\documentclass[12pt]{article}\usepackage{livre}\usetikz\begin{document}%\nocolor
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{}
\fancyhead[LE]{\footnotesize Chapitre 4}
\fancyhead[CE]{}
\fancyhead[RE]{\footnotesize Équations différentielles}
\fancyhead[LO]{\footnotesize Cours de mathématiques}
\fancyhead[CO]{}
\fancyhead[RO]{\footnotesize STS}
\fancyfoot[LE]{\footnotesize \url{http://lyceeenligne.free.fr/spip/}}
\newcounter{chap}\setcounter{chap}{4}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\thispagestyle{empty}
{\Large\textsf{Section technicien supérieur}\par
\textsf{Cours de mathématiques}\par}

\bigskip

\textsf{\huge Chapitre 4}

{\HUGE\bf\textsf{Équations différentielles}}

\vfill

\begin{center}
\includegraphics[height=10cm]{equ.eps}\\ \smallskip
\textsf{\small \emph{Calvin and Hobbes}, by Bill Waterson}
\end{center}

\vfill
\emph{En mathématiques, une équation différentielle est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées.\\
%L'ordre d'une équation différentielle correspond au degré maximal de différenciation auquel l'une des fonctions inconnues a été soumise.\\
Les équations différentielles sont utilisées pour construire des modèles mathématiques de \\phénomènes physiques et biologiques, par exemple pour l'étude de la radioactivité ou la mécanique céleste. Par conséquent, les équations différentielles représentent un vaste champ d'étude, aussi bien en mathématiques pures qu'en mathématiques appliquées.
}
 
\vfill
 
\begin{flushright}
\sf\small Aymar de Saint-Seine\\ Année scolaire 2010--2011
\end{flushright}

\newpage

\section{Introduction}
De nombreux phénomènes physiques continus défini par une \defin{loi d'évolution} et une \defin{condition initiale} amènent a rechercher une fonction vérifiant une relation entre elle même et ses dérivées successives.
Une telle relation s'appelle une \defin{équation différentielle}. L'\defin{ordre} de cette équation étant l'ordre maximum de la dérivée intervenant dans l'équation.\\
Par exemple en éléctricité, l'équation : $L\frac{\textrm{d}i(t)}{\dt}+Ri(t)=e(t)$.\\
L'inconnue est la fonction $i:t\mapsto i(t)$ et une condition initiale permet de la définir de façon unique.\\
Dans la suite, la fonction inconnue sera notée $f:t\mapsto f(t)$. Elle sera définie et continue sur un intervalle $\R$ et à valeurs dans $\R$ (ou dans $\C$).




\section{Équations différentielles du premier ordre}
\defi{EDL du premier ordre}
{On appelle \defin{équation différentielle linéaire premier ordre} (EDL) toute équation de la forme 
$$a(t)f'(t)+b(t)f(t)=c(t)$$ où $a$, $b$ et $c$ désignent deux fonctions de la
variable réelle $t$, $f(t)$ et $f'(t)$ une fonction inconnue et sa dérivée}.

\rem{Suivant les exercices, les situations sont différentes : \\
On trouvera par exemple 
\begin{itemize}
	\item $5x'(t)+3x(t)=2$ ($x(t)$ est la fonction inconnue)
	\item $x'-tx=t^2$ ($x(t)$ est la fonction inconnue)
	\item $xy'-2y=x$ ($y(x)$ est la fonction inconnue)
\end{itemize}}

\subsection{Équation différentielle du type $a(t)f'(t)+b(t)f(t)=0$}
Nous nous intéressons dans cette section à une méthode pour résoudre une EDL de premier ordre pour laquelle le deuxième membre est nul. \textbf{On supposera de plus que $a(t)$ n'est jamais nul sur l'intervalle d'étude.}\\


On peut toujours écrire l'équation $a(t)f'(t)+b(t)f(t)=0$ sous la forme:
$$\cfrac {f'(t)}{f(t)}=\frac{-b(t)}{a(t)}=\alpha(t)$$
Si on connait une primitive $A$ de la fonction $\alpha$, on a en intégrant les deux membres de l'équation:
$$\ln |f(t)| = A(t)+\gamma  \textrm{ où } \gamma \textrm{ est la constante d'intégration}$$
en prenant l'exponentielle des 2 membres, on obtient : 
$$|f(t)|=e^{A(t)}~e^\gamma \textrm{ d'où } f=\pm e^\gamma~ e^{A(t)}$$
En posant $C=\pm e^\gamma$, on a: $f=C e^{A(t)}$

\theo{}
{La solution générale de l'équation différentielle $a(t)f'(t)+b(t)f(t)=0$ est la fonction f(t) définie par $f(t)=Ce^{A(t)}$ où $C$ est une constante réelle déterminable avec les conditions initiales et $A(t)$ une primitive de $\cfrac{-b(t)}{a(t)}$.}

\exosol{Résoudre les équations différentielles suivantes :
\begin{enumerate}
	\item $3f'(t)+2f(t)=0$.
	\item $t^2f'+f=0$ sur $I=]0 ; +\infty[$.
\end{enumerate}}
{\begin{enumerate}
	\item Ici, on a $\frac{-b(t)}{a(t)}=\frac{-2}{3}$ dont une primitive est $\frac{-2}{3}t$ donc $f(t)=Ce^{-\frac23t}$
	\item Ici, on a $\frac{-b(t)}{a(t)}=\frac{-1}{t^2}$ dont une primitive est $\frac{1}{t}$ donc $f(t)=Ce^{\frac{1}{t}}$ sur $I=]0 ; +\infty[$.\\
	Il faut bien préciser l'intervalle $I=]0 ; +\infty[$ car sinon $a(t)=t^2$ s'annule.
\end{enumerate}}


\subsection{Équation différentielle du type $a(t)f'(t)+b(t)f(t)=c(t)$}
\defi{Équation homogène associée}
{L'équation $a(t)f'(t)+b(t)f(t)=0$ est appellée \defin{équation différentielle homogène associée} (EDH) à $a(t)f'(t)+b(t)f(t)=c(t)$  ou \defin{équation différentielle sans second membre associée} à $a(t)f'(t)+b(t)f(t)=c(t)$}

\theo{}{
La solution générale de l'équation différentielle $(1)$ :
\begin{eqnarray*} a(t)f'(t)+b(t)f(t)=c(t) \end{eqnarray*}
s'obtient en ajoutant une solution particulière quelconque de $(1)$ à la solution générale de l'équation sans seconde membre associée à $(1)$}

