\documentclass[12pt]{article}\usepackage[Mickael]{ammaths}
\usealgorithms



\begin{document}\nocolor

\livreteuro{1}{Géométrie plane}{Plane geometry}

\vfill

\begin{center}
\includegraphics[height=11cm]{kochsnowflake.eps}\\ \smallskip
\textsf{\small {\sl \textsf{Koch's snowflake, one of the most famous fractals}}}
\end{center}

\vfill

\begin{center}
\fbox{\parbox{12cm}{\sf\small A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
\begin{itemize}
\itemb placer un point dans un repère d'après ses coordonnées ;
\itemb lire les coordonnées d'un point ; 
\itemb calculer les coordonnées du milieu d'un segment ; 
\itemb calculer une distance dans un repère orthonormé ;
\itemb utiliser un repère pour résoudre un problème ;
\itemb lire et appliquer un algorithme.
\end{itemize}}}
\end{center}

\begin{flushright}
\sf\small Aymar de Saint-Seine et Mickaël Védrine\\ Année scolaire 2011/2012
\end{flushright}

\newpage\null\thispagestyle{empty}\newpage%insertion page blange


\exocpart{Repérage de points}
\exoc{Dans le plan, on considère un repère orthonormé \OIJ~et quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$ dans ce repère.\\
\begin{minipage}{10cm}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Donner les coordonnées des points $O$, $I$, $J$, $A$, $B$, $C$ et $D$ dans le repère \OIJ.
	\item Placer le point de $E$ coordonnées $(-1;1)$.
	\end{enumerate}
\item On se place maintenant dans le repère $(D;O,B)$.
 	\begin{enumerate}
	\item Ce repère est-il orthonormé ?
	\item Donner les coordonnées des points $O$, $A$, $B$, $C$ et $D$ dans ce repère.
	\item Placer le point $F$ de coordonnées $(-1;1)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
 \begin{center}\begin{pspicture*}(-2.02,-1.96)(4.04,2.96)
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.75cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt
2,arrowinset=0.25}
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2.02,-1.96)(4.04,2.96)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-2.02,-1.96)(4.04,2.96)
\psdots(0,0)\rput[bl](0.08,0.12){$O$}
\psdots(1,0)\rput[bl](1.08,0.12){$I$}
\psdots(0,1)\rput[bl](0.08,1.12){$J$}
\psdots(2,2)\rput[bl](2.08,2.12){$A$}
\psdots(-1,2)\rput[bl](-0.92,2.12){$B$}
\psdots(2,-1)\rput[bl](2.08,-0.88){$C$}
\psdots(-1,0)\rput[bl](-0.92,0.12){$D$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}


}

\exoc{On considère un repère \OIJ.
\begin{enumerate}
\item Décrire par une phrase, puis représenter graphiquement la position des points dont : 
	\begin{enumerate}
	\item l'abscisse est nulle ;
	\item l'ordonnée est nulle ;
	\item l'abscisse est égale à l'ordonnée.
	\end{enumerate}
\item Tracer avec des couleurs différentes, les ensembles de points dont :
	\begin{enumerate}
	\item l'abscisse est égale à $2$ ;
	\item l'ordonnée est égale à $-3$ ;
	\item l'abscisse ou l'ordonnée est égale à $1$ ;
	\item l'abscisse et l'ordonnée sont égales à $3$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on tracera plusieurs repères. Hachurer, avec des couleurs différentes, les zones du plan où les points sont tels que : 
	\begin{enumerate}
	\item leur abscisse est supérieure à $2$ ;
	\item leur ordonnée est inférieure à $2$ ;
	\item leur abscisse est supérieure à $-3$ et leur ordonnée est inférieure à $1$ ;
	\item leur abscisse est négative et leur ordonnée est positive ;
	\item leur abscisse est négative et leur ordonnée est négative. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}


