$.
\item Following similar steps, prove that $\vect{LK}=\frac{1}{2}\vect{AC}$.
\item What can you conclude about the vectors $\vect{IJ}$ and $\vect{LK}$ and for the parallelogram $IJKL$ ?
\end{enumerate}
}


\lastpage{\episode{Vectors with GeoGebra}{08}
\episode{Vectors and configurations}{09}
\episode{Logic}{AP05}
\episode{Algorithms and calculators}{AP06}
}





\end{document}




















