\documentclass[12pt]{article}\usepackage[Mickael]{ammaths}\fr
\use


\begin{document}%\nocolor
\enteteseconde{1}{Notion de fonction}{Fonctions 1}

\begin{center}
\fbox{\parbox{14cm}{\sf\small A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
\begin{itemize}
\item traduire le lien entre deux quantités par une formule ;
\item pour une fonction définie par une courbe, un tableau de données ou une formule :
       \begin{itemize}
        \item identifier la variable et, éventuellement, l'ensemble de définition ;
        \item déterminer l'image d'un nombre ;
        \item rechercher des antécédents d'un nombre ;
        \end{itemize}
\item résoudre graphiquement des inéquations de la forme : $f ( x ) < k$ ; $f ( x ) < g ( x )$.
\end{itemize}}}
\end{center}

\exoc{Un appareil a relevé de manière continue la température dans un abri entre 0 heure à 24 heures. Les points notés
sur la courbe indiquent des relevés exacts.
$$
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(0,-5)(24,12)
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridlabels=4pt,subgriddiv=1,subgriddots=1,subgridwidth=0.5pt,gridcolor=lightgray](0,-5)(24,11)
\psline{->}(0,0)(24,0)
\psline{->}(0,-5)(0,11)
\pscurve[showpoints=true](0,2)(2,1)(4,-2)(6,-3)(8,-2)(9,0)(10,2)(11,3)(12,4)(13,7)(14,9)(18,6)(19,5)(20,3)(22,2)(24,1)
\rput[br]{90}(-1,10){Température en degrés}
\uput[d](22,0){Heures}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=rouge]{->}(12,0)(12,4)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=rouge]{->}(12,4)(0,4)
\end{pspicture}$$

Sur ce graphique, on peut lire par exemple qu'a 12h00, la température était de 4\degre. Au nombre 12 est ainsi associé la valeur 4. On note $\boldsymbol{f(12) = 4}$ ou encore $\boldsymbol{f : 12\mapsto 4}$. La \textbf{fonction $f$} représente l'association entre l'heure et la température. On dit que 12 a pour \textbf{image} 4 ou que 4 est \textbf{l'image de $12$ par la fonction $f$}.

\begin{enumerate}
\item Compléter :
	\begin{enumerate}
	\item La température à 4h00 est de~\fillspace{1.2}~donc $f(4)=$\fillspace{1.2}.\\ L'image de 4 par $f$ est
\mbox{\fillspace{1.2}.}
	\item $f(9)$ = \fillspace{1.2}. L'image de 9 par la fonction $f$ est  \fillspace{1.2}.\\ Il faisait 
\fillspace{1.2} $^o$ à  \fillspace{1.2} heures.
	\item L'image de 20 par la fonction $f$ est \fillspace{1.2} donc la température était de \fillspace{1.2} à
\fillspace{1.2}.
	\item $f(\fillspace{1.2})=7$ donc à \fillspace{1.2} heures la température était de \fillspace{1.2}\degre. 
	\item $f : 6 \mapsto \fillspace{1.2} $ donc l'image de \fillspace{1.2}.
	\end{enumerate}
\item Expliquer pourquoi il n'existe pas plusieurs points distincts de la courbe qui ont la même abscisse ? 
\fillspace{11.5}
\item Déterminer l'intervalle de temps pendant lequel la température a été relevée :\\ $\Df_f=$\fillspace{2}
\item Plus généralement, on note $x$ l'heure de l'enregistrement et $f(x)$ la température correspondante (avec $x$
appartenant à $\Df_f$).
Compléter le tableau suivant : 
\begin{center}
$\begin{array}{|*{10}{>\hfil p{1cm}|}}
\hline $x$&0&3&6&9&12&15&18&21&24 \\ \hline
$f(x)$&&&&&&&&& \\ \hline \end{array}$
\end{center}
\end{enumerate}
}


%\newpage

\exoc{Traduire par une ou plusieurs égalités chacune des phrases suivantes :
	\begin{enumerate}
	\item L'image de 5 par la fonction $f$ est égale à 4.
	\item 5 est l'image de $-3$ par la fonction $f$.
	\item 2 a pour image $0$ par la fonction $f$.
	\item Les images de $2$ et $4$ par la fonction $f$ sont nulles.
	\item Les nombres qui ont pour image $5$ par la fonction $f$ sont $-3$ et $0$.
	\item $1$ est l'image des nombres $-2$ et $1$ par la fonction $f$.
	\item Au nombre $8$, on associe le nombre $17$ par la fonction $f$.
	\item $f$ est une fonction qui, au nombre $-2$ associe le nombre $\sqrt3$.
	\item $f$ est la fonction qui à tout nombre réel $x$ associe son carré.
	\item $f$ associe à tout nombre réel $x$ la somme de son carré et de son triple.
% 	\item La fonction $f$ fait correspondre, à la durée $t$ d'un trajet, la distance $d$ parcourue.
\end{enumerate}}

\exoc{Traduire chaque égalité par une phrase, en utilisant le mot image:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(-2)=1$
\item $f(x)=-2$
\item $g(4)=0$
\item $b=g(0)$
\item $y=f(x)$
\item $v=f(t)$
\end{enumerate}
\end{multicols}}



