\documentclass[12pt]{article}\usepackage{livre}\usetikz\usepackage{pst-eucl}\usealgorithms\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead{}
\fancyhead[LE]{\footnotesize Chapitre 1}
\fancyhead[CE]{}
\fancyhead[RE]{\footnotesize Fonctions d'une variable réelle}
\fancyhead[LO]{\footnotesize Cours de mathématiques}
\fancyhead[CO]{}
\fancyhead[RO]{\footnotesize STS}
\fancyfoot[LE]{\footnotesize \url{http://lyceeenligne.free.fr/spip/}}
\newcounter{chap}\setcounter{chap}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\thispagestyle{empty}
{\Large\textsf{Section technicien supérieur}\par
\textsf{Cours de mathématiques}\par}

\bigskip

\textsf{\HUGE Chapitre 1}

{\HUGE\bf\textsf{Fonctions d'une variable réelle}}

\vfill

\begin{center}
\includegraphics[width=16cm]{calvinhobbes.eps}\\ \smallskip
\textsf{\small \emph{Calvin and Hobbes}, by Bill Waterson}
\end{center}

\vfill
\emph{Le mot fonction est emprunté sous la forme simplifiée funcion (1370) au latin functio "accomplissement, exécution" , en français courant.\\
 Au 18ème Euler (1707-1783) propose l'idée qu'une suite de courbes, donc d'expressions, représentait une fonction.\\
 C'est Leibniz (1646-1716) qui utilise le mot fonction pour la première fois en mathématiques en 1673, mais la première définition fut donnée par J.Bernouilli (1654-1705).\\
 Pour le symbole $f(.)$, il a été introduit par Euler en 1734 dans Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae.}
 
\vfill
 
\begin{flushright}
\sf\small Aymar de Saint-Seine\\ Année scolaire 2010--2011
\end{flushright}

\newpage

\setcounter{page}{1}
\section{Rappels}
\subsection{Généralités}
\defi{Fonction}
{Une \defin{fonction $f$ d'un ensemble $I$ dans un ensemble $J$} est un objet mathématique qui
à tout élément de $I$ associe un unique élément de $J$, noté $f(x)$.
\begin{itemize}
\item L'ensemble $I$ est \defin{l'ensemble de définition} de $f$.
\item Le nombre $f(x)$ est \defin{l'image} de $x$ par la fonction $f$. C'est un élément de $J$.
\item Le nombre $x$ est \defin{un antécédent} de $f(x)$ par $f$.
\end{itemize}}


\defi{Domaine de définition}{
Soit $f$ une fonction.
\defin{Le domaine de définition} est l'ensemble des éléments de $\R$ pour lesquel la fonction $f$ admet une image.}

\theo{Ensemble de définition des fonctions usuelles}{$$
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Polynômes &$\R$\\\hline 
$\frac{1}{x}$ &$\R^{\star}=]-\infty,0[ \bigcup ]0,+\infty[$ \\\hline 
$\sqrt{x}$ &$\R^+=[0,+\infty[$ \\\hline 
$\sin x$ &$\R$ \\\hline 
$\cos x$ &$\R$ \\\hline 
$\tan x$ &$ \bigcup\limits_{k \in \Z}]-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi[$ \\\hline 
$\ln x$ &$\R^{+\star}=]0,+\infty[$ \\\hline 
$e^x$ &$\R$ \\\hline 
\end{tabular}$$}



\subsection{Limites}
\theo{Limites des fonctions de référence}{
$$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Fonction 	& $x^k$         & $\frac1x$    & $\sqrt x$ & $\ln$    & $\exp$ \\ \hline
0      		& $0$         & $ \pm\infty$ & $ 0     $ &$-\infty $& $1     $\\ \hline
$+\infty$ & $+\infty$ & $0          $  & $+\infty$ &$+\infty $& $+\infty $\\ \hline
$-\infty$ & $\pm\infty$ & $0          $  & $       $ &$        $& $0       $ \\ \hline    
\end{tabular}$$}



\theo{Opérations sur les limites}{Soient $f$ et $g$ deux fonctions réelles à une variable. On peut souvent déterminer la limite des fonction $f+g$, $fg$ et $\frac{1}{g}$ en fonction des limites de $f$ et $g$ en un point ou en l'infini. Dans le tableau ci-dessous, $l$ et $l'$ sont deux nombres réels. Les cas où l'on ne peut pas déterminer ainsi la limite de la nouvelle fonction sont indiqués par la mention F.I. qui signifie ``forme indéterminée''.\par
Dans le second tableau, le signe s'obtient en utilisant les règles du signe d'un produit de nombre relatifs.}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\bf Limite de $f$ & \bf Limite de $g$ & \bf Limite de $f+g$ \\
\hline
$l$ & $l'$ & $l+l'$ \\
$l$ ou $+\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$\\
$l$ ou $-\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$\\
$+\infty$ & $-\infty$ & F.I.\\
\hline
\end{tabular}

\ \bigskip

\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\bf Limite de $f$ & \bf Limite de $g$ & \bf Limite de $fg$ \\
\hline
$l$ & $l'$ & $ll'$ \\
$l\neq 0$ & $\infty$ & $\infty$ \\
$\infty$ & $\infty$ & $\infty$\\
$0$ & $\infty$ & F.I.\\
\hline
\end{tabular}\par
% 
% \ \bigskip
% 
% \begin{tabular}{|c|c|}
% \hline
% \bf Limite de $f$ & \bf Limite de $\frac{1}{f}$ \rule{0pt}{12pt}
% \\ [2pt]
% \hline
% $l\neq 0$ & $\frac{1}{l}$ \rule{0pt}{12pt}\\
% $0^+$ & $+\infty$\\
% $0^-$ & $-\infty$\\
% $\infty$ & $0$\\ \hline
% \end{tabular}\par
\end{center}

\theo{Limite d'un polynôme en l'infini}
{Un polynôme a même limite en l'infini que son terme de plus haut degré.\\
Une fonction rationnelle (quotient de polynômes) a même limite en l'infini que le quotient des termes de plus haut degré.}

\exosol{Déterminer la limite en $+\infty$ de $f(x)=x^3-x^2$ et de $g(x)=\dfrac{x^3+2x}{-2x^2+1}$.}
{$\dis\lim_{x\mapsto+\infty}f(x)=\lim_{x\mapsto+\infty}x^3=+\infty$.\\
$\dis\lim_{x\mapsto+\infty}g(x)=\lim_{x\mapsto+\infty}\dfrac{x^3}{x^2}=\lim_{x\mapsto+\infty}\dfrac{x}{-2}=-\infty.$}

\rem{On peut aussi conclure sans le théorème. Il faut alors factoriser le terme de plus haut degré. Cela fait seulement plus de calculs.}

\exosol{Déterminer la limite en l'infini de la fonction $f$  définie par $f(x)=\frac{3x^2+5x}{7x^3+2x-7}.$}
{ Sachant que $\dis\lim_{x\to+\infty} 3x^2+5x=\dis\lim_{x\to+\infty} 
 7x^3+2x-7=+\infty$, on obtient a priori une forme indéterminée. 
Pour lever l'indétermination, on va factoriser le numérateur et 
le dénominateur par leur terme de plus haut degré. Pour $x\neq 0$,
$$f(x)=\frac{3x^2(1+\frac{5}{3x})}{7x^3(1+\frac{2}{7x}-\frac{1}{x^2})}=
\frac{3}{7x}\times\frac{1+\frac{5}{3x}}{1+\frac{2}{7x}-\frac{1}{x^2}}.$$
On constate alors que
\begin{eqnarray*}
\lim_{x\to+\infty} 1+\frac{5}{3x} & = & 1 \\
\lim_{x\to+\infty} 1+\frac{2}{7x}-\frac{1}{x^2} & = & 1 \\
\lim_{x\to+\infty} \frac{3}{7x} & = & 0 \\
\end{eqnarray*}
et on en déduit que $\dis\lim_{x\to+\infty} f(x)=0.$}

\theo{Croissances comparées de ln à l'infini}{Toute fonction puissance l'emporte sur la fonction
logarithme népérien en l'infini et en zéro. Plus précisément,
$$\lim_{x\to+\infty} \frac{x^n}{\ln x}=+\infty \quad ; \quad\lim_{x\to0}x^n\ln x=0$$
}


\theo{Croissances comparées de exp à l'infini}{La fonction exponentielle l'emporte sur toute fontion puissance
en l'infini. Plus précisément,
$$\lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^n}=+\infty \quad ; \quad
\lim_{x\to+\infty} \frac{x^n}{e^x}=0\quad ; \quad
\lim_{x\to-\infty} x^ne^x=0$$
}






\subsection{Dérivation}
\theo{Fonctions dérivées usuelles}{
Les dérivées des fonctions usuelles  sont données dans le tableau ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|p{2cm}|c|c|}
\cline{1-2}\cline{4-5}
Fonction   & Dérivée               && Fonction 	& Dérivée			\\\cline{1-2}\cline{4-5}
$k$        &  1        						 &&	$e^x$     & $e^x$			 	\\\cline{1-2}\cline{4-5}
$x^n$      & $nx^{n-1}$ 					 &&	$\sin x$  & $\cos x$		\\\cline{1-2}\cline{4-5}
$\sqrt{x}$ & $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ &&	$\cos x$  & $-\sin x$ 	\\\cline{1-2}\cline{4-5}
$\ln x$    & $\frac{1}{x}$ 				 &&	$\tan x$  & $\frac{1}{\cos^2 x}$				  \rule{0pt}{12pt}\\[2pt]\cline{1-2}\cline{4-5}
\end{tabular}
\end{center}
}


\theo{Dérivées et opérations}{Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$
 de $\R$, $k$ un nombre réel. Alors
\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
$(u+v)'=u'+v'$ & \\
$(ku)'=ku'$ & $(uv)'=u'v+uv'$ \\
$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ & $\left(\frac{1}{u}\right)'=-\frac{u'}{u^2}$
\end{tabular}
\end{center}
 }