\exoc{On considère un repère orthonormal $\OIJ$.
\begin{enumerate}
\item Placer dans ce repère les points $A(1;4)$, $B(2;6)$, $C(3;1)$ et $D(5;7)$.
\item \begin{enumerate}
	\item Placer les points $A'$, $B'$, $C'$ et $D'$ images respectives de $A$, $B$, $C$ et $D$ par la symétrie d'axe $(OI)$.
	\item Donner les coordonnées de chacun des points obtenus.
	\item Si le point $M$ a pour coordonnées $(x;y)$, quelles sont les coordonnées de son image par la symétrie d'axe $(OI)$ ?
	\end{enumerate}
\item 	\begin{enumerate}
	\item Placer les points $A''$, $B''$, $C''$ et $D''$ images respectives de $A$, $B$, $C$ et $D$ par la symétrie d'axe $(OJ)$.
	\item Donner les coordonnées de chacun des points obtenus.
	\item Si le point $M$ a pour coordonnées $(x;y)$, quelles sont les coordonnées de son image par la symétrie d'axe $(OJ)$ ?
	\end{enumerate}
\item 	\begin{enumerate}
	\item Placer les points $A'''$, $B'''$, $C'''$ et $D'''$ images respectives de $A$, $B$, $C$ et $D$ par la symétrie de centre $O$.
	\item Donner les coordonnées de chacun des points obtenus.
	\item Si le point $M$ a pour coordonnées $(x;y)$, quelles sont les coordonnées de son image par la symétrie de centre $O$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\begin{minipage}{10.5cm}
\exoc{La figure ci-dessous est constituée d'un carré, d'un rectangle, d'un triangle équilatéral et de deux triangles rectangles isocèles. On sait de plus que $A$ est le milieu de $[GB]$, que $BE=AB$ et que $JK=AB$.\\
Donner les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, $I$, $J$ et $K$ dans le repère $(A;B,D)$.\\
\emph{Indications : Pour trouver les coordonnées des points $H$, $I$, $J$ et $K$, on calculera certaines longueurs grâce
à
des théorèmes classiques de géométrie.}}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-2.5)(4,2.8)
%\psgrid(-2.5,-2.5)(5,2.5)
\pspolygon(0,0)(2,0)(2,2)(0,2)
\pspolygon(2,0)(2,-2)(-2,-2)(-2,0)
\pspolygon(-2,0)(0,0)(-1,1.73)
\pspolygon(2,0)(3.41,0)(2,1.41)
\pspolygon(0,0)(1,-1)(2,0)
\uput[ur](0,0){$A$}
\uput[dr](2,0){$B$}
\uput[ur](2,2){$C$}
\uput[ur](0,2){$D$}
\uput[dr](2,-2){$E$}
\uput[dl](-2,-2){$F$}
\uput[ul](-2,0){$G$}
\uput[ul](-1,2){$H$}
\uput[d](1,-1){$I$}
\uput[r](3.41,0){$J$}
\rput[bl](2,1.41){$K$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}


\begin{minipage}{10.5cm}
\exoc{Consider the figure on the right made of equilateral triangles with side $1$, where $I$ is the midpoint of $HJ$.
\begin{enumerate}
\item Give the coordinates of all the points in the coordinate system $(G;H,D)$.
\item Give the coordinates of all the points in the coordinate system $(A;B,C)$.
\item Give the coordinates of all the points in the coordinate system  $(D;H,E)$.
\end{enumerate}}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\psset{unit=0.4cm}
\pspicture(-5,-11)(5,0)
\pspolygon(0,0)(-1.5,-2.598)(1.5,-2.598)
\pspolygon(-1.5,-2.598)(-3,-5.1962)(0,-5.1962)
\pspolygon(1.5,-2.598)(0,-5.1962)(3,-5.1962)
\pspolygon(3,-5.1962)(4.5,-7.794)(1.5,-7.794)
\pspolygon(-3,-5.1962)(-1.5,-7.794)(-4.5,-7.794)
\pspolygon(0,-5.1962)(-1.5,-7.794)(1.5,-7.794)
\psline(-1.5,-7.794)(-3,-10.392)(-4.5,-7.794)
\psdot(0,-7.794)
\uput[u](0,0){$A$}
\uput[ul](-1.5,-2.598){$B$}
\uput[ur](1.5,-2.598){$C$}
\uput[u](0,-5){$E$}
\uput[dr](4.5,-7.794){$K$}
\uput[dr](-1.75,-7.794){$H$}
\uput[ur](3,-5.1962){$F$}
\uput[ul](-4.5,-7.794){$G$}
\uput[d](1.5,-7.794){$J$}
\uput[d](-3,-10.392){$L$}
\uput[u](-3,-5){$D$}
\uput[u](0,-7.794){$I$}
\endpspicture
\end{center}
\end{minipage}
 
\exoc{On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}\vspace*{-15pt}
\begin{minipage}[t]{9cm}
\IncMargin{1em}
\begin{algorithm}[H]
%\KwData{$(x;y)$  \;}
\Begin{\KwIn{$(x,y)$ coordinates of a point \;}
Place the point $(x,y)$ \;
$x+2 \rightarrow a$ \;
$y+1 \rightarrow b$ \;
Place the point $(a,b)$ in red \;}
\end{algorithm}
\DecMargin{1em}
\end{minipage}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Appliquer l'algorithme à chacun des points suivants : $(1\ ; \ 1)$ ; $(3\ ; \ 1)$ ; $(4\ ; \
2)$ ; $(5\ ; \ 1)$ ; $(5\ ; \ 3)$ ; $(4\ ; \ 4)$ ; $(5\ ; \ 5)$ ; $(3\ ; \ 5)$ ; $(3\ ; \ 3)$ ; $(1\ ; \ 1)$.
\item Quel semble être le rôle de cet algorithme ?
\item \begin{enumerate}
       \item Reprendre les questions précédentes en considérant l'algorithme similaire dans lequel $2x \rightarrow a$ et $2y \rightarrow b$. On tracera une nouvelle figure.
       \item Reprendre les questions précédentes en considérant l'algorithme similaire dans lequel $y \rightarrow a$ et $x \rightarrow b$. On tracera une nouvelle figure.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\pagebreak