\exoc{Here is the table of values of a function $f$ :
$$\begin{tabular}{|*{8}{>\hfil p{1cm}|}} \hline
$x$    & $-3$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ \\ \hline
$f(x)$ & $5$  & $0$  & $3$  & $5$ & $2$ & $1$ & $4$ \\ \hline
\end{tabular}$$
\begin{enumerate}
 \item What is the image of $-2$ ?
 \item What number has image $2$ ?
 \item What number has preimage $-1$ ?
 \item Give two numbers that have the same image.
\end{enumerate}
}

\exoc{La courbe ci-contre représente une fonction $f$.\\
\begin{minipage}{8cm}
\begin{enumerate}
  \item Compléter les phrases suivantes : 
	\begin{itemize}
	\itemb L'image de $1$ est \fillspace{1.2}.
	\itemb L'image de \fillspace{1.2} est $4$.
	\itemb L'antécédent de $-3$ est \fillspace{1.2}.
	\itemb L'antécédent de \fillspace{1.2} est $4$.
	\end{itemize}
  \item Compléter les égalités : 
	\begin{itemize}
	 \itemb $f(-3)=\fillspace{1.2}$.
	 \itemb $f(\fillspace{1.2})=-3$.
	 \itemb $f(0)=\fillspace{1.2}$.
	 \itemb $f(\fillspace{1.2})=-4$.
	\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
$$\psset{unit=0.6cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
\def\xmin{-6.5}\def\ymin{-4.5}\def\xmax{6.5}\def\ymax{4.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\pscurve(-6,-4)(-5,-3)(-4,0)(-3,1)(-2,0)(-1,-1)(0,0)(1,2)(2,2)(3,-1)(4,-2)(5,3)(6,4)
\end{pspicture*}$$
\end{minipage}
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{2}
 \item Dresser le tableau de valeurs de $f$ pour $x$ variant entre $-6$ et $6$, de $1$ en $1$.
 %\pagebreak
 \item Compléter les phrases en utilisant soit ``Pour tout \dots on a \dots'' soit ``il existe un \dots tel que \dots''.
	\begin{enumerate}
        \item \dots nombre réel $x$ \dots $f(x)=3$.
        \item \dots nombre réel $x$ \dots $f(x)\leq4$.
        \item \dots nombre réel $x$ \dots $f(x)=-3$.
        \item \dots nombre réel $x$ de $[-4;-2]$, \dots $f(x)$ est positif.
        \item \dots nombre réel $x$ de $[0;5]$, \dots $f(x)$ est négatif.
       \end{enumerate}
\end{enumerate}
}







\exoc{Below is given the graph of a function $f$ defined over $[-4,3]$ by the formula $f(x)=0.5(x+1)^2-2$
$$\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-4.2,-2)(3,6)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-2)(3,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](-4.2,-2)(3,6)
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid]{-4}{3}{x 1 add 2 exp 0.5 mul 2 sub}
\end{pspicture*}$$
\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
	\item Read on the graph the images of 0, $-1$ and $\sqrt{2}$.
	\item Check these results using the formula.
	\end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
	\item Read on the graph the preimages of 0, $-3$ and $-2$.
	\item Check these results using the formula.
	\end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
	\item Are the following point on the graph of $f$ ? $$A(1,0) \quad ; \quad B(2,2)\quad ; \quad C(-3,0).$$
	\item Explain how you can check the previous answer using the formula, and do it.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\pagebreak

\exoc{Cet exercice est un vrai ou faux. Justifier pour chacune des propositions suivantes si elle est vraie ou fausse
puis rectifier les propositions fausses.

%Une réponse correcte et justifiée rapporte 1 point. Une mauvaise réponse ou réponse correcte non justifiée ne rapporte ni n'enlève de points.

\medskip
La courbe d'une fonction $f$ a été représentée ci-dessous.
\begin{multicols}{2} 
$$\psset{xunit=1cm, yunit=0.35cm}
\begin{pspicture*}(-2,-7)(4,10)
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=3]{->}(0,0)(-2,-7)(4,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](-2,-7)(4,10)
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid]{-1.5}{3.5}{-1 x 3 exp mul x 2 exp 3 mul add}
\psline[linestyle=dashed](3.5,0)(3.5,-6)\rput(3.5,1){3,5}
\psline[linestyle=dashed](-1.5,0)(-1.5,10)\rput(-1.5,-1){-1,5}
\rput(-0.3,1){1}\rput(1,-1){1}
\end{pspicture*}$$
\begin{enumerate}
\item $3,5$ a pour image $-6$ par $f$.
\item $3$ est l'image de $0$ par $f$.
\item La courbe représentative de $f$ a deux points d'ordonnée nulle.
\item $f(-1)=f(2)$.
\item $f(x)$ n'est jamais inférieur à $1,5$.
\item $f(2)<f(3)$.
\item si $0\leq x \leq3$ alors $0\leq f(x)\leq 4$.
\end{enumerate}
\end{multicols}}

%\pagebreak
	
\exoc{On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=(x+1)^2+4$.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer par le calcul les images de $0$, de $-1$ et de $\sqrt2$.
	\item Déterminer les antécédents de $0$, puis ceux de $4$ et enfin ceux de $8$.
	\item Dresser un tableau de valeurs de pas 1 pour $x$ variant de $-4$ à $3$.
	\item Tracer la représentation graphique de $f$.
\end{enumerate}}

