\documentclass[12pt]{article}\usepackage[Mickael]{ammaths}




\begin{document}\nocolor





\enteteseconde{2}{Repérage dans le plan}{Géométrie plane 1}

\begin{center}
\fbox{\parbox{13cm}{\sf\small A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
\begin{itemize}
\itemb repérer un point donné du plan, placer un point connaissant ses coordonnées ;
\itemb calculer la distance de deux points connaissant leurs coordonnées ;
\itemb calculer les coordonnées du milieu d'un segment ;
\itemb utiliser les propriétés des triangles et des quadrilatères pour résoudre des problèmes ;
\itemb utiliser les propriétés des symétries axiale ou centrale.
\end{itemize}}}
\end{center}


\exocpart{Repérage de points}
\exoc{Dans le plan, on considère un repère orthonormé \OIJ~et quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$ dans ce repère.\\
\begin{minipage}{10cm}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Donner les coordonnées des points $O$, $I$, $J$, $A$, $B$, $C$ et $D$ dans le repère \OIJ.
	\item Placer le point de $E$ coordonnées $(-1;1)$.
	\end{enumerate}
\item On se place maintenant dans le repère $(D;O,B)$.
 	\begin{enumerate}
	\item Ce repère est-il orthonormé ?
	\item Donner les coordonnées des points $O$, $A$, $B$, $C$ et $D$ dans ce repère.
	\item Placer le point $F$ de coordonnées $(-1;1)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
 \begin{center}\begin{pspicture*}(-2.02,-1.96)(4.04,2.96)
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.75cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt
2,arrowinset=0.25}
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2.02,-1.96)(4.04,2.96)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,labels=none]{->}(0,0)(-2.02,-1.96)(4.04,2.96)
\psdots(0,0)\rput[bl](0.08,0.12){$O$}
\psdots(1,0)\rput[bl](1.08,0.12){$I$}
\psdots(0,1)\rput[bl](0.08,1.12){$J$}
\psdots(2,2)\rput[bl](2.08,2.12){$A$}
\psdots(-1,2)\rput[bl](-0.92,2.12){$B$}
\psdots(2,-1)\rput[bl](2.08,-0.88){$C$}
\psdots(-1,0)\rput[bl](-0.92,0.12){$D$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}


}

\exoc{On considère un repère \OIJ.
\begin{enumerate}
\item Décrire par une phrase, puis représenter graphiquement la position des points dont : 
	\begin{enumerate}
	\item l'abscisse est nulle ;
	\item l'ordonnée est nulle ;
	\item l'abscisse est égale à l'ordonnée.
	\end{enumerate}
\item Tracer avec des couleurs différentes, les ensembles de points dont :
	\begin{enumerate}
	\item l'abscisse est égale à $2$ ;
	\item l'ordonnée est égale à $-3$ ;
	\item l'abscisse ou l'ordonnée est égale à $1$ ;
	\item l'abscisse et l'ordonnée sont égales à $3$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on tracera plusieurs repères. Hachurer, avec des couleurs différentes, les zones du plan où les points sont tels que : 
	\begin{enumerate}
	\item leur abscisse est supérieure à $2$ ;
	\item leur ordonnée est inférieure à $2$ ;
	\item leur abscisse est supérieure à $-3$ et leur ordonnée est inférieure à $1$ ;
	\item leur abscisse est négative et leur ordonnée est positive ;
	%\item leur abscisse est négative et leur ordonnée est négative. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}


