\documentclass[12pt]{book}\usepackage[Aymar]{ammaths}\usetikz\begin{document}

\chapitre{2}{Statistiques}{2nd}
\begin{center}\today\end{center}
\begin{minipage}{15cm}\tableofcontents\end{minipage}

\vspace{2cm}
\begin{itemize}
	\item Faire des \defin{statistiques}, c'est recueillir, organiser, synthétiser, représenter et exploiter des données, numériques ou non, dans un but de comparaison, de prévision, de constat...
	\item Les plus gros \og consommateurs \fg~de statistiques sont les \defin{assureurs} (risques d'accidents, de maladie des assurés), les \defin{médecins} (épidémiologie), les \defin{démographes} (populations et leur dynamique), les \defin{économistes} (emploi, conjoncture économique), les \defin{météorologues} \dots
\end{itemize}





\newpage
\section{Vocabulaire}
\defi{Population - Individu}{Une \defin{étude statistique} est un ensemble de valeur qui est recueilli pour étudier certains critères.\\
La \defin{population} d'une étude statistique est l'ensemble des \defin{individus} sur lesquels portent cette étude.}
\exe{L'ensemble des élèves de la classe de seconde 17 peut-être la population étudiée ; Chaque élève de cette classe sera un individu de cette étude.}

\defi{Caractère -- Qualitatif/Quantitatif -- Discret/Continu}
{Le \defin{caractère} (ou \defin{variable}) d'une série statistique est l'information étudiée.
\begin{itemize}
\item Lorsque le caractère ne prend que des valeurs (ou \defin{modalités}) numériques, il est \defin{quantitatif} :
      \begin{itemize}
      \item \defin{discret} s'il ne peut prendre que des valeurs isolées (notes, âge \dots )
      \item \defin{continu} dans le cas contraire (poids, taille \dots ). Dans ce cas on effectue souvent un regroupement des valeurs par \defin{classes}.
      \end{itemize}
\item Sinon, on dit qu'il est \defin{qualitatif} (couleur des yeux, sport pratiqué \dots ): le caractère n'est pas mesuré par des nombres.
\end{itemize}}

\exes{Dans la population des élèves de seconde 17 du lycée de Sens :
\begin{enumerate}
	\item avoir le brevet est un \emph{caractère} (ou \emph{variable}) \emph{qualitatif} prenant deux valeurs : oui ou non ;
	\item le nombre de frère et de soeur d'un élève est un \emph{caractère quantitatif discret} ; il peut prendre les valeurs 0,1,2,3, \ldots ;
	\item la taille des élèves est un \emph{caractère quantitatif continu}. Il peut prendre toutes les valeurs comprises entre 1,50 m et 1,80m. On peut regrouper ces valeurs dans des classes d'\emph{étendue} (ou \emph{amplitude})10 cm : $[1,50 ; 1,60[$ puis  $[1,60 ; 1,70[$, \ldots
\end{enumerate}}

\defi{Effectif - Fréquence - Distribution des fréquences}
{A chaque valeur (ou classe) du caractère est associée un \defin{effectif} $n$: c'est le nombre d'individus associés à cette valeur.\\
On peut aussi associer à chaque valeur de l'étude une \defin{fréquence} : c'est la proportion (pourcentage) que repésente cette valeur au sein de l'étude.\\
Le tableau donnant les fréquences de toutes les valeurs du caractère d'une série statistique est appelé \defin{distribution des fréquences}.}

\rems{
\begin{itemize}
\item La fréquence d'une valeur d'un caractère est un nombre rationnel compris entre 0 et 1.
\item La somme des fréquences d'une série statistique doit toujours être égale à 1. Une légère imprécision peut être observée si on
utilise des valeurs approchées au lieu des valeurs exactes.
\item Les fréquences peuvent être données sous forme fractionnelle, décimale ou en pourcentage. Par exemple, $\frac{1}{22}=0,0455=4,55\%$.
\end{itemize}
}


\eng{Frequencies}{The \defin{frequency} of an event $i$ is the number $n_i$ of times the event occurred in the
experiment or the study. We speak of \defin{absolute frequencies}, when the counts $n_i$ themselves are given and of
\defin{(relative) frequencies}, when those are divided by the total number of events. Sometimes all the relative frequencies are gather in a \defin{frequency table}.}