\exoc{\tice~On considère l'algorithme ci-dessous : 
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item Déterminer l'image de $0$ par cet algorithme.
 \item Déterminer l'image de $-3$ par cet algorithme.
       Quel modification faudrait-il apporter à l'algorithme pour éviter le problème ?
 \item Soit $f$ la fonction qui à la variable $x$ associe le réel $y$ obtenu après application de l'algorithme. Donner
l'expression algébrique de $f$. Simplifier.
\end{enumerate}
\begin{center}\vspace*{-15pt}
\begin{minipage}[t]{7cm}
\IncMargin{1em}
\begin{algorithm}[H]
%\KwData{$x$, $a$ and $b$ three real numbers \;}
\Begin{\KwIn{$x$ real number \;}
$x+2 \rightarrow a$ \;
$\dfrac{1}{a+1} \rightarrow b$ \;
$a^2+\dfrac{1}{b} \rightarrow y$ \;
\KwOut{$y$ \;}
}
\end{algorithm}
\DecMargin{1em}
\end{minipage}
\end{center}
\end{multicols}
}


\exoc{Pour chacune des courbes ci-dessous, indiquer s'il peut s'agir de la représentation graphique d'une fonction. 
$$\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.4cm}
%graph 1
\begin{pspicture}(-3,-1)(4,4)
\psline{->}(-3,0)(4,0)
\psline{->}(0,-1)(0,4)
\psline(-3,4)(4,-1)
\end{pspicture}
\hspace{1 cm}
%graph 2
\begin{pspicture}(-3,-1)(4,4)
\psline{->}(-3,0)(4,0)
\psline{->}(0,-1)(0,4)
\psline(2,-1)(2,4)
\end{pspicture}
\hspace{1 cm}
%graph 3
\begin{pspicture}(-3,-1)(4,4)
\psline{->}(-3,0)(4,0)
\psline{->}(0,-1)(0,4)
\psline(-3,3)(4,3)
\end{pspicture}$$

%graph 4
$$\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(4,4)
\psline{->}(-3,0)(4,0)
\psline{->}(0,-1)(0,4)
\psline(-3,-1)(-2,-1)
\psline(-2,-1)(-2,1)
\psline(-2,1)(1,1)
\psline(1,1)(1,3)
\psline(1,3)(4,3)
\end{pspicture}
\hspace{1cm}
%graph 5
\begin{pspicture}(-3,-1)(4,4)
\psline{->}(-3,0)(4,0)
\psline{->}(0,-1)(0,4)
\psline(-3,-1)(-2,3)
\psline(-2,3)(-1,1)
\psline(-1,1)(3,1)
\psline(3,1)(4,3)
\end{pspicture}
\hspace{1cm}
%graph 6
\begin{pspicture}(-3,-1)(4,4)
\psline{->}(-3,0)(4,0)
\psline{->}(0,-1)(0,4)
\pscircle(1,2){1}
\end{pspicture}$$}

\exoc{Parmi les tableaux de valeurs ci-dessous, lequel ne peut pas \^etre celui d'une fonction. Justifier.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
% \item \begin{tabular}{|*{8}{c|}} \hline
% 			$x$ & $-5$ & $-2$ & $0$ & $1$ & $10$ & $-3$ & $-4$ \\\hline 
% 			$y$ & $2$  & $3$  & $1$ & $7$ & $5$  & $4$  & $6$ \\\hline
% 			\end{tabular}
\item \begin{tabular}{|*{8}{c|}} \hline
			$x$ & $-5$ & $-2$ & $0$ & $1$ & $10$ & $-3$ & $-4$ \\\hline 
			$y$ & $2$  & $3$  & $1$ & $2$ & $3$  & $1$  & $2$ \\\hline
			\end{tabular}
\item \begin{tabular}{|*{8}{c|}} \hline
			$x$ & $-5$ & $-2$ & $0$ & $-5$ & $-2$ & $0$ & $-5$ \\\hline 
			$y$ & $2$  & $3$  & $1$ & $7$ & $5$  & $4$  & $6$ \\\hline
			\end{tabular}
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


%\pagebreak

\exoc{%Tracé d'une courbe B-spline.
\tice~L'algorithme ci-dessous est une simplification du procédé utilisé pour tracer des courbes en CAO.
\begin{center}\vspace*{-15pt}
\begin{minipage}[t]{12cm}
\IncMargin{1em}
\begin{algorithm}[H]
%\KwData{$x$, $a$ and $b$ three real numbers \;}
\Begin{\KwIn{$x$, $a$, $b$ real numbers \;}
\Switch{the value of $x$}{
    \lCase{$x\in [0;1]$ :}{$x \rightarrow a$~; $0 \rightarrow b$ \;}
    \lCase{$x\in [1;2]$ :}{$x \rightarrow a$~; $x-1 \rightarrow b$ \;}
    \lCase{$x\in [2;3]$ :}{$4-x \rightarrow a$~; $x-1 \rightarrow b$ \;}
    \lCase{$x\in [3;4]$ :}{$4-x \rightarrow a$~; $5-x \rightarrow b$ \;}
    \lCase{$x\in [4;5]$ :}{$0 \rightarrow a$~; $5-x \rightarrow b$ \;}
            }
\KwOut{$a$, $b$}
}
\end{algorithm}
\DecMargin{1em}
\end{minipage}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item En utilisant l'algorithme, compléter le tableau de valeur suivant : 
	\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|*{11}{p{0.5cm}|}}\hline
	$x$ & 0 & 0.5 &1 &1.5&2&2.5&3&3.5&4&4.5&5\\\hline
	$a$ &   &     &  &   & &   & &   & &   &  \\\hline
	$b$ &   &     &  &   & &   & &   & &   &  \\\hline
	\end{tabular}
	\end{center}
 \item Dans un repère, placer l'ensemble des points de coordonnées $(a;b)$ obtenus ci-dessus.
 \item La courbe obtenue est-elle celle d'une fonction ? Expliquer
\end{enumerate}
}

