\documentclass[12pt,twoside]{article}

\usepackage[Mickael]{ammaths}
\usepackage{wrapfig}





\begin{document}
%\nocolor

\chapitre{1}{Géométrie plane\\ Plane geometry}{Seconde européenne}



%\section{Notion de repère}

\defi{Concept de repère du plan}{Soient $O$, $I$, $J$ trois points du plan distincts et non alignés. Ces trois points
définissent deux
directions, les droites $(OI)$ et $(OJ)$, et deux unités, les distances $OI$ et $OJ$. Le triplet $(O;I,J)$ constitue
alors un \emph{repère cartésien} du plan. 
\begin{itemize}
\item Le point $O$ est l'\emph{origine} du repère.
\item La droite $(OI)$ est l'\emph{axe des abscisses}. 
\item La droite $(OJ)$ est l'\emph{axe des ordonnées}.
\end{itemize}
}


\eng{Cartesian coordinate system}{A \emph{cartesian coordinate system} is made
of three distinct and non collinear
points, $(O;I,J)$. The point $O$ is the \emph{origin}, the line $(OI)$ is the \emph{$x$-axis} and the line $(OJ)$ is the
\emph{$y$-axis}.}

\defi{Repères orthogonaux et orthonormaux}{Si les droites $(OI)$ et $(OJ)$ sont perpendiculaires, on dit que le repère
est \defin{orthogonal}.\\ Si le repère est orthogonal et si de plus $OI$=$OJ$, alors on dit qu'il est
\defin{orthonormal}.}

\illus{Les trois types de repères}{\begin{tabular}{ccc}
\pspicture(-2,-1)(2,1.8)
\psline{->}(-1.5,-0.6)(1.5,0.6)
\psline{->}(-0.25,-0.75)(0.75,2.25)
\uput[dl](-0.1,-0.2){$O$}
\uput[d](1,0.4){$I$}\psdots(1,0.4)
\uput[l](0.5,1.5){$J$}\psdots(0.5,1.5)
\endpspicture
& \pspicture(-2,-1)(2,2.3)
\psline{->}(-1.5,0)(1.5,0)
\psline{->}(0,-0.75)(0,2.25)
\uput[dl](0,0){$O$}
\uput[d](1,0){$I$}\psdots(1,0)
\uput[l](0,0.5){$J$}\psdots(0,0.5)
\endpspicture
& \pspicture(-2,-1)(2,1.8)
\psline(-1.5,0)(1.5,0)
\psline(0,2.25)(0,-0.75)
\uput[dl](0,0){$O$}
\uput[d](0.5,0){$I$}\psdots(0.5,0)
\uput[l](0,0.5){$J$}\psdots(0,0.5)
\endpspicture \\
Repère quelconque & Repère orthogonal
& Repère orthonormé \\
\end{tabular}}



%\section{Coordonnées d'un point}

\begin{multicols}{2}


%\subsection{Définition et notation}

\txt{Considérons un repère quelconque $(O;I,J)$ et un point $M$ dans ce repère. Soit $H$ le point d'intersection de la
droite $(OI)$ avec la parallèle à $(OJ)$ passant par $M$, et $K$ le point d'intersection de la
droite $(OJ)$ avec la parallèle à $(OI)$ passant par $M$.}

\illus{Coordonnées}{
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-1.3,-1.22)(3.6,4.42)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,labels=none]{->}(0,0)(-1.3,-1.22)(3.46,4.42)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](0,3.36)(2.7,3.36)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](2.7,3.36)(2.7,0)
\psdots[linecolor=blue](2.7,3.36)
\uput[ur](2.7,3.36){\blue{$M$}}
\psdots[linecolor=darkgray](2.7,0)
\uput[d](2.7,0){\darkgray{$H$}}
\psdots[linecolor=darkgray](0,3.36)
\uput[l](0,3.36){\darkgray{$K$}}
\psdots[linecolor=red](1,0)
\uput[d](1,0){\red{$I$}}
\psdots[linecolor=red](0,1)
\uput[l](0,1){\red{$J$}}
\psdots[linecolor=darkgray](0,0)
\uput[dl](0,0){\darkgray{$O$}}
\end{pspicture*}
}

\end{multicols}

\begin{multicols}{2}

\defi{Abscisse et ordonnée}{On note $x$, et on appelle \defin{abscisse de $M$ dans le repère} la distance entre le
point $O$ et le point $H$,
avec un signe positif si $I$ et $H$ sont du même côté de $O$, et négatif sinon. De même, l'\defin{ordonnée de $M$ dans
le repère}, notée $y$, est la distance entre le point $O$ et le point $K$, avec un signe positif si $J$ et $K$ sont du
même côté de $O$ et négatif sinon.}