\exosol{On considère l'équation différentielle $(E)$: $t^2x'(t)+x(t)=t^2+t$  
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle homogène associée à $(E)$.
\item Vérifier que $x_0(t)=t$ est une solution particulière de $(E)$. 
\item En déduire les solutions de $(E)$. 
\item Parmis les solutions, déterminer la solution vérifiant $x(1)=2$
\end{enumerate}
}
{\begin{enumerate}
\item L'équation homogène associée est $t^2x'(t)+x(t)=0$. Elle a été résolue au a). Ses solutions sont $x(t)=Ce^{\frac{1}{t}}$.
\item $x_0(t)=t$ donc $x'_0(t)=1$.\\
      On a alors $t^2x'_0(t)+x_0(t)=t^2\times1+t=t^2+t$ donc $x_0(t)$ est bien une solution  de $(E)$.
\end{enumerate}

}\par\suite{
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{2}
\item Les solutions de $(E)$ sont obtenue en ajoutant une solution paritculière à une solution générale de l'EDH.
	Les solutions de $(E)$ sont donc de la forme $x(t)=t+Ce^{\frac{1}{t}}$.
\item $x(1)=2$ implique $1+C\e^{\frac11}=2$ donc $C\e=1$ d'où $C=\frac1\e=\e^{-1}$.\\
      On a donc $x(t)=t+\e^{-1}\e^{\frac1t}=t+\e^{\frac1t-1}$
\end{enumerate}
}

\rem{Il n'est pas toujours facile de trouver une solution particulière de l'équation différentielle proposée.}

\section{Recherche d'une solution particulière}
Dans certains exercices, une solution particulière $x_0(t)$ de l'EDL est donnée. Dans d'autres, seule la forme de $x_0(t)$ est précisée pour aider la recherche. Enfin, dans certains cas, il n'y a aucune indication. On peut alors utiliser plusieurs méthodes.

\subsection{Les cas particuliers}
Si on ne devine pas une solution particulière de l'équation différentielle, on pourra dans certains cas particuliers utiliser les méthodes suivantes : 
Si les coefficients de l'équation différentielle sont des constantes et :
\begin{itemize}
	\item dans le cas où le second membre est un polynôme, on cherche la solution sous la forme d'un polynôme ;
	\item dans le cas où le second membre est une combinaison linéaire de $\sin \omega x$ et $\cos \omega x$, on cherche la solution sous la forme $A~\cos \omega x+B~\sin \omega x$
	\item dans le cas où le second membre est de la forme $A~e^{kx}$, avec $k \in \R$, on cherche la solution sous la forme $B~e^{kx}$
\end{itemize}

\vspace{0.5cm}
\exosol{Résoudre l'équation différentielle $y'(t)-y(t)=2\cos(2t)$. (Chercher une solution sous la forme $a\cos(2t)+b\sin(2t)$.)}
{\\L'équation homogène associée est $y'(t)-y(t)=0$. Sa solution générale est $y(t)=C\e^{t}$.\\
Recherche d'une solution particulière : \\ $y(t)=a\cos(2t)+b\sin(2t)$. On a alors $y'(t)=-2a\sin(2t)+2b\cos(2t)$.
\begin{eqnarray*}
y(t) \textrm{ est solution de } (E) &\ssi & y'(t)-y(t)=2\cos(t)\\
&\ssi & -2a\sin(t)+2b\cos(t)-(a\cos(t)+b\sin(t))=2\cos(t)\\
&\ssi &(-2a-b)\sin(t)+(2b-a)\cos(t)=2cos(t)\\
&\ssi &\syst{-2a-b}{0}{2b-a}{2}\\
&\ssi &\syst{a}{\frac{-2}{5}}{b}{\frac{4}{5}}
\end{eqnarray*}

}\par\suite{
Une solution particulière de $(E)$ est $y(t)=\dfrac{4}{5}\sin(t)-\dfrac{2}{5}\cos(t)$.\\
La solution générale de $(E)$ est donc $y(t)=k\e^{t}+\dfrac{4}{5}\sin(t)-\dfrac{2}{5}\cos(t)$.}

Si aucune de ces méthodes n'aboutit, on doit utiliser la méthode générale de << variation de la constante >>.

\subsection{Méthode de la variation de la constante}
Le principe de la méthode\footnote{inventée par Laplace : \url{http://fr.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_de_Laplace}} est de considérer que la constante est une variable (d'où le nom de la méthode).
On dérive la solution de l'EDH ce qui donne l'expression de la constante.\\

\textbf{Exemple détaillé:}
On considère l'équation différentielle suivante :
$$(E)\;:\;xy'(x)+y(x)=e^{x}.$$
\textbf{Première étape :} On résout l'équation homogène$(E_0)\;:\; xy'+y=0$ \\
On a $\cfrac{-b(x)}{a(x)}=-\dfrac{1}{x}$ dont une primitive est $A(x)=-\ln(x)=\ln(\frac{1}{x})$, les solutions de $(E_0)$ sont donc de la forme
$y=Ce^{\ln(\frac{1}{x})}=\dfrac{C}{x}$ avec $C$ un réel.\\

\textbf{Deuxième étape :} On rend variable la constante.\\
On cherche \textbf{une} solution de l'équation différentielle $(E)$ de la forme $y_0(x)=\dfrac{C}{x}$ où cette fois ci \mbox{$C:x\mapsto C(x)$} est une fonction dérivable. On a donc 
$$y_0'(x)=\dfrac{C'(x)\times x - 1\times C(x)}{x^2}$$
\begin{eqnarray*}
y_0(x) \mbox{ est une solution de $(E)$} &\ssi & xy_0'(x)+y_0(x)=\e^{-x}\\
& \ssi & x\pa{\dfrac{C'(x)\times x - 1\times C(x)}{x^2}}+\dfrac{C(x)}{x}=\e^{x}\\
& \ssi & C'(x) - \dfrac{C(x)}{x}+\dfrac{C(x)}{x}=\e^{x}\\
& \ssi & C'(x)=\e^{x}\\
& \ssi & C(x)=\e^{x}+k
\end{eqnarray*}
$$ \textrm{On a donc }y_0(x)=\dfrac{C(x)}{x}=\dfrac{\e^{x}+k}{x}.$$


\textbf{Troisième étape :} Conclusion \\
On applique le théorème : les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont $$y(x)=\dfrac{C}{x}+\dfrac{\e^{x}+k}{x}=\dfrac{C+ \e^{x}+k}{x} \textrm{ avec } k \textrm{ et } C \textrm{ deux réels}.$$\\
Il arrive que des conditions initiales soient précisées dans l'enoncé. Par exemple $y(-1)=e$ on obtient alors $k=3$ et la solution est donc $y=(2x+3)e^{-x}$ 