\exe{On considère la série statistique constituée par l'ensemble des
notes des 22 élèves d'une classe de seconde à un devoir. Le tableau
des effectifs précise le nombre d'élèves correspondant ayant obtenu
chaque note entière.\par

    \begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \bf Note & 4 & 6 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 19  \\
    \hline
    \bf Effectif & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 3 & 5  & 1  & 2  & 1  & 2 & 2 \\
    \hline
    \end{tabular}
    \end{center}

Le caractère étudié est dans ce cas la note à un devoir, c'est un
caractère qualitatif. L'effectif total est de 22. A titre d'exemple,
l'effectif de la note $13$ est $5$.

Les fréquences des notes sont données ci-dessous :
    \begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \bf Note &\bf Fréquence & \bf Note &\bf Fréquence   & \bf Note &\bf Fréquence   \\
    \hline
    4 & $\frac{1}{22}=0,0455$ & 11 & $\frac{1}{22}=0,0455$ & 15 & $\frac{2}{22}=0,0909$\rule{0pt}{15pt} \\[5pt]
    \hline
    6 & $\frac{1}{22}=0,0455$ & 12 & $\frac{3}{22}=0,1364$ & 16 & $\frac{1}{22}=0,0455$\rule{0pt}{15pt} \\[5pt]
    \hline
    9 & $\frac{2}{22}=0,0909$ & 13 & $\frac{5}{22}=0,2273$ & 17 & $\frac{2}{22}=0,0909$\rule{0pt}{15pt} \\[5pt]
    \hline
    10 & $\frac{1}{22}=0,0455$ & 14 & $\frac{1}{22}=0,0455$ & 19 & $\frac{2}{22}=0,0909$\rule{0pt}{15pt} \\[5pt]
    \hline
    \end{tabular}
    \end{center}
}



\defi{Effectif cumulé croissant}
{L'\'defin{effectif cumulé croissant (ECC)} correspondant
à une valeur $x_i$ d'un caractère est la somme des effectifs des
valeurs inférieures ou égales à $x_i$.
\\ On définit de manière analogue les \defin{fréquences cumulées croissantes}.
}

\exe{Reprenons l'exemple des notes d'une classe de 22 élèves.
Les effectifs cumulés croissants sont donnés dans le tableau
suivant. Il est important d'y faire figurer les valeurs dont
l'effectif est nul, car ce n'est pas le cas pour l'ECC.\par
    \begin{center}
    {\scriptsize
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \bf Note     & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
    \hline
    \bf Eff.     & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 1  \\
    \hline
    \bf ECC      & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 4 & 5  \\
    \hline
    \bf Note     & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\
    \hline
    \bf Eff.     & 1 & 3  & 5  & 1  & 2  & 1 & 2 & 0 & 2 & 0 \\
    \hline
    \bf ECC      & 6 & 9 & 14 & 15 & 17 & 18 & 20 & 20 & 22 & 22\\
    \hline
    \end{tabular}
    }\end{center}}

\eng{Cumulative frequency}{The cumulative frequency corresponding to a particular value is the sum of all the
frequencies up to and including that value.}

%Voir après \edn{document} pour avoir description des différents type de graph

\section{Indicateurs d'une série statistique}
\subsection{Indicateurs de position}

\defi{Moyenne, Médiane, Quartiles}
{La \defin{moyenne} d'une série statistique à caractère quantitatif est la valeur que prendraient les valeurs de cette série si elles étaient toutes égales.\\
La \defin{médiane} d'une série statistique dont les valeurs sont rangées par ordre croissant est la valeur, notée \defin{Med}, tel que 50\% des individus au moins ont une valeur inférieure ou égale à Med et tel que 50\% des individus au moins ont une valeur supérieure ou égale à Med.\\
Le \defin{premier quartile} d'une série statistique est la plus petite valeur de la série statistique telle qu'au moins 25\% des valeurs soient inférieures ou égales à cette valeur. On le note \defin{$Q1$}.\\
Le \defin{troisième quartile} d'une série statistique est la plus petite valeur telle qu'au moins 75\% des valeurs soient inférieures ou égales à cette valeur. On le note \defin{$Q3$}.
}