\illus{Les 4 cadrans}{
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-4,-3)(4,3)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,labels=none]{->}(0,0)(-4,-3)(4,3)
\psdots[linecolor=red](1,0)
\uput[d](1,0){\red{$I$}}
\psdots[linecolor=red](0,1)
\uput[l](0,1){\red{$J$}}
\psdots[linecolor=darkgray](0,0)
\uput[dl](0,0){\darkgray{$O$}}
\uput[ur](1,1){$\left\{\begin{array}{l}x\geq 0\\y\geq 0\end{array}\right.$}
\uput[dr](1,-1){$\left\{\begin{array}{l}x\geq 0\\y\leq 0\end{array}\right.$}
\uput[dl](-1,-1){$\left\{\begin{array}{l}x\leq 0\\y\leq 0\end{array}\right.$}
\uput[ul](-1,1){$\left\{\begin{array}{l}x\leq 0\\y\geq 0\end{array}\right.$}
\end{pspicture*}
}

\end{multicols}

\defi{Coordonnées d'un point}{Le couple $(x;y)$ défini ci-dessus constitue les \defin{coordonnées} de $M$ dans le repère
$\OIJ$. Il définit de manière unique la position du point $M$ dans le plan.} 

\eng{Coordinates}{The \defin{coordinates} $(x,y)$ of a point are made of a couple of numbers, the \defin{abscissa} and
the \defin{ordinate}. They define uniquely the position of the point on the plane.}

\prop{Points confondus et coordonnées}{Deux points du plan sont confondus si et seulement si ils ont les mêmes
coordonnées, quel que soit le repère utilisé.}

%\section{Deux formules essentielles}

\txt{Dans la suite, on considère deux points du plan $A$ et $B$ et leurs coordonnées respectives $(x_A;y_A)$ et
$(x_B;y_B)$ dans un repère du plan.}

\prop{Coordonnées du milieu d'un segment}{Les coordonnées du milieu du segment $[AB]$ sont
$\left(\dis\frac{x_A+x_B}{2};\dis\frac{y_A+y_B}{2}\right).$}

\eng{Midpoint}{The coordinates of the midpoint of a segment $AB$ are
$\left(\dis\frac{x_A+x_B}{2};\dis\frac{y_A+y_B}{2}\right).$}

\rem{Le milieu du segment $[MN]$ est en quelque sorte la moyenne des
deux points. Ses coordonnées sont les moyennes des coordonnées des
extrémités du segment.}

\prop{Distance dans un repère orthonormal}{Si le repère est orthnormé, alors la distance $AB$ est donnée par la formule
: $$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.$$}

\begin{multicols}{2}

\dem{On suppose pour simplifier la démonstration que $x_B>x_A>0$ et $y_B>y_A>0$. Considérons le point $C$ de
coordonnées $(x_A;y_B)$. Le triangle $ABC$ est alors rectangle en $C$, et il est clair que les côtés $[AC]$ et $[BC]$
vérifient $AC=x_B-x_A$ et $BC=y_B-y_A$. Or d'après le théorème de Pythagore, on sait que $AB^2=AC^2+BC^2$. On en déduit
que $AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2$ et donc $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.}

\illus{Distance}{
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(5,5)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-1,-1)(5,5)
\psdots(4,4)
\uput[ur](4,4){$B$}
\psdots(1,2)
\uput[dl](1,2){$A$}
\psdots[linecolor=gray](1,4)
\uput[ul](1,4){\gray{$C$}}
\pspolygon[linecolor=gray](1,2)(1,4)(4,4)
% \psdots[linecolor=red](1,0)
% \uput[d](1,0){\red{$I$}}
% \psdots[linecolor=red](0,1)
% \uput[l](0,1){\red{$J$}}
\psdots[linecolor=darkgray](0,0)
\uput[dl](0,0){\red{$O$}}
\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,2)(0,2)
\psline[linestyle=dotted](4,0)(4,4)(0,4)
\uput[d](1,0){$x_A$}
\uput[d](4,0){$x_B$}
\uput[l](0,2){$y_A$}
\uput[l](0,4){$y_B$}
\end{pspicture*}
}

\end{multicols}

\eng{Distance in an orthonormal coordinate system}{The distance $AB$ is equal to $\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.}


\end{document}