\vspace{1cm}
\rem{Contrairement aux cas  de la sections II.1), les coefficients $a(x)$ et $b(x)$ de l'équation de cet exemple ne sont pas constants. On ne doit donc pas chercher une solution particulière de l'EDL sous la forme $k\e^{x}$. En faît, cette recherche aboutirait à un système sans solution. Dans le cas présent, on aurait $y_0(x)=k\e^{x}$ et $y_0'(x)=k\e^{x}$.
\begin{eqnarray*}
y_0(x) \textrm{ est solution de } (E) &\ssi & xy_0'(x)-y(x)=\e^{x}\\
&\ssi & xk\e^{x}+k\e^{x}=\e^{x}\\
&\ssi & (xk+k)\e^{x}=\e^{x}\\
&\ssi & xk+k=0x+0\\
&\ssi &\syst{k}{0}{k}{1}\\
&\ssi & ????
\end{eqnarray*}}

\rem{Il faut bien vérifier que $a(t)\neq0$ sur l'intervalle d'étude.}









\section{Équations différentielles  du second ordre}




Nous nous intéressons dans cette partie aux équations différentielles de la forme $$ax''(t)+bx'(t)+cx(t)=d(t)$$ où les coefficients $a$, $b$ et $c$ sont constants, et $d(t)$ est une fonction de $t$.

\exes{\par
$(E_1) : x''-4x'+3x=-3t^2+2t\textrm{ sur }I=\R$\par
$(E_2) : x''-2x'+5x=5\cos t\textrm{ sur }I=[0~;~+\infty[$}


\subsection{Résolution de l'équation sans second membre}

\subsubsection{Combinaison linéaire de deux solutions particulières}

\theo{Ensembles des solutions}
{Soient $f$ et $g $ deux solutions de l'équation $(E_0)$ sur l'intervalle $I$, aucune n'étant le produit de l'autre par une constante. Alors l'ensemble des solutions de $(E_0)$ est l'ensemble des fonctions de la forme $$x=C_1f+C_2g.$$
Toute solution de l'équation $(E')$ est ainsi une \emph{combinaison linéaire} des solutions $f$ et $g$.}

\dem{Ce théorème est admis, mais on peut facilement observer que si $f$ et $g$ sont deux solutions de l'équation $(E_0)$ alors toute fonction de la forme $x=C_1f+C_2g$ est aussi une solution de $(E_0)$. En effet, sachant que $af''+bf'+cf=0$ et $ag''+bg'+cg=0$, alors
\begin{eqnarray*}
ax''+bx'+cx   & = & a(C_1f+C_2g)''+b(C_1f+C_2g)'+c(C_1f+C_2g) \\
    & = & a(C_1f''+C_2g'')+b(C_1f'+C_2g')+c(C_1f+C_2g) \\
    & = & aC_1f''+aC_2g''+bC_1f'+bC_2g'+cC_1f'+cC_2g \\
    & = & C_1(af''+bf'+cf')+C_2(ag''+bg'+cg) \\
    & = & 0
\end{eqnarray*}
}

\subsubsection{Équation caractéristique}

Comme les équations du premier degré, nous allons chercher une fonction exponentielle solution de $(E_0)$. Supposons que la fonction $x:t\mapsto e^{rt}$ soit une telle solution.
Alors, puisque $x'(t)=re^{rt}$ et $x''(t)=r^2e^{rt}$, $r$ doit vérifier
\begin{eqnarray*}
ar^2e^{rt}+bre^{rt}+ce^{rt} & = & 0 \\
e^{rt}(ar^2+br+c) & = & 0 \\
ar^2+br+c & = & 0
\end{eqnarray*}
car $e^{rt}\neq 0$ pour tout $t\in I$.\bigskip

\defi{Équation caractéristique}
{L'équation du second degré en $r$ $ar^2+br+c=0$ est appelée {\defin{équation caractéristique}} de l'équation différentielle $(E_0)$.}

\theo{}
{La fonction $x:t\mapsto \e ^{rt}$ est solution de $(E_0)$ si et seulement si $r$ est solution de l'équation caractéristique.}

Les solutions de $(E_0)$ dépendent donc de celles de l'équation caractéristique, et en particulier de son discriminant $\Delta=b^2-4ac$. Il faut donc étudier trois cas.

\begin{description}
\item Si $\Delta>0$ : L'équation caractéristique a deux solutions
  réelles distinctes $r_1$ et $r_2$. Les fonctions $x_1:t\mapsto \e
  ^{r_1t}$ et $x_2:t\mapsto \e ^{r_2t}$ sont donc deux solutions de $(E_0)$ et aucune n'est le produit de l'autre par une constante. Par conséquent l'ensemble des solutions de $(E_0)$ est l'ensemble des fonctions de la forme
$$x(t)=C_1\e ^{r_1t}+C_2\e ^{r_2t}.$$

\item Si $\Delta=0$ : L'équation caractéristique a une unique solution réelle $r=-\frac{b}{2a}$.  La fonction $x:t\mapsto e^{rt}$ est alors solution de $(E_0)$. On peut prouver que dans ce cas la fonction $x:t\mapsto te^{rt}$ est solution de $(E_0)$. Par conséquent l'ensemble des solutions de $(E_0)$ est l'ensemble des fonctions de la forme
$$x(t)=(C_1t+C_2)\e^{rt}.$$

\item Si $\Delta<0$ : L'équation caractéristique a deux solutions
  complexes conjuguées $r_1=\alpha+\i\beta$ et $r_2=\alpha-\i\beta$. Les
  fonctions à valeur complexes $x_1:t\mapsto \e ^{r_1t}$ et
  $x_2:t\mapsto \e ^{r_2t}$ sont donc deux solutions de $(E_0)$. Mais nous cherchons deux fonctions réelles solutions de $(E_0)$.\par On peut remarquer que
$\e ^{r_1t}=\e ^{(\alpha+\i\beta)t}=\e ^{\alpha t}\e ^{\i\beta t}=\e^{\alpha t}(\cos\beta t+\i\sin\beta t )$. On constate alors que $\frac{1}{2}(\e^{r_1t}+\e^{r_2t})=\e^{\alpha t}\cos\beta t$ et $\frac{1}{2\i}(\e^{r_1t}-e^{r_2t})=\e^{\alpha t}\sin\beta t$.\par
Ces deux nouvelles fonctions sont bien des solutions de $(E_0)$
d'après le théorème de combinaison linéaire étendu aux c\oe fficients
compexes. Ce sont de plus des fonctions de $\R$ dans $\R$, et on peut prouver qu'aucune n'est le produit de l'autre par une constante.
Par conséquent l'ensemble des solutions de $(E_0)$ est l'ensemble des fonctions de la forme
$$x(t)=C_1\e ^{\alpha t}\cos\beta t+C_2\e ^{\alpha t}\sin\beta t,$$
où $\alpha+\i\beta$ est une solution complexe de l'équation caractéristique.
\end{description}