% \exoc{\emph{La fractale du dragon}\\
% L'algorithme ci-dessous est un exemple simplifié de la construction d'une figure fractale grâce à la géométrie repérée
% et un algorithme.
% \begin{center}\vspace*{-15pt}
% \begin{minipage}[t]{12cm}
% \IncMargin{1em}
% \begin{algorithm}[H]%\SetLine
% %\KwData{List of point coordinates \;}
% \Begin{\KwIn{$Liste$, List of point coordinates \;}
%   \For{any two consecutive points $A$, $B$ in the list}
%   {$x_A + \dfrac{x_B-x_A}{2} -\dfrac{y_B-y_A}{2} \rightarrow X$ \;
%   $y_A + \dfrac{x_B-x_A}{2} +\dfrac{y_B-y_A}{2} \rightarrow Y$ \;
%   Add in the list the point $(Y,Z)$ between $A$ and $B$ \;}
% }
% \end{algorithm}
% \DecMargin{1em}
% \end{minipage}
% \end{center}
% \begin{enumerate}
% \item Appliquer l'algorithme à la liste : $\{(2;2) ; (10;10)\}$.
% \item Recommencer avec la liste de trois points obtenue à la question 1. %Vous devez obtenir une liste de cinq points.
% \item Recommencer avec la liste de cinq points obtenue à la question 2. %Vous devez obtenir une liste de neufs points.
% \item Placer les neufs points dans un repère orthonormé et les relier dans l'ordre.
% \end{enumerate}
% }



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exocpart{Milieux et longueurs}

\exoc{Dans l'algorithme ci-dessous, $x_A$ et $y_A$ représentent les coordonnées d'un point $A$ et $x_B$, $y_B$ celles
d'un point $B$.
\begin{center}\vspace*{-15pt}
\begin{minipage}[t]{12cm}
\IncMargin{1em}
\begin{algorithm}[H]
%\KwData{$(x_A;y_A)$ and $(x_B;y_B)$ coordinates of two points \;}
\Begin{\KwIn{$(x_A,y_A)$ and $(x_B,y_B)$ coordinates of two points \;}
Draw a cartesian graph \OIJ~\;
Place point $A(x_A,y_A)$ \;
Place point $B(x_B,y_B)$ \;
$\pa{\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}} \rightarrow (x_I,y_I)$ \;
Place $(x_I,y_I)$ \;}
\end{algorithm}
\DecMargin{1em}
\end{minipage}\end{center}
\begin{enumerate}
\item Faire fonctionner cet algorithme dans les deux cas suivants :
      \begin{enumerate}
      \item $A$ a pour coordonnées $(2\ ; \ -1)$ et $B$ a pour coordonnées $(-3\ ; \ 1)$
      \item $A$ a pour coordonnées $(2\ ; \ 2)$ et $B$ a pour coordonnées $(-4\ ; \ 6)$
      \end{enumerate}
\item Quel semble être le rôle de cet algorithme ?
\end{enumerate}
}


% \exoc{\emph{Milieu d'un segment}\\
% On considère un repère quelconque.
% \begin{enumerate}
%  \item \begin{enumerate}
% 	\item Placer sur une figure les points $A(0;4)$ et $B(2;6)$
% 	\item Lire sur la figure les coordonnées du milieu de $[AB]$.
% 	\end{enumerate}
% \item \begin{enumerate}
% 	\item Placer sur une figure les points $C(3;1)$ et $D(5;7)$
% 	\item Lire sur la figure les coordonnées du milieu de $[CD]$.
% 	\end{enumerate}
% \item \begin{enumerate}
% 	\item Placer sur une figure les points suivants $E(-2;4)$ et $F(3;-1)$
% 	\item Lire sur la figure les coordonnées du milieu de $[EF]$.
% 	\end{enumerate}
% \item Proposez une formule donnant les coordonnées du milieu d'un segment à partir des coordonnées des extrémités de ce segment.
% \end{enumerate}
% }