\exosol{Dériver chacune des fonctions suivantes :
\begin{enumerate}
 \item $f(x)=x^3+5x^2+6x+3$.
 \item $g(x)=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{5}{x^3}$.
 \item $h(x)=\dfrac{3x+2}{x^2+4}$.
 \item $i(x)=(2x+3)\times \cos x$.
  \end{enumerate}
}{
\begin{enumerate}
\item $f$ est une somme. On dérive chacun des termes de la fonction $f$.\\
      $f'(x)=3x^2+5\times(2x)+6\times1+0=3x^2+10x+6$.
\end{enumerate}
}\par\suite{
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}      
\item On réecrit la fonction $g$ sous une forme plus classique.
      $$g(x)=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{5}{x^3}=x^{-2}+5x^{-3}.$$
      On dérive chacun des termes de la somme puis on réecrit la fonction $g$ sous la forme donnée.
      \begin{eqnarray*}
	g'(x)&=&-2x^{-3}+5\times(-3)x^{-4}\\
	g'(x)&=&\dfrac{-2}{x^3}+\dfrac{-15}{x^4}
      \end{eqnarray*}
\item $h$ est de la forme $\frac{u}{v}$ avec $\begin{array}[t]{ll}
					      u(x)=3x+2 & u'(x)=3\\
					      v(x)=x^2+4 & v'(x)=2x\\
                                             \end{array}$\\
      Comme $\frac{u}{v}=\frac{u'v-v'u}{v^2}$, on obtient : 
      \begin{eqnarray*}
	h'(x)&=&\dfrac{3\times(x^2+4)-(2x)(3x+2)}{(x^2+4)^2}\\
	h'(x)&=&\dfrac{3x^2+12-6x^2-4x}{(x^2+4)^2}\\
	h'(x)&=&\dfrac{-3x^2+8x}{(x^2+4)^2}\\
	h'(x)&=&\dfrac{x(-3x+8)}{(x^2+4)^2}\\
      \end{eqnarray*}
 \item $i$ est de la forme $u\times v$ avec $\begin{array}[t]{ll}
 					      u(x)=2x+3 & u'(x)=2\\
 					      v(x)=\cos x & v'(x)=-\sin x\\
                                              \end{array}$\\
      Comme $u\times v =u'v+v'u$, on obtient : 
      \begin{eqnarray*}
	i'(x)&=&(2)(\cos x)+(2x+3)(-\sin x)\\
	i'(x)&=&2\cos x-(2x+3)\sin x\\
       \end{eqnarray*}                                      
\end{enumerate}
}


\theo{Dérivées et fonctions composées}{Soient $f$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$
 de $\R$, $k$ un nombre réel. Alors
\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
$(u^n)'=nu^{n-1}\cdot u'$ & $(\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ \\
$\cos(u)'=-u'\sin(u)$ & $\sin(u)'=u'\cos(u)$\\
$(e^u)'=u'e^u$ & $(\ln u)'=\frac{u'}{u}$ \\
\end{tabular}
\end{center}
}


\exosol{Dériver chacune des fonctions suivantes :
\begin{enumerate}
\item $f(x)=(3x+1)^5$
\item $g(x)=\frac{1}{(2x+1)^3}$
\item $h(x)=\cos\pa{7x+2}$
\item $i(x)=\sqrt{3x^2+1}$
\end{enumerate}
}
{\begin{enumerate}
\item $f$ est de la forme $u^n$ avec $n=5$, $u(x)=3x+1$, $u'(x)=3$.\\
Comme $(u^n)'=nu^{n-1}u'$, on a $f'(x)=5\times (3x+1)^4 \times 3 = 15(3x+1)^4.$
\item $g$ est de la forme $u^n$ avec $n=-3$ , $u(x)=2x+1$, $u'(x)=2$.\\
Comme $(u^n)'=nu^{n-1}u'$, on a $g'(x)=-3\times (2x+1)^{-4} \times 2 = \frac{-6}{(2x+1)^4}.$
\item $h$ est de la forme $\cos{u}$ avec $u(x)=7x+2$, $u'(x)=7$.\\
Comme $[\cos(u)]'=-u'\sin(u)$, on a $h'(x)=-7\sin(7x-2)$.
\item $i$ est de la forme $\sqrt{u}$ avec $u(x)=3x^2+1$, $u'(x)=6x$.\\
Comme $(\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$, on a $i'(x)=\dfrac{6x}{2\sqrt{3x^2+1}}$.
\end{enumerate}
}



\theo{Dérivées et sens de variations}{Soient $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle
$I$ de $\R$ et $f'$ sa fonction dérivée. Alors
\begin{itemize}
\item si $f'\geq 0$ sur $I$ alors $f$ est croissante sur $I$ ;
\item si $f'\leq 0$ sur $I$ alors $f$ est décroissante sur $I$.
\end{itemize}
}

Ainsi, pour étudier les variations d'une fonction $f$, il suffit
d'étudier le signe de sa dérivée.

\theo{extremum et dérivée}
{Soient $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle
$I$ de $\R$ et $f'$ sa fonction dérivée.\\
$f$ admet un extremum en $x_0$ si et seulement si $f'$ s'annulle et change de signe en $x_0$.}



\subsection{Droites remarquables}
\defi{Tangente à une courbe}
{Soit $f$ une fonction dérivable en un point $a$. La \defin{tangente} à la courbe représentative de $f$ en $a$ est la droite qui approxime le mieux la courbe au voisinage de ce point.}

\theo{Coefficient directeur de la tangente}{Si une fonction $f$ est dérivable en un point $a$ alors la tangente en $a$ admet $f'(a)$ pour coefficient directeur au point d'abscisse $a$.}

\exosol{Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^2$.\\
Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $3$.}
{L'équation de la tangente est de la forme $y=ax+b$.
\begin{itemize}
\itemb Calcul de $a$ : \\
$f'(x)=2x$ d'où $f'(3)=6$ d'où $a=6$ et $y=6x+b$.
\itemb Calcul de $b$ : \\
$f(3)=3^2=9$. Les coordonnées $(3;9)$ vérifient l'équation de la tangente, on a donc $9=6\times3+b$ soit $b=-9$
\end{itemize}
L'équation de la tangente est $y=6x-9$.}



\theo{Équation de la tangente}
{Si une fonction $f$ est dérivable en un point $a$ alors la tangente en $a$ admet pour équation : 
$$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$}

\exosol{Déterminer l'équation de la tangente en $x=3$ à la courbe réprésentative de la fonction $f(x)=x^2$.}
{$f(x)=x^2$ donc $f(3)=9$. $f'(x)=2x$ donc $f'(3)=6$.\\
L'équation de la tangente en $x=3$ à la courbe réprésentative de $f$ est 
\begin{eqnarray*}
y&=&f'(3)(x-3)+f(3)\\
y&=&6(x-3)+9\\
y&=&6x-18+9\\
y&=&6x-9\\
\end{eqnarray*}}

Pour la suite, $f$ est une fonction définie sur $\R$ ou sur un intervalle $I$ de $\R$ et $\Co$ est sa courbe représentative.\\

\defi{Asymptote verticale}{Si il existe un nombre $a$ dans $I$ tel que
$$\lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty$$ alors on dit que la droite d'équation
$x=a$ est une \defin{asymptote verticale} à la courbe $\Co$.
}

\illus{}{$$%graph lim f = \infty
\psset{xunit=1.2, yunit=.5, arrowscale=2}
\begin{pspicture}(-1,-2.5)(6,9) 
%\psgrid
\psaxes[ticks=none,labels=none]{-}(0,0)(-.5,-2.5)(5,9) 
\psplot{.1}{1.9}{x 3 sub 1 2 x sub div add} \psplot{2.1}{5}{x 3 sub 1   x  2 sub div add}
\psline{-}(2,.1)(2,-.1) \uput[-90](2,0){$a$}
\psline[linecolor=red, linestyle=dotted]{-}(2,0)(2,9)
\end{pspicture}$$
Graphiquement, on observe que la courbe ne croise jamais cette droite, elle la ``contourne'' par l'infini.}



\defi{Asymptote horizontale}{Si il existe un nombre réel $b$ tel que
$$\lim_{x\to \pm\infty} f(x)=b$$
alors on dit que la droite d'équation $y=b$ est une \defin{asymptote
horizontale} à la courbe $\cal C$.}


\illus{}{%graph lim f = l*
$$\psset{xunit=.2, yunit=3,arrowscale=2}
\begin{pspicture}(-2,-.5)(50,1.5)
%\psgrid
\psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-.5)(50,1.5)
\pscurve[linecolor=blue](0,-.5)(4,.9)(5,1)(10,.5)(20,.3)(30,.4)(50,.5)
\uput[0](50,.5){$\Co_f$}
\uput[180](0,0.5){$b$}
\psplot[linestyle=dotted, linecolor=red]{0}{50}{.55}
\end{pspicture}$$
Graphiquement, on observe qu'au voisinage de l'infini, la courbe se rapproche de cette droite.}

\defi{Asymptote oblique}{Si il existe deux nombres réels $m$ et $p$ tels que
$$\lim_{x\to \pm\infty} \bigl(f(x)-(mx+p)\bigr)=0$$
alors on dit que la droite d'équation $y=mx+p$ est une \defin{asymptote
oblique} à la courbe $\cal C$. Graphiquement, on observe qu'au
voisinage de l'infini, la courbe se rapproche de cette droite.}

\rem{On peut considérer une asymptote horizontale comme une asymptote
oblique avec un coefficient directeur nul.}

\exosol{Montrer que la droite d'équation $y=x+2$ est asymptote oblique à la courbe de la fonction $f$ définie sur $\R^*$ par $f(x)=x+2+\frac{1}{x^2}$}
{$\dis\lim_{x\mapsto\pm\infty} f(x)-y= \dis\lim_{x\mapsto\pm\infty} \frac{1}{x^2}=0$
donc $\Co_f$ admet une asymptote oblique d'\'equation $y=x+2$ au voisinage de $+\infty$ et au voisinage de $-\infty$. 
$$\psset{unit=0.4, arrowscale=2}
\begin{pspicture}(-6,-4)(5,9)
%\psgrid
\psplot[linecolor=red]{-6}{5}{x 2 add}
\psplot{-6}{-0.395}{x 2 add 1 x x mul div add }
\psplot{.42}{5}{x 2 add 1 x x mul div add }
\psaxes[Dy=5, Dx=2]{->}(0,0)(-6,-4)(5,9)
\end{pspicture}$$}
    


\subsection{Positions relatives de deux courbes}
\defi{Positions relatives}{Etudier les \defin{positions relatives} de deux courbes $\Co_f$ et $\Co_g$ de deux fonctions $f$ et $g$, c'est indiquer sur quels intervalles :
\begin{itemize}
	\item la courbe $\Co_f$ est au-dessus de la courbe $\Co_g$ ;
	\item la courbe $\Co_f$ est en dessous de la courbe $\Co_g$ ;
\end{itemize}}

\cadre{Méthode}{Position relative}{Pour étudier les positions relatives de deux courbes $\Co_f$ et $\Co_g$ de deux fonctions $f$ et $g$, on étudie le signe de $f(x)-g(x)$.\\
Si $f(x)\geq g(x)$ alors $\Co_f$ est au dessus de $\Co_g$.}