\rems{\begin{itemize}
\item Les définitions précédentes n'ont aucun sens si on ne peut pas classer ces valeurs. C'est pouquoi ces indicateurs ne sont calculables que pour des séries à caractère quantitatif.                                                                                                                                                                                       
\item On pourrait croire qu'une médiane coupe une série statistique en deux parties de taille égale mais ce n'est pas toujours le cas. Par exemple, la médiane de la série : 2 -- 3 -- 3 -- 3 -- 4 est 3. Pour cette série, 4 valeurs sur 5 (soit 80\%) sont inférieures ou égales à la médiane. La proportion de valeurs supérieures ou égales à la médiane est la même.
\end{itemize}
}

%\eng{Arithmetic mean}{The \defin{arithmetic mean} of a set of values is a kind of \defin{average}, a single
% value that is meant to typify the set of values. It's equal to the sum of all theses values (possibly repeated), divided
% by the number of values.}

\eng{Arithmetic mean}{The arithmetic mean (usually called the \defin{average}) can be easily computed : total the items and the divide by the number of item. When one or a number of items is used several times, those items have more ``weight``. In this case, you compute the \defin{weighted mean} by multipling each value by its absolute frequency and then divide the result by the number of item. There is a third way to compute, this one from the frequencies : multiply each value by its frequency and add all the results.}

\eng{Median}{Intuitively, a \defin{median} is a number separating a population in two halves. The median of a
finite list of numbers can be found by arranging all the observations from lowest value to highest value and picking the
middle one. If there is an even number of observations, the median is not unique, so one often takes the mean of the two
middle values. At most half the population have values less than the median and at most half have values greater than
the median.}

\eng{Quartiles}{In descriptive statistics, a quartile is any of the three values which divide the sorted data set into
four equal parts, so that each part represents one fourth of the sampled population.}

\subsection{Indicateurs de dispersion}
\defi{Étendue, écart inter-quartile}
{L'\defin{étendue} ou \defin{amplitude} d'une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite des valeurs prises par cette série.\\
L'\defin{écart interquartile} est égal à la différence $Q3-Q1$.\\
Le \defin{mode} (ou la \defin{classe modale}) d'une série statistique est la valeur (ou la classe) de la série qui correspond au plus grand effectif.
}


\subsection{Calculs des indicateurs}
\theo{Calcul de la moyenne}
{Il existe trois façons de calculer la moyenne d'une série statistique. Ils dépendent de la façon dont les données sont fournies : 
\begin{itemize}
\item calcul à partir de la liste des données brutes $x_1$, $x_2$, \dots, $x_p$.
	    $$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_p}{p}$$
\item calcul à partir du tableaux des effectifs : 
      \begin{center}
      \begin{tabular}{|*{5}{c|}}
      \hline 
      Caractères & $x_1$ & $x_2$ & $\cdots$ & $x_q$ \\\hline
      Effectifs & $n_1$ & $n_2$ & $\cdots$ & $n_q$  \\\hline
      \end{tabular}
      \end{center}
      $$\overline{x}=\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+...+n_qx_q}{n_1+n_2+...+n_q}$$%=\dfrac{1}{p}\sum_{i=1}^{q}{n_ix_i}$$
\item calcul de la moyenne à partir de la distribution des fréquences.\\
      \begin{center}
      {\small
      \begin{tabular}{|*{5}{c|}}
      \hline
      Caractères& $x_1$ & $x_2$ & $\cdots$ & $x_q$ \\
      \hline
      Fréquences& $f_1$ & $f_2$ & $\cdots$ & $f_q$ \\
      \hline
      \end{tabular}
      }\end{center}
      $$\bar{x}=f_1x_1+f_2x_2+\cdots+f_qx_q$$%=\sum_{i=1}^q f_ix_i.$$
\end{itemize}
}