% 
% \exoc{\emph{Une fonction définie sur l'ensemble des entiers}\\
% On considère l'algorithme ci-dessous.
% \begin{center}\vspace*{-15pt}
% \begin{minipage}[t]{12cm}
% \IncMargin{1em}
% \begin{algorithm}[H]
% %\KwData{$n\in\N^*$ , $nb\_div\in\N$ , $sum\_div=0\in\N$\;}
% \Begin{\KwIn{$n$, a whole number \; }
% $0 \rightarrow  nb\_div$ \;$0 \rightarrow sum\_div$ \;
% \While{$n\notin\N^*$}
%       {\KwOut{``Warning, $n$ must be a whole number, try again'' \;}
%       \KwIn{$n$ \;}}
% \For{$i$ from $1$ to $n$ step $1$}
%     {\If{$\frac{n}{i}\in\N$}
% 	  {\KwOut{``$i$ is a divisor of $n$'' \;}
% 	  $nb\_div+1 \rightarrow nb\_div$ \;
% 	  $sum\_div+i \rightarrow sum\_div+i$ \;}
%     }
% \KwOut{$nb\_div$ \;}
% \KwOut{$sum\_div$ \;}
% }
% \end{algorithm}
% \DecMargin{1em}
% \end{minipage}
% \end{center}
% \begin{enumerate}
%  \item Quel est le rôle de la boucle While ? En quoi est-ce important pour la suite de l'algorithme ?
%  \item Appliquer l'algorithme lorsque les valeurs saisies pour $n$ sont successivement $2$; $-2$ puis $1.5$.
%  \item Appliquer l'algorithme aux nombres entiers compris entre $1$ et $10$.
%  \item Quel semble être le rôle de cet algorithme ?
%  \item Tracer la représentation graphique de la fonction $sum\_div$ pour $n$ de $1$ à $10$.
% \end{enumerate}
% }

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exocpart{Équations et inéquations}
\exoc{On donne ci-contre la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $[-4;7]$. 
\begin{multicols}{2}
$$\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-4.1,-2.1)(7.1,6.1)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=2,Dy=2]{-}(0,0)(-4,-2)(7,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-4,-2)(7,6)
\pscurve[showpoints=false](-4,5)(-3,2)(-2,1)(-1,2)(1,4)(3,2)(4,0)(5,-1)(7,0)
\rput(6.5,0.5){$\Co_f$}
\end{pspicture*}
$$

Résoudre graphiquement :
\begin{enumerate}
	\item l'équation $f(x)=2$ ;
	\item l'équation $f(x)=-3$ ;
	\item l'inéquation $f(x)<2$ ;
	\item l'inéquation $f(x)\ge 1$ ;
	\item l'inéquation $f(x)<0$.
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\pagebreak

\exoc{Below are given the graphs of two functions $f$ and $g$ defined over the interval $[-3,6]$. Solve graphically :

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
	\item the equation $f(x)=2$ ;
	\item the equation $f(x)=-3$ ;
	\item the equation $f(x)=g(x)$ ;
	\item the inequation $f(x)\geq 2 $ ;
	\item the inequation $f(x) < 3$ ;
	\item the inequation $g(x) \le 0$ ;
	\item the inequation $f(x) \le g(x)$ ;
	\item the inequation $-1 \le f(x) \le 2$.
\end{enumerate}
\columnbreak
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.45cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-4.1)(6.1,6.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{6} \def\ymin{-4} \def\ymax{6}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray,
subgriddiv=1](0,0)(-3,-4)(6,6)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\pscurve[showpoints=false](-3,2)(-2,3)(-1,5)(0,5.5)(2,2)(3,-1)(4,-2)(5,-1)(6,2)
\pscurve[showpoints=false](-3,3.5)(-2,3)(0,2.2)(2,2)(4.5,0)(5,-1)(5,-1)(6,-3.2)
\rput(5.5,-3.5){$\Co_g$}
\rput(5.5,2.5){$\Co_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}}


\exoc{On veut résoudre l'équation $x^2+(2-\sqrt2)x-2\sqrt2=0$. Comme on ne sait pas résoudre cette équation par le
calcul, nous allons utiliser une méthode graphique.
\begin{enumerate}
	\item Résoudre graphiquement, à l'aide de la calculatrice, l'équation \mbox{$x^2+(2-\sqrt2)x-2\sqrt2=0$.}
	\item Les valeurs trouvées sont-elles exactes ou approchées ? Expliquer.
	\item Vérifier qu'une des deux valeurs obtenues graphiquement est une valeur exacte.
\end{enumerate}}