\exosol{Etudier les positions relatives des courbes associées aux fonctions $f(x)=x^3$ et $g(x)=x$.}
{On étudie le signe de $f(x)-g(x)$.\\
$f(x)-g(x)=x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1).$
$$\begin{tikzpicture}[anchor=center]
\tkzTabInit[espcl=2,lgt=2.5]{$x$/0.7,$x$/0.7,$x-1$/0.7,$x+1$/0.7,$f(x)-g(x)$/0.7}{$-\infty$,$-1$,$0$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,t,-,0,+,t,+}
\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,0,+}
\tkzTabLine{,-,0,+,t,+,t,+}
\tkzTabLine{,-,0,+,0,-,0,+}
\end{tikzpicture}
$$
Donc $\Co_f$ est au dessus de $\Co_g$ sur $[-1,0]\cup[1;+\infty[$ et en dessous sinon.\\
On peut vérifier ce résultat en tracant les représentations graphiques des deux courbes dans un repère.
$$\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\psaxes(0,0)(-5,-5)(5,5)
\psplot{-1.7}{1.7}{x 3 exp}
\psplot{-5}{5}{x}
\end{pspicture}$$}

\subsection{Parité et périodicité}
\defi{Fonction paire}{$f$ est une fonction \defin{paire} si pour tout  $x \in \Df_f$,   on a $-x  \in \Df_f$  et $f(-x)=f(x)$.}

Conséquence :  La courbe représentative de la fonction $f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées\\
\illus{}{$$\psset{unit=0.35cm}
    \pspicture(-4.5,-0.5)(4.5,8.5)
    \psaxes[labels=none,ticks=none,linecolor=gray]{<->}(0,0)(-4.5,-0.5)(4.5,8.5)
    \psplot{-4}{4}{x x mul 2 div}
    \endpspicture$$}

\defi{Fonction impaire}{$f$ est une fonction \defin{impaire} si pour tout  $x \in \Df_f$,   on a $-x  \in \Df_f$  et $f(-x)=-f(x)$.}

Conséquence : La courbe représentative de la fonction $f$ est symétrique par rapport au point $O( 0;0 )$\\

\illus{}{$$ \psset{xunit=0.50cm,yunit=0.25cm}
    \pspicture(-4.5,-10)(4.5,10)
    \psaxes[labels=none,ticks=none,linecolor=gray]{<->}(0,0)(-4.5,-8.5)(4.5,8.5)
    \psplot{-4}{-0.1}{1 x div}
    \psplot{0.1}{4}{1 x div}
    \endpspicture$$}

\exosol{On considère la fonction $f$ définie sur \R~par $f(x)=\cfrac{x^3}{x^2+1}$. Etudier la parité de $f$.}
{Le domaine de définition est $\R$ qui est symétrique par rapport à $0$.\\
$f(-x)=\cfrac{(-x)^3}{(-x)^2+1}=\cfrac{-x^3}{x^2+1}=-f(x)$.\\
Comme  pour tout $x \in \Df_f$,   on a $-x  \in \Df_f$  et $f(-x)=-f(x)$ alors la fonction est impaire.}



\defi{Fonctions périodiques}{
On dit qu'une fonction $f$ définie sur $\mathcal{D}$ est \defin{périodique de période T} si $$\forall x \in \mathcal{D}, x+T \in \mathcal{D}~{\rm et}~f(x+T)=f(x)$$ \\
Toutes les périodes sont des multiples de la plus petite période qui est appelée \defin{la période}.}

\theo{Périodes des fonctions périodiques les plus usuelles}{$$
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Fonction &Période \\\hline \hline 
% $\sin x$ &$2\pi$ \\\hline 
% $\cos x$ &$2\pi$ \\\hline 
% $\tan x$ &$\pi$ \\\hline 
$\sin \omega x$ &$\frac{2\pi}{\omega}$ \\\hline 
$\cos \omega x$ &$\frac{2\pi}{\omega}$ \\\hline 
$\tan \omega x$ &$\frac{\pi}{\omega}$ \\\hline 
\end{tabular}$$}


\section{Fonctions continues}
\subsection{Définition}
\defi{Continuité en un point}
{Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $\I$.\\
On dit que $f$ est \defin{continue en $x_0$}, si $f$ est définie sur un intervalle ouvert contenant $x_0$ et si $\dis\lim_{x\mapsto x_0}f(x)=f(x_0)$}

\rem{Pour la plupart des courbes connues, on a continuité en tout les points. Les cas qui posent problème sont ceux pour lesquels la limite de la fonction en $x_0$ n'est pas la même à gauche qu'à droite.}

Graphiquement, la continuité d'une fonction se caractérise par une courbe continue, c'est à dire que l'on n'a pas à lever le crayon pour la tracer.

\illus{}{
\begin{center}
\begin{tabular}{c p{2cm} c}
\psset{unit=1cm}     
\begin{pspicture*}(-3,-1)(3,3)
\psline{->}(-3,0)(3,0)\psline{->}(0,-3)(0,3)\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,3)
\psset{linecolor=bleu}
\pscurve(-3,1)(-1,2)(1,1)(3,3)
\rput[t](1,-0.2){$x_0$}
\end{pspicture*}
&&
\begin{pspicture*}(-3,-1)(3,3)
\psline{->}(-3,0)(3,0)\psline{->}(0,-3)(0,3)\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,3)
\psset{linecolor=bleu}
\pscurve(-3,1)(-1,2)(1,1)
\psarc(0.9,2){0.1}{270}{90}
\psline[linestyle=dashed](0,2)(1,2)\rput[O](-0.5,2.3){$f(x_0)$}
\pstGeonode[PointName=none](1,1){A}
\pscurve(1,2)(2,3)(3,1)
\rput[t](1,-0.2){$x_0$}
\end{pspicture*}\\
f continue en $x_0$ &&f non continue en $x_0$\\
  && car $\dis\lim_\toinf{x}{x_0}f(x)\neq\dis\lim_\tosup{x}{x_0}f(x)$\\
\end{tabular}
\end{center}
}

\defi{Continuité à droite, à gauche}
{On dit que la fonction du deuxième exemple est \defin{continue à droite} en $x_0$, car $\dis\lim_\tosup{x}{x_0}f(x)=f(x_0)$. Cette fonction n'est pas continue à gauche puisque $\dis\lim_\toinf{x}{x_0}f(x)\neq f(x_0)$}



Analytiquement, (c'est à dire par le calcul), pour montrer la continuité d'une fonction en un point $x_0$, il faut montrer l'égalité de la limite à gauche en $x_0$ et la limite à droite en $x_0$.\\

\exosol{Soit $f$ la fonction définie par $f: \left\{ \begin{array}{l} 
								  \cfrac{x}{2x-1}  \textrm{ si } x > 1\\ 
								  x  \textrm{ si } x < 1 
								  \end{array} \right.$
\begin{enumerate}
\item Tracer la prepésentation graphique de $f$.
\item $f$ est-elle continue en 1 ?
\end{enumerate}}
{\begin{enumerate}
	\item $$\psset{unit=0.7cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
		\def\xmin{-5}\def\ymin{-5}\def\xmax{5}\def\ymax{5}
		\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
		\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
		\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
		\psplot[linecolor=rouge]{1}{5}{x/(2*x-1)}
		\psplot[linecolor=rouge]{-5}{1}{x}
		\end{pspicture*}$$
	\item \begin{itemize}
				\item $\dis \lim_\tosup{x}{1} f(x)= \lim_\tosup{x}{1} \cfrac{x}{2x-1} = \lim_\toinf{x}{1}\cfrac{1}{2\times1-1} = 1$
				\item $\dis \lim_\toinf{x}{1} f(x)= \lim_\toinf{x}{1} x = 1$
				\end{itemize}
				La fonction est continue puisque $\dis \lim_\toinf{x}{1} f(x)= \lim_\tosup{x}{1} f(x)= f(1)$
\end{enumerate}
}


\defi{Continuité sur un intervalle}{On dit que $f$ est \defin{continue sur $\I$} si elle est continue en chaque point de $\I$.\\
On dit que $f$ est \defin{continue par morceaux sur $\I$} si elle est admet en chaque point où elle est discontinue une limite \defin{finie} à gauche et une limite \defin{finie} à droite.}


\illus{}{$$\begin{tabular}{p{6cm} p{2cm} p{6cm}}
\psset{xunit=2cm, yunit=3cm}     
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.3)(3.555752,1.2)
\psline{->}(-3,0)(3,0)\psline{->}(0,-3)(0,3)\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,3)
\psset{linecolor=bleu}
\psplot[plotpoints=500]{0}{1}{x 57.29578  mul cos }
\psplot[plotpoints=500]{1}{2}{x 1 sub 57.29578  mul cos }
\rput[t](1,-0.2){$1$}\rput[t](0,-0.2){$0$}\rput[t](2,-0.2){$2$}
\end{pspicture*} &&
\begin{pspicture*}(-3,-1)(3,3)
\psline{->}(-3,0)(3,0)\psline{->}(0,-3)(0,3)\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,3)
\psset{linecolor=bleu}
\pscurve(-3,0)(-2,0.2)(0,0.4)(0.5,0.6)(0.9,3)
\pscurve(1,2)(2,3)(3,1)
\rput[t](1,-0.2){$x_0$}
\end{pspicture*}\\
f continue par morceaux sur $[0;2[$
$f: \left\{ \begin{array}{l} 
															\cos x  \textrm{ si } x\in [0;1[\\ 
															\cos(x-1)  \textrm{ si } x\in [1;2[ \end{array} \right.$
&& f non continue par morceaux sur $[a;b]$ car n'admet pas de limite finie à gauche en $x_0$.\\
\end{tabular}
$$}

\exes{\\
La fonction partie entière est continue par morceaux sur $\R$.\\
La fonction pop-corn est discontinue en tout point de $\R$.$f: \left\{ \begin{array}{l} 
															1  \textrm{ si } x=\frac{p}{q}\\ 
															0  \textrm{ sinon } x\in [1;2[ \end{array} \right.$}



\subsection{Propriétés}
\theo{Opération sur les fonctions continues}{Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $\I$, alors :
\begin{itemize}
	\item $f+g$, $fg$, $\lambda f$ sont continues sur $\I$.
	\item $\cfrac{1}{g}$ est continue en tout point de $\I$ où $g$ ne s'annulle pas.
\end{itemize}}

\rem{Les fonctions polynomes, $\ln$, $\exp$, $\cos$, $\sin$, $\tan$, ainsi que toutes celles obtenues par $+,-,\times$ à partir de celles-ci, sont continues sur leur domaine de définition.}

\exosol{Montrer que la fonction $f$ définie par $f(x)=(2x+1)e^{6x+2}$ est continue.}
{$f$ est obtenue par composition des fonctions $2x+1$, $\exp$, et $6x+2$ qui sont continues, donc $f$ est continue.}