\rems{\begin{itemize}
\item Lorsque la série est regroupée en classes, on calcule la moyenne en prenant pour valeurs $x_i$ le \defin{centre de chaque classe}; ce centre est obtenu en faisant la moyenne des deux extrémités de la classe.
\item On appelle \defin{moyenne élaguée} d'une série statistique une moyenne qui ne tient pas compte des valeurs non représentatives de la série. Par exemple, dans une enquete sur le nombre d'enfants des personnes interrogés, on ne tient pas compte des réponses supérieures à $30$.
% \begin{center}
% \begin{tabular}{|*{12}{c|}}
% \hline
% Nombre d'enfants &0&1&2&3&4&5&6&7&8&100&1000 \\ \hline
% Nombre de personnes &50&48&35&15&5&2&3&1&1&1&1 \\ \hline
% \end{tabular}
% \end{center}
% Pour calculer le nombre moyen d'enfants par personne, il parait évident que les deux dernières colonnes sont des réponses fantaisistes.\\
% On calcule donc une moyenne élaguée qui ne tient pas compte de ces deux réponses.
% $$\overline{x} =\frac{50\times0+48\times1+35\times2+15\times3+5\times4+2\times5+3\times6+1\times7+1\times8}{50+48+35+15+5+2+3+1+1}=\frac{226}{160}=1.4125$$                                                                                                                                                           \end{itemize}
\end{itemize}
}


\dem{\begin{enumerate}
      \item Cela résulte de la définition car la division du total des valeurs de la série indique le partage en parties égales.
      \item Cela résulte de la formule précédente dans laquelle on a remplacé $x_k+x_k+\cdots+x_k$ par $x_k\times n_k$.
      \item Partons de la formule précédente. 
      $$\bar{x}=\frac{n_1x_1+n_2x_2+\dots+n_qx_q}{n_1+n_2+\dots+n_q}$$
      D'après les règles de calcul sur les fractions, la moyenne est égale à :
    %\begin{eqnarray*}
    $$\bar{x}  =  \frac{n_1}{p}x_1+\frac{n_2}{p}x_2+\dots+\frac{n_q}{p}x_q$$
    %\bar{x} & = & \sum_{i=1}^q \frac{n_i}{p}x_i \\
    %\end{eqnarray*}
    Or, par définition, on a $f_i=\frac{n_i}{p}$. On déduit directement l'égalité du théorème.
     \end{enumerate}
}




\theo{Calcul de la valeur médiane}{Soit une série statistique ordonnée dont les $p$ valeurs sont $x_1\leqslant x_2 \leqslant \dots \leqslant x_p$
\begin{itemize}
   \item Si $p$ est \defin{impair}, la médiane de la série est la valeur qui est située au rang $\frac{p+1}{2}$, 
   \item Si $p$ est \defin{pair}, la médiane de la série est une valeur comprise entre $x_{\frac{p}{2}}$ et $x_{\frac{p}{2}+1}$. Le plus souvent on prend la moyenne de ces deux valeurs, mais cela n'a rien d'obligatoire.
\end{itemize}}


\theo{Calcul des quartiles}
{Pour déterminer le premier quartile d'une série de $N$ valeurs ordonnées, on calcule $\frac{N}{4}$ puis on détermine le premier entier $p$ supérieur ou égal à $\frac{N}{4}$ ; cet entier $p$ est le rang de $Q1$.\\
Pour $Q3$, on fait de même en remplaçant $\frac{N}{4}$ par $\frac{3N}{4}$.}