\exoc{On considère un repère orthonormal $\OIJ$.
\begin{enumerate}
\item Placer dans ce repère les points $A(1;4)$, $B(2;6)$, $C(3;1)$ et $D(5;7)$.
\item \begin{enumerate}
	\item Placer les points $A'$, $B'$, $C'$ et $D'$ images respectives de $A$, $B$, $C$ et $D$ par la symétrie d'axe $(OI)$.
	\item Donner les coordonnées de chacun des points obtenus.
	\item Si le point $M$ a pour coordonnées $(x;y)$, quelles sont les coordonnées de son image par la symétrie d'axe $(OI)$ ?
	\end{enumerate}
\item 	\begin{enumerate}
	\item Placer les points $A''$, $B''$, $C''$ et $D''$ images respectives de $A$, $B$, $C$ et $D$ par la symétrie d'axe $(OJ)$.
	\item Donner les coordonnées de chacun des points obtenus.
	\item Si le point $M$ a pour coordonnées $(x;y)$, quelles sont les coordonnées de son image par la symétrie d'axe $(OJ)$ ?
	\end{enumerate}
\item 	\begin{enumerate}
	\item Placer les points $A'''$, $B'''$, $C'''$ et $D'''$ images respectives de $A$, $B$, $C$ et $D$ par la symétrie de centre $O$.
	\item Donner les coordonnées de chacun des points obtenus.
	\item Si le point $M$ a pour coordonnées $(x;y)$, quelles sont les coordonnées de son image par la symétrie de centre $O$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\begin{minipage}{10.5cm}
\exoc{La figure ci-dessous est constituée d'un carré, d'un rectangle, d'un triangle équilatéral et de deux triangles rectangles isocèles. On sait de plus que $A$ est le milieu de $[GB]$, que $BE=AB$ et que $JK=AB$.\\
Donner les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, $I$, $J$ et $K$ dans le repère $(A;B,D)$.\\
\emph{Indications : Pour trouver les coordonnées des points $H$, $I$, $J$ et $K$, on calculera certaines longueurs grâce
à
des théorèmes classiques de géométrie.}}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-2.5)(4,2.8)
%\psgrid(-2.5,-2.5)(5,2.5)
\pspolygon(0,0)(2,0)(2,2)(0,2)
\pspolygon(2,0)(2,-2)(-2,-2)(-2,0)
\pspolygon(-2,0)(0,0)(-1,1.73)
\pspolygon(2,0)(3.41,0)(2,1.41)
\pspolygon(0,0)(1,-1)(2,0)
\uput[ur](0,0){$A$}
\uput[dr](2,0){$B$}
\uput[ur](2,2){$C$}
\uput[ur](0,2){$D$}
\uput[dr](2,-2){$E$}
\uput[dl](-2,-2){$F$}
\uput[ul](-2,0){$G$}
\uput[ul](-1,2){$H$}
\uput[d](1,-1){$I$}
\uput[r](3.41,0){$J$}
\rput[bl](2,1.41){$K$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}

% 
% \begin{minipage}{10.5cm}
% \exoc{Consider the figure on the right made of equilateral triangles with side $1$, where $I$ is the midpoint of $HJ$.
% \begin{enumerate}
% \item Give the coordinates of all the points in the coordinate system $(G;H,D)$.
% \item Give the coordinates of all the points in the coordinate system $(A;B,C)$.
% \item Give the coordinates of all the points in the coordinate system  $(D;H,E)$.
% \end{enumerate}}
% \end{minipage}
% \begin{minipage}{5cm}
% \begin{center}
% \psset{unit=0.4cm}
% \pspicture(-5,-11)(5,0)
% \pspolygon(0,0)(-1.5,-2.598)(1.5,-2.598)
% \pspolygon(-1.5,-2.598)(-3,-5.1962)(0,-5.1962)
% \pspolygon(1.5,-2.598)(0,-5.1962)(3,-5.1962)
% \pspolygon(3,-5.1962)(4.5,-7.794)(1.5,-7.794)
% \pspolygon(-3,-5.1962)(-1.5,-7.794)(-4.5,-7.794)
% \pspolygon(0,-5.1962)(-1.5,-7.794)(1.5,-7.794)
% \psline(-1.5,-7.794)(-3,-10.392)(-4.5,-7.794)
% \psdot(0,-7.794)
% \uput[u](0,0){$A$}
% \uput[ul](-1.5,-2.598){$B$}
% \uput[ur](1.5,-2.598){$C$}
% \uput[u](0,-5){$E$}
% \uput[dr](4.5,-7.794){$K$}
% \uput[dr](-1.75,-7.794){$H$}
% \uput[ur](3,-5.1962){$F$}
% \uput[ul](-4.5,-7.794){$G$}
% \uput[d](1.5,-7.794){$J$}
% \uput[d](-3,-10.392){$L$}
% \uput[u](-3,-5){$D$}
% \uput[u](0,-7.794){$I$}
% \endpspicture
% \end{center}
% \end{minipage}
 