\theoad{EDH du second ordre à coefficients constants}
{Pour résoudre l'équation différentielle $$ax''(t)+bx'(t)+cx(t)=0,$$ 
on considère son équation caractéristique $$ar^2+br+c=0.$$
La forme de la solution générale dépend du signe de $\Delta$.
\begin{itemize}
\item Si $\Delta >0$, alors les solutions sont de la forme $C_1\e ^{r_1t}+C_2\e ^{r_2t}$.
\item Si $\Delta =0$, alors les solutions sont de la forme $(C_1t+C_2)\e ^{rt}$.
\item Si $\Delta <0$, alors les solutions sont de la forme $x(t)=C_1\e ^{\alpha t}\cos\beta t+C_2\e ^{\alpha t}\sin\beta t$ où $\alpha+\i\beta$ est une solution complexe de l'équation caractéristique.
\end{itemize}}

\exosol{
Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle : $$x''-3x'-4x=0 \text{ avec les conditions initiales }
\left\lbrace 
\begin{array}{l}
x(0)=0 \\
x'(0)=1
 \end{array}\right.
$$
}{\\
L'équation caractéristique est $r^2-3r-4=0$. Elle admet deux racines $r_1=-1$ et $r_2=4$.
Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme $$ x \longmapsto C_1e^{-x}+C_2e^{4x} \text{ avec } C_1\in \R, \; C_2\in \R.$$
Les conditions initiales sont vérifiées si et seulement si 
$$
\left\lbrace 
\begin{array}{l}
x(0)=C_1e^{-0}+C_2e^{4\times0}=0 \\
x'(0)=-C_1e^{-0}+4C_2e^{4\times0}=1
 \end{array}\right.
\text{ ce qui équivaut à }
\left\lbrace 
\begin{array}{l}
C_1+C_2=0 \\
-C_1+4C_2=1
 \end{array}\right.
$$
On obtient $C_1=-\frac{1}{5}$ et $C_2=\frac{1}{5}$. \\[5pt]
L'équation différentielle admet pour unique solution satisfaisant aux conditions initiales, la fonction $ x \longmapsto \frac{4e^{4x}-e^{-x}}{5} $.
}







\subsection{Résolution de l'équation avec second membre}

\theo{Équation différentielle du second ordre}
{La solution générale d'une équation différentielle du second ordre $(E)$ 
$$ax''(t)+bx'(t)+cx(t)=d(t)$$
est la somme d'une solution particulière quelconque de $(E)$ et de la solution générale de l'équation sans second membre associée à $(E)$.}

\exosol{On considère l'équation différentielles $(E) : x''(t)+x(t)=t$.
\begin{enumerate}
 \item Intégrer $(E)$.
 \item Déterminer la solution de $(E)$ vérifiant $f(0)=1$ et $f'(0)=2$.
\end{enumerate}}
{\begin{enumerate}
\item L'EDH est $x''(t)+x(t)=0$. Son équation caractéristique est $r^2+1=0$ dont les solutions sont $r=\pm\j$. Les solutions de l'EDH sont données par 
$$x(t)=\e ^{\alpha t}(C_1\cos\beta t+C_2\sin\beta t) = \e^{0t}(C_1\cos t+C_2\sin t)=C_1\cos t+C_2\sin t.$$
Une solution particulière de l'équation différentielle est $x_0(t)=t$.\\
Les solutions sont donc de la forme $x(t)=t+C_1\cos t+C_2\sin t$. 
\item On a $f(t)=t+C_1\cos t+C_2\sin t$ donc $f'(t)=1-C_1\sin t+C_2\cos t$. \\
$f$ vérifie les conditions initiales si et seulement si : 
\begin{eqnarray*}
\syst{f(0)}{1}{f'(0)}{2} &\ssi& \syst{0+C_1\cos 0+C_2\sin 0}{1}{1-C_1\sin 0+C_2\cos 0}{2}\\[5pt]
&\ssi &\syst{C_1}{1}{1+C_2}{2}\\[5pt]
&\ssi& \syst{C_1}{1}{C_2}{1}
\end{eqnarray*}
La fonction $f$ solution de l'équation différentielle et qui vérifie les conditions initiales est
$$f(x)=t+\cos t+\sin t$$
\end{enumerate}
}


\rem{le programme de BTS IRIS-SE limite à l'étude de ce type d'équations où le second membre est un polynôme, une combinaison linéaire de sin et de cos, ou une exponentielle, la méthode de variations des constantes étant hors programme. Dans ces cas, la recherche d'une solution particulière se fait de la même manière que pour les cas particulier des EDL de premier ordre.}

\section{Exercices}
%%%%%%%%% Xacs et Maxima
% Les logiciels \textbf{Maxima\footnote{Téléchargement et exemples sur \url{http://michel.gosse.free.fr/}}} ou \textbf{Xcas\footnote{Téléchargement sur \url{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/irem.html}}} sont des logiciels de calcul formel. Ils permettent entre autre de résoudre des équations différentielles qui sont proposées en exercice.\\
% Concernant, Maxima, je vous conseille aussi d'installer \textbf{WxMaxima} qui est une interface rendant Maxima beaucoup plus ergonomique.\\
% Attention à ne pas abuser de ces logiciels durant les exercices d'entrainement. Il doit vous aider à vérifier vos calculs, mais en aucun cas il ne doit servir à les faire à votre place.\\
% 
% Consulter les liens ci-dessous pour conna\^itre la syntaxe des instructions : \\
% Pour Maxima : \url{http://andre.turbergue.free.fr/maxima/Lecon7\_equadiff.html}\\
% Pour Xcas : \url{http://mathsp.tuxfamily.org/spip.php?article168}


Le logiciel \textbf{Xcas\footnote{Téléchargement sur \url{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/irem.html}}} est un logiciel de calcul formel. Il permet entre autre de résoudre les équations différentielles qui sont proposées en exercice.\\
Attention à ne pas abuser de ce logiciels durant les exercices d'entrainement. Il doit vous aider à vérifier vos calculs, mais en aucun cas il ne doit servir à les faire à votre place.\\

Consulter le lien ci-dessous pour conna\^itre la syntaxe des instructions : \\
Pour Xcas : \url{http://mathsp.tuxfamily.org/spip.php?article168}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exocpart{EDL du premier ordre avec second membre nul}

