\documentclass[12pt]{book}\usepackage[Mickael]{ammaths}\usetikz\begin{document}

\chapitre{1}{Géométrie plane/Plane geometry}{2nd}
\begin{minipage}{16cm}\tableofcontents\end{minipage}
\newpage







\section{Repérage dans le plan}
\subsection{Notion de repère}
\defi{Repère}{Soient $O$, $I$, $J$ trois points distincts et non alignés du plan. Ces trois points définissent deux
directions, les droites $(OI)$ et $(OJ)$, et deux unités, les distances $OI$ et $OJ$. Le triplet $\OIJ$ constitue 
alors un \defin{repère cartésien} du plan.
   \begin{itemize}
      \item le point $O$ est appelé \defin{origine} du repère ;
      \item la droite $(OI)$ est appelée \defin{axe des abscisses} ;
      \item la droite $(OJ)$ est appelée \defin{axe des ordonnées}.
\end{itemize}}

\eng{Cartesian coordinate system}{A \emph{cartesian coordinate system} is made
of three distinct and non collinear
points, $(0,I,J)$. The point $0$ is the \emph{origin}, the line $(OI)$ is the \emph{$x$-axis} and the line $(OJ)$ is the
\emph{$y$-axis}.}


\defi{Repère orthogonal - Orthonormal}{
Si les droites $(OI)$ et $(OJ)$ sont perpendiculaires, alors le repère est dit \defin{orthogonal}.\\
Si les droites $(OI)$ et $(OJ)$ sont perpendiculaires et si en plus $OI$=$OJ$, alors le repère est dit \defin{orthonormal}.}

\illus{}{\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\pspicture(-2,-1)(2,2)
\psline{->}(-1.5,-0.6)(1.5,0.6)
\psline{->}(-0.25,-0.75)(0.75,2.25)
\uput[dl](-0.1,-0.2){$O$}
\uput[d](1,0.4){$I$}\psdots(1,0.4)
\uput[l](0.5,1.5){$J$}\psdots(0.5,1.5)
\endpspicture
& \pspicture(-2,-1)(2,3)
\psline{->}(-1.5,0)(1.5,0)
\psline{->}(0,-0.75)(0,2.25)
\uput[dl](0,0){$O$}
\uput[d](1,0){$I$}\psdots(1,0)
\uput[l](0,0.5){$J$}\psdots(0,0.5)
\endpspicture
& \pspicture(-2,-1)(2,3)
\psline(-1.5,0)(1.5,0)
\psline(0,2.25)(0,-0.75)
\uput[dl](0,0){$O$}
\uput[d](0.5,0){$I$}\psdots(0.5,0)
\uput[l](0,0.5){$J$}\psdots(0,0.5)
\endpspicture \\
Repère quelconque & Repère orthogonal
& Repère orthonormé \\
\end{tabular}
\end{center} }

\subsection{Coordonnées de points}
On considère la figure suivante.
$$\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-3,-2.96)(5.04,2.96)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3,-2.96)(5.04,2.96)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-2.96)(5.04,2.96)
\psdots(0,0)\rput[bl](0.08,0.12){$O$}
\psdots(1,0)\rput[bl](1.08,0.12){$I$}
\psdots(0,1)\rput[bl](0.08,1.12){$J$}
\psdots(4,2)\rput[bl](4.08,2.12){$M$}\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,2)(0,2)
\psdots(-2,1)\rput[bl](-1.92,1.12){$N$}
\psdots(1,-2)\rput[bl](1.08,-1.88){$P$}
\end{pspicture*}$$

\defi{Coordonnée dun point}
{Le point $M$ du plan est repéré par deux nombres qu'on appelle ses \defin{coordonnées}.\\
Le nombre $4$ est l'\defin{abscisse} du point $M$. On le note souvent $x_M$.\\
Le nombre $2$ est l'\defin{ordonnée} du point $M$. On le note souvent $y_M$.\\
On note $M(4\ ;\ 2)$.}