\exoc{\tice~On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}\vspace*{-15pt}
\begin{minipage}[t]{9cm}
\IncMargin{1em}
\begin{algorithm}[H]
%\KwData{$(x;y)$  \;}
\Begin{\KwIn{$(x,y)$ coordinates of a point \;}
Place the point $(x,y)$ in black \;
$x+2 \rightarrow a$ \;
$y+1 \rightarrow b$ \;
Place the point $(a,b)$ in red \;}
\end{algorithm}
\DecMargin{1em}
\end{minipage}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Appliquer l'algorithme à chacun des points suivants : $(1\ ; \ 1)$ ; $(3\ ; \ 1)$ ; $(4\ ; \
2)$ ; $(5\ ; \ 1)$ ; $(5\ ; \ 3)$ ; $(4\ ; \ 4)$ ; $(5\ ; \ 5)$ ; $(3\ ; \ 5)$ ; $(3\ ; \ 3)$ ; $(1\ ; \ 1)$.
\item Quel semble être le rôle de cet algorithme ?
\item \begin{enumerate}
       \item Reprendre les questions précédentes en considérant l'algorithme similaire dans lequel $2x \rightarrow a$ et $2y \rightarrow b$. On tracera une nouvelle figure.
       \item Reprendre les questions précédentes en considérant l'algorithme similaire dans lequel $y \rightarrow a$ et $x \rightarrow b$. On tracera une nouvelle figure.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
}



% \exoc{\emph{La fractale du dragon}\\
% L'algorithme ci-dessous est un exemple simplifié de la construction d'une figure fractale grâce à la géométrie repérée
% et un algorithme.
% \begin{center}\vspace*{-15pt}
% \begin{minipage}[t]{12cm}
% \IncMargin{1em}
% \begin{algorithm}[H]%\SetLine
% %\KwData{List of point coordinates \;}
% \Begin{\KwIn{$Liste$, List of point coordinates \;}
%   \For{any two consecutive points $A$, $B$ in the list}
%   {$x_A + \dfrac{x_B-x_A}{2} -\dfrac{y_B-y_A}{2} \rightarrow X$ \;
%   $y_A + \dfrac{x_B-x_A}{2} +\dfrac{y_B-y_A}{2} \rightarrow Y$ \;
%   Add in the list the point $(Y,Z)$ between $A$ and $B$ \;}
% }
% \end{algorithm}
% \DecMargin{1em}
% \end{minipage}
% \end{center}
% \begin{enumerate}
% \item Appliquer l'algorithme à la liste : $\{(2;2) ; (10;10)\}$.
% \item Recommencer avec la liste de trois points obtenue à la question 1. %Vous devez obtenir une liste de cinq points.
% \item Recommencer avec la liste de cinq points obtenue à la question 2. %Vous devez obtenir une liste de neufs points.
% \item Placer les neufs points dans un repère orthonormé et les relier dans l'ordre.
% \end{enumerate}
% }



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exocpart{Milieux et longueurs}