\exoc{Résoudre (ou intégrer) chacune des équations différentielles suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
	\item $2f'(t)-3f(t)=0$ (sur $\R$)
	\item $y'(t)+5y(t)=0$ (sur $\R$)
	\item $y'(t)-\cfrac{2}{t}y(t)=0$ (sur $\R^{+*}$)
	\item $tv'+(1-t)v=0$ (sur $\R^{+*}$)
	\item $(1+t^2)y'+ty=0$ (sur $\R$)
	\item $tx'-x=0$ (sur $\R^{+*}$)
	\item $(\sin t) x' + (\cos t) x=0$ sur $I=]0;\pi[$
	\item $(t-1)x'+ x=0$ sur $I=]0;1[$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\exoc{On considère l'équation différentielle $3y'+2y=0  \quad (E)$
\begin{enumerate}
\item Résolvez $(E)$ et tracez plusieurs solutions sur l'écran de votre calculatrice.
\item Résolvez cette même équation sachant maintenant que $y(0)=32$.
\end{enumerate}}

\exoc{Soit $(E)$ $(1+t^2)x=t(1-t^2)x'$.
\begin{enumerate}
	\item Trouver $A, B$ et $C$ tels que $\cfrac{1+t^2}{t(t^2-1)}=\cfrac{A}{t}+\cfrac{B}{t-1}+\cfrac{C}{1+t}$.
	\item Résoudre $(E)$ sur $]1 ; +\infty[$
	\item Trouver la solution particulière $x_1$ telle que $x_1(2)=-\cfrac23$.
\end{enumerate}}


\exoc{\emph{Décharge de condensateur}\par
Les unités de mesure utilisées sont les unités S.I.\par
Un condensateur de capacité $C$ est chargé sous une tension initiale de 20 volts.  Il se décharge ensuite dans un résistor de résistance $R$ ; on note $a=RC$.  La tension aux bornes du condensateur est une fonction $V$ du temps $t$ définie sur $[0,+\infty[$.\par
On admet que $V$ est une fonction dérivable solution de l'équation différentielle :
                $$V'(t)+\frac{1}{a}V(t)=0. \quad(E)$$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
			\item{Déterminer toutes les fonctions solutions de l'équation différentielle $(E)$.}
			\item{On rappelle que pour $t=0$ on a $V(0)=20$. Déterminer l'expression de $V$.}
			\end{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que  $R=1000$ et $C=10^{-4}$.\par
			\begin{enumerate}
			\item{Montrer que l'on a alors $V(t)=20e^{-10t}$.}
			\item{\'Etudier les variations de la fonction $V$.}
			\item{Déterminer les valeurs de $t$ pour lesquelles $V(t)\geq 0,02$.}
			\item{L'intensité traversant le circuit est une fonction $I$
			du temps; on a $I(t)=CV'(t)$.  Déterminer $I(t)$.}
			\item{Calculer l'énergie $W$ dissipée dans le résistor entre
			les instants $t=0$ et $t=0,69$ sachant que
			$$W=\int_0^{0.69} RI^2(t)\textrm{d}t.$$}
			\end{enumerate}
\item Dans cette question, la tension aux bornes étant définie par $V(t)=20e^{-\frac{t}{a}}$, on note $C_a$ la courbe représentative de $V$ dans un repère orthogonal avec les unités
graphiques  5 cm sur l'axe des abscisses pour 0,l seconde et 0,5 cm sur l'axe des ordonnées pour représenter 1 volt.\par
			\begin{enumerate}
			\item{Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe $C_a$ au point d'abscisse 0.}
			\item Soit $M$ le point d'intersection de $T$ avec l'axe des abscisses.  Déterminer l'abscisse de $M$.
			\item{Pour un certain dipôle on a tracé la courbe représentative $\Co$, ainsi que sa tangente au point d'abscisse 0 sur le graphique ci-dessous. Déduire de ce graphique la valeur correspondante de $a$.}
			\end{enumerate}
\end{enumerate}
$$\psset{xunit=0.5, yunit=0.25}
\begin{pspicture}(0,-5)(10,20)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,-5)(10,20)
\psset{dotstyle=*,dotsize=5pt,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(0,-5)(10,20)
\psplot{0}{2.5}{-10 x mul 20 add}
\psplot{0}{10}{20 0 x 2 div sub EXP mul}
\end{pspicture}$$

}









%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exocpart{EDL du premier ordre avec second membre}
\exoc{Résoudre chacune des équations différentielles suivantes (on cherchera une solution particulière sous la forme indiquée) :
\begin{enumerate}
	\item $x'(t)+3x(t)=4\sin t +\cos t$ (sous la forme $A\cos t+B\sin t$).
	\item $x'(t)-5x(t)=t$ (sous la forme $At+B$).
	\item $x'(t)-4x(t)=2\e^{3t}$ (sous la forme $k\e^{3t}$).
\end{enumerate}}

\exoc{\emph{\'Ecoulement d'un liquide dans un tube cylindrique}\\
Une comparaison à un modèle d'écoulement amène à considérer que la vitesse d'écoulement $v_0$ d'un liquide dans un tube cylindrique est solution de l'équation
différentielle : $$4v'(x)+v(x)=3e^{\frac{x}{2}}-1 \quad (E)$$
avec la condition initiale $v_0(0)=0$.\par
\begin{enumerate}
	\item {Résoudre l'équation différentielle $4v'(x)+v(x)=0$.}
	\item {Déterminer les constantes réelles $A$ et $B$ pour que la fonction $u$ telle que \mbox{$u(x)=Ae^{\frac{x}{2}}+B$} soit une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.}
	\item {Résoudre l'équation différentielle $(E)$.}
	\item {Déterminer la solution particulière $v_0$ de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant $v_0(0)=0$.}
\end{enumerate}}


\exoc{\emph{Le bon polynôme}\\
Soit $(E)$ l'équation différentielle $$y'(x)-y(x)=x^2-x-1$$ dans laquelle $y$ est une fonction dérivable sur $\R$ de la variable réelle $x$ et $y'$ sa fonction dérivée.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une solution particulière de $(E)$ sous forme d'un polynôme de degré 2.
\item Trouver la solution générale de l'équation $(E)$.
\item Quelle est la solution de (E) vérifiant la condition $y(0)=1$ ?
\end{enumerate}}




\exoc{\emph{La vitesse d'un marteau}\\
Une machine à compacter est constituée d'un bloc d'acier appelé marteau. Ce marteau se déplace le long d'une tige placée verticalement.\par
L'étude physique montre que la vitesse $v$ (exprimée en mètres/seconde) est une fonction du temps $t$ (exprimé en secondes) solution de l'équation différentielle
$$v'(t)+v(t)=5+5e^{-t} \quad (E)$$
où $v$ est une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0;+\infty[$ et $v'$ sa fonction dérivée.\par
\begin{enumerate}
\item Résoudre $v'(t)+v(t)=0$.
\item Déterminer une solution particulière de $(E)$ de la forme $v_0(t)=a+bte^{-t}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels à déterminer.
\item \begin{enumerate}
			\item Résoudre $(E)$.
			\item En déduire $v(t)$ en supposant que $v(0)=0$.
			\end{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de la distance parcourue entre les instants $t=0$ et $t=2$, c'est à dire $$\int_0^2 \left[(5t-5)e^{-t}+5\right]\textrm{d}t.$$ Donner, en mètres, une valeur approchée de cette longueur au centième près.
\end{enumerate}}