\subsection{Exemples}
\exosol{Déterminer la moyenne, la médiane, les quartiles, l'écart interquartile et l'étendue de chacune des séries statistiques suivantes :
\begin{enumerate}
      \item $2-5-6-8-9-9-10$
      \item $8-2-9-6-5-8$
      \item \begin{tabular}{|*{5}{c|}}
		\hline 
		Taille &  [1,5 ; 1,6 [ & [1,6 ; 1,7 [ & [1,7 ; 1,8 [& [1,8 ; 1,9 [ \\  \hline
		Effectifs &  5	&16&9&2 \\  \hline
		\end{tabular}
\end{enumerate}}
{\begin{enumerate}
\item \begin{itemize}
      \item La moyenne est $\bar{x}=\frac{2+5+6+8+9+9+10}{7}=7$
      \item Il y a 7 valeurs. $\frac{7+1}{2}=4$. La médiane est la quatrième valeur de la série, c'est à dire 8.
      \item $\dfrac{7}{4}=1,75$. Le premier quartile est la deuxième valeur donc $Q1=5$.
      \item $\dfrac{3\times7}{4}=5,25$. Le troisième quartile est la sixième valeur donc $Q3=9$.
      \item L'écart interquartile est $Q3-Q1=9-5=4$.
      \item L'étendue est $10-2=8$.
      \end{itemize}
\item \begin{itemize}
      \item $\bar{x}=\frac{8+2+9+6+5+8}{6}=6,3$
      \item Attention, il faut commencer par classer les valeurs par ordre croissant. \\
      Il y a 6 valeurs. $\frac62=3$. La médiane est une valeur située entre la troisième et la quatrième valeur. On peut choisir par exemple $7$ comme médiane.
      \item $\dfrac{6}{4}=1,5$. Le premier quartile est la deuxième valeur donc $Q1=5$.
      \item $\dfrac{3\times6}{4}=4,5$. Le troisième quartile est la cinquième valeur donc $Q3=8$.
      \item L'écart interquartile est $Q3-Q1=8-5=3$.
      \item L'étendue est de $9-2=7$.
      \end{itemize}
\item \begin{itemize}
      \item $\bar{x}=\frac{1,55\times5+1,65\times16+1,75\times9+1,85\times2}{32}=1,675$.
      \item Il y a $5+16+9+2=32$ valeurs. $\frac{32}{2}=16$. La médiane est la classe entre la seizième et dix-septième valeur soit [1,6 ; 1,7[
      \item $\dfrac{32}{4}=8$. Le premier quartile est la huitième valeur donc il se trouve dans la classe [1,6 ; 1,7[\\
      $\dfrac{3\times8}{4}=24$. Le troisième quartile est la vingt-quatrième valeur donc il se trouve dans la classe [1,7 ; 1,8 [.\\
      \item L'étendue est de $1,9-1,5=0,4$. \\
      Remarque : C'est un abus de language de parler d'étendue. En effet, rien dans le tableau ne permet d'affirmer que les valeurs extrêmes sont $1,5$ et $1,9$.
      \end{itemize}
\end{enumerate}}





\section{Programme}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\textwidth}{X} 
\rowcolor{black}\centering\large\bf \textsf{\white Rappel des notions vues lors des années précédentes}\rule{0pt}{15pt}
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{c} 
\rowcolor{lightgray}\bf \textsf{Classe de sixième}\\
\hline
\parbox{13cm}{\sf Représentations usuelles :
\begin{itemize}
\item diagrammes en bâtons ;
\item diagrammes circulaires ou demi-circulaires,
\item graphiques cartésiens.
\end{itemize}
Lire, utiliser et interpréter des informations à partir d'une représentation graphique simple.
} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{c} 
\rowcolor{lightgray}\bf \textsf{Classe de cinquième}\\
\hline
\parbox{13cm}{\sf \begin{itemize}
\item Calculer des effectifs.
\item Calculer des fréquences.
\item Regrouper des données en classe d'égale amplitude.
\end{itemize}

Les élèves sont entraînés à lire, interpréter et représenter des données en utilisant un vocabulaire adéquat dans des
contextes qui leur sont familiers.

Le calcul d'effectifs cumulés n'est pas un attendu.

Les écritures $\frac{4}{10}$, $\frac{2}{5}$, $0,4$, $40\%$ sont utilisées pour désigner une fréquence : elles
permettent d'insister sur les diverses représentations d'un même nombre.


\begin{itemize}
\item Lire et interpréter des informations à partir d'un tableau ou d'une représentation graphique diagrammes divers,
histogramme).
\item Présenter des données sous la forme d'un tableau, les représenter sous la forme d'un diagramme ou d'un histogramme
(dans ce cas les classes sont toujours de même amplitude).
\end{itemize}
} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


\begin{center}
\begin{tabular}{c} 
\rowcolor{lightgray}\bf \textsf{Classe de quatrième}\\
\hline
\parbox{13cm}{\sf \begin{itemize}
\item Moyennes pondérées : Calculer la moyenne d'une série de données.
\item Créer, modifier une feuille de calcul, insérer une formule.
\item Créer un graphique à partir des données d'une feuille de calcul.
\end{itemize}