\theo{théorème des valeurs intermédiaires}
{L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.\\
Autrement dit, si  une  fonction $f$ est continue sur un intervalle contenant les deux valeurs $a$ et $b$, elle  prend  toutes  les  valeurs  comprises entre $f(a)$ et $f(b)$ (elle peut évidemment en prendre d'autres)}

\illus{}{$$
\psset{unit=1.5cm}     
\begin{pspicture*}(-3,-1)(3,3)
\psline{->}(-3,0)(3,0)\psline{->}(0,-3)(0,3)
\rput[t](-2,-0.2){$a$}\psline[linestyle=dashed](-2,0)(-2,1)
\rput[l](0,1){$f(a)$}\psline[linestyle=dashed](0,1)(-2,1)
\rput[t](2,-0.2){$b$}\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,2.7)
\rput[r](0,2.7){$f(b)$}\psline[linestyle=dashed](0,2.7)(2,2.7)
\rput[dr](0,2){$\lambda$}
\psset{linecolor=bleu}
\pscurve(-2,1)(-1,2.3)(1,0.7)(2,2.7)
\psset{linecolor=rouge}
\psline[linestyle=dashed](-3,2)(3,2)
\end{pspicture*}$$
$f$ est continue sur $[a;b]$ donc $f$ prend au moins toutes les valeurs comprises entre $f(a)$ et $f(b)$.\\
Autrement dit, pour tout $\lambda$ variant dans $[f(a);f(b)]$, l'équation $f(x)=\lambda$ admet au moins une solution.\\
Dans l'exemple, la fonction prend même d'autres valeurs (partie située en dessous de la droite d'équation $y=f(a)$.\\[10pt]
Mais si la fonction n'est pas continue, on peut avoir le cas suivant pour lequel $\lambda \in [f(a);f(b)]$ sans que l'équation $f(x)=\lambda$ n'admette de solution :\\
\psset{unit=1.5cm}     
$$\begin{pspicture*}(-3,-1)(3,3)
\psline{->}(-3,0)(3,0)\psline{->}(0,-3)(0,3)
\rput[t](-2,-0.2){$a$}\psline[linestyle=dashed](-2,0)(-2,1)
\rput[l](0,1){$f(a)$}\psline[linestyle=dashed](0,1)(-2,1)
\rput[t](2,-0.2){$b$}\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,2.7)
\rput[r](0,2.7){$f(b)$}\psline[linestyle=dashed](0,2.7)(2,2.7)
\rput[t](1,-0.2){$x_0$}\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,3)
\rput[dr](0,2){$\lambda$}
\psset{linecolor=bleu}
\pscurve(-2,1)(-1,1.5)(1,1)
\pscurve(1,2.3)(1.5,2.4)(2,2.7)
\psset{linecolor=rouge}
\psline[linestyle=dashed](-3,2)(3,2)
\end{pspicture*}$$}


\rems{\begin{itemize}
	\item ce théorème assure l'existence d'une solution sans en donner sa valeur. On verra au prochain chapitre des méthodes algorithmiques permettant d'obtenir une approxiation aussi fine que l'on veut de la solution.
	\item L'image  par  une fonction continue d'un intervalle fermé est un intervalle fermé.  Par  contre,  l'image  d'un  intervalle  ouvert  n'est  pas forcément un intervalle  ouvert.  (Par exemple, l'image de $]0, 2\pi[$ par sinus est $[- 1, 1]$)
\end{itemize}
}

\theo{Cas particulier: }{Si une fonction continue change de signe dans un intervalle, elle s'annule sur cet intervalle.\\
Dit autrement, si $f$ est continue sur $[a;b]$ et si $f(a)f(b)<0$ alors l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $[a;b]$.}

\rem{Si la fonction est strictement monotone sur l'intervalle, alors cette solution est unique.}

\subsection{Application : Résolution d'une équation par dichotomie}
\rem{En algorithmique, la dichotomie ("couper en deux" en grec) est un processus itératif ou récursif de recherche où, à chaque étape, l'espace de recherche est restreint à l'une des deux parties.}

\cadre{Méthode}{Dichotomie}{Si  une  fonction  continue  est  telle  que  $f(a) f(b)<0$, cela signifie qu'elle s'annule entre $a$  et $b$. \\
Dans ce cas, on calcule l'image de $c = \frac{a+b}{2}$. Si $f(c)f(a)<0$,  alors la fonction s'annule entre $a$ et $c$ et on remplace $b$ par $c$, sinon  on  remplace $a$ par $c$.\\
On réitère le procédé jusqu'a obtenir un encadrement assez fin. }

\illus{}{Résolution d'une équation par dichotomie.
$$\psset{xunit=10cm, yunit=1cm}
\begin{pspicture}(2,-1)(3,6)
\pstGeonode[PointName={$a$,$b$,none}, PosAngle={270},PointSymbol=none](2,0){A}(3,0){B}(2.5,0){C}
\psplot{2}{3}{1 3 div x 3 exp mul x sub 1 sub}
\psline{->}(2,0)(3,0)
\psline{->}(1.9,-1)(1.9,6)
\multido{\n=-1+1}{7}{\psline(1.88,\n)(1.92,\n) \rput(1.87,\n){\n}}
\rput[t](2.5,0){$c_1=\cfrac{a+b}{2}$}
\rput[t](2.25,0){$c_2=\cfrac{a+c_1}{2}$}
\psset{linestyle=dashed,linecolor=rouge}
\psline(3,0)(3,5)\psline(2,0)(2,-0.33)\psline(2.5,0)(2.5,1.7)\psline(2.25,0)(2.25,0.547)
\end{pspicture}$$}

On présente les résultats sous la forme suivante :\\
$\left. \begin{array}{l} f \textrm{ est continue sur } [a ; b] \\
			f(a)f(b)< 0 \\  \end{array} \right\} \stackrel{T.V.I}{\Longrightarrow}$ 												  $f$ s'annule entre $a$ et $b$\\
En réitérant le procédé, on obtient successivement : 
\begin{center}
\begin{tabular}{c*{3}{|c|c|p{0.5cm}}|c|} 
\cline{2-3}\cline{5-6}\cline{8-9}\cline{11-11}
				& $a$ 	& $f(a)$ 	&&   $b$ 	& $f(b)$ && 		$\frac{a+b}{2}$	& $f(\frac{a+b}{2})$  && $\ldots\leq\alpha\leq\ldots$ \\
\cline{2-3}\cline{5-6}\cline{8-9}\cline{11-11}
Etape 1 &      &         &&    		&				 &&											&											&&															\\
\cline{2-3}\cline{5-6}\cline{8-9}\cline{11-11}
Etape 2 &       &         &&     		&				 &&											&											&&															\\
\cline{2-3}\cline{5-6}\cline{8-9}\cline{11-11}
$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&&$\vdots$&	$\vdots$&&	$\vdots$					&		$\vdots$					&&	$\vdots$										\\

\end{tabular}
\end{center}

\rem{Le plus difficile dans ce genre de problème est de trouver un test d'arrêt  (on  peut  toujours  au début afficher les résultats intermédiaires et  arrêter  manuellement).  La  vitesse  de cet algorithme très simple  est meilleure  que  l'on  pourrait croire car l'intervalle diminuant de moitié  à  chaque  passage,  il  divise  environ par 1000 en 10 passages puisque $2^{10}=1024$,  ce  qui  fait  que  si  on veut une précision de 10 chiffres, une trentaine d'opérations seulement est nécessaire.}

L'algorithme associé à cette méthode est très court : \\
\begin{center}
\begin{minipage}{15cm}
\incmargin{1em}
\begin{algorithm}[H]\SetLine
  \KwData{$f$ : function,$a$, $b$, précision : $c$ real number}
  \Begin{\KwIn{$f,a,b,$précision}
  \While{$(b-a)\geq$ précision}{
  \eIf{$f(a)f(c)<0$}{$b\leftarrow c$\;}{$a\leftarrow c$\;}}
  \KwOut{$a$}
  \KwOut{$b$}
  }
\end{algorithm}
\decmargin{1em}
\end{minipage}
\end{center}



\section{Fonction réciproques}
\subsection{Généralités}
\defi{Bijection}{soit $\I$ et $\J$ deux intervalles.\\
on dit qu'une application $f$ définit une \defin{bijection de $\I$ sur $\J$} lorsque $f$ vérifie les deux conditions suivantes :
\begin{itemize}
	\item pour tout réel $x$ de $\I$, le réel $f(x) \in \J$.
	\item pour tout réel $y\in \J$, l'équation $f(x)=y$ admet une et une seule solution.
\end{itemize}}

\rem{Dans la pratique, on ne cherche pas à savoir si l'équation $f(x)=y$ admet une unique solution pour tout $y$ de $\J$. On utilise le théorème suivant :}

\theo{}{Soit $f$ une fonction.\\
 Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $\I$ alors $f(I)$ est un intervalle et $f$ réalise une bijection de $\I$ sur $f(I)$}
 
\rem{Ce théorème, comme le Théorèmes des valeurs intermédiaires, assure l'existence d'une solution mais ce qu'il fait de mieux, c'est qu'il indique le nombre de solutions : une seule.}

\defi{fonction réciproque}
{soit $f$ une bijection de $\I$ sur $\J$.\\
A tout $y$ de $\J$, on peut associer \defin{le} $x$ de $\J$ tel que $f(x)=y$. on définit ainsi une nouvelle fonction de $\J$ sur $\I$ appellée \defin{fonction réciproque de $f$} et notée \defin{$f^{-1}$}}

\exes{
\begin{itemize}
	\item $f:x\mapsto x^2$ réalise une bijection de $I=[0;+\infty[$ sur $J=[0;+\infty[$ donc $f$ admet une fonction réciproque définie de $J=[0;+\infty[$ sur $I=[0;+\infty[$. C'est la fonction $f^{-1}:x\mapsto\sqrt x$.
\item $f:x\mapsto \ln x$ réalise une bijection de $I=[0;+\infty[$ sur $J=]-\infty;+\infty[$ donc $f$ admet une fonction réciproque définie de $J=]-\infty;+\infty[$ sur $I=[0;+\infty[$. C'est la fonction $f^{-1}:x\mapsto\exp x$.
\end{itemize}}

\rem{Graphiquement, la courbe de la fonction réciproque $f^{-1}$ d'une fonction $f$ s'obtient en appliquant une symétrie d'axe la droite
d'équation $y=x$. C'est le cas, par exemple, pour les fonctions logarithme et exponentielle sur $\R$, où encore pour les
fonctions carré et racine carrée sur $[0;+\infty[$.}