\exoc{Résolution d'une équation du second degré par 2 méthodes.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Déterminer graphiquement les solutions de l'équation $x^2-\frac{10}{7}x-\frac{8}{7}=0$.
	\item Vérifier par le calcul les résultats précédents.
	\end{enumerate}
\item Développer l'expression $(x-2)(x+\frac47).$
\item En déduire les valeurs exactes des deux solutions de l'équation de la question 1.
\end{enumerate}}

\exoc{Résoudre graphiquement les équations et inéquations suivantes,
puis vérifier les résultats par le calcul.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $3x-4=2$ ;
\item $3x-4\leq -4$ ;
\item $3x-4>5$ ;
\item $1-\frac{1}{2}x\geq 0$ ;
\item $1-\frac{1}{2}x>2$ ;
\item $1<1-\frac{1}{2}x<4$ ;
\item $1-\frac{1}{2}x=3x-4$ ;
\item $1-\frac{1}{2}x\geq 3x-4$ ;
\item $-2<1-\frac{1}{2}x\leq 3x-4$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

%\pagebreak
\exoc{Une balle est lancée d'une hauteur de 2 mètres (c'est à dire du bout du bras d'une joueuse), avec un angle
d'environ $11^\circ$ par rapport au sol. Elle suit alors une trajectoire donnée approximativement par la formule
$$h(x)=-0,04x^2+0,2x+2.$$

\probpart{}

\begin{enumerate}
\item Dresser un tableau de valeurs pour $h$ avec toutes les valeurs de $x$ entières entre $0$ et $10$. Quelle semble
être la valeur maximale de $h(x)$.
\item Représenter graphiquement la fonction $h$ sur l'intervalle $[0;10]$.
\item Décrire les variations de $h$ par un tableau de variations sur l'intervalle $[0;10]$.
\item Utiliser les éléments précédents pour répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
	\item A quelle distance du point de lancer la balle touche-t-elle le sol ?
	\item A quelle distance la balle atteint-elle son altitude maximale ?
	\item Pour quelles distances la balle est-elle au-dessus de son altitude initiale ? Pour quelles distances
est-elle en-dessous ?
	\item Pour quelles distances la balle est-elle à une altitude comprise entre 1 et 2 mètres ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\probpart{}

Après le premier rebond, la balle suit une trajectoire donnée approximativement par la formule 
$$h(x)=-0,1x^2+2,5x-15.$$

\begin{enumerate}
\item A quelle distance du point de lancer la balle touche-t-elle le sol pour la 2ème fois ?
\item A quelle distance la balle atteint-elle son altitude maximale entre les deux rebonds ? Comparer cette altitude
maximale avec la valeur maximale avant le premier rebond.
\end{enumerate}

}


%\pagebreak

\exoc{Let $f$ and $g$ be two functions such that $f(x)=x^2+2x$ and $g(x)=-x^2-2x+6$.

\begin{enumerate}
\item Draw the graphs of functions $f$ and $g$ in the same coordinate system.
\item Solve graphically the equations and inequations below :
  \begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
  \item $f(x)=0$ ;
  \item $g(x)=0$ ;
  \item $f(x)=-1$ ;
  \item $f(x)=g(x)$ ;
  \item $f(x)<3$ ;
  \item $f(x)\leq g(x)$.
  \end{enumerate}
  \end{multicols}
\item Find graphically two numbers $x$ such that $g(x)-f(x)=6$.
\item Solve algebraically the equations $f(x)=0$ and $f(x)=-1$.
\item \begin{enumerate}
  \item Prove that the equation $f(x)=g(x)$ is equivalent to $x^2+2x-3=0$. 
  \item Check algebraically that the solutions you found graphically for the equation $f(x)=g(x)$ are such that
$x^2+2x-3=0$.
  \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
  \item Prove that the equation $g(x)-f(x)=6$ is equivalent to $x^2+2x=0$. 
  \item Deduce the solutions of the equation $g(x)-f(x)=6$. Do you find the same values that you found graphically ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}}

\partie{Homework \#1 -- Horner's machines}

Any operation involving additions, multiplications and squares can be described by a \emph{machine} made the three components shown below :


\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\begin{pspicture}(0,.8)(3.2,2.7)
\psset{dimen=middle,linewidth=.5pt}
\pswedge*(1,2){0.25}{270}{90}
\psline(0.6,1.75)(1,1.75)
\psline(0.6,2.25)(1,2.25)
\psline(1.25,2)(1.65,2)
\rput[Br](0.4,2.25){$b$}
\rput[Br](0.4,1.75){$a$}
\rput[Bl](1.85,2){$a+b$}
\rput[B](1.5,1){Addition}
\end{pspicture}
&
\begin{pspicture}(0,.8)(3,2.7)
\psset{dimen=middle,linewidth=.5pt}
\pswedge(1,2){0.25}{270}{90}
\psline(0.6,1.75)(1,1.75)
\psline(0.6,2.25)(1,2.25)
\psline(1.25,2)(1.65,2)
\rput[Br](0.4,2.25){$b$}
\rput[Br](0.4,1.75){$a$}
\rput[Bl](1.85,2){$ab$}
\rput[B](1.5,1){Multiplication}
\end{pspicture}
&
\begin{pspicture}(0,.8)(3,2.7)
\psset{dimen=middle,linewidth=.5pt}
\pspolygon(1,1.75)(1,2.25)(1.45,2)
\psline(0.6,2)(1,2)
\psline(1.45,2)(1.85,2)
\rput[Br](0.4,2){$a$}
\rput[Bl](2.05,2){$a^2$}
\rput[B](1.3,1){Square}
\end{pspicture}
\end{tabular}
\end{center}