\begin{minipage}{6cm}
\exoc{\tice~Dans l'algorithme ci-dessous, $x_A$ et $y_A$ représentent les coordonnées d'un point $A$ et $x_B$, $y_B$ celles
d'un point $B$.
\begin{enumerate}
\item Faire fonctionner cet algorithme avec les points $A$ et $B$ de coordonnées respectives $(2\ ; \ -1)$ et $(-3\ ; \ 1)$.
\end{enumerate}}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}\vspace*{-15pt}
\begin{minipage}[t]{9cm}
\IncMargin{1em}
\begin{algorithm}[H]
%\KwData{$(x_A;y_A)$ and $(x_B;y_B)$ coordinates of two points \;}
\Begin{\KwIn{$(x_A,y_A)$ and $(x_B,y_B)$ coordinates of two points \;}
Draw a cartesian graph \OIJ~\;
Place point $A(x_A,y_A)$ \;
Place point $B(x_B,y_B)$ \;
$\pa{\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}} \rightarrow (x_I,y_I)$ \;
Place $(x_I,y_I)$ \;}
\end{algorithm}
\DecMargin{1em}
\end{minipage}\end{center}
\end{minipage}



\begin{enumerate}
\item Faire fonctionner cet algorithme avec les points $A$ et $B$ de coordonnées respectives $(2\ ; \ 2)$ et $(-4\ ; \ 6)$.
\item Quel semble être le rôle de cet algorithme ?
\end{enumerate}



% \exoc{\emph{Milieu d'un segment}\\
% On considère un repère quelconque.
% \begin{enumerate}
%  \item \begin{enumerate}
% 	\item Placer sur une figure les points $A(0;4)$ et $B(2;6)$
% 	\item Lire sur la figure les coordonnées du milieu de $[AB]$.
% 	\end{enumerate}
% \item \begin{enumerate}
% 	\item Placer sur une figure les points $C(3;1)$ et $D(5;7)$
% 	\item Lire sur la figure les coordonnées du milieu de $[CD]$.
% 	\end{enumerate}
% \item \begin{enumerate}
% 	\item Placer sur une figure les points suivants $E(-2;4)$ et $F(3;-1)$
% 	\item Lire sur la figure les coordonnées du milieu de $[EF]$.
% 	\end{enumerate}
% \item Proposez une formule donnant les coordonnées du milieu d'un segment à partir des coordonnées des extrémités de ce segment.
% \end{enumerate}
% }

\exoc{In this exercise, we work in a Cartesian coordinate system \OIJ.
\begin{enumerate}
\item Place the points $A(2,0)$ and $B(0,3)$, then compute the length $AB$. 
\item Same question for the points $C(3,4)$ and $D(1,1)$.
\item Let $A(x_A,y_A)$ and $B(x_B, y_B)$ be two points such that $x_B>x_A$ and $y_B>y_A$.
	\begin{enumerate}
	\item Place the point $C(x_A,y_B)$. What can you say about triangle $ABC$ ?
	\item Write formulas for the lengths $AC$ and $BC$, using the coordinates of $A$ and $B$.
	\item Deduce a formula for the length $AB$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\exoc{Préciser si les quadrilatères suivants, définis par les
coordonnées de leurs sommets, sont des parallélogrammes en
étudiant les milieux de leurs diagonales.
\begin{enumerate}
\item $A(1;-3)$ ; $B(4;-1)$ ; $C(2;1)$ et $D(-1;-1)$.
\item $A(-4;1)$ ; $B(-1;2)$ ; $C(-1;-1.5)$ et $D(-4;-2)$.
\item $A(1;2)$ ; $B(1;-1)$ ; $C(-1;1)$ et $D(-1;-2)$.
\end{enumerate}}



\exoc{Préciser si les triangles suivants, définis par les
coordonnées de leurs sommets, sont rectangles, isocèles et/ou
équilatéraux. Chaque propriété devra être démontrée en utilisant
les longueurs. Le repère considéré est orthonormal.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $A(2 ; 3)$ ; $B(-4 ; -2)$ et $C(3 ; -1)$.
\item $A(-3 ; 1)$ ; $B(-3 ; -2)$ et $C(-1 ; -2)$.
\item $A(2 ; 2)$ ; $B(0 ; -2)$ et $C(-1 ; 1)$.
\item $A(1 ; 2)$ ; $B(3 ; 4)$ et $C(0 ; 4)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}