\illus{}{$$
\begin{tabular}{c p{1cm} c}
\psset{unit=1cm}     
\begin{pspicture*}(-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
\psaxes[Dx=1,Dy=1](0,0)(-3,-3)(3,3)
\psplot[plotpoints=500]{-3}{3}{x}
\pstextpath[c](0,0.05){\psplot[plotpoints=500]{1.5}{3}{x}}{$y=x$}

\psset{linecolor=bleu}
\psplot[plotpoints=500]{-3}{3}{x EXP }
\pstextpath[c](0,0.05){\psplot[plotpoints=500]{-2.8}{-1.8}{x EXP }}{$y=e^x$}

\psset{linecolor=rouge}
\psplot[plotpoints=500]{0.1}{3}{x ln}
\pstextpath[c](0,0.05){\psplot[plotpoints=500]{0.1}{1}{x ln}}{$y=\ln x$}
\end{pspicture*}
&&
\psset{xunit=4cm , yunit=4cm}   
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.25)(1.25,1.5)
\psaxes[Dx=1,Dy=1](0,0)(0,0)(2,2)
\psplot[plotpoints=500]{-0.25}{1.25}{x}
\pstextpath[c](0,0.05){\psplot[plotpoints=500]{1.1}{1.25}{x}}{$y=x$}

\psset{linecolor=bleu}
\psplot[plotpoints=500]{0}{1.25}{x x mul }
\pstextpath[c](0,0.05){\psplot[plotpoints=500]{0.25}{0.5}{x x mul }}{$y= x^2$}

\psset{linecolor=rouge}
\psplot[plotpoints=500]{0}{1.25}{x 1 2 div exp}
\pstextpath[c](0,0.05){\psplot[plotpoints=500]{0.5}{0.75}{x 1 2 div exp}}{$y=\sqrt x$}
\end{pspicture*}

\\
fonction $\exp$ et $\ln$
&&
fonction $x^2$ et $\ln x$\\
\end{tabular}
$$}







\subsection{Fonction circulaire réciproque}
\defi{Arccos}{La fonction cosinus est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $[0;\pi]$. Elle admet donc sur cet intervalle une fonction réciproque définie sur $[-1;1]$. Cette fonction est appelée \defin{arc cosinus} et notée $\arccos$  ou parfois $\cos^{-1}$.}

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}     
\begin{pspicture*}(-1.414159,-1.414159)(3.555752,3.555752)
\psaxes[Dx=1,Dy=1](0,0)(-1,-1)(3.141593,3.141593)
\psplot[plotpoints=500]{-1}{3.141593}{x}
\pstextpath[c](0,0.05){\psplot[plotpoints=500]{1.5}{3.141593}{x}}{$y=x$}

\psset{linecolor=bleu}
\psplot[plotpoints=500,linestyle=dashed]{0}{3.141593}{x 57.29578  mul cos }
\pstextpath[c](0,0.05){\psplot[plotpoints=500,linestyle=dashed]{2}{3.141593}{x 57.29578  mul cos }}{$y=\cos x$}

\psset{linecolor=rouge}
\psplot[plotpoints=500]{-1}{1}{3.14159627 2 div  x dup  dup mul 0.99999 le {dup 1 exch 2 exp  sub  sqrt  div  dup abs 1 atan exch 0 le {-1}{1} ifelse 
mul 57.29578 div}{dup abs div 1.5708 mul}ifelse  sub }
\pstextpath[c](0,0.05){\psplot[plotpoints=500]{-1}{-0.5}{3.14159627 2 div  x dup  dup mul 0.99999 le {dup 1 exch 2 exp  sub  sqrt  div  dup abs 1 atan exch 0 le {-1}{1} ifelse mul 57.29578 div}{dup abs div 1.5708 mul}ifelse  sub }}{$y=\arccos x$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\defi{Arcsin}{La fonction sinus est continue et strictement croissante sur l'intervalle $[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$. Elle admet donc sur cet intervalle une fonction réciproque définie sur $[-1;1]$. Cette fonction est appelée \defin{arc sinus} et notée $\arcsin$ ou parfois $\sin^{-1}$.}

\begin{center}
\psset{unit=2cm}     
\begin{pspicture*}(-1.884956,-1.884956)(1.884956,1.884956)
\psaxes[Dx=1,Dy=1](0,0)(-1.570796,-1.570796)(1.570796,1.570796)
\psplot[plotpoints=500]{-1.570796}{1.570796}{x}
\pstextpath[c](0,0.05){\psplot[plotpoints=500]{1}{1.570796}{x}}{$y=x$}

\psset{linecolor=bleu}
\psplot[plotpoints=500,linestyle=dashed]{-1.570796}{1.570796}{x 57.29578 mul sin }
\pstextpath[c](0,-0.15){\psplot[plotpoints=500,linestyle=dashed]{0.5}{1.5}{x 57.29578 mul sin }}{$y=\sin x$}

\psset{linecolor=rouge}
\psplot[plotpoints=500]{-1}{1}{x dup  dup mul 0.99999 le {dup 1 exch 2 exp  sub  sqrt  div  dup abs 1 atan exch 0 le {-1}{1} ifelse mul 57.29578 div}{dup abs div 1.5708 mul}ifelse }
\pstextpath[c](0,0.05){\psplot[plotpoints=500]{0.5}{1}{x dup  dup mul 0.99999 le {dup 1 exch 2 exp  sub  sqrt  div  dup abs 1 atan exch 0 le {-1}{1} ifelse mul 57.29578 div}{dup abs div 1.5708 mul}ifelse }}{$y=\arcsin x$}
\end{pspicture*}
\end{center}









\defi{Arctan}{La fonction tangente est continue et strictement croissante sur l'intervalle $]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[$. Elle admet donc sur cet intervalle une fonction réciproque définie sur $\R$. Cette fonction est appelée \defin{arc tangente} et notée $\arctan$  ou parfois $\tan^{-1}$.}

\begin{center}\psset{unit=0.8cm}    
\begin{pspicture*}(-4.8,-4.8)(4.8,4.8)
\psaxes[Dx=1,Dy=1](0,0)(-4,-4)(4,4)
\psplot[plotpoints=500]{-4}{4}{x}
\pstextpath[c](0,0.15){\psplot[plotpoints=500]{2}{4}{x}}{$y=x$}

\psset{linecolor=bleu}
\pstextpath[c](0,0.15){\psplot[plotpoints=500,linestyle=dashed]{1}{1.325818}{x 57.29578  mul dup sin exch cos div }}{$y=\tan x$}
\psplot[plotpoints=500,linestyle=dashed]{-1.325818}{1.325818}{x 57.29578  mul dup sin exch cos div }

\psset{linecolor=rouge}
\psplot[plotpoints=500]{-4}{4}{x dup abs 1 atan exch 0 le {-1}{1} ifelse mul 57.29578 div}
\pstextpath[c](0,0.15){\psplot[plotpoints=500]{2}{4}{x dup abs 1 atan exch 0 le {-1}{1} ifelse mul 57.29578 div}}{$y=\arctan x$}


\end{pspicture*}
\end{center}



Ces trois fonctions sont souvent utiles lors des recherches de primitives.  Il est donc important de connaitre leurs dérivées.

\theo{Dérivées des fonctions trigonométriques circulaires}{Les dérivées des fonctions circulaires réciproques sont
\begin{eqnarray*}
    \textrm{pour tout } x\in]-1;1[, (\arccos x)' & = & -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
    \textrm{pour tout } x\in]-1;1[, (\arcsin x)' & = & \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
    \textrm{pour tout } x\in\R, (\arctan x)' & = & \frac{1}{1+x^2}
\end{eqnarray*}
}

\dem{Pour tout $x$ de $[-1 ; 1]$, on a $\sin(\arcsin(x)) = x$.\\
En dérivant les deux membres, on obtient :  \\
 $\arcsin(x)'\times \cos(\arcsin(x))=1$ d'où $\arcsin(x)'=\cfrac{1}{\cos(\arcsin(x))}$.\\
Comme $\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-\sin^2(\arcsin(x))}=\sqrt{1-x^2}$, on obtient le résultat cherché.\\
Les démonstrations sont similaires pour $\arccos(x)'$ et $\arctan(x)'$}

\theo{Dérivées composées des fonctions trigonométriques circulaires}{La formule générale sur les dérivées de fonctions composées implique que :
\begin{eqnarray*}
    \cro{\arccos (u(x))}' & = & \frac{-u'(x)}{\sqrt{1-u^2(x)}} \\
    \cro{\arcsin (u(x))}' & = & \frac{u'(x)}{\sqrt{1-u^2(x)}} \\
    \cro{\arctan (u(x))}' & = & \frac{u'(x)}{1+u^2(x)}
\end{eqnarray*}
}

\exosol{Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes : 
\begin{enumerate}
 \item $f(x)=\arccos(5x+2)$
 \item $g(x)=\arctan(x^3)$
\end{enumerate}
}
{
\begin{enumerate}
\item $f$ est de la forme $\arccos(u)$ avec $\begin{array}[t]{l}
					    u(x)=5x+2\\
					    u'(x)=5\\
					    \end{array}$\\
    Comme $\cro{\arccos (u(x))}'  =  -\dfrac{u'(x)}{\sqrt{1-u^2(x)}}$, on obtient : 
    $$f'(x)=\dfrac{-5}{\sqrt{1-(5x+2)^2}}$$
\item $g$ est de la forme $\arctan(u)$ avec $\begin{array}[t]{l}
					u(x)=x^3\\
					u'(x)=3x^2\\
					\end{array}$\\
Comme $\cro{\arctan(u(x))}'  =  \dfrac{u'(x)}{1+u^2(x)}$, on obtient : 
$$g'(x)=\dfrac{3x^2}{1+x^6}$$
 \end{enumerate}
}