\probpart{ -- Study of some machines}

\begin{enumerate}
\item Consider the two machines below.
      \begin{center}
      \begin{tabular}{ccc}
      \begin{pspicture}(0,-0.5)(3.1,2)
      \psset{dimen=middle,linewidth=.5pt}
      \pswedge(0.9,1.25){0.25}{270}{90}
      \psline(0.5,1)(0.9,1)
      \psline(0.5,1.5)(0.9,1.5)
      \psline(1.15,1.25)(1.55,1.25)
      \rput[Br](0.3,1){$-3$}
      \rput[Br](0.3,1.5){$4$}
      \rput[Br](0.3,0.5){$5$}
      \psline(.5,0.5)(1.55,0.5)(1.55,.75)
      \pswedge*(1.95,1){0.25}{270}{90}
      \psline(1.55,1.25)(1.95,1.25)
      \psline(1.55,.75)(1.95,.75)
      \psline(2.2,1)(2.6,1)
      \rput[Bl](2.8,1){$A$}
      \end{pspicture}
      & \hspace{2cm} &
      \begin{pspicture}(0,-0.5)(5,2.4)
      \psset{dimen=middle,linewidth=.5pt}
      \rput[Br](0.3,0){$5$}
      \rput[Br](0.3,2){$-2$}
      \psline(0.4,0)(2.8,0)
      \psline(0.4,2)(2.8,2)
      \pspolygon(1,.25)(1,.75)(1.45,.5)
      \pspolygon(1,1.25)(1,1.75)(1.45,1.5)
      \pswedge(2.8,0.25){0.25}{270}{90}
      \pswedge(2.8,1.75){0.25}{270}{90}
      \psline(0.6,0)(0.6,.5)(1,.5)
      \psline(0.6,2)(0.6,1.5)(1,1.5)
      \psline(1.45,.5)(1.85,.5)(2.4,1.5)(2.8,1.5)
      \psline(1.45,1.5)(1.85,1.5)(2.4,.5)(2.8,.5)
      \psline(3.05,0.25)(3.45,0.25)(3.45,0.75)(3.85,0.75)
      \psline(3.05,1.75)(3.45,1.75)(3.45,1.25)(3.85,1.25)
      \pswedge*(3.85,1){0.25}{270}{90}
      \psline(4.10,1)(4.55,1)
      \rput[Bl](4.75,1){$B$}
      \end{pspicture}
      \end{tabular}
      \end{center}
	  \begin{enumerate}
	  \item Compute the outputs $A$ and $B$.
	  \item What is the output of the second machine (the one of the right-hand side) when the input is $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ and $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ ?
	  \item Express the output of the second machine as a formula with input $a$ and $b$.
	  \end{enumerate}
\item In the two situations below, compare the outputs $A$ and $B$.
	    \begin{itemize}
	    \item \textit{Situation 1:}
	    \begin{center}
	    \begin{tabular}{ccc}
	    \begin{pspicture}(0,-0.7)(3,0.7)
	    \psset{dimen=middle,linewidth=.5pt}
	    \rput[Br](0.3,.25){$a$}
	    \rput[Br](0.3,-0.25){$b$}
	    \psline(0.5,.25)(0.9,.25)
	    \psline(0.5,-.25)(0.9,-.25)
	    \pswedge*(.9,0){0.25}{270}{90}
	    \psline(1.15,0)(1.55,0)
	    \pspolygon(1.55,-.25)(1.55,.25)(2,0)
	    \psline(2,0)(2.4,0)
	    \rput[Bl](2.6,0){$A$}
	    \end{pspicture}
	    & \hspace{2cm} &
	    \begin{pspicture}(0,-0.7)(3,0.7)
	    \psset{dimen=middle,linewidth=.5pt}
	    \rput[Br](0.3,.25){$a$}
	    \rput[Br](0.3,-0.25){$b$}
	    \psline(0.5,.25)(0.9,.25)
	    \psline(0.5,-.25)(0.9,-.25)
	    \pspolygon(0.9,0)(0.9,.5)(1.35,.25)
	    \pspolygon(0.9,0)(0.9,-.5)(1.35,-.25)
	    \psline(1.35,.25)(1.75,.25)
	    \psline(1.35,-.25)(1.75,-.25)
	    \pswedge*(1.75,0){0.25}{270}{90}
	    \psline(2,0)(2.4,0)
	    \rput[Bl](2.6,0){$B$}
	    \end{pspicture}
	    \end{tabular}
	    \end{center}
	    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	    \item \textit{Situation 2:}
	    \begin{center}
	    \begin{tabular}{ccc}
	    \begin{pspicture}(0,-0.8)(4.5,1.2)
	    \psset{dimen=middle,linewidth=.5pt}
	    \rput[Br](0.3,.75){$x$}
	    \rput[Br](0.3,-0.25){$-1$}
	    \rput[Br](0.3,-0.9){$-2$}
	    \psline(0.5,.75)(2.05,.75)
	    \psline(1,.75)(1,.25)(1.4,.25)
	    \psline(0.5,-.25)(1.4,-.25)
	    \pswedge(1.4,0){0.25}{270}{90}
	    \psline(1.65,0)(2.05,0)
	    \pspolygon(2.05,.5)(2.05,1)(2.5,.75)
	    \pswedge*(2.05,-0.25){0.25}{270}{90}
	    \psline(0.5,-.75)(1.65,-.75)(1.65,-.5)(2.05,-.5)
	    \psline(2.5,.75)(2.9,.75)(2.9,.25)(3.3,.25)
	    \psline(2.3,-.25)(3.3,-.25)
	    \pswedge*(3.3,0){0.25}{270}{90}
	    \psline(3.55,0)(3.95,0)
	    \rput[Bl](4.15,0){$A$}
	    \end{pspicture}
	    & \hspace{2cm} &
	    \begin{pspicture}(0,-0.8)(4.5,1.2)
	    \psset{dimen=middle,linewidth=.5pt}
	    \rput[Br](0.3,.75){$-2$}
	    \rput[Br](0.3,0.){$x$}
	    \rput[Br](0.3,-0.75){$1$}
	    \psline(.5,.75)(1.4,.75)
	    \psline(.5,0)(1,0)
	    \psline(.5,-.75)(1.4,-.75)
	    \psline(1.4,.25)(1,.24)(1,-.25)(1.4,-.25)
	    \pswedge*(1.4,0.5){0.25}{270}{90}
	    \pswedge*(1.4,-0.5){0.25}{270}{90}
	    \psline(1.65,0.5)(2.05,0.5)(2.05,0.25)(2.45,0.25)
	    \psline(1.65,-0.5)(2.05,-0.5)(2.05,-0.25)(2.45,-0.25)
	    \pswedge(2.45,0){0.25}{270}{90}
	    \psline(2.7,0)(3.1,0)
	    \rput[Bl](3.3,0){$B$}
	    \end{pspicture}
	    \end{tabular}
	    \end{center}
	    \end{itemize}
\item Draw a machine which outputs $(a+2b)^2$ when $a$ and $b$ are entered.
\item How can the addition component be used to carry out a subtraction ?
\end{enumerate}