\eng{Coordinates}{The \defin{coordinates} $(x,y)$ of a point are made of a couple of numbers, the \defin{abscissa} and
the \defin{ordinate}. They define uniquely the position of the point on the plane.}

\rem{On écrit toujours l'abscisse en premier et l'ordonnée en second. Sur la figure, on peut voir que le point repéré par les coordonnées $(-2,1)$, qui est le point $N$, n'est pas le même que le point repéré par les coordonnées $(1,-2)$, qui est le point $P$.}

\section{Calcul sur les coordonnées}
\theo{Points confondus}
{Dans le plan muni d'un repère quelconque $\OIJ$, deux points
$M$ et $N$ du plan de coordonnées respectives $(x_M;y_M)$ et
$(x_N;y_N)$ sont confondus si et seulement si ils ont les même
coordonnées.}

\theo{Coordonnées du milieu d'un segment}
{Dans le plan muni d'un repère quelconque $\OIJ$, on considère les points $M(x_M;y_M)$, et $N(x_N;y_N)$
Le milieu $I$ du segment $[MN]$ a pour coordonnées : 
$$I\pa{\frac{x_M+x_N}{2}\ ;\ \frac{y_M+y_N}{2}}$$}

\eng{Midpoint}{The coordinates of the midpoint of a segment $[AB]$ are
$\left(\dis\frac{x_A+x_B}{2},\dis\frac{y_A+y_B}{2}\right).$}

\exe{Soit $R(5;7)$ et $S(3;9)$. Les coordonnées du point $I$ milieu de $[RS]$ sont 
$$I\pa{\frac{x_R+x_S}{2}\ ;\ \frac{y_R+y_S}{2}}$$
$$I\pa{\frac{5+3}{2}\ ;\ \frac{7+9}{2}}$$
$$I(4;8)$$
}

\rem{Le milieu du segment $[MN]$ est en quelque sorte la moyenne des
deux points. Ses coordonnées sont les moyennes des coordonnées des
extrémités du segment.}


\theo{Longueur d'un segment}
{Dans le plan muni d'un repère \defin{orthonormé} $\OIJ$, on considère les points $M(x_M;y_M)$, et $N(x_N;y_N)$
La longueur du segment $[MN]$ est $$MN=\sqrt{(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2}$$}


\begin{multicols}{2}
\dem{On suppose pour simplifier la démonstration que $x_N>x_M>0$ et $y_N>y_M>0$. Considérons le point $C$ de
coordonnées $(x_M;y_N)$. Le repère étant orthonormé, le triangle $MNC$ est alors rectangle en $C$, et il est clair que les côtés $[MC]$ et $[NC]$ vérifient $MC=x_N-x_M$ et $NC=y_N-y_M$. Or d'après la théorème de Pythagore, on sait que $MN^2=MC^2+NC^2$. On en déduit
que $MN^2=(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2$ et donc $MN=\sqrt{(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2}$.}

%\fig{7cm}{
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-1,-2)(5,6)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,labels=none]{->}(0,0)(-1,-1)(5,5)
\psdots(1,0)\uput[d](1,0){$I$}
\psdots(0,1)\uput[l](0,1){$J$}
\psdots(0,0)\uput[dl](0,0){$O$}
\psdots(4,4)\uput[ur](4,4){$M$}
\psdots(1,2)\uput[dl](1,2){$N$}
\psdots(4,2)\uput[dr](4,2){$C$}
\pspolygon(1,2)(4,2)(4,4)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\eng{Distance in a orthonormal coordinate system}
{The distance $AB$ is equal to $\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.}

\exe{Dans un repère orthonormé, soient $R(5;7)$ et $S(3;9)$.\\
La distance $RS$ est égale à :
\begin{eqnarray*}
RS&=&\sqrt{(x_S-x_R)^2+(y_S-y_R)^2}\\
RS&=&\sqrt{(3-5)^2+(9-7)^2}\\
RS&=&\sqrt{(-2)^2+(2)^2}\\
RS&=&\sqrt{8}\\
RS&=&2\sqrt{2}
\end{eqnarray*}
}

\end{document}