\exoc{In a Cartesian coordinate system $\OIJ$, consider the points $A(1,-1)$, $B(3,1)$ and $C(-1,3)$. 
A precise figure will be drawn, with graphical unit 1 cm on both axes.
\begin{enumerate}
\item Place the points $A$, $B$ and $C$.
\item Find out the nature of triangle $ABC$.
\item Compute the coordinates of the point $M$, midpoint of the segment $AC$.
\item Compute the coordinates of the point $D$, symmetric of $B$ around point $M$.
\item Find out the nature of quadrilateral $ABCD$.
\end{enumerate}}

\exoc{Dans un repère orthonormé \OIJ, on considère les points $A(2;1)$, $B(4 ; 2)$ et $C(-1 ; -1)$. Soit $D$ le symétrique de $B$ par rapport à $A$ et $E$ le symétrique de $C$ par rapport à $A$ , $M$ et $N$ sont les milieux respectifs des segments $[CD]$ et $[EB]$.
\begin{enumerate}
 \item Placer les points dans le repère.
 \item Déterminer les coordonnées des points $D$, $E$, $M$ et $N$.
 \item Démontrer que $A$ est le milieu du segment $[MN]$.
\end{enumerate}}


\exoc{On considère un repère orthonormé $\OIJ$ et les points $A(-1;2)$ et $B(2 ; 3)$.
\begin{enumerate}
\item Quel est le rayon du cercle $\Co$ de centre $A$ passant par $B$ ?
\item Déterminer les coordonnées du point $C$, diamétralement opposé à $B$ sur $\Co$.
\item Montrer que le point $D$ de coordonnées $(-2;5)$ appartient à $\Co$.
\item Quelle est la nature du triangle $BCD$ ?
\end{enumerate}
}


\exoc{Soit $x$ un réel quelconque. On considère les points $A(-3;1)$ et $B(2x-1;2x)$.
\begin{enumerate}
 \item Placer le point $B$ pour $x=0$, pour $x=2$ et enfin pour $x=8$.
 \item Quelles relations doit vérifier $x$ pour que $B$ soit le milieu de $[OA]$ ? Est-ce possible ? si oui, donner les coordonnées de $B$ correspondantes.
\item \begin{enumerate}
      \item Calculer les longueurs $OA$, $OB$ et $AB$ en fonction de $x$.
      \item En déduire une équation d'inconnue $x$ vérifiées lorsque les droites $(OA)$ et $(OB)$ soient perpendiculaires.
      \item En déduire les valeurs de $x$ pour lesquelles cette propriété est vérifiée. Quelles sont les coordonnées du point $B$ correspondant ?
      \end{enumerate}
\end{enumerate}}


\exoc{\tice~En s'inspirant de l'algorithme permettant de calculer les coordonnées du milieu de deux points, écrire un algorithme pour calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé.}

\exoc{\tice~Dans l'algorithme ci-dessous, on saisit les coordonnées de trois points $A$, $B$ et $C$ dans un repère orthonormé.
\begin{center}\vspace*{-15pt}
\begin{minipage}[t]{14cm}
\IncMargin{1em}
\begin{algorithm}[H]
%\KwData{$(x_A;y_A)$ ; $(x_B;y_B)$ and $(x_C;y_C)$ coordinates of three points \;}
\Begin{\KwIn{$(x_A,y_A)$ ; $(x_B,y_B)$ and $(x_C,y_C)$ coordinates of three points \;}
$(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2 \rightarrow d$ \;
$(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2 \rightarrow e$ \;
\eIf{$e=d$}{\KwOut{``the triangle is \dots`` \;}}{\KwOut{``the triangle is not \dots'' \;}}
}
\end{algorithm}
\DecMargin{1em}
\end{minipage}\end{center}
\begin{enumerate}
\item Que faut-il écrire à la place des pointillés ? Quel est le rôle de cet algorithme ?
\item Proposer une modification de l'algorithme afin qu'il indique si un triangle $ABC$ est isocèle en un des trois sommets.
\end{enumerate}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exocpart{Démontrer avec la géométrie analytique}