\probpart{ -- The most economical machine}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item Check that the outputs $A(x)$ and $B(x)$ of the two machines below are the same.
	    \begin{center}
	    \begin{tabular}{cc}
	    \begin{pspicture}(0,0.5)(7,3)
	    \psset{dimen=middle,linewidth=.5pt}
	    \rput[Br](0.3,2.5){$x$}
	    \rput[Br](0.3,2){$3$}
	    \rput[Br](0.3,1){$-4$}
	    \rput[Br](0.3,0.5){$7$}
	    %%%groupe 3x^2
	    \psline(0.5,2.5)(1.5,2.5)\pspolygon(1.5,2.25)(1.5,2.75)(2,2.5)\psline(2,2.5)(2.5,2.5)
	    \psline(0.5,2)(2.5,2)
	    \pswedge(2.5,2.25){0.25}{270}{90}
	    %%%% groupe de -4x
	    \psline(1,2.5)(1,2.25)\psarc{-}(1,2){0.25}{-90}{90}\psline(1,1.75)(1,1.5)(1.5,1.5)
	    \psline(0.5,1)(1.5,1)
	    \pswedge(1.5,1.25){0.25}{270}{90}
	    %%%%% addition des deux groupes precedents
	    \psline(2.75,2.25)(3.5,2.25)
	    \psline(1.75,1.25)(3,1.25)(3,1.75)(3.5,1.75)
	    \pswedge*(3.5,2){0.25}{270}{90}
	    %%%%% addition de 7 à l'expression obtenue
	    \psline(3.75,2)(4,2)(4,1.75)(4.25,1.75)
	    \psline(0.5,0.5)(4,0.5)(4,1.25)(4.25,1.25)
	    \pswedge*(4.25,1.5){0.25}{270}{90}
	    \psline(4.5,1.5)(5,1.5)
	    \rput[Bl](5.2,1.5){$A(x)$}
	    \end{pspicture}
	    &
	    \begin{pspicture}(0,0.5)(5,2.5)
	    \psset{dimen=middle,linewidth=.5pt}
	    \rput[Br](0.3,2.5){$x$}
	    \rput[Br](0.3,1.5){$3$}
	    \rput[Br](0.3,1){$-4$}
	    \rput[Br](0.3,0.5){$7$}
	    \psline(.5,2.5)(3.1,2.5)
	    \psline(1,2.5)(1,2)(1.4,2)
	    \psline(.5,1.5)(1.4,1.5)
	    \pswedge(1.4,1.75){0.25}{270}{90}
	    \psline(1.65,1.75)(2.05,1.75)(2.05,1.5)(2.45,1.5)
	    \psline(.5,1)(2.45,1)
	    \pswedge*(2.45,1.25){0.25}{270}{90}
	    \psline(2.7,1.25)(3.1,1.25)(3.1,1.5)(3.5,1.5)
	    \psline(3.1,2.5)(3.1,2)(3.5,2)
	    \pswedge(3.5,1.75){0.25}{270}{90}
	    \psline(3.75,1.75)(4.25,1.75)
	    \pswedge*(4.25,1.5){0.25}{270}{90}
	    \psline(0.5,0.5)(4,0.5)(4,1.25)(4.25,1.25)
	    \psline(4.5,1.5)(5,1.5)
	    \rput[Bl](5,1.7){$B(x)$}
	    \end{pspicture}
	    \end{tabular}
	    \end{center}
      \item Count the number of components and connexions in each of the two machines above. Which on is the most economical ?
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item Check that the outputs $C(x)$ and $D(x)$ of the two machines below are the same.
	    \begin{center}
	    \scalebox{0.8}{
	    \begin{tabular}{cc}
	    \begin{pspicture}(0,0)(7.5,4)
	    \psset{dimen=middle,linewidth=.5pt}
	    \rput[Br](0.3,3.5){$x$}
	    \rput[Br](0.3,2.5){$2$}
	    \rput[Br](0.3,1.5){$5$}
	    \rput[Br](0.3,0.5){$-7$}
	    \rput[Br](0.3,0){$8$}
	    \psline(.5,3.5)(1.5,3.5)
	    \psline(1,3.5)(1,2.7) \psline(1,2.3)(1,1.7)\psline(1,1.3)(1,1)
	    \psarc{-}(1,1.5){0.2}{-90}{90} %faire des ponts sur les croissements