% \section{Fonction d'une variable réelle à valeur complexe}
% \subsection{Définition}
% \defi{}{Une \defin{fonction d'une variable réelle à valeur complexe} est une fonction qui à un nombre réel associe un nombre complexe.}
% 
% \exe{la fonction $f:t\mapsto 2t+3\i t$ est à valeur complexe.\\
% La variable est $t$ qui est un nombre réel.\\
% L'image est $2t+3\i t$ qui est un nombre complexe.}
% 
% \rem{On peut considérer que la fonction $f$ est constituée de deux sous-fonctions : les fonctions $f_1(t)=2t$ et $f_2(t)=3t$.
% On a ainsi $f(t)=f_1(t)+\i f_2(t)$}
% 
% \subsection{Dérivée}
% \theo{}{Soit $f(x)=f_1(x)+\i f_2(x)$ une fonction d'une variable réelle à valeur complexe.\\
% Si $f_1$ et $f_2$ sont dérivables, alors $f$ est dérivable et $$f'(t)=f_1'(x)+\i f_2'(x)$$}
% 
% \exe{Soit la fonction $f:t\mapsto 2t+3\i t$.\\
% Comme les fonctions $f_1 :t\to 2t$ et $f_2:t\to3t$ sont dérivables, alors $f$ est dérivable et 
% on a $f'(\theta)=f'_1(t)+\i f'_2(t)=2+3\i$.} 
% 
% \subsection{Exponentielle complexe}
% 
% \defi{Exponentielle d'un nombre complexe}
% {Soit $a=\alpha+\i\beta$ un nombre complexe.\\
% On pose par définition :
% $$\e^{a t}=\e^{\alpha t}\pa{\cos(\beta t)+\i\sin(\beta t)}$$}
% 
% \rem{Cette définition est complétement imposée par les propriétés de l'exponentielle d'un nombre réel et la notation exponentielle d'un nombre complexe. En effet, 
% $$\e^{at}=\e^{(\alpha+\i \beta)t}=\e^{\alpha t}\e^{\i \beta t}=\e^{\alpha t}\pa{\cos(\beta t)+\i\sin(\beta t)}$$}
% 
% \theo{Dérivation de l'exponentielles complexe}
% {Soit $a$ un nombre complexe.
% $$\pa{\e^{at}}'=a\e^{at}$$}
% 
% \dem{voir exercice}


\pagebreak
\section{Exercices}
\exocpart{Révisions sur les fonctions}
\exoc{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\cfrac{1}{x^2+x+1}$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item Résoudre l'équation $x^2+x+1=0$.
      \item Expliquer l'intervalle de définition de $f$.
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.
      \item Quelle(s) asymptote(s) peut-on en déduire pour la courbe ?
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
      \item Etudier le signe de $f'$.
      \item En déduire le tableau de variation de $f$.
      \end{enumerate}
\item Justifier que la fonction $f$ admet un extremum. Préciser le.
\item Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $0$.
\end{enumerate}}


\exoc{Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ~;~ + \infty[$ par $f(x) = (\ln x)^2-3\ln x + 2.$
\begin{enumerate} 
\item \begin{enumerate} 
		\item Montrer que : $f'(x) =\dfrac{2 \ln x-3}{x}$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.	
		\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0 ~;~ + \infty[$.(On ne demande pas la valeur des limites en 0 et $+\infty$).
		\end{enumerate}
\item Calculer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 1.
\item \begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation d'inconnue $X$ : $X^2 - 3X + 2 = 0.$
		\item En déduire les solutions exactes dans $]0 ~;~ + \infty[$ de l'équation : $f(x) = 0$.
		\item Déduire, des questions précédentes, le signe de $f(x)$ lorsque $x$ varie dans l'intervalle  $]0 ~;~ + \infty[$.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\exoc{On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x) = - \text{e}^{2x} + x + 3.$\\
On appelle ($\Co$) la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \oij, unités graphiques : 3 cm  sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
			\item \'Etudier la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
			\item \'Etudier la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
			\item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = x + 3$ est asymptote à la courbe
			 ($\mathcal{C}$) en $- \infty$.
			\item \'Etudier la position de la courbe ($\mathcal{C}$) par rapport à la 
			droite $\Delta$.
			\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
			\item Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$.
			\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$.
			\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. (Donner la valeur exacte de son maximum.)
			\end{enumerate}
%\item Déterminer la primitive de $f$ qui s'annule en 0.
\end{enumerate}}


\exoc{\emph{Bac, problème, juin 2007, 11 points.}\\
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]~0~;~+\infty~[$ par 
\[f(x) = \text{e}^x \ln x  + \dfrac{\text{e}^x}{x}.\]
   On appelle $\Co$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal $\oij$ d'unités graphiques $4$ cm sur l'axe des abscisses et $1$ cm sur l'axe des ordonnées.\\
   \probpart{ -- Étude aux bornes de l'intervalle}
      \begin{enumerate}
      \item  Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
      \item  
      \begin{enumerate}
         \item  Montrer que pour tout nombre réel strictement positif $x$, $f(x)=\dfrac{\text{e}^x}{x}(x\ln x+1)$.\\
         On rappelle que $\displaystyle\lim_{x\to 0}x\ln x=0$. En déduire la limite de $f$ en $0$.
        \item  Montrer que la courbe $\Co$ admet une asymptote $\mathcal{D}$ dont on donnera une équation.
      \end{enumerate}
   \end{enumerate}
   \medskip
   \probpart{ -- Étude d'une fonction auxiliaire}
   Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]~0~;~+\infty~[$ par
   \[g(x)=\ln x+\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}\]
   \begin{enumerate}
      \item 
      \begin{enumerate}
         \item  On désigne par $g'$ la dérivée de la fonction $g$.\\
	      Montrer que, pour tout nombre réel strictement positif $x$, $g'(x)=\dfrac{x^2-2x+2}{x^3}$.
         \item  \'Etudier le signe de $g'(x)$. En déduire que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $]~0~;~+\infty~[$. L'étude des limites n'est pas demandée.
      \end{enumerate}
      \item  
      \begin{enumerate}
         \item  Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $\left[~\dfrac{1}{2}~;~1~\right]$.
         \item  Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$.
      \end{enumerate}
      \item  Déduire des questions B$_1$ et B$_2$ le signe de $g(x)$, pour $x$ appartenant à l'intervalle $]~0~;~+ \infty~[$.
   \end{enumerate}
   
   \probpart{ -- Variations de \boldmath$f$  et courbe associée}
   \begin{enumerate}
      \item  
      \begin{enumerate}
         \item  $f'$ désignant la dérivée de $f$, calculer $f'(x)$ et montrer que $f '(x)=\text{e}^xg(x)$, pour tout nombre $x$ appartenant à l'intervalle $]~0~;~+\infty~[$.
         \item  En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]~0~;~+\infty~[$.
      \end{enumerate}
      \item 
      \begin{enumerate}
         \item  Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. 
         \item  Calculer une valeur approchée à $10^{-1}$ près de $f(\alpha)$, en prenant $0,6$ pour valeur approchée de $\alpha$.
      \end{enumerate}
      \item  
      \begin{enumerate}
         \item  Reproduire et compléter le tableau ci-dessous.\\
         \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
            \hline
            $x$	& 0,25 & 0,5 & 0,75	& 1 & 1,25 & 1,5 & 1,75 & 2 & 2,25 & 2,5 \\ 
            \hline
            $f(x)$ à & & & & & & & & & & \\ 
            $10^{-1}$ près & & & & & & & & & &\\   
            \hline
         \end{tabularx}
         \item Construire l'asymptote $\mathcal{D}$ et la courbe $\Co$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]~0~;~2,5~]$.
      \end{enumerate}
   \end{enumerate}
%    \medskip
%    \probpart{ : calcul d'aire}
%    \begin{enumerate}
%       \item  Montrer que la fonction $F$, définie sur l'intervalle $]~0~;~+\infty~[$ par $F(x)=\text{e}^x\ln x$ est une primitive de $f$.
%       \item  On désire calculer l'aire de la partie $\mathcal{E}$ du plan comprise entre la courbe $\Co$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=2$.
%       \begin{enumerate}
%          \item  Hachurer la partie $\mathcal{E}$ sur le dessin.
%          \item  Déterminer la valeur exacte de l'aire de $\mathcal{E}$ en unités d'aires, puis en cm$^2$.
%        \end{enumerate}
%    \end{enumerate}

}

\exoc{On considère la fonction $f$ définie sur $[0 ; 2\pi]$ par $f : x \mapsto 2\cos^2 x -2\cos x-1$.
\probpart{ -- Étude de la fonction $f$}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item Montrer que la dérivée de $\cos^2 x$ est $-2\sin x \cos x$.
      \item Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item Vérifier que $f'(x) = 2\sin x (1 - 2 \cos x).$
      \item Etudier le signe de $f '$ et en déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}

\probpart{ -- Représentation graphique}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est $2\pi$ périodique. Qu'en déduit-on pour la courbe de $f$ ?
\item Montrer que $f$ est paire. Qu'en déduit-on pour la courbe de $f$ ?
\item \begin{enumerate}
      \item Déterminer les abscisses des points d'intersection de $\Co_f$ avec l'axe $(Ox)$ sur $[-\pi ; +\pi]$.
      \item En déduire toutes les abscisses des points où $\Co_f$ recoupe $(Ox)$.
      \end{enumerate}
\item Tracer $\Co_f$ dans un repère orthonormal $\oij$ d'unité 1cm.
\end{enumerate}
}

\exoc{On considère la fonction $f$ définie sur $[0 ; 2\pi]$ par $f(x)=3\sin^2x+4\cos^3 x$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Déterminer la dérivée de $\sin^2x$.
	\item Déterminer la dérivée de $\cos^3x$.
	\item En déduire la dérivée de $f$.
	\item Vérifier que $f'(x)=6\sin x\cos x(1-2\cos x)$.
	\end{enumerate}
\item Étudier le signe de $f'$ sur l'intervalle $[0 ; 2\pi]$.
\item Tracer le tableau de variation de $f$ sur $[0 ; 2\pi]$. 
\item Préciser et justifier les extremums que $f$ admet.
\item Tracer la représentation graphique de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 2\pi]$. (Unités graphiques : 2 cm pour une unité sur chaque axe).
\end{enumerate}}


\exocpart{Continuité}
\exoc{Soit $f$ la fonction définie par $\left\{ \begin{array}{l} 
f(x)=x^2 \textrm{ si } x\in [0;1[\\ 
\textrm{f périodique de période 1} \end{array} \right.$
\begin{enumerate}
	\item Représenter $f$ graphiquement dans un repère $\oij$ orthonormal d'unité 1 cm pour $x\in [-3;3]$.
	\item $f$ est-elle continue en 1 ? Justifier.
	\item Donner toutes les valeurs en lesquelle $f$ n'est pas continue.
	\item Donner le plus grand intervalle sur lequel $f$ est continue.
	\item $f$ est-elle continue par morceaux ? Justifier.
\end{enumerate}}




\exoc{Représenter graphiquement le signal $u$, fonction de la variable $t$, défini par :
\begin{center}
$ \left\{\begin{array}{ll}
u(t)=t & \textrm{si } 0\leq t<1\\
u(t)=2-t&\textrm{si } 1\leq t \leq2 \\
u(t)=0&\textrm{si } 2< t<3\\
u \textrm{ est périodique}&\textrm{de période 3}
\end{array}\right.$\\
\end{center}
La fonction $u$ est -elle continue sur $[0 ; +\infty[$ ? justifier.}