\exoc{In this exercise, we work in an orthonormal coordinate system \OIJ.
\begin{enumerate}
\item Place the points $A(2,0)$ and $B(0,3)$, then compute the length $AB$. 
\item Same question for the points $C(3,4)$ and $D(1,1)$.
\item Let $A(x_A,y_A)$ and $B(x_B, y_B)$ be two points such that $x_B>x_A$ and $y_B>y_A$.
	\begin{enumerate}
	\item Place the point $C(x_A,y_B)$. What can you say about triangle $ABC$ ?
	\item Write formulas for the lengths $AC$ and $BC$, using the coordinates of $A$ and $B$.
	\item Deduce a formula for the length $AB$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\exoc{Préciser si les quadrilatères suivants, définis par les
coordonnées de leurs sommets, sont des parallélogrammes en
étudiant les milieux de leurs diagonales.
\begin{enumerate}
\item $A(1;-3)$ ; $B(4;-1)$ ; $C(2;1)$ et $D(-1;-1)$.
\item $A(-4;1)$ ; $B(-1;2)$ ; $C(-1;-1.5)$ et $D(-4;-2)$.
\item $A(1;2)$ ; $B(1;-1)$ ; $C(-1;1)$ et $D(-1;-2)$.
\end{enumerate}}



\exoc{Préciser si les triangles suivants, définis par les
coordonnées de leurs sommets, sont rectangles, isocèles et/ou
équilatéraux. Chaque propriété devra être démontrée en utilisant
les longueurs. Le repère considéré est orthonormal.
\begin{enumerate}
\item $A(2 ; 3)$ ; $B(-4 ; -2)$ et $C(3 ; -1)$.
\item $A(-3 ; 1)$ ; $B(-3 ; -2)$ et $C(-1 ; -2)$.
\item $A(2 ; 2)$ ; $B(0 ; -2)$ et $C(-1 ; 1)$.
\item $A(1 ; 2)$ ; $B(3 ; 4)$ et $C(0 ; 4)$.
\end{enumerate}
}




\exoc{In an orthonormal coordinate system $\OIJ$, consider the points $A(1,-1)$, $B(3,1)$ and $C(-1,3)$. 
A precise figure will be drawn, with graphical unit 1 cm on both axes.
\begin{enumerate}
\item Place the points $A$, $B$ and $C$.
\item Find out the nature of triangle $ABC$.
\item Compute the coordinates of the point $M$, midpoint of the segment $AC$.
\item Compute the coordinates of the point $D$, symmetric of $B$ around point $M$.
\item Find out the nature of quadrilateral $ABCD$.
\end{enumerate}}

\exoc{Dans un repère orthonormé \OIJ, on considère les points $A(2;1)$, $B(4 ; 2)$ et $C(-1 ; -1)$. Soit $D$ le symétrique de $B$ par rapport à $A$ et $E$ le symétrique de $C$ par rapport à $A$ , $M$ et $N$ sont les milieux respectifs des segments $[CD]$ et $[EB]$.
\begin{enumerate}
 \item Placer les points dans le repère.
 \item Déterminer les coordonnées des points $D$, $E$, $M$ et $N$.
 \item Démontrer que $A$ est le milieu du segment $[MN]$.
\end{enumerate}}


\exoc{On considère un repère orthonormé $\OIJ$ et les points $A(-1;2)$ et $B(2 ; 3)$.
\begin{enumerate}
\item Quel est le rayon du cercle $\Co$ de centre $A$ passant par $B$ ?
\item Déterminer les coordonnées du points $C$, diamétralement opposé à $B$ sur $\Co$.
\item Montrer que le point $D$ de coordonnées $(-2;5)$ appartient à $\Co$.
\item Quelle est la nature du triangle $BCD$ ?
\end{enumerate}
}


\exoc{Soit $x$ un réel quelconque. On prend les points $A(-3;1)$ et $B(2x-1;2x)$.
\begin{enumerate}
 \item Placer le point $B$ pour $x=0$, pour $x=2$ et enfin pour $x=8$.
 \item Quelles relations doit vérifier $x$ pour que $B$ soit le milieu de $[OA]$ ? Est-ce possible ? si oui, donner les coordonnées de $B$ correspondantes.
\item \begin{enumerate}
      \item Calculer les longueurs $OA$, $OB$ et $AB$ en fonction de $x$.
      \item En déduire une équation d'inconnue $x$ vérifiées lorsque les droites $(OA)$ et $(OB)$ soient perpendiculaires.
      \item En déduire les valeurs de $x$ pour lesquelles cette propriété est vérifiée. Quelles sont les coordonnées du point $B$ correspondant ?
      \end{enumerate}
\end{enumerate}}


\exoc{En s'inspirant de l'algorithme permettant de calculer les coordonnées du milieu de deux points, écrire un algorithme permettant de calculer la distance entre deux points.}