Les élèves sont confrontés à des situations familières où deux procédés de calcul différents
de la moyenne sont mis en {\oe}uvre :
\begin{itemize}
\item somme des $n$ données divisée par $n$ ;
\item moyenne pondérée des valeurs par leurs effectifs.
\end{itemize}

Les élèves doivent savoir calculer, pour de petits effectifs, une moyenne par la procédure de leur choix. Pour des
effectifs plus grands, cette procédure est basée sur l'usage du tableur ou de la calculatrice.} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{c} 
\rowcolor{lightgray}\bf \textsf{Classe de troisième}\\
\hline
\parbox{13cm}{\sf \begin{itemize}
\item Caractéristiques de position.
\item Approche de caractéristiques de dispersion. 
\end{itemize}

Une série statistique étant donnée (sous forme de liste ou de tableau ou par une représentation graphique) :
\begin{itemize}
\item déterminer une valeur médiane de cette série et en donner la signification ;
\item déterminer des valeurs pour les premier et troisième quartiles et en donner la signification ;
\item déterminer son étendue.
\end{itemize}


Le travail est conduit aussi souvent que possible en liaison avec les autres disciplines dans des situations où les
données sont exploitables par les élèves.

L'utilisation d'un tableur permet d'avoir accès à des situations plus riches que celles qui peuvent être traitées <<~à
la main~>>.

La notion de dispersion est à relier, sur des exemples, au problème posé par la disparité des mesures d'une grandeur,
lors d'une activité expérimentale, en particulier en physique et chimie.} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\bigskip


\begin{center}
\begin{tabularx}{\textwidth}{X} 
\rowcolor{black}\centering\large\bf \textsf{\white Programme de seconde}\rule{0pt}{15pt}
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}
\begin{minipage}{13cm}\sf 

Caractéristiques de position et de dispersion : médiane, quartiles, moyenne.

\begin{itemize}
\item Utiliser un logiciel (par exemple, un tableur) ou une calculatrice pour étudier une série statistique.
\item Passer des effectifs aux fréquences, {\red calculer les caractéristiques d'une série définie par} effectifs ou
{\red fréquences}.
\item {\red Calculer des effectifs cumulés, des fréquences cumulées.}
\item Représenter une série statistique graphiquement ({\red nuage de points}, histogramme, {\red courbe des fréquences
cumulées}).
\end{itemize}

L'objectif est de faire réfléchir les élèves sur des données réelles, riches et variées (issues, par exemple,
d'un fichier mis à disposition par l'INSEE), synthétiser l'information et proposer des représentations pertinentes.
 