	    \psarc{-}(1,2.5){0.2}{-90}{90}
	    \pspolygon(1.5,3.25)(1.5,3.75)(1.95,3.5)
	    \psline(1.95,3.5)(2.35,3.5)
	    \psline(1,3)(2.35,3)
	    \pswedge(2.35,3.25){0.25}{270}{90}
	    \psline(2.6,3.25)(3,3.25)(3,3)(3.4,3)
	    \psline(.5,2.5)(3.4,2.5)
	    \pswedge(3.4,2.75){0.25}{270}{90}
	    \psline(3.65,2.75)(4.05,2.75)(4.05,2.25)(4.45,2.25)
	    \psline(1,2)(1.5,2)
	    \pspolygon(1.5,1.75)(1.5,2.25)(1.95,2)
	    \psline(1.95,2)(2.35,2)
	    \psline(0.5,1.5)(2.35,1.5)
	    \pswedge(2.35,1.75){0.25}{270}{90}
	    \psline(2.6,1.75)(4.45,1.75)
	    \pswedge*(4.45,2){0.25}{270}{90}
	    \psline(1,1)(3.4,1)
	    \psline(.5,.5)(3.4,.5)
	    \pswedge(3.4,.75){0.25}{270}{90}
	    \psline(3.65,.75)(4.45,.75)
	    \psline(.5,0)(4.05,0)(4.05,.25)(4.45,.25)
	    \pswedge*(4.45,0.5){0.25}{270}{90}
	    \psline(4.7,.5)(5.1,.5)(5.1,1)(5.5,1)
	    \psline(4.7,2)(5.1,2)(5.1,1.5)(5.5,1.5)
	    \pswedge*(5.5,1.25){0.25}{270}{90}
	    \psline(5.75,1.25)(6.15,1.25)
	    \rput[Bl](6.35,1.25){$C(x)$}
	    \end{pspicture}
	    &
	    \begin{pspicture}(0,0)(7,3)
	    \psset{dimen=middle,linewidth=.5pt}
	    \rput[Br](0.3,2.5){$x$}
	    \rput[Br](0.3,1.5){$2$}
	    \rput[Br](0.3,1){$5$}
	    \rput[Br](0.3,0.5){$-7$}
	    \rput[Br](0.3,0){$8$}
	    \psline(.5,2.5)(5.2,2.5)
	    \psline(1,2.5)(1,2)(1.4,2)
	    \psline(.5,1.5)(1.4,1.5)
	    \pswedge(1.4,1.75){0.25}{270}{90}
	    \psline(1.65,1.75)(2.05,1.75)(2.05,1.5)(2.45,1.5)
	    \psline(.5,1)(2.45,1)
	    \pswedge*(2.45,1.25){0.25}{270}{90}
	    \psline(2.7,1.25)(3.1,1.25)(3.1,1.5)(3.5,1.5)
	    \psline(3.1,2.5)(3.1,2)(3.5,2)
	    \pswedge(3.5,1.75){0.25}{270}{90}
	    \psline(3.75,1.75)(4.15,1.75)(4.15,1.5)(4.55,1.5)
	    \psline(.5,.5)(4.15,.5)(4.15,1)(4.55,1)
	    \pswedge*(4.55,1.25){0.25}{270}{90}
	    \psline(4.8,1.25)(5.2,1.25)(5.2,1.5)(5.6,1.5)
	    \psline(5.2,2.5)(5.2,2)(5.6,2)
	    \pswedge(5.6,1.75){0.25}{270}{90}
	    \psline(5.85,1.75)(6.25,1.75)(6.25,1.5)(6.65,1.5)
	    \psline(.5,0)(6.25,0)(6.25,1)(6.65,1)
	    \pswedge*(6.65,1.25){0.25}{270}{90}
	    \psline(6.9,1.25)(7.3,1.25)
	    \rput[Bl](7.5,1.25){$D(x)$}
	    \end{pspicture}
	    \end{tabular}
	    }%fin_scalebox
	    \end{center}
    \item Count the number of components and connexions in each of the two machines above. Which on is the most economical ?
    \end{enumerate}
% \item \begin{enumerate}
      \item Draw the most economical machine for the expression $7x^4+5x^3+3x^2+6x+4$.
%       \item Deduce the most econominal form of this expression.
%       \end{enumerate}
% \item More generally, let's suppose you have an expanded algebraic expression. How would you transform it to obtain its most economical form ?
\end{enumerate}



\end{document}