\exoc{Dans l'algorithme ci-dessous, on saisit les coordonnées de trois points $A$, $B$ et $C$ dans un repère orthonormé.
\begin{center}\vspace*{-15pt}
\begin{minipage}[t]{14cm}
\IncMargin{1em}
\begin{algorithm}[H]
%\KwData{$(x_A;y_A)$ ; $(x_B;y_B)$ and $(x_C;y_C)$ coordinates of three points \;}
\Begin{\KwIn{$(x_A,y_A)$ ; $(x_B,y_B)$ and $(x_C,y_C)$ coordinates of three points \;}
$(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2 \rightarrow D$ \;
$(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2 \rightarrow E$ \;
\eIf{$E=D$}{\KwOut{``the triangle is \dots`` \;}}{\KwOut{``the triangle is not \dots'' \;}}
}
\end{algorithm}
\DecMargin{1em}
\end{minipage}\end{center}
\begin{enumerate}
\item Que faut-il écrire sur les pointillés ? Quel est le rôle de cet algorithme ?
\item Proposer une modification de l'algorithme afin qu'il indique si un triangle $ABC$ est rectangle en $B$ ou non.
\end{enumerate}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exocpart{Démontrer avec la géométrie analytique}

\exoc{Soit $ABCD$ un parallélogramme. On note $I$, $J$, $K$ et $L$ les symétriques respectifs de $A$, $B$, $C$ et $D$ par rapport à $B$, $C$, $D$ et $A$. On se place dans le repère $(A;B,D)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des 8 points dans ce repère.
\item Démontrer alors que $IJKL$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}
}

\exoc{Let $ABCD$ be a parallelogram with center $I$.\\
Place a point $M$ on segment $AB$, different from $A$ and $B$, then the point $N$ on segment $CD$ such that
$AM=CN$. The aim of this exercise is to prove, by different methods, that $I$ is the midpoint of segment $MN$.
\begin{enumerate}
 \item Using a classic configuration :
 	\begin{enumerate}
 	 \item Prove that $AMCN$ is a parallelogram.
 	 \item Deduce that $I$ is the midpoint of segment "$MN$.
 	\end{enumerate}
\item Using a transformation : Let $s$ be the symmetry around point $I$.
	\begin{enumerate}
	 \item Find our the images of point $A$, point $B$ and segment $AB$ under symmetry $s$.
	 \item Deduce the image of $M$ under $s$.
	 \item Conclude.
	\end{enumerate}
\item Using a coordinate system : Let $x$ be the abscissa of point $M$ in the coordinate system $(A;B,D)$.
	\begin{enumerate}
	 \item Give the coordinates of points $A$, $B$, $C$, $D$, $I$ and $M$.
	 \item Find out the coordinates of point $N$.
	 \item Conclude.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\pagebreak
\exoc{\emph{Varignon's theorem}.\\
Let $ABCD$ be a quadrilateral, with $R$, $S$, $T$ and $U$ the respective midpoints of segments $AB$, $BC$,
$CD$ and $DA$.
\begin{enumerate}
\item Conjecturing a property :
	\begin{enumerate}
	\item Draw a figure.
	\item What can you conjecture about quadrilateral $RSTU$ ?
	\end{enumerate}
\item Proving with classic geometry :
	\begin{enumerate}
	\item Prove that $RS$ is parallel to $AC$ and that $RS=\frac{AC}{2}$.
	\item Prove that $TU$ is parallel to $AC$ and that $TU=\frac{AC}{2}$.
	\item Deduce the nature of quadrilateral $RSTU$.
	\end{enumerate}
\item Proving with a coordinate system : Consider the coordinate system $(A;B,D)$. Let's denote $(x;y)$ the coordinates
of point $C$.
	\begin{enumerate}
	\item Give the coordinates of points $A$, $B$ and $D$.
	\item Give the coordinates of points $R$, $S$, $T$, and $U$ -- you may need to use the unknowns $x$ and $y$ for
some of them.
	\item Compute the coordinates of the midpoints of segments $RT$ and $SU$.
	\item Deduce the nature of quadrilateral $RSTU$.
	\end{enumerate}
\item Write in English the property you proved in this exercise, known as Varignon's theorem.
\end{enumerate}}


% \exoc{Soit $ABCD$ un carré de côté $6cm$. Soient $P$ le point du segment $[AB]$ tel que $AP=\frac{1}{3}AB$ et $Q$ le
% point de la demi-droite $[DA)$ tel que $DQ=\frac{3}{2}DA$.\\
% Le but de cet exercice est de montrer l'alignement des points $Q$, $P$ et $C$ par différentes méthodes.
% \begin{enumerate}
%  \item Utilisation d'une configuration géométrique :\\
%  	Soit $P'$ le point d'intersection des droites $(AB)$ et $(QC)$. Nous allons démontrer que les points $P$ et $P'$
% sont confondus.
%  	\begin{enumerate}
%  	 \item Montrer que $\frac{P'A}{P'B}=\frac{QA}{BC}$.
%  	 \item En déduire que $P'A=\frac{1}{2}P'B$.
%  	 \item Conclure.
%  	\end{enumerate}
% \item Utilisation d'un repère :
% 	\begin{enumerate}
% 	\item Déterminer les coordonnées des points $P$ et $Q$ dans le repère $(D,C,A)$.
% 	\item Calculer les longueurs $CP$, $PQ$ et $CQ$.
% 	\item Conclure.
% 	\end{enumerate}
% \end{enumerate}}


