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Au dela des dénombrements classiques


Bien souvent, lors des chapitres portant sur les dénombrements, on se limite à des situations où il faut choisir entre permutations, arrangements ou combinaisons. Pourtant, ces concepts ne suffisent pas à recouvrir tous les situations que l’on peut rencontrer.

Les documents ci-dessous proposent plusieurs situations très simples qui montrent que bien d’autres cas existent.

En étudiant ces cas, on offre une grande place à la recherche des élèves, on se familiarise avec le raisonnement de la démonstration de la formule de Pascal des coefficients binomiaux, et on travaille sur les définitions récurrentes.

Au programme :

  • Combien de quintés différents existe-t-il ? ... Classique ? ... mais si on considère que les chevaux peuvent être ex-aequo ? Autrement dit, quel est le nombre de partitions ordonnées d’un ensemble à n éléments ? Activité prolongeable avec une petite programmation sous Xcas pour déterminer ces valeurs lorsque n est grand.
  • Combien existe-t-il de chemin de Dyck de longueur 2n ? ... et comment on retrouve les nombres de Catalan.
  • Nombre de partitions non ordonnées d’un ensemble et nombre de surjections entre deux ensembles ;
  • Nombre de dérangement (permutation sans éléments fixes) d’un ensemble.

Les documents ci-dessous (dont le sujet 2 du capes 2010) présentent ces situations. Tout n’est pas directement exploitable, mais avec un peu de Wikipédia, des activités très intéressantes peuvent voir le jour rapidement. J’essayerais d’en mettre en ligne dès que possible (.... mais honnêtement, je n’ai pas la place cette année dans mes progressions pour ces activités, ... faudra attendre un peu).

Documents joints

    Catalan (402.7 ko)
    Format : PDF
     
    Quintés (1.7 Mo)
    Format : PDF
     
    Quintés_xcas (5.8 ko)
    Format : Binary Data
     
    Capes_2010_Enonce (191.3 ko)
    Format : PDF
     
    Capes_2010_corrige (141.7 ko)
    Format : PDF