\exoc{\emph{La vitesse d'un parachute}\\
La trajectoire suivie par un objet relié à un parachute est un axe vertical noté $(O;\vec{\imath})$. A un instant donné, le vecteur vitesse $\vec{V}$ de l'objet est
défini par $\vect{V}(t)=v(t)\vec{\imath}$ où $v$ est une fonction de la
variable réelle $t$ dans l'intervalle $[0;+\infty[$.\\
Dans les conditions de l'expérience, le vecteur $\vect{R}$ représentant la résistance de l'air est défini par $\vect{R}=-k\vect{V}$ où $k$ est un nombre réel strictement positif.\\
On admet que la fonction $v$ vérifie l'équation différentielle :
\begin{equation}mv'(t)+kv(t)=mg\end{equation}
où $m$ est la masse totale de l'objet et du parachute et $g$ le coefficient de l'accélération de la pesanteur. 
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
			\item Montrer qu'il existe une fonction constante, solution particulière de (1).
			\item Montrer que les fonctions solutions de (1) sont  définies pour tout nombre réel positif $t$ par:
			$$v(t)=Ce^{-\frac{k}{m}t}+\frac{mg}{k}$$
			où $C$ est une constante réelle dépendant des conditions de l'expérience.
			\end{enumerate}
\item Dans la suite du problème on prendra $m=8$ kg ; $g=10$ $m.s^{-2}$ et $k=25$ unités S.I.
      \begin{enumerate}
			\item Donner la fonction particulière $v_1$, solution de l'équation différentielle (1) correspondant à une vitesse initiale $v_1(0)$ de 5 $m.s^{-1}$.
			\item Donner la fonction particulière $v_2$ solution de l'équation différentielle (1) correspondant à une	vitesse initiale nulle.
			\item Montrer que les fonctions $v_1$ et $v_2$ ont la même limite lorsque $t$ tend vers $+\infty$.
			\item Donner la fonction particulière $v_3$ solution de l'équation différentielle (1) correspondant à une	vitesse initiale $v_3(0)$ de 3,2 $m.s^{-1}$.
			\item Tracer soigneusement les courbes $C_1$, $C_2$ et $C_3$ représentant respectivement les fonctions $v_1$, $v_2$ et $v_3$ dans un repère orthogonal \oij. On prendra pour unité graphique 2 cm sur l'axe vertical et et 4 cm sur l'axe horizontal.
			\end{enumerate}
\end{enumerate}}


\exoc{Soit $(E) : y'(x)-y(x)=x^2$.
\begin{enumerate}
	\item Résoudre $(E)$
	\item Trouver la solution $f$ de $(E)$ vérifiant $f(0)=0$.
	\item Etudier $f$ sur $\R^+$ et tracer sa représentation graphique. (On pourra étudier rapidement les variations de la fonction $g:x\mapsto e^x-(x+1)$ pour trouver le signe de $f'$ sur $\R^+$.)
\end{enumerate}}

\exoc{Soit $(E)$ l'équation différentielle $$2x'(t)+3x(t)=6t^2-7t-7$$ où l'inconnue $x$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur $\R$, et où $x'$ est la fonction dérivée de $x$.\par
\begin{enumerate}
	\item {Résoudre l'équation différentielle $(E)$.}
	\item {Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation $(E)$ qui vérifie la condition initiale $f(0)=0$.}
\end{enumerate}}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exocpart{Méthode de variation de la constante}
\exoc{En utilisant la méthode de la variation de la constante, résoudre chacune des équations différentielles suivantes puis préciser pour chaque solution sur quel domaine elle est valable.
\begin{enumerate}
	\item $x'(t)-x(t)=\cfrac{e^{2t}}{1+e^t}$
	\item $tx'(t)-x(t)=\sqrt t$
	\item $(t^2+1)x'(t)+2tx(t)=3t^2$
	\item $y'(x)\cos x-y(x)\sin x=2x-1$
\end{enumerate}}

\exoc{En utilisant la méthode de la variation de la constante, résoudre chacune des équations différentielles suivantes puis préciser pour chaque solution sur quel domaine elle est valable.
\begin{enumerate}
	\item $ty'(t)-y(t)=t^2\e^{t}$
	\item $(1-x^5)y'(x)-5x^4y(x)=1$
	\item $xy'+y=\dfrac{1}{1+x^2}$
	\item $xy'+(x-1)y=x^2$
	\item $(x+1)^3y'+2y(x+1)^2=1$
\end{enumerate}}


\exoc{\emph{Méthode de la variation de la constante}\\
Le but de l'activité est la résolution de l'équation différentielle $(E)$ :
      $$x(x^2+1)y'-2y=x^3(x-1)^2e^{-x},$$
où $y$ représente une fonction de la variable réelle $x$,
dérivable sur l'intervalle $]0,+\infty[$ et où $y'$ est la fonction
dérivée de $y$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Déterminer les trois nombres réels $a$, $b$, $c$ tels que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0,+\infty[$ :
		$$\frac{2}{x(x^2+1)}=\frac{a}{x}+\frac{bx+c}{x^2+1}.$$
	\item En déduire une primitive sur l'intervalle $]0,+\infty[$ de la fonction : $$x\mapsto \frac{2}{x(x^2+1)}.$$
	\item Résoudre sur l'intervalle $]0,+\infty[$ l'équation différentielle $(E_1)$ :$$x(x^2+1)y'-2y=0.$$
	\item Pourquoi a-t-on préciser l'intervalle $]0,+\infty[$ ?
	\end{enumerate}
\item On se propose de déterminer une fonction $g$ dérivable sur l'intervalle $]0,+\infty[$ telle que la fonction :$$h:x\mapsto\frac{x^2}{x^2+1}g(x)$$ soit une solution particulière de l'équation $(E)$.
	\begin{enumerate}
	\item  Calculer $h'(x)$ en fonction de $g(x)$ et $g'(x)$.
	\item Montrer que $h(x)$ est solution de $(E)$ si et seulement si $$g'(x)=(x-1)^2e^{-x}.$$
	\item Déterminer les nombres réels $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ tels que la fonction $x\mapsto (\alpha x^2+\beta x+\gamma)e^{-x}$ soit une primitive sur l'intervalle $]0,+\infty[$ de la fonction : $$x\mapsto (x-1)^2e^{-x}.$$
	\end{enumerate}
\item En déduire une solution particulière de l'équation  $(E)$ puis la solution générale de cette équation.
\end{enumerate}}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exocpart{EDL du deuxième ordre avec second membre nul}
\exoc{Résoudre chacune des équations différentielles suivantes : 
\begin{enumerate}
	\item $x''-6x'+8x=0$
	\item $x''-6x'+9x=0$
	\item $x''-4x'+20x=0$
\end{enumerate}}