\exoc{Soit $ABCD$ un carré. Soient $I$ et $J$ les milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[AD]$. Soit $K$ le point d'intersection des droites $(ID)$ et $(BJ)$. Le but de cet exercice est de montrer que les points $A$, $K$ et $C$ sont alignés.
\begin{enumerate}
 \item Utilisation d'une configuration :
	\begin{enumerate}
	\item Que représente $K$ pour le triangle $ABD$ ?
	\item Démontrer que si $O$ désigne le milieu de $[BD]$, alors $A$, $K$ et $O$ sont alignés.
	\item En déduire que $A$, $K$ et $C$ sont alignés.
	\end{enumerate}
\item Utilisation d'un repère :
	\begin{enumerate}
	\item Justifier que le repère  $(A;B,D)$ est orthonormé.
	 \item Quelles sont les coordonnées des points $J$ et $C$ dans le repère ?
	 \item En utilisant le fait que $BK=\frac{2}{3}BJ$, calculer les coordonnées du point $K$.
	 \item Calculer les longueurs des segments $CK$, $KA$ et $AC$.
	 \item Conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\pagebreak
\en
\partie{Homework \#1 -- The Heighway dragon, part 1}

\setcounter{probpart}{0}

The object of this exercise is a famous ``dragon curve'', called the Heighway dragon, named after one of the scientists
who first studied it, John Heighway, a NASA physicist. 

Like all dragon curves, it can be defined by a simple recursive process, with a base and a motif.

\probpart{ -- Pencil and paper construction}

\begin{multicols}{2}

Starting from a base segment, replace each segment by 2 segments with a right angle.
If $A$ and $B$ are the extremities of the segment, the new point $C$ forms an isosceles and right-angled triangle, to
the left of the initial segment when moving from $A$ to $B$. The side $AB$ is then erased. This construction is called
the \emph{dragon from $A$~to~$B$}.

\begin{center}
\psset{unit=2.5cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
\def\xmin{-0.5}\def\ymin{-0.5}\def\xmax{1.5}\def\ymax{1.2}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psdots(0,0)(1,1)(0,1)
\rput(-0.1,0.1){$A$}\rput(1.1,1.1){$B$}\rput(-0.1,1.1){$C$}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,1)(1,1)
\rput(0.5,-0.4){\emph{dragon (step 1)}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{multicols}

For the next step of the construction, we build the dragon from $C$ to $A$ and the dragon from $C$ to $B$, thus
defining two new points $D$ and $E$.

\begin{center}
\psset{unit=2cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
\def\xmin{-0.5}\def\ymin{-0.5}\def\xmax{1.5}\def\ymax{1.7}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psdots(0,0)(1,1)(0,1)
\rput(-0.1,0.1){$A$}\rput(1.1,1.1){$B$}\rput(-0.1,1.1){$C$}
\psdots(0.5,0.5)(0.5,1.5)\rput(0.6,0.4){$D$}\rput[dl](0.6,1.6){$E$}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,1)(1,1)
\rput(0.5,-0.4){\emph{new points}}
\end{pspicture*}
\hspace{2 cm}
\psset{unit=2cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
\def\xmin{-0.5}\def\ymin{-0.5}\def\xmax{1.5}\def\ymax{1.7}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psdots(0,0)(1,1)(0,1)
\rput(-0.1,0.1){$A$}\rput(1.1,1.1){$B$}\rput(-0.1,1.1){$C$}
\psdots(0.5,0.5)(0.5,1.5)\rput(0.6,0.4){$D$}\rput[dl](0.6,1.6){$E$}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0.5,0.5)(0,1)(0.5,1.5)(1,1)
\rput(0.5,-0.4){\emph{dragon (step 2)}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Draw a segment $AB$ with length 8cm, then place the point C to draw the first the dragon step,
as explained above. Don't forget that the dragon is drawn on the left and to erase the segment $[AB]$ at the end
of the process.
\item On a new figure, draw the second dragon step, as explained above, with the two new points $D$ and $E$.
\item For step 3, on a third figure, draw the dragons from $D$ to $A$, from $D$ to $C$, from $E$ to $C$
and from $E$ to $B$. This will define 4 new points, called $F$, $G$, $H$ and $I$.
\item For step 4, on a fourth figure, draw the dragons from each new point to its two neighbors. This
will define eight points. At this point, you should have drawn four separate figures, one for each step.
\end{enumerate}