\end{minipage}
\end{center}

\end{document}





% \section{Représentation graphique d'une série statistique}
% 
% 
% 
% \eng{frequency polygon and bar graph}
% {The \defin{frequency polygon} is the simplest graphical display of a frequency table. The scores are shown on the $x-axis$ and the frequencies on the $y$-axis. The points are then connected so that together with the $x$-axis they form a polygon. The two end-points of a frequency polygon always lie on the $x$-axis. Absolute or relative frequencies may be used. The graph will have the same shape in either case. Frequency is commonly used when the data set is small and relative frequency is used when the data set is large or when we want to compare several distributions.\\
% An alternative to the frequency polygon is the \defin{bar graph}, where rectangles non-contiguous are drawn instead of the points.}
% 
% \eng{Cumulative frequency}{The cumulative frequency corresponding to a particular value is the sum of all the
% frequencies up to and including that value.}
% 
% % \defi{Diagramme en bâton}{Lorsque le caractère étudié est {quantitatif et discret}, on peut représenter la série statistique étudiée par un \defin{diagramme en bâtons}: la hauteur de chaque bâton est alors proportionnelle à l'effectif (ou à la fréquence) associé à chaque valeur.}
% 
% \exe{Pour obtenir le polygone des fréquences pour la série de notes donnée ci dessus, on doit d'abord établir la distribution des fréquences.\\
% 	Calcul de la féquence de la note $8$ : Il y a $33$ valeurs au total dont $4$ de valeurs $8$. $\frac{4}{33}\times100\approx12$. Les autres fréquences se calculent de manière analogue. On obtient :\\[10pt]
%  	\begin{tabular}{|*{20}{c|}}
%       	\hline
%       	Notes & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$ & $13$ & $14$ & $15$ & $16$ & $17$ & $18$ & $19$  \\       \hline
%       	Eff.&0&1&0&2&1&1&3&4 &5 &6 &2&4 &0&3&0&0&1&0&0 \\       \hline
%       	Fréq.&0&3&0&6&3&3&9&12&15&18&6&12&0&9&0&0&3&0&0 \\       \hline
%    	\end{tabular}
%    	\begin{center}
%    	\psset{xunit=0.8cm, yunit=0.25cm}
%      	\begin{pspicture}(-0.5,0)(20,20)
%          \psgrid[subgriddiv=1,griddots=5,gridlabels=0](20,20)
%          \psaxes[Dy=3]{->}(0,0)(20,20) 
%          \psline[linewidth=0.1](0,0)(1,0)(2,3)(3,0)(4,6)(5,3)(6,3)(7,9)(8,12)(9,15)(10,18)(11,6)(12,12)(13,0)(14,9)(15,0)(16,0)(17,3)(18,0)(19,0)
%          \rput(0.5,20.2){\small Fréquences}
%          \rput(20,1){\small Notes}
%       \end{pspicture}
% 	\end{center}
% 	
%     Le diagramme en bâtons représentant cette même série est donné ci-dessous :
%     \begin{center}
%     \psset{unit=0.8cm}
%     \begin{pspicture}(-0.5,0)(20,6)
%     \psgrid[subgriddiv=1,griddots=5,gridlabels=0](20,6)
%     \psaxes{->}(0,0)(20,6)   
%     \psline[linewidth=0.1](2,0)(2,1)
%     \psline[linewidth=0.1](4,0)(4,2)
%     \psline[linewidth=0.1](5,0)(5,1)
%     \psline[linewidth=0.1](6,0)(6,1)
%     \psline[linewidth=0.1](7,0)(7,3)
%     \psline[linewidth=0.1](8,0)(8,4)
%     \psline[linewidth=0.1](9,0)(9,5)
%     \psline[linewidth=0.1](10,0)(10,6)
%     \psline[linewidth=0.1](11,0)(11,2)
%     \psline[linewidth=0.1](12,0)(12,4)
%     \psline[linewidth=0.1](14,0)(14,3)
%     \psline[linewidth=0.1](17,0)(17,1)
%     \rput(0.5,6.2){\small Effectifs}
%     \rput(20,0.3){\small Notes}
%     \end{pspicture}
%     \end{center}
% 
% % \defi{Polygone des fréquences}{On peut aussi tracer \defin{le polygone des fréquences} : on place les points de
% % coordonnées $(x_i,f_i)$, où les $x_i$ sont les valeurs du caractère
% % et $f_i$ les fréquences associées, puis on les relie, sans oublier
% % les valeurs du caractère pour lesquelles la fréquence est nulle.}
% %\exe{
% 
% }
%   
% \eng{}