\exoc{En physique, l'étude d'un mouvement amorti conduit à l'équation différentielle $$ x''(t)+2x'(t)+2x(t)=0 \quad (E)$$ dans laquelle $x$ désigne une fonction numérique de la variable $t$, admettant des dérivées première et seconde notées respectivement $x'(t)$ et $x''(t)$.
\begin{enumerate}
\item Résoudre cette équation sur $\R$.
\item Trouver la solution particulière de cette équation prenant la valeur $0$ pour $t=0$ et dont la dérivée prend la valeur $1$ pour $t=0$.
\item Soit $f$ la fonction numérique, telle que, pour tout élément $t$ de l'intervalle $[0,\pi]$, $$f(t)=e^{-t}\sin t.$$
	\begin{enumerate}
% 	\item \'Etudier le signe de $\cos (t+\frac\pi4)$ pour $t\in[0 ; \pi]$.
% 	\item \'Etudier les variations de $f$. 
	\item Justifer le signe de $f$ sur l'intervalle $[0 ; \pi]$
	\item Tracer à la calculatrice la représentation graphique $C$ de $f$.
	\end{enumerate}
\item On se propose de calculer, en cm$^2$ une valeur approchée par défaut à 1 mm$^2$ près de l'aire du domaine plan délimité par la courbe $C$ et l'axe des abscisses. À cette fin, deux méthodes sont proposées :
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'intégrale $\int_0^\pi f(t) \textrm{d}t$ au moyen de deux intégrations par parties successives.
	\item En utilisant l'équation différentielle $(E)$ écrite sous la forme
$$x=-\frac{1}{2}(x''+2x'),$$ déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $[0,\pi]$.\par
En déduire l'expression de $\int_0^\pi f(t) \textrm{d}t$ à l'aide de F.
	\item Déterminer une valeur approchée de l'aire considérée à 1 mm$^2$ près par défaut.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exocpart{EDL du deuxième ordre avec second membre}
\exoc{On considère l'équation différentielle $(E) :y''(x)-2y'(x)+y(x)=x^2$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Montrez que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2+4x+6$ est une solution de $(E)$.
	\item En déduire la forme générale des solutions de $(E)$.
	\end{enumerate}
\item Montrez que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=(2x-5)e^x+x^2+4x+6$ est une autre solution de $(E)$.
\item Montrez que la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=(32x-80)e^x+x^2+4x+6$ est aussi solution de $(E)$.
\end{enumerate}}





\exoc{Soit l'équation différentielle (E) $$y''+4y'+3y=e^{-2x}$$
dans laquelle $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$.
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $y''+4y'+3y=0$.
\item Déterminer une solution particulière de $(E)$ de la forme $Ae^{-2x}$, où $A$ est un réel que l'on déterminera.
\item En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$.
\item Déterminer la solution particulière $f$ de $(E)$ qui vérifie $f(0)=0$ et $f'(0)=0$.
\end{enumerate}}

\exoc{On considère l'équation différentielle $(E)$ : $$x''-2x'-3x=3t^2+1$$
où $x$ est une fonction numérique de la variable $t$, définie et deux fois dérivable sur $\R$, $x'$ la fonction dérivée de $x$ et $x''$ la fonction dérivée seconde de $x$.
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $x''-2x'-3x=0$.
\item Chercher une solution particulière de l'équation $(E)$ sous la forme d'une fonction polynôme du second degré.
\item En déduire la solution générale de $(E)$.
\item Déterminer la fonction $f$, solution de $(E)$ telle que $f(0)=0$ et $f'(0)=0$.
\end{enumerate}}

\exoc{On veut résoudre l'équation différentielle $$y''(x)+2y'(x)+y(x)=e^{-x},$$
notée $(E)$, où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, deux fois dérivable sur l'ensemble des nombres réels.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Résoudre l'équation différentielle $y''(x)+2y'(x)+y(x)=0.$
	\item Déterminer une fonction $u$, deux fois dérivable sur $\R$ telle que la fonction $y_0$, définie par $y_0(x)=u(x)e^{-x}$, soit solution de l'équation différentielle $(E)$.
	\item Donner l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
	\item Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation $(E)$ telle que  $f(0)=1$ et $f'(0)=0$.                             \end{enumerate}
\item On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie sur l'intervalle $[0,1]$ par $$f(x)=e^{-x}\left(1+x+\frac{x^2}{2}\right).$$
On note $C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\oij$ (unité graphique : 10 cm).
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que, pour tout nombre $x$ appartenant à $[0 ; 1]$, $f'(x)=-\cfrac{x^2}{2}e^{-x}.$
	\item \'Etudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variation de $f$.
	\item Tracer la courbe $C$ dans le repère $\oij$.
	\item Sur la figure, on constate que l'équation $f(x)=0,95$ admet une solution unique. Par lecture graphique, donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près de cette solution (on fera apparaître sur la figure les tracés permettant cette lecture).
	\item A l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de cette solution.                          \end{enumerate}
\end{enumerate}}


\exoc{Soit $(E)$ l'équation différentielle : $$y''+2y'+y=4e^{-x}$$
où $y$ est une fonction de la variable $x$, deux fois dérivable sur $\R$, $y'$ sa fonction dérivée et $y''$ sa fonction dérivée seconde. \probpart{}
\begin{enumerate}
     \item Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle $(E_0)$ : $y''+2y'+y=0.$
     \item Montrer que la fonction $y_1$ définie sur $\R$ par :  $y_1(x)=2x^2e^{-x}$ est une solution particulière sur $\R$ de $(E)$.
     \item En déduire la solution générale sur $\R$ de $(E)$.
     \item Déterminer la solution $y_2$ de $(E)$ qui vérifie : $y_2(0)=4\textrm{ et }y'_2(0)=1.$
 \end{enumerate}
\probpart{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $$f(x)=(2x^2+5x+4)e^{-x}.$$
On note $\cal C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \oij (unité graphique 1 cm).
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. On justifiera les résultats obtenus.
\item \'Etudier les variations de $f$.
\item Construire la courbe $C$.
\item Soit $\cal A$ l'aire en cm$^2$ de la partie du plan limitée par les droites d'équations $x=0$, $x=1$ et la courbe $\cal C$.\par
Donner la valeur exacte de $\cal A$, puis la valeur approchée à $10^{-3}$ près, de deux façons différentes :
	\begin{itemize}
	\item en effectuant successivement deux intégrations par parties ;
	\item en utilisant le fait que $f$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$.
	\end{itemize}
\end{enumerate}}