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\probpart{ -- With a little help from a computer}

The Heighway dragon can also be constructed in a coordinate system $\OIJ$. Given the two points $M$ and $N$, we can
use the algorithm below to get the coordinates of the new point $P$ in the dragon from $M$ to $N$.

\begin{center}\vspace*{-15pt}
\begin{minipage}[t]{12cm}
\IncMargin{1em}
\begin{algorithm}[H]%\SetLine
%\KwData{List of point coordinates \;}
\Begin{\KwIn{Two pairs of coordinates $(x_M,y_M)$ and $(x_N,y_N)$ \;}
   $x_M + \dfrac{x_N-x_M}{2} -\dfrac{y_N-y_M}{2} \rightarrow x_P$ \;
   $y_M + \dfrac{x_N-x_M}{2} +\dfrac{y_N-y_M}{2} \rightarrow y_P$ \;
   The coordinates of point $P$ are $(x_P,y_P)$ \;
 }
\end{algorithm}
\DecMargin{1em}
\end{minipage}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Reproduce in a spreadsheet the table below. At the end of the homework, send your spreadsheet to the
teacher, under the name {\tt HW1-Yourname.ods}.
	\begin{center}
	\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}\hline
	A & B & C & D & E  \\ \hline
	1 & xM & 2  &   &   \\ \hline
	2 & yM & 2  &   &   \\ \hline
	3 &   &   & xP  &   \\ \hline
	4 &   &   & yP  &   \\ \hline
	5 & xN & 10 &   &   \\ \hline
	6 & yN & 10 &   &   \\ \hline
	\end{tabular}
	\end{center}
\item What formula must be entered in cell $E3$ to get the abscissa of point $P$ ?
\item What formula must be entered in cell $E4$ to get the ordinate of point $P$ ?
\end{enumerate}

Consider the points $A(2,2)$ and $B(10,10)$.
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{3}
\item	\begin{enumerate}
	\item Use the spreadsheet to compute the coordinates of the point $C$, constructed in the
dragon from $A$ to $B$. Give clearly the results on your paper.
	\item Use Geogebra to place the points $A$, $B$ et $C$ (you just have to enter the coordinates of the point
in the Input field). At the end of the homework, send your Geogebra file to the teacher, under the name {\tt
HW1-Yourname.ggb}.
	\end{enumerate}
\item	\begin{enumerate}
	\item Use the spreadsheet to compute the coordinates of the point $D$ (dragon from $C$ to $A$) and the point $E$
(dragon from $C$ to $B$).
	\item Place these new points on your Geogebra figure.
	\end{enumerate}
\item	\begin{enumerate}
	\item Use the spreadsheet to compute the coordinates of the points $F$, $G$, $H$, $I$ (respectively dragons
from $D$ to $A$, from $D$ to $C$, from $E$ to $C$, and from $E$ to $B$).
	\item Place these new points on your Geogebra figure.
	\end{enumerate}
\item	\begin{enumerate}
	\item Use the spreadsheet to find the 8 new points in the next step.
	\item Join the points to build the final step figure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


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\partie{Homework \#2 -- The Heighway dragon, part 2}

\setcounter{probpart}{0}

In this second homework about the dragon curve, we will study the length of the curve.


For this part, at any given step, we call $\ell$ the length of one segment, $N$ the number of segments and $L$ the
total length of the curve. The table below will be copied on your paper and filled in the next questions. Don't try to
fill it at the beginning of the part.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
 & Step 0 & Step 1 & Step 2 & Step 3 & Step 4 & Step 5 & Step 6 \\
\hline
$N$ & $1$ & & & & & & \\
\hline
$\ell$ & $8$ & & & & & & \\
\hline
$L$ & $8$ & & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

{\bf\textsf{Preliminary question : }}Explain the values given in the table for step 0.

\probpart{-- The numbers of segments, $N$}

\begin{enumerate}
\item Count the number of segments at steps 1, 2, 3, 4 and put the values in the table.
\item Find out the number of segments there will be at steps 5 and 6. Explain your results.
\item More generally, find the formula that gives the number of segments at step $n$, where $n$ is any
whole number. You don't need to prove it.
\end{enumerate}

\probpart{-- The length of one segment, $\ell$}

\begin{enumerate}
\item Consider an isosceles and right-angled triangle whose hypotenuse has length $a$.
Use a famous theorem to prove that the length of the other two sides is $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
\item Use the previous question to compute the length of each segment in step 1. Give the exact value, not an
approximate.
\item Compute the length of each segment in step 2.
\item In the same way, compute the length of each segment in step 3, then in step 4. Give exact values.
\item Copy all these values in the table.
\item Check that $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Deduce an easy way to compute the length of a segment
at one step from the length in the previous step.
\item Use the previous question to compute the length of each segment in step 5, then in step 6. Give exact
valeurs and put these values in the table.
\item In what step is the length of a segment equal to $\frac{1}{4}$ ?
\end{enumerate}