\exoc{Soit $ABCD$ un parallélogramme. On note $I$, $J$, $K$ et $L$ les symétriques respectifs de $A$, $B$, $C$ et $D$ par rapport à $B$, $C$, $D$ et $A$. On se place dans le repère $(A;B,D)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des 8 points dans ce repère.
\item Démontrer alors que $IJKL$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}
}

\exoc{Let $ABCD$ be a parallelogram with center $I$.\\
Place a point $M$ on segment $AB$, different from $A$ and $B$, then the point $N$ on segment $CD$ such that
$AM=CN$. The aim of this exercise is to prove, by different methods, that $I$ is the midpoint of segment $MN$.
\begin{enumerate}
 \item Using a classic configuration :
 	\begin{enumerate}
 	 \item Prove that $AMCN$ is a parallelogram.
 	 \item Deduce that $I$ is the midpoint of segment $MN$.
 	\end{enumerate}
\item Using a transformation : Let $s$ be the symmetry around point $I$.
	\begin{enumerate}
	 \item Find the images of point $A$, point $B$ and segment $AB$ under symmetry $s$.
	 \item Deduce the image of $M$ under $s$.
	 \item Conclude.
	\end{enumerate}
\item Using a coordinate system : Let $x$ be the abscissa of point $M$ in the coordinate system $(A;B,D)$.
	\begin{enumerate}
	 \item Give the coordinates of points $A$, $B$, $C$, $D$, $I$ and $M$.
	 \item Find out the coordinates of point $N$ and conclude.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}


\exoc{\emph{Varignon's theorem}.\\
Let $ABCD$ be a quadrilateral, with $R$, $S$, $T$ and $U$ the respective midpoints of segments $AB$, $BC$,
$CD$ and $DA$.
\begin{enumerate}
\item Conjecturing a property :
	\begin{enumerate}
	\item Draw a figure.
	\item What can you conjecture about quadrilateral $RSTU$ ?
	\end{enumerate}
\item Proving with classic geometry :
	\begin{enumerate}
	\item Prove that $RS$ is parallel to $AC$ and that $RS=\frac{AC}{2}$.
	\item Prove that $TU$ is parallel to $AC$ and that $TU=\frac{AC}{2}$.
	\item Deduce the nature of quadrilateral $RSTU$.
	\end{enumerate}
\item Proving with a coordinate system : Consider the coordinate system $(A;B,D)$. Let's denote $(x;y)$ the coordinates
of point $C$.
	\begin{enumerate}
	\item Give the coordinates of points $A$, $B$ and $D$.
	\item Give the coordinates of points $R$, $S$, $T$, and $U$ -- you may need to use the unknowns $x$ and $y$ for
some of them.
	\item Compute the coordinates of the midpoints of segments $RT$ and $SU$.
	\item Deduce the nature of quadrilateral $RSTU$.
	\end{enumerate}
\item Write in English the property you proved in this exercise, known as Varignon's theorem.
\end{enumerate}}




\exoc{Soit $ABCD$ un carré. Soient $I$ et $J$ les milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[AD]$ et $K$ le point d'intersection des droites $(ID)$ et $(BJ)$. Le but de cet exercice est de montrer que les points $A$, $K$ et $C$ sont alignés.
\begin{enumerate}
 \item Utilisation d'une configuration :
	\begin{enumerate}
	\item Que représente $K$ pour le triangle $ABD$ ?
	\item Démontrer que si $O$ désigne le milieu de $[BD]$, alors $A$, $K$ et $O$ sont alignés.
	\item En déduire que $A$, $K$ et $C$ sont alignés.
	\end{enumerate}
\item Utilisation d'un repère :
	\begin{enumerate}
	\item Justifier que le repère  $(A;B,D)$ est orthonormé.
	 \item Quelles sont les coordonnées des points $J$ et $C$ dans le repère ?
	 \item En utilisant le fait que $BK=\frac{2}{3}BJ$, calculer les coordonnées du point $K$.
	 \item Calculer les longueurs $CK$, $KA$ et $AC$.
	 \item Conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}





\end{document}