% {A \defin{histogram} is constructed on the same way, when the score are gathered into class intervals. The main point to remember about histograms is that the area of the rectangles, and not their heights, represent the frequencies. Therefore, a class interval twice as wide will induce a rectangle twice lower than we may think.}
% 
% % \defi{Histogramme}{Lorsque le caractère étudié est quantitatif et continu, et lorsque les modalités sont regroupées en classes, on peut représenter la série par un \defin{histogramme}: l'aire de chaque rectangle est alors proportionnelle à l'effectif (ou à la fréquence) associée à chaque classe.\\
% % Lorsque les classes ont la même \defin{amplitude}, c'est la hauteur qui est proportionnelle à l'effectif.}
% 
% \exe{Voici le tableau donnant la répartition des salaires dans une entreprise:
% \begin{tabular}{|*{7}{c|}}
%       \hline
%       Salaires & $[900;1200]$ &$[1200;1400]$& $[1400;1600]$ &$[1600;1800]$ & $[1800;2000]$ & $[2000;2400]$  \\      \hline
%       Effectif & 30&30 &60 &40 &20 &20  \\      \hline
%    \end{tabular}
%    \bigskip
%    \psset{xunit=0.9cm, yunit=0.5cm}
%    \begin{center}
%       \begin{pspicture}(7.5,0)(25.5,7.5)
%          \psset{linecolor=gray}
%          \multips(8,-0.5)(1,0){18}{\qline(0,0)(0,9)}
%          \multips(8,0)(0,1){9}{\qline(0,0)(17,0)}
%          \psline(8,0)(25,0)
%          \def\Graduation(#1,#2,#3,#4){\rput[#4](#1,#2){\small $#3$}}%
%          \multips(8,-0.1)(2,0){9}{\qline(0,0)(0,0.2)}
%          \Graduation(8,-0.31,800,c)
%          \Graduation(10,-0.31,1000,c)
%          \Graduation(12,-0.31,1200,c)
%          \Graduation(14,-0.31,1400,c)
%          \Graduation(16,-0.31,1600,c)
%          \Graduation(18,-0.31,1800,c)
%          \Graduation(20,-0.31,2000,c)
%          \Graduation(22,-0.31,2200,c)
%          \Graduation(24,-0.31,2400,c)
%          \psset{fillstyle=hlines}
%          \pspolygon(9,0)(9,2)(12,2)(12,0)
%          \pspolygon(12,0)(12,3)(14,3)(14,0)
%          \pspolygon(14,0)(14,6)(16,6)(16,0)
%          \pspolygon(16,0)(16,4)(18,4)(18,0)
%          \pspolygon(18,0)(18,2)(20,2)(20,0)
%          \pspolygon(20,0)(20,1)(24,1)(24,0)
%          \pspolygon(10,7)(10,8)(11,8)(11,7)
%          \rput(9,7.5){\small Légende:}
%          \rput(12.5,7.5){\small = 5 salariés}
%       \end{pspicture}
%    \end{center}
% 		\bigskip}
%    
% % \defi{Diagramme circulaire}{Lorsque le caractère est qualitatif, on représente la série par un \defin{diagramme circulaire ou semi-circulaire} ("camemberts"): la mesure de chaque secteur angulaire est proportionnelle à l'effectif associé.}
% \eng{pie chart}
% {A \defin{pie chart} (or a \defin{circle graph}) is a circular chart divided into sectors, illustrating relative magnitudes or frequences or percents. In a pie chart, the arc length of each sector (and consequently its central angle and area), is proportional to the quantity it represents. Together, the sectors create a full disk. It is named for its resemblance to a pie which has been sliced.
% }
% 
% 
% \exe{Voici un diagramme circulaire représentant la répartition des adhérents à un club sportif :
% \begin{multicols}{2}
% \begin{center}
%    \psset{unit=0.7}
%    \begin{pspicture}(-5,-5)(5,4)
%       \pscircle(0,0){3}
%       \pswedge[fillstyle=solid, fillcolor=gray](0,0){3}{0}{60}
%       \pswedge[fillstyle=vlines](0,0){3}{60}{150}
%       \pswedge[fillstyle=hlines](0,0){3}{150}{360}
%       \rput(4.2,2){\small Golf : 16,7\%}
%       \rput(-4,3){\small Tennis : 25\%}
%       \rput(0,-4){\small Football: 58,3\%}
%    \end{pspicture}
% \end{center}
% 
% \columnbreak
% \vfill
% Sachant que ce club compte $240$ adhérents, combien d'adhérents jouent au tennis ?\\
% \emph{$25\%$ de 240 équivaut à $60$ donc $60$ adhérents jouent au tennis.}\\
% Quel est l'angle du secteur représentant des joeurs de foot ?   \\
% \emph{$100\%$ équivaut à $360^o$ donc $58.3\%$ équivaut à $\frac{58.3}{100}*360\approx210^o$}\\
% \vfill}
% 
% \end{multicols}
% 