\probpart{-- The total length of the curve, $L$}

\begin{enumerate}
\item Find a simple relation between the numbers $N$, $\ell$ and $L$.
\item Use this formula to fill the $L$-row in the table. Use only exact values.
\item From what step is the total length of the curve greater than 500 ?
\item The Heighway dragon is in fact the curve you get after infinitely many steps. What do you think of the length of
that curve ?
\end{enumerate}



\newpage
\raz \fr
\partie{Devoir de l'année précédente}

Dans cet exercice, on considère un carré $ABCD$. Nous allons étudier dans plusieurs cas
particuliers une situation d'alignement. On effectuera une figure différente pour chaque partie. On placera le carré de
sorte que le point $A$ soit en bas à gauche, le point $B$ en haut à gauche, et ainsi de suite dans le sens des
aiguilles d'une montre. On se place dans le repère $(A;B,D)$.

\smallskip

{\bf \textsf{Questions préliminaires :}}
\begin{enumerate}
 \item De quel type le repère $(A;B,D)$ est-il ?
 \item Donner, sans justification, les coordonnées des sommets du carré dans ce repère.
\end{enumerate}


\probpart{-- Premier cas particulier}

Dans cette partie, les points $E$ et $F$ sont tels que $B$ est le milieu de $[AE]$ et $D$ est le milieu de $[AF]$.
Avant de les avoir calculé, on note $(x_E;y_E)$ et $(x_F;y_F)$ les coordonnées des points $E$ et $F$. En cas d'échec
aux questions 1 et 2, on pourra lire ces coordonnées graphiquement.

\begin{enumerate}
\item Faire une figure précise.
\item \begin{enumerate}
  \item Exprimer en fonction de $x_E$ et $y_E$ les coordonnées du milieu du segment $[AE]$.
  \item Déduire de l'énoncé et de la question précédente des équations permettant de trouver les valeurs de $x_E$
et $y_E$.
  \item Résoudre les équations de la question précédente et donner les coordonnées du point~$E$.
  \end{enumerate}
\item En suivant la même méthode, déterminer les coordonnées du point $F$.
\item Déterminer les coordonnées du milieu du segment $[EF]$.
\item Que peut-on en déduire pour les points $E$, $C$ et $F$ ?
\item Calculer la longueur $EF$ en utilisant les coordonnées des points $E$ et $F$.
\end{enumerate}


\probpart{-- Deuxième cas particulier}

Dans cette partie, les points $E$ et $F$ ont pour coordonnées respectives $(0;\frac32)$ et $(3;0)$.

\begin{enumerate}
\item Faire une figure précise.
\item Déterminer les coordonnées du point $G$, milieu de $[CF]$.
\item Prouver que $C$ est le milieu du segment $[EG]$.
\item Que peut-on en déduire pour les points $E$, $C$ et $F$ ?
\item Calculer la longueur $EF$ en utilisant les coordonnées des points $E$ et $F$.
\end{enumerate}


\probpart{-- Troisième cas particulier}

Dans cette partie, les points $E$ et $F$ ont pour coordonnées respectives $(0;\frac43)$ et $(4;0)$.

\begin{enumerate}
\item Faire une figure précise.
\item Déterminer les coordonnées du point $G$, milieu de $[EF]$.
\item Prouver que $C$ est le milieu du segment $[EG]$.
\item Que peut-on en déduire pour les points $E$, $C$ et $F$ ?
\item Calculer la longueur $EF$ en utilisant les coordonnées des points $E$ et $F$.
\end{enumerate}

\probpart{-- Le cas général}

Dans cette partie, toute trace de recherche et de réflexion, même incomplète ou basée sur des exemples, sera valorisée.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on définit le point $F$ comme le point de coordonnées $(n;0)$.

\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire de la position du point $F$ ?
\item Conjecturer, en fonction de $n$, les coordonnées du point $E$ de l'axe $(AB)$ tel que $E$, $C$ et $F$ soient
alignés.
\item Quand $n$ augmente, que se passe-t-il pour la distance $EF$ ?
\end{enumerate}

\newpage\null\thispagestyle{empty}\newpage

\lastpage{\episode{Basic geometry vocabulary}{01}
\episode{Classic configurations}{02}
\episode{Special lines in a triangle}{03}
\episode{Time's Up Geometry}{04}
\episode{Algorithms}{AP01}
\episode{Using the calculator}{AP02}
}


\end{document}