\exoc{On appelle fonction échelon unité ou fonction de Heaviside la fonction $\U$ définie par
\begin{center}
$\U(x) : \left\{ \begin{array}{l} 
\U(x)=0 \textrm{ si } x<0\\ 
\U(x)=1 \textrm{ si } x\ge0 \end{array} \right.$
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Représenter graphiquement la fonction $\U$.
	\item Est-elle continue sur $\R$ ? Justifier.
	\item Représenter graphiquement la fonction définie par $f(t)=(t^2-1)\U(t)$ pour tout $t\in\R$
	\item \'Etudier la continuité de $f$ en $t=0$.
\end{enumerate}}

% \exoc{Soit $f$ la fonction défine sur $\R$ par :$ \left\{\begin{array}{ll}
% f(x)=1-\e^x & \textrm{si } x<0\\
% f(x)=\cfrac{\e^x -1}{\e^x+1} & \textrm{si } x>0\\
% \end{array}\right.$
% \begin{enumerate}
% 	\item Montrer que $f$ est continue sur $\R$.
% 	\item \'Etudier les variations de $f$ (on étudiera les limites aux bornes).
% 	\item Tracer la courbe représentative de $f$.
% \end{enumerate}}

\exoc{Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x\U(x)-x\U(x-1)-\U(x-2)$.
\begin{enumerate}
  \item Déterminer explicitement $f$ pour chacun des intervalles $]-\infty ; 0[$ , $[0;1[$ , $[1;2[$, $[2;+\infty[$.
  \item Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère $\oij$ orthonormal d'unité 1 cm.
  \item \'Etudier la continuité de $f$ en 0, 1, 2.
  \item Que peut-on dire de $f$ sur $\R$ ?
\end{enumerate}}

\exoc{Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x\U(x)-2(x-1)\U(x-1)+(x-2)\U(x-2)$.
\begin{enumerate}
  \item Déterminer explicitement $f$ pour chacun des intervalles $]-\infty ; 0[$ , $[0;1[$ , $[1;2[$, $[2;+\infty[$.
  \item Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère $\oij$ orthonormal d'unité 1 cm.
  \item \'Etudier la continuité de $f$ en 0, 1, 2.
  \item Que peut-on dire de $f$ sur $\R$ ?
\end{enumerate}}


\exoc{on considère la fonction $f$ définie sur $\R$, paire, périodique de période $\pi$, telle que $f(t)=\cfrac{2}{\pi} t$ pour tout $t\in\cro{0;\cfrac\pi2}$.
\begin{enumerate}
  \item Tracer sa représentation graphique dans un repère orthogonal sur $[-2\pi;+2\pi]$ (unité 1 cm pour $\cfrac{\pi}{2}$ en abscisse, et 1 cm pour une unité en ordonnée).
  \item \'Etudier la continuité de $f$ en $0$ et en $\cfrac\pi2$.
\end{enumerate}}

\exoc{Soit $f$ la fonction  définie par
      $\left\{ \begin{array}{l} 
      f(x)=x-1+e^{-x} \textrm{ si } 0\leq x\leq 1\\ 
      f(x)=x-3+e^{-x}(1+2e) \textrm{ pour } x > 1 \end{array} \right.$\\ 
\'Etudier la continuité de $f$ en 1.}

\exoc{Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\R$ par 
    $\left\{ \begin{array}{l} 
    f(x)=x-1 \textrm{ si } x\le 1\\ 
    f(x)=x^2-2x+a \textrm{ pour } x>1 \end{array} \right.$\\
Déterminer la valeur de $a$ pour que la fonction soit continue pour $x=1$.}






%\pagebreak
\exocpart{Théorème des valeurs intermédiaires}
\exoc{On s'interresse à l'équation $\ln x+x=0$.
\begin{enumerate}
	\item Justifier que la fonction $f : x\mapsto \ln x+x $ est continue sur un intervalle  que l'on déterminera.
	\item Montrer que l'équation $\ln x+x=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[\cfrac1e ; 1]$.
	\item \'Etudier les variations de la fonction $f$ définie par $f(x)=\ln x+x$ sur $[\cfrac1e ; 1]$ et en déduire que cette solution est unique.
\end{enumerate}}

\exoc{On veut étudier le signe de $f(t)=\ln(3e^{-t}-1)$ sur l'intervalle $]-\infty;1].$ pour cela :
\begin{enumerate}
	\item Justifier que $f$ est continue sur $I$.
	\item Résoudre dans $I$ l'équation $f(t)=0$.
	\item Calculer $f(0)$ et conclure en justifiant.
\end{enumerate}}


\exoc{On se propose de résoudre par dichotomie l'équation $2x^3-3x^2+6x+17=0$.
\begin{enumerate}
	\item On désigne par $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x^3-3x^2+6x+17$.\\
				\'Etudier les variations de $f$. (limites, dérivée, tableau.)
	\item En déduire que l'équation $2x^3-3x^2+6x+17=0$ admet une unique solution (que l'on notera $\alpha$) dans l'intervalle $]-2;-1[$.
	\item \begin{enumerate}
	\item Déterminer le centre, noté $c$, de l'intervalle $[-2; -1]$.
	\item Calculer $f(c)$.
	\item $\alpha$ appartient-il à  $[-2;c]$ ou $[c;-1]$.
	\end{enumerate}
	\item Reprendre la question précédente avec l'intervalle obtenu et en déduire un nouvel encadrement de $\alpha$.
	\item Répeter la méthode jusqu'a obtenir un encadrement de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.\\
	      On présentera les résultats sous la forme d'un tableau :\\
	      intervalle de départ : $[a ; b] = [-2 ; -1 ]$\\
	      \begin{center}
	      \begin{tabular}{c*{3}{|c|c|p{0.5cm}}|c|} 
	      \cline{2-3}\cline{5-6}\cline{8-9}\cline{11-11}
	      & $a$ 	& $f(a)$ 	&&   $b$ 	& $f(b)$ && 		$\frac{a+b}{2}$	& $f(\frac{a+b}{2})$  && $\ldots\leq\alpha\leq\ldots$ \\
	      \cline{2-3}\cline{5-6}\cline{8-9}\cline{11-11}
	      Etape 1 &  $ -2$   &         &&   $-1 $		&				 &&											&											&&															\\
	      \cline{2-3}\cline{5-6}\cline{8-9}\cline{11-11}
	      Etape 2 &       &         &&     		&				 &&											&											&&															\\
	      \cline{2-3}\cline{5-6}\cline{8-9}\cline{11-11}
	      $\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&&$\vdots$&	$\vdots$&&	$\vdots$					&		$\vdots$					&&	$\vdots$										\\
	      \end{tabular}
	      \end{center}
	\item Ecrire un algorithme du procédé.
\end{enumerate}}

\exoc{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x^3-9x^2+12x-6$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution sur l'intervalle $[2;3]$.
\item Déterminer par dichotomie une approximation à $10^{-2}$ près de la solution.
\end{enumerate}
}

\exoc{Résoudre par dichotomie chacune des équations suivantes.\\
On cherchera graphiquement une approximation entre deux entiers consécutifs de la solution et on présentera les étapes sous la forme d'un tableau.\\
On donnera une approximation à $10^{-2}$ près de la solution.
$$x^3-3x^2+3x-6=0 \quad ; \quad \cfrac13 x^3-x -1 = 0$$}






%\pagebreak

\exocpart{Fonction réciproque}

\exoc{Pour tout $x>0$, on pose $f(x)=4+\ln x -2x^2$.
\begin{enumerate}
	\item Etudier les variations de $f$.
	\item $f$ admet-elle une fonction réciproque sur $]0 ; +\infty[$ ? Justifier.
	\item Prouver que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique sur $]0\ ;\ \dfrac{1}{2}]$.
	\item Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de cette solution. (Indiquer les étapes dans un tableau).
\end{enumerate}}



\exoc{Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{x^2-1}$.
\begin{enumerate}
	\item Etudier les variations de $f$.
	\item Tracer sa courbe représentative $\Co_f$.
	\item $f$ admet-elle une fonction réciproque sur $\R$ ? justifier.
	\item Trouver un intervalle où $f$ admette une fonction réciproque notée $f^{-1}$.
	\item Tracer sur le même graphique la courbe de $f^{-1}$ et exprimer $f^{-1}(x)$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}}


\exoc{Soit $f$ la fonction définie sur $\Df_f=\R-\{5\}$ par $f(x)=\cfrac{x+1}{x-5}$.
\begin{enumerate}
	\item Montrer que $f$ réalise des bijections que l'on précisera.
	\item Déterminer la fonction réciproque de $f$.
	\item $f$ réalise-t-elle une bijection de $\Df_f=\R-\{5\}$ sur $]1; +\infty[$ ? Justifier.
\end{enumerate}}

\exoc{On considère la fonction définie par $f(x)=\ln(1-\ln x)$.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'ensemble $\Df_f$ de la fonction $f$.
	\item \'Etudier les variations de $f$.
	\item Montrer que $f$ est une bijection de $\Df_f$ sur une partie de $\R$ que l'on déterminera.
	\item Expliciter l'application réciproque de $f$.
\end{enumerate}}


\exoc{On considère la fonction définie par $f(x)=\cfrac{\e^{x}+\e^{-x}}{2}$
\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'ensemble de définition $\Df_f$ de la fonction $f$.
	\item \'Etudier les variations de $f$.
	\item Donner les limites de $f$ aux bornes de son intervalle.
	\item Donner le plus grand intervalle sur lequel $f$ admette une fonction réciproque.
	\item Tracer sur l'intervalle déterminé, la représentation graphique de $f^{-1}$, fonction réciproque de $f$.
\end{enumerate}}

\exoc{Soit $f$ la fonction définie sur $]1;+\infty[$ par $f(x)=\cfrac{x}{\ln x}$.
\begin{enumerate}
	\item \'Etudier les variations de $f$.
	\item Tracer la courbe de $f$ dans un repère orthonormal.
	\item Donner le plus grand intervalle sur lequel $f$ admette une fonction réciproque. Quel est l'ensemble de définition de $f^{-1}$ ?
	\item Tracer sur l'intervalle déterminé, la représentation graphique de $f^{-1}$, fonction réciproque de $f$.
\end{enumerate}}














\exocpart{Fonction réciproque circulaire}
\exoc{Attention à ne pas aller trop vite dans les réponses! 
\begin{enumerate}
  \item Calculer $\sin(\arcsin x)$ pour $x=\cfrac12$, pour $x=-\cfrac{\sqrt3}{2}$, pour $x=2$.
  \item Calculer $\arcsin(\sin x)$ pour $x=-\cfrac\pi3$, pour $x=\cfrac{3\pi}{4}$, pour $x=\cfrac{7\pi}{4}$.
  \item \begin{enumerate}
	\item A-t'on $\sin(\arcsin x)=x$ pour tout réel $x$ ?
	\item A-t'on $\arcsin(\sin x)=x$ pour tout réel $x$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}