\exoc{\emph{Good vibrations}\\ \setcounter{probpart}{0}
Une masse M est posée sur le sol à l'aide d'une suspension amortie.\\
Pour tout $t$ de $[0,+\infty[$, on désigne par $x(t)$ la longueur du ressort (en mètres).\\
On établit en mécanique que la fonction de la variable $t$ définie sur $[0,+\infty[$ par $t\mapsto x(t)$ est solution de l'équation différentielle: $x''+kx'+25x=20$ où $k$ désigne une constante réelle positive qui dépend des caractéristiques de l'amortisseur.
\probpart{}
Les questions {\bf l.} et {\bf 2.} sont, dans une large mesure, indépendantes.
\begin{enumerate}
\item Le but de cette partie est la résolution de l'équation différentielle :
$$x''+kx'+25x=0 \quad (1)$$
où l'inconnue $x$ est une fonction de la variable réelle $t$ définie et deux fois dérivable sur $[0,+\infty[$ et $k$ une constante positive.
			\begin{enumerate}
			\item{\'Erire l'équation caractéristique de l'équation (1).}
			\item{Donner suivant les valeurs de $k$ les	différentes formes des solutions.}
			\item{Déterminer l'intervalle dans lequel il faut choisir le nombre $k$
			pour que l'équation (1) n'admette pas de solutions faisant intervenir des fonctions trigonométriques, donc que le système ne soit pas soumis à des oscillations.}
			\end{enumerate}
\item Dans la suite on prend $k=10$ et on considère l'équation différentielle  :
$$x''+10x'+25x=20\quad (2)$$
où l'inconnue $x$ est une fonction de la variable réelle $t$ définie et deux fois dérivable sur $[0,+\infty[$.\par
			\begin{enumerate}
			\item{Résoudre l'équation différentielle :
			$$x''+10x'+25x=0\quad (3)$$}
			\item{Déterminer le nombre réel $m$ tel que la fonction
			constante $h$ définie sur $[0,+\infty[$ par $h(t)=m$ soit
			solution de l'équation (2).}
			\item{Déduire de ce qui précède l'ensemble des solutions de l'équation (2).}
			\item{Déterminer la solution particulière $x$ de l'équation
			(2) qui vérifie les conditions initiales $x(0)=0,4$ et $x'(0)=0$.}
			\end{enumerate}
\end{enumerate}

\probpart{}
 Soit $x$ la fonction définie sur $[0,+\infty[$ par :
        $$x(t)=(-2t-0,4)e^{-5t}+0,8$$
et $\Co$ sa courbe représentative dans le plan muni du
repère orthonormal \oij (unité graphique 10 cm).\par
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
			\item Déterminer $\dis\lim_{t\to +\infty} x(t)$.  En
			déduire l'existence d'une asymptote $D$ dont on
			donnera une équation.
			\item En admettant que la fonction $x$ que l'on
			étudie soit solution du problème mécanique décrit
			au début de cet exercice, donner une
			interprétation du résultat obtenu au {\bf B.l.a)}.
			\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
			\item{Déterminer la dérivée $x'$ de $x$.}
			\item{\'Etablir le tableau de variation de $x$.}
			\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
			\item{Déterminer la tangente $T$ à la courbe $\cal
			C$ au point d'abscisse 0.}
			\item{Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de
			valeurs suivant dans lequel on fera figurer
			éventuellement des valeurs décimales
			approchées à $10^ {-2}$ près.
			\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
			$t$ & 0 & 0,25 & 0,5 & 0,75 & 1 & 1,5 & 2 \\\hline
			$x(t)$ & & & & & & & \\
			\hline
			\end{tabular}
			\end{center}}
			\item{Construire $D$, $T$ et $\cal C$.}
			\end{enumerate}
\end{enumerate}}




\exocpart{Exemple d'équation différentielle non linéaire}
\exoc{\emph{La vitesse du parachute (suite)}\par \setcounter{probpart}{0}
Un parachutiste saute d'un avion. On suppose que son parachute s'ouvre immédiatement.\par
Sur l'ensemble homme et parachute, de masse totale $m$, s'exercent plusieurs forces :
\begin{itemize}
\item le poids de l'ensemble, $mg$ où $g$ est l'accélération de la pesanteur ;
\item la résistance de l'air, $-kv^2$ où $k$ est le coefficient strictement positif qui dépend de la voilure du parachute, et $v^2$ le carré de la vitesse ;
\item la poussée d'Archimède de l'air qui sera considérée négligeable.
\end{itemize}

En écrivant la loi fondamentale de la dynamique pour le centre de gravité $G$ de l'ensemble, on obtient l'équation différentielle  $mv'=mg-kv^2$ où $v$ est la fonction de la variable $t$, définie et  dérivable sur $[0,+\infty[$ prenant pour valeur la norme du vecteur vitesse, et $v'$ est la fonction dérivée de $v$.\par
En simplifiant, on obtient donc $v'=g-\frac{k}{m}v^2$.
Dans la suite du problème, on prendra $g=10$ ; $m=70$ et $k=28$ (en unités S.I.).
L'équation différentielle sera donc :
                    $$v'=10-0,4v^2 \quad (E)$$

\probpart{}
\begin{enumerate}
\item{Démontrer que l'équation différentielle $(E)$ peut s'écrire
$$\frac{v'}{25-v^2}=0.4$$ pour tout $v$ de l'intervalle $[0,5[$.}
\item{Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que, tout $v$ de l'intervalle $[0,5[$,
$$\frac{1}{25-v^2}=\frac{a}{5+v}+\frac{b}{5-v}.$$}
\item{Résoudre l'équation différentielle $(E)$.}
\item{Déterminer la solution particulière $v$ telle que $v(0)=0$.}
\end{enumerate}

\probpart{}
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0,+\infty[$
par : $$f(t)=\frac{e^{4t}-1}{e^{4t}+1}.$$
\begin{enumerate}
\item{Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.}
\item{\'Etudier le sens de variation de $f$.}
\item{Quelle serait la limite de la vitesse $v(t)$ si $t$ tendait
vers $+\infty$.}
\end{enumerate}}





\newpage
\thispagestyle{empty}

\begin{minipage}{16cm}
\begin{center}
\tableofcontents
\thispagestyle{empty}
\end{center}
\end{minipage}
\end{document}