\exoc{On veut montrer que pour tout $x$ de $[-1;1]$, on a $\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$. 
\begin{enumerate}
\item Exprimer $\cos y$ en fonction de $\sin^2y$.
\item On pose $y=\arcsin x$. \\
      En remplaçant alors $y$ par son expression, répondre au problème.
\item En déduire que pour tout $x$ de $[-1;1]$, on a $\tan(\arcsin x)=\cfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.
\end{enumerate}}

\exoc{En s'inspirant de ce qui a été fait précédemment, montrer que $\sin(\arccos x)= \sqrt{1-x^2} $ et en déduire que $\tan(\arccos x)=\cfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ }

\exoc{Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\arcsin(\sin x)$.
\begin{enumerate}
\item Donner le domaine de définition de $f$.
\item Montrer que $f$ est périodique de période $2\pi$.
\item Etude de $f$ sur l'intervalle $[-\pi ; +\pi]$.
      \begin{enumerate}
      \item Pour chacune des figures suivantes, placer un angle $x$ appartenant l'intervalle donné puis la valeur de $\sin x$ correspondante et enfin celle de $\arcsin(\sin x)$.
      $$ \psset{unit=1.5cm} 
      \begin{pspicture}(-1,-1.2)(1,1.2)
      \pscircle(0,0){1}
      \psline{-}(-1,0)(1,0)
      \psline{-}(0,-1)(0,1)
      \end{pspicture}
      %cercle 2
      \hspace{1cm}
      \begin{pspicture}(-1,-1.2)(1,1.2)
      \pscircle(0,0){1}
      \psline{-}(-1,0)(1,0)
      \psline{-}(0,-1)(0,1)
      \end{pspicture}
      %cercle 3
      \hspace{1cm}
      \begin{pspicture}(-1,-1.2)(1,1.2)
      \pscircle(0,0){1}
      \psline{-}(-1,0)(1,0)
      \psline{-}(0,-1)(0,1)
      \end{pspicture}	$$	
      \hspace{1.75cm}				$x \in [-\cfrac\pi2 ;  \cfrac\pi2]$ \hspace{1.75cm} $x \in [\cfrac\pi2 ;  \pi]$ \hspace{1.75cm} $x \in [-\pi ;  - \cfrac\pi2]$ \hspace{1cm}
      \item En déduire l'expression de $\arcsin(\sin x)$ en fonction de $x$ sur chacun des intervalles donnés.
      \end{enumerate}
\item Déduire de la question précédente le tracé de $f$ sur $[-\pi ; +\pi ]$
\item En déduire le tracé de la courbe de $f$ sur \R.
\item $f$ est-elle continue sur $[-\pi ; +\pi]$ ? sur $\R$ ?
\end{enumerate}}



\exoc{on considère la fonction $f$ définie sur $[-1 ; 1]$ par $f(x)=\arcsin(2x\sqrt{1-x^2})$.
\begin{enumerate}
  \item On pose $x=\cos a$ avec $a\in[0;\pi]$. Montrer que $f(x)=\arcsin(\sin 2a).$
  \item Donner suivant les valeurs de $a$, l'expression de $f$.
  \item En déduire l'expression de $f$ suivant les valeurs de $x$ dans $[-1,1]$.
  \item Construire la courbe représentative de $f$ dans un repère $\oij$ orthogonal d'unité 4 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée.
\end{enumerate}}

\exoc{Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
  \item $x\arccos x$
  \item $\arctan(2x)$
  \item $\arctan(x^2)$
  \item $x\arcsin(x)+\sqrt{1-x^2}$
  \item $\arccos\pa{\cfrac{1-x^2}{1+x^2}}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\exoc{Soit $f$ la fonction définie sur $[-1;1]$ par $f(x)=\arcsin x + \arccos x$.
\begin{enumerate}
  \item Calculer la dérivée de $f$ sur $]-1 ; 1 [$.
  \item Calculer $f(0)$.
  \item \begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout $x$ de $]-1;1[$, on a $\arcsin x + \arccos x=\cfrac\pi2$.
	\item Montrer que pour tout $x$ de $[-1;1]$, on a $\arcsin x + \arccos x=\cfrac\pi2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\exoc{Soit $f$ la fonction définie sur $[-1;1]$ par $f(x)=\arcsin(x^2)$.
\begin{enumerate}
  \item Calculer $f'(x)$.
  \item \'Etudier les variations de $f$.
  \item Tracer la représentation graphique de $f$.
\end{enumerate}}


\exoc{Soit $f$ la fonction de la variable réelle $x$ définie sur $\R$ par $f(x)=\cfrac{2x}{x^2+1}-\arctan x$.\\
On note $\Co$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal (unités : 1,5 cm en abscisse et 3 cm en ordonnée).
\begin{enumerate}
  \item Déterminer la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
  \item Montrer que la dérivée de $f$ est définie par $f'(x)=\cfrac{1-3x^2}{(x^2+1)^2}$.
  \item Dresser le tableau de variation de $f$.
  \item Donner une équation de la tangente au point d'abscisse $0$.
  \item Soit $\phi$ la fonction numérique défine sur $\R$ par $\phi(x)=x-f(x)$. \'Etudier les variations de la fonction $\phi$ (les limites ne sont pas demandées). Calculer $\phi(0)$. Donner le signe de $\phi(x)$. En déduire la position de la courbe $\Co$ par rapport à sa tangente $(T)$.
\end{enumerate}}




\exoc{Soit $f$ la fonction numérique de la variable $x$ définie par $f(x)=\arctan\pa{\cfrac{x}{1-x^2}}$.
\begin{enumerate}
  \item Donner le domaine de définition de $f$.
  \item Montrer que $f$ est une fonction impaire. En déduire le domaine d'étude de la fonction $f$.
  \item \begin{enumerate}
	\item \'Etudier les limites de $f$ lorsque $x$ tend vers $1$. Donner les coordonnées des points d'arrêt de la courbe $\Co$ représentative de $f$.
	\item \'Etudier la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\Co$ ?
	\end{enumerate}
  \item Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$.
  \item Donner une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $\Co$ au point d'abscisse $0$.
  \item Dans un repère orthonormal,(unité graphique 2 cm), construire $(T)$ et $\Co$. On placera les demi-tangentes aux points d'arrêt.
\end{enumerate}}



\exoc{Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\arcsin\pa{\cfrac{1}{1+x^2}}$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Justifier que pour tout réel $x$, on a $0\leq \cfrac{1}{1+x^2}\leq1$.
	\item Sur quel ensemble $f$ est-elle définie ?
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item \'Etudier les variations de $f$ et tracer la courbe $\Co_f$. On donnera les limites aux bornes.
	\item Montrer que l'équation $\arcsin\pa{\cfrac{1}{1+x^2}}=1$ admet une seule solution positive. En donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\exoc{On considère l'équation $\arcsin x = \cfrac{x+1}{2}$.\\
On note $f$ la fonction définie sur $[-1;1]$ par $f(x)=\arcsin x - \cfrac{x+1}{2}$.
\begin{enumerate}
	\item \'Etudier les variations de la fonction $f$.
	\item Démontrer que l'équation admet une unique solution puis donner un encadrement de cette solution d'amplitude $0.01$.
\end{enumerate}}




\exoc{\emph{Fonctions réciproques circulaires}\\
On considère la fonction $f$ définie sur $[-1 ; 1]$ par $$f(x)=x\arccos x.$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée première $f'$ de la fonction $f$ sur $]-1 ; 1[$.
\item Si $f''$ désigne la dérivée seconde de la fonction $f$ sur $]-1 ; 1[$, montrer que l'on a $$f''(x)=\cfrac{x^2-2}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}.$$
\item Etudier le signe de $f''$ et en déduire le tableau de variation de $f'$.
\item Démontrer que la fonction $f'$ s'annule pour une unique valeur $\alpha$ sur $]0 ; 1[$.
\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. (On indiquera les étapes dans un tableau).
\item Déduire\footnote{Indication : On utilisera l'égalité $f'(\alpha)=0$ pour obtenir une expression de $\arccos\alpha$ en fonction de $\alpha$.} de l'étude précédente les variations de la fonction $f$ et montrer que $f$ admet un extremum égal à : $$\cfrac{\alpha^2}{\sqrt{1-\alpha^2}}
$$\end{enumerate}}














% 
% \subsection{Fonction d'une variable réelle à valeur complexe}
% 
% \exoc{Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
% \begin{multicols}{2}
% \begin{enumerate}
% 	\item $\cfrac{1+t^2}{1-t^2}+\i\cfrac{2t}{1-t^2}$.
% 	\item $(t-\i)\e^{\i t}$
% \end{enumerate}
% \end{multicols}}
% 
% 
% \exoc{On considère la fonction d'une variable réelle définie par  $f(t)=\e^{\i t}$.
% \begin{enumerate}
% \item Donner la forme trigonométrique de $f(t)$.
% \item \begin{enumerate}
% 			\item Dans quel ensemble varie $t$ ?
% 			\item Dans quel ensemble varie $f(t)$ ?
% 			\end{enumerate}
% \item \begin{enumerate}
% 			\item Déterminer, en fonction de $t$, la partie réelle (que l'on notera $f_1(t)$) et la partie imaginaire (que l'on notera $f_2(t)$) de $f(t)$.
% 			\item Déterminer les dérivées de $f_1(t)$ et $f_2(t)$. En déduire la dérivée de $f(t)$.
% 			\item Vérifier que l'on a $f'(t)=\i\e^{\i t}$. Est-ce étonnant ?
% 			\end{enumerate}
% \end{enumerate}}
% 
% 
% 
% \exoc{Calculer $\e^{5+\i\frac\pi2} \quad ; \quad \e^{\frac{4+\j\pi}{4}} \quad ; \quad \e^{2+3\j}$}
% 
% \exoc{On considère la fonction d'une variable réelle définie par  $f(t)=\e^{at}$ où $a\in C$ et $t\in R$.
% \begin{enumerate}
% \item En posant $a=\alpha + \i\beta$, déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de cette fonction que l'on notera $f_1(t)$ et $f_2(t)$.
% \item Déterminer les dérivées de $f_1(t)$ et $f_2(t)$. En déduire la dérivée de $f(t)$.
% \item Vérifier que l'on a $f'(t)=a\e^{at}$. Est-ce étonnant ?
% \end{enumerate}}

\newpage
\thispagestyle{empty}

\begin{minipage}{16cm}
\begin{center}
\tableofcontents
\thispagestyle{empty}
\end{center}
\end{minipage}

\end{document}